Relativ skalar - Relative scalar

I matematik er en relativ skalar (af vægt  w ) en skalarværdieret funktion, hvis transformation under en koordinattransformation,

${\ displaystyle {\ bar {x}} ^ {j} = {\ bar {x}} ^ {j} (x ^ {i})}$

på en n -dimensionel manifold overholder følgende ligning

${\ displaystyle {\ bar {f}} ({\ bar {x}} ^ {j}) = J ^ {w} f (x ^ {i})}$

hvor

${\ displaystyle J = {\ begin {vmatrix} \ displaystyle {\ frac {\ partial (x_ {1}, \ ldots, x_ {n})} {\ partial ({\ bar {x}} ^ {1}, \ ldots, {\ bar {x}} ^ {n})}} \ end {vmatrix}},}$

det vil sige determinanten for den Jacobianske transformation. En skalær tæthed henviser til sagen. ${\ displaystyle w = 1}$

Relative skalarer er et vigtigt specielt tilfælde af det mere generelle koncept for en relativ tensor .

Almindelig skalar

En almindelig skalar eller absolut skalar henviser til sagen. ${\ displaystyle w = 0}$

Hvis og henviser til det samme punkt på manifolden, så ønsker vi . Denne ligning kan fortolkes på to måder, når de ses som de "nye koordinater" og ses som de "originale koordinater". Den første er som , som "konverterer funktionen til de nye koordinater". Den anden er som , som "konverterer tilbage til de oprindelige koordinater. Naturligvis er" ny "eller" original "et relativt begreb. ${\ displaystyle x ^ {i}}$${\ displaystyle {\ bar {x}} ^ {j}}$${\ displaystyle P}$${\ displaystyle {\ bar {f}} ({\ bar {x}} ^ {j}) = f (x ^ {i})}$${\ displaystyle {\ bar {x}} ^ {j}}$${\ displaystyle x ^ {i}}$${\ displaystyle {\ bar {f}} ({\ bar {x}} ^ {j}) = f (x ^ {i} ({\ bar {x}} ^ {j}))}$${\ displaystyle f (x ^ {i}) = {\ bar {f}} ({\ bar {x}} ^ {j} (x ^ {i}))}$

Der er mange fysiske størrelser, der er repræsenteret af almindelige skalarer, såsom temperatur og tryk.

Vægt 0 eksempel

Antag, at temperaturen i et rum er angivet med hensyn til funktionen i kartesiske koordinater, og at funktionen i cylindriske koordinater ønskes. De to koordinatsystemer er forbundet med følgende sæt ligninger: ${\ displaystyle f (x, y, z) = 2x + y + 5}$${\ displaystyle (x, y, z)}$${\ displaystyle (r, t, h)}$

${\ displaystyle r = {\ sqrt {x ^ {2} + y ^ {2}}} \,}$

${\ displaystyle t = \ arctan (y / x) \,}$

${\ displaystyle h = z \,}$

og

${\ displaystyle x = r \ cos (t) \,}$

${\ displaystyle y = r \ sin (t) \,}$

${\ displaystyle z = h. \,}$

Brug gør det muligt at udlede som den transformerede funktion. ${\ displaystyle {\ bar {f}} ({\ bar {x}} ^ {j}) = f (x ^ {i} ({\ bar {x}} ^ {j}))}$${\ displaystyle {\ bar {f}} (r, t, h) = 2r \ cos (t) + r \ sin (t) +5}$

Overvej det punkt, hvis kartesiske koordinater er, og hvis tilsvarende værdi i det cylindriske system er . En hurtig beregning viser det og også. Denne lighed ville have haft for ethvert valgt punkt . Således er "temperaturfunktionen i det kartesiske koordinatsystem" og er "temperaturfunktionen i det cylindriske koordinatsystem". ${\ displaystyle P}$${\ displaystyle (x, y, z) = (2,3,4)}$${\ displaystyle (r, t, h) = ({\ sqrt {13}}, \ arctan {(3/2)}, 4)}$${\ displaystyle f (2,3,4) = 12}$${\ displaystyle {\ bar {f}} ({\ sqrt {13}}, \ arctan {(3/2)}, 4) = 12}$${\ displaystyle P}$${\ displaystyle f (x, y, z)}$${\ displaystyle {\ bar {f}} (r, t, h)}$

En måde at se disse funktioner på er som repræsentationer af "overordnet" -funktionen, der tager et punkt i manifolden som et argument og giver temperaturen.

Problemet kunne have været vendt. Man kunne have fået og ønsket at have afledt den kartesiske temperaturfunktion . Dette vender bare forestillingen om "nyt" versus det "originale" koordinatsystem. ${\ displaystyle {\ bar {f}}}$${\ displaystyle f}$

Antag, at man ønsker at integrere disse funktioner over "rummet", hvilket vil blive betegnet med . (Ja, at integrere temperatur er underligt, men det er delvist, hvad der skal vises.) Antag, at regionen er angivet i cylindriske koordinater fra , fra og fra (det vil sige "rummet" er en kvart skive af en cylinder med radius og højde 2 ). Integralet af over regionen er ${\ displaystyle D}$${\ displaystyle D}$${\ displaystyle r}$${\ displaystyle [0,2]}$${\ displaystyle t}$${\ displaystyle [0, \ pi / 2]}$${\ displaystyle h}$${\ displaystyle [0,2]}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle D}$

${\ displaystyle \ int _ {0} ^ {2} \! \ int _ {0} ^ {\ sqrt {2 ^ {2} -x ^ {2}}} \! \ int _ {0} ^ {2 } \! f (x, y, z) \, dz \, dy \, dx = 16 + 10 \ pi}$ .

Værdien af ​​integralet over den samme region er ${\ displaystyle {\ bar {f}}}$

${\ displaystyle \ int _ {0} ^ {2} \! \ int _ {0} ^ {\ pi / 2} \! \ int _ {0} ^ {2} \! {\ bar {f}} ( r, t, h) \, dh \, dt \, dr = 12 + 10 \ pi}$ .

De er ikke lige. Integralet af temperatur er ikke uafhængigt af det anvendte koordinatsystem. Det er ikke-fysisk i den forstand, derfor "mærkeligt". Bemærk, at hvis integralen af inkluderet en faktor af den Jacobian (som er bare ), får vi ${\ displaystyle {\ bar {f}}}$${\ displaystyle r}$

${\ displaystyle \ int _ {0} ^ {2} \! \ int _ {0} ^ {\ pi / 2} \! \ int _ {0} ^ {2} \! {\ bar {f}} ( r, t, h) r \, dh \, dt \, dr = 16 + 10 \ pi}$ ,

som er lig med den oprindelige integral, men det er dog ikke integralet af temperatur, fordi temperaturen er en relativ skalar af vægt 0, ikke en relativ skalar af vægt 1.

Vægt 1 eksempel

Hvis vi havde sagt, repræsenterer massetæthed, bør dens transformerede værdi imidlertid omfatte den Jacobianske faktor, der tager højde for den geometriske forvrængning af koordinatsystemet. Den transformerede funktion er nu . Denne gang men . Som før er integreret (den samlede masse) i kartesiske koordinater ${\ displaystyle f (x, y, z) = 2x + y + 5}$${\ displaystyle {\ bar {f}} (r, t, h) = (2r \ cos (t) + r \ sin (t) +5) r}$${\ displaystyle f (2,3,4) = 12}$${\ displaystyle {\ bar {f}} ({\ sqrt {13}}, \ arctan {(3/2)}, 4) = 12 {\ sqrt {29}}}$

${\ displaystyle \ int _ {0} ^ {2} \! \ int _ {0} ^ {\ sqrt {2 ^ {2} -x ^ {2}}} \! \ int _ {0} ^ {2 } \! f (x, y, z) \, dz \, dy \, dx = 16 + 10 \ pi}$ .

Værdien af ​​integralet over den samme region er ${\ displaystyle {\ bar {f}}}$

${\ displaystyle \ int _ {0} ^ {2} \! \ int _ {0} ^ {\ pi / 2} \! \ int _ {0} ^ {2} \! {\ bar {f}} ( r, t, h) \, dh \, dt \, dr = 16 + 10 \ pi}$ .

De er lige. Integralet af massetæthed giver total masse, hvilket er et koordinatuafhængigt koncept. Bemærk, at hvis integralet også inkluderede en faktor af den jakobiske som før, får vi ${\ displaystyle {\ bar {f}}}$

${\ displaystyle \ int _ {0} ^ {2} \! \ int _ {0} ^ {\ pi / 2} \! \ int _ {0} ^ {2} \! {\ bar {f}} ( r, t, h) r \, dh \, dt \, dr = 24 + 40 \ pi / 3}$ ,

hvilket ikke svarer til det foregående tilfælde.

Andre tilfælde

Andre vægte end 0 og 1 opstår ikke så ofte. Det kan vises, at determinanten for en type (0,2) tensor er en relativ skalar af vægt 2.

Se også

• Jacobians matrix og determinant

Referencer