Standard delfunktion - Standard part function

I ikke-standardanalyse er standarddelfunktionen en funktion fra de begrænsede (endelige) hyperreale tal til de reelle tal. Kort fortalt "afrunder" standarddelfunktionen en endelig hyperreal til den nærmeste real. Det associerer til enhver sådan hyperreal , den unikke virkelighed uendeligt tæt på den, dvs. er uendelig . Som sådan er det en matematisk implementering af det historiske begreb om tilstrækkelighed introduceret af Pierre de Fermat såvel som Leibniz ' transcendentale homogenitetslov . ${\ displaystyle x}$${\ displaystyle x_ {0}}$${\ displaystyle x-x_ {0}}$

Standarddelfunktionen blev først defineret af Abraham Robinson, der brugte betegnelsen til standarddelen af ​​en hyperreal (se Robinson 1974). Dette koncept spiller en nøglerolle i at definere begreberne i beregningen, såsom kontinuitet, afledte og integrale, i ikke-standard analyse . Sidstnævnte teori er en streng formalisering af beregninger med uendelige størrelser . Standarddelen af x kaldes undertiden dens skygge . ${\ displaystyle {} ^ {\ circ} x}$${\ displaystyle x}$

Definition

Standarddelfunktionen "afrunder" en endelig hyperreal til det nærmeste reelle tal. "Infinitesimalt mikroskop" bruges til at se et uendeligt minimalt kvarter af en standardreal.

Ikke-standardanalyse beskæftiger sig primært med parret , hvor hyperreals er en ordnet feltudvidelse af realerne og indeholder uendelige størrelser ud over realerne. I den hyperrealistiske linje har hvert reelt tal en samling af tal (kaldet en monade eller halo ) af hyperreals uendeligt tæt på det. Standarddelfunktionen associeres med et endeligt hyperreal x , det unikke standard reelle tal x _0, der er uendeligt tæt på det. Forholdet udtrykkes symbolsk ved at skrive ${\ displaystyle \ mathbb {R} \ subseteq {} ^ {*} \ mathbb {R}}$ ${\ displaystyle {} ^ {*} \ mathbb {R}}$${\ displaystyle \ mathbb {R}}$

${\ displaystyle \ operatorname {st} (x) = x_ {0}.}$

Standarddelen af ​​ethvert uendeligt minimum er 0. Hvis N således er en uendelig hypernatural , så er 1 / N uendelig, og st (1 / N ) = 0.

Hvis en hyperreal er repræsenteret af en Cauchy-sekvens i ultrakraftkonstruktionen , så ${\ displaystyle u}$${\ displaystyle \ langle u_ {n}: n \ i \ mathbb {N} \ rangle}$

${\ displaystyle \ operatorname {st} (u) = \ lim _ {n \ to \ infty} u_ {n}.}$

Mere generelt definerer hver endelig et Dedekind-snit på undersættet (via den samlede ordre på ), og det tilsvarende reelle tal er standarddelen af u . ${\ displaystyle u \ i {} ^ {*} \ mathbb {R}}$${\ displaystyle \ mathbb {R} \ subseteq {} ^ {*} \ mathbb {R}}$${\ displaystyle {} ^ {\ ast} \ mathbb {R}}$

Ikke internt

Standarddelfunktionen "st" er ikke defineret af et internt sæt . Der er flere måder at forklare dette på. Måske er det enkleste, at dets domæne L, som er samlingen af ​​begrænsede (dvs. begrænsede) hyperreals, ikke er et internt sæt. Da L er bundet (f.eks. Af uendelig hypernatural), ville L nemlig have en mindste øvre grænse, hvis L var intern, men L har ikke mindst en øvre grænse. Alternativt er området for "st" , hvilket ikke er internt; faktisk er ethvert internt sæt i det er en delmængde nødvendigvis endeligt , se (Goldblatt, 1998). ${\ displaystyle \ mathbb {R} \ subseteq {} ^ {*} \ mathbb {R}}$${\ displaystyle {} ^ {*} \ mathbb {R}}$${\ displaystyle \ mathbb {R}}$

Ansøgninger

Alle de traditionelle begreber om beregning kan udtrykkes som standard delfunktion som følger.

Afledte

Standarddelfunktionen bruges til at definere afledningen af ​​en funktion f . Hvis f er en reel funktion, og h er uendelig, og hvis f ′ ( x ) findes, så

${\ displaystyle f '(x) = \ operatorname {st} \ left ({\ frac {f (x + h) -f (x)} {h}} \ right).}$

Alternativt, hvis , tager man et trin på trin , og beregner det tilsvarende . Man danner forholdet . Derivatet defineres derefter som standarddelen af ​​forholdet: ${\ displaystyle y = f (x)}$${\ displaystyle \ Delta x}$${\ displaystyle \ Delta y = f (x + \ Delta x) -f (x)}$${\ textstyle {\ frac {\ Delta y} {\ Delta x}}}$

${\ displaystyle {\ frac {dy} {dx}} = \ operatorname {st} \ left ({\ frac {\ Delta y} {\ Delta x}} \ right).}$

Integreret

Med en funktion på definerer man integralet som standarddelen af ​​en uendelig Riemann-sum, når værdien af antages at være uendelig, idet man udnytter en hyperfinit partition af intervallet [ a , b ]. ${\ displaystyle f}$${\ displaystyle [a, b]}$${\ textstyle \ int _ {a} ^ {b} f (x) \, dx}$${\ displaystyle S (f, a, b, \ Delta x)}$${\ displaystyle \ Delta x}$

Begrænse

Ved en sekvens defineres dens grænse ved, hvor der er et uendeligt indeks. Her siges det, at grænsen eksisterer, hvis standarddelen er den samme uanset det valgte uendelige indeks. ${\ displaystyle (u_ {n})}$${\ textstyle \ lim _ {n \ to \ infty} u_ {n} = \ operatorname {st} (u_ {H})}$${\ displaystyle H \ i {} ^ {*} \ mathbb {N} \ setminus \ mathbb {N}}$

Kontinuitet

En reel funktion er kontinuerlig på et rigtigt punkt, hvis og kun hvis sammensætningen er konstant på glorie af . Se mikrokontinuitet for flere detaljer. ${\ displaystyle f}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle \ operatorname {st} \ circ f}$${\ displaystyle x}$

Se også

• Tilstrækkelighed
• Ikke-standard beregning

Bemærkninger

Referencer

• H. Jerome Keisler . Elementær beregning: En uendelig tilgang . Første udgave 1976; 2. udgave 1986. (Denne bog er nu ude af tryk. Forlaget har ophævet ophavsretten til forfatteren, som har gjort 2. udgave tilgængelig i .pdf-format tilgængelig til download på http://www.math.wisc.edu/ ~ keisler / calc.html .)
• Goldblatt, Robert . Forelæsninger om hyperreals . En introduktion til ikke-standard analyse. Graduate Texts in Mathematics , 188. Springer-Verlag, New York, 1998.
• Abraham Robinson . Ikke-standard analyse. Genoptryk af den anden (1974) udgave. Med et forord af Wilhelmus AJ Luxemburg . Princeton landemærker i matematik. Princeton University Press, Princeton, NJ, 1996. xx + 293 s. ISBN   0-691-04490-2