Optimering af bane - Trajectory optimization

Baneoptimering er processen med at designe en bane, der minimerer (eller maksimerer) et mål for ydeevne, samtidig med at det opfylder et sæt begrænsninger. Generelt er baneoptimering en teknik til beregning af en open-loop-løsning til et optimalt kontrolproblem . Det bruges ofte til systemer, hvor computing ikke er nødvendig med fuld lukket loop-løsning, upraktisk eller umulig. Hvis et baneoptimeringsproblem kan løses med en hastighed, der er givet af den inverse af Lipschitz-konstanten , kan den bruges iterativt til at generere en lukket sløjfeopløsning i betydningen Caratheodory. Hvis kun det første trin i banen udføres for et uendeligt horisontproblem, så er dette kendt som Model Predictive Control (MPC) .

Selvom ideen om baneoptimering har eksisteret i hundreder af år ( beregning af variationer , brachystochrone-problem ), blev den kun praktisk til virkelige problemer med computerens fremkomst. Mange af de oprindelige anvendelser af baneoptimering var inden for luftfartsindustrien, databehandling af raketter og raketter. For nylig er baneoptimering også blevet brugt i en bred vifte af industrielle proces- og robotapplikationer.

Historie

Baneoptimering dukkede først op i 1697 med introduktionen af ​​Brachystochrone-problemet: Find formen på en ledning, således at en perle, der glider langs den, bevæger sig mellem to punkter på minimum tiden. Det interessante ved dette problem er, at det optimeres over en kurve (formen på ledningen) snarere end et enkelt tal. Den mest berømte af løsningerne blev beregnet ved hjælp af beregning af variationer .

I 1950'erne begyndte den digitale computer at gøre baneoptimering praktisk til løsning af virkelige problemer. De første optimale kontroltilgange voksede ud af beregningen af ​​variationer , baseret på forskningen fra Gilbert Ames Bliss og Bryson i Amerika og Pontryagin i Rusland. Pontryagins maksimale princip er særlig opmærksom. Disse tidlige forskere skabte fundamentet for det, vi nu kalder indirekte metoder til optimering af bane.

Meget af det tidlige arbejde med baneoptimering var fokuseret på beregning af raketkraftprofiler, både i et vakuum og i atmosfæren. Denne tidlige forskning opdagede mange grundlæggende principper, der stadig bruges i dag. En anden vellykket ansøgning var stigningen til højdeforløb for de tidlige jetfly. På grund af det høje træk forbundet med det transoniske trækregion og det lave tryk i tidlige jetfly var baneoptimering nøglen til at maksimere klatre til højdeydelse. Optimale kontrolbaserede baner var ansvarlige for nogle af verdensrekordene. I disse situationer fulgte piloten en Mach versus højdeplan baseret på optimale kontrolløsninger.

Et af de vigtige tidlige problemer i baneoptimering var det i entalbuen , hvor Pontryagins maksimale princip ikke giver en komplet løsning. Et eksempel på et problem med enestående kontrol er optimeringen af ​​et raket, der flyver i konstant højde, og som sendes i lav hastighed. Her er problemet en af ​​en bang-bang-kontrol ved maksimal mulig tryk, indtil den entalbue er nået. Derefter giver løsningen til den enestående kontrol et lavere variabelt tryk indtil udbrændthed. På dette tidspunkt bestemmer bang-bang-kontrol, at kontrollen eller fremdriftene går til minimumsværdien på nul. Denne løsning er grundlaget for den boost-sustain-raketmotorprofil, der i vid udstrækning bruges i dag til at maksimere missilens ydeevne.

Ansøgninger

Der er en lang række applikationer til baneoptimering, primært inden for robotteknologi: industri, manipulation, gang, sti-planlægning og rumfart. Det kan også bruges til modellering og estimering.

Robotmanipulatorer

Afhængigt af konfigurationen kræver robotte manipulatorer med åben kæde en vis grad af baneoptimering. For eksempel er en robotarm med 7 led og 7 led (7-DOF) et redundant system, hvor en kartesisk position af en sluteffektor kan svare til et uendeligt antal ledvinkelpositioner, og denne redundans kan således bruges til at optimere en bane for for eksempel at undgå forhindringer i arbejdsområdet eller minimere drejningsmomentet i samlingerne.

Quadrotor helikoptere

Trajektoptimering bruges ofte til at beregne baner til quadrotor-helikoptere . Disse applikationer brugte typisk højt specialiserede algoritmer. En interessant applikation vist af U.Penn GRASP Lab beregner en bane, der gør det muligt for en quadrotor at flyve gennem en bøjle, når den smides. En anden, denne gang af ETH Zurich Flying Machine Arena , involverer to quadrotors, der kaster en stang frem og tilbage mellem dem, med den afbalanceret som et omvendt pendul. Problemet med at beregne minimumsenergibaner til en quadcopter er også for nylig blevet undersøgt.

Fremstilling

Baneoptimering bruges til fremstilling, især til styring af kemiske processer (såsom in) eller beregning af den ønskede vej til robotmanipulatorer (såsom in).

Walking robotter

Der er en række forskellige applikationer til baneoptimering inden for gangrobotik. For eksempel anvendte et papir baneoptimering af bipedale gangarter på en simpel model for at vise, at gå er energisk gunstigt for at bevæge sig ved lav hastighed, og løb er energisk gunstigt for at bevæge sig med høj hastighed. Som i mange andre applikationer kan baneoptimering bruges til at beregne en nominel bane, omkring hvilken en stabiliserende controller er bygget. Baneoptimering kan anvendes i detaljeret bevægelsesplanlægning af komplekse humanoide robotter, såsom Atlas . Endelig kan baneoptimering bruges til sti-planlægning af robotter med komplicerede dynamiske begrænsninger ved hjælp af modeller med reduceret kompleksitet.

Rumfart

For taktiske missiler bliver flyveprofiler bestemt af hovedlinjerne og lift historier. Disse historier kan styres på en række måder, herunder teknikker, som f.eks. Ved hjælp af en angrebsvinkel- kommandohistorik eller en højde / nedrangeplan, som missilet skal følge. Hver kombination af missildesignfaktorer, ønsket missilydelse og systembegrænsninger resulterer i et nyt sæt optimale kontrolparametre.

Terminologi

Beslutningsvariabler
Sættet af ukendte, der findes ved hjælp af optimering.
Problem med optimering af bane
En særlig type optimeringsproblem, hvor beslutningsvariablerne er funktioner snarere end reelle tal.
Parameteroptimering
Ethvert optimeringsproblem, hvor beslutningsvariablerne er reelle tal.
Ikke-lineært program
En klasse af begrænset parameteroptimering, hvor enten objektivfunktionen eller begrænsningerne er ikke-lineære.
Indirekte metode
En indirekte metode til løsning af et baneoptimeringsproblem fortsætter i tre trin: 1) Konstruer analytisk de nødvendige og tilstrækkelige betingelser for optimalitet, 2) Diskretiser disse betingelser, konstruer et begrænset parameteroptimeringsproblem, 3) Løs det optimeringsproblem.
Direkte metode
En direkte metode til løsning af et baneoptimeringsproblem består af to trin: 1) Diskretiser baneoptimeringsproblemet direkte og konverter det til et begrænset parameteroptimeringsproblem, 2) Løs det optimeringsproblem.
Transkription
Processen, hvorved et baneoptimeringsproblem konverteres til et parameteroptimeringsproblem. Dette kaldes undertiden diskretisering. Transskriptionsmetoder falder generelt i to kategorier: skydemetoder og kollokationsmetoder.
Optagelsesmetode
En transkriptionsmetode, der er baseret på simulering, typisk ved hjælp af eksplicitte Runge - Kutta-ordninger.
Collocation metode (Simultan Method)
En transkriptionsmetode, der er baseret på funktionstilnærmelse, typisk ved hjælp af implicitte Runge - Kutta-ordninger.
Pseudospektral metode (Global Collocation)
En transkriptionsmetode, der repræsenterer hele banen som et enkelt ortogonalt højordens polynom.
Mesh (gitter)
Efter transkription er den tidligere kontinuerlige bane nu repræsenteret af et diskret sæt punkter, kendt som maskepunkter eller gitterpunkter.
Mesh raffinement
Processen, hvorved diskretiseringsnet forbedres ved at løse en sekvens af baneoptimeringsproblemer. Mesh-raffinement udføres enten ved at opdele et båndsegment eller ved at øge rækkefølgen af ​​polynomet, der repræsenterer det segment.
Flerfaset baneoptimeringsproblem
Baneoptimering over et system med hybriddynamik kan opnås ved at stille det som et flerfaset baneoptimeringsproblem. Dette gøres ved at sammensætte en sekvens af standardprojekter til optimering af baneoptimering, der er forbundet ved hjælp af begrænsninger.

Teknikker til optimering af bane

Teknikkerne til eventuelle optimeringsproblemer kan opdeles i to kategorier: indirekte og direkte. En indirekte metode fungerer ved analytisk at konstruere de nødvendige og tilstrækkelige betingelser for optimalitet, som derefter løses numerisk. En direkte metode forsøger en direkte numerisk løsning ved at konstruere en sekvens med kontinuerligt forbedrede tilnærmelser til den optimale løsning. Direkte og indirekte metoder kan blandes ved anvendelse af Ross og Fahroos coovector-kortlægningsprincip .

Det optimale kontrolproblem er et uendeligt dimensionelt optimeringsproblem, da beslutningsvariablerne er funktioner snarere end reelle tal. Alle løsningsteknikker udfører transkription, en proces, hvorved baneoptimeringsproblemet (optimering over funktioner) omdannes til et begrænset parameteroptimeringsproblem (optimering over reelle tal). Generelt er dette begrænsede parameteroptimeringsproblem et ikke-lineært program, skønt det i særlige tilfælde kan reduceres til et kvadratisk program eller et lineært program .

Enkeltoptagelse

Enkeltoptagelse er den enkleste type teknik til optimering af bane. Grundideen ligner, hvordan du vil sigte mod en kanon: vælg et sæt parametre til banen, simuler det hele, og kontroller derefter, om du rammer målet. Hele banen er repræsenteret som et enkelt segment med en enkelt begrænsning, kendt som en defektbegrænsning, der kræver, at den endelige tilstand af simuleringen svarer til den ønskede endelige tilstand i systemet. Enkeltoptagelse er effektiv til problemer, der enten er enkle eller har en ekstremt god initialisering. Både den indirekte og direkte formulering har ellers vanskeligheder.

Flere optagelser

Flere optagelser er en simpel udvidelse til enkeltoptagelse, der gør det langt mere effektivt. I stedet for at repræsentere hele banen som en enkelt simulering (segment), bryder algoritmen banen i mange kortere segmenter, og der tilføjes en defektbegrænsning mellem hver. Resultatet er et stort sparsomt ikke-lineært program, som har tendens til at være lettere at løse end de små tætte programmer produceret af enkeltoptagelse.

Direkte samordning

Direkte kollokationsmetoder fungerer ved at tilnærme tilstands- og kontrolbaner ved hjælp af polynomiske splines . Disse metoder kaldes undertiden direkte transkription. Trapesformet kollokation er en almindeligt anvendt metode til direkte samordning med lav ordre. Dynamikken, stiens mål og kontrol er alle repræsenteret ved hjælp af lineære splines, og dynamikken er tilfreds med trapezformet kvadratur . Hermite-Simpson Collocation er en almindelig metode til direkte samordning af medium ordre. Staten er repræsenteret af en kubisk-hermitisk spline , og dynamikken er tilfreds med Simpson-kvadraturet .

Ortogonal kollokation

Ortogonal kollokation er teknisk set en delmængde af direkte kollokation, men implementeringsoplysningerne er så forskellige, at det med rimelighed kan betragtes som sit eget sæt metoder. Ortogonal kollokation adskiller sig fra direkte kollokation, idet den typisk bruger højordens splines, og hvert segment af banen kan være repræsenteret af en spline i en anden rækkefølge. Navnet kommer fra brugen af ​​ortogonale polynomer i tilstanden og kontrol splines.

Pseudospektral diskretisering

I pseudospektral diskretisering er hele bane repræsenteret af en samling basisfunktioner i tidsdomænet (uafhængig variabel). Grundfunktionerne behøver ikke være polynomer. Pseudospektral diskretisering er også kendt som spektral kollokation. Når det bruges til at løse et baneoptimeringsproblem, hvis løsning er glat, vil en pseudospektral metode opnå spektral (eksponentiel) konvergens. Hvis banen ikke er jævn, er konvergensen stadig meget hurtig, hurtigere end Runge-Kutta-metoder.

Temporal Finite Elements

I 1990 foreslog Dewey H. Hodges og Robert R. Bless en svag Hamiltonian finite element-metode til optimale kontrolproblemer. Ideen var at udlede en svag variation af første ordens nødvendige betingelser for optimalitet, diskretisere tidsdomænet i endelige intervaller og bruge en simpel nul-ordens polynomrepræsentation af stater, kontroller og tilknytninger over hvert interval. Ti år senere udviklede Massimiliano Vasile en direkte transkriptionsmetode, kaldet direkte endelige elementer i tid, hvor bevægelsesligningerne er støbt i svag form, tidsdomænet diskretiseres i et sæt finte intervaller og på hvert interval er tilstande og kontroller repræsenteret med variabel rækkefølge polynomer på spektral basis. Denne metode er blevet anvendt med succes til udformningen af ​​komplekse interplanetære overførsler, asteroideudbøjning, opstigning og genindgangsbaner. For nylig blev fremgangsmåden udvidet til at muliggøre brugen af ​​Bernstein-polynomer, løsningen af ​​multi-objektive optimale kontrolproblemer og behandling af usikkerhed.

Differentiel dynamisk programmering

Differentiel dynamisk programmering er lidt anderledes end de andre teknikker, der er beskrevet her. Især adskiller det ikke rent transkription og optimering. I stedet udfører det en sekvens af iterativ frem og tilbage passerer langs banen. Hvert fremadgående pas opfylder systemdynamikken, og hvert bagudgående overholdelse opfylder optimale betingelser for kontrol. Til sidst konverterer denne iteration til en bane, der er både gennemførlig og optimal.

Sammenligning af teknikker

Der er mange teknikker at vælge imellem, når man løser et problem med optimering af bane. Der er ingen bedste metode, men nogle metoder kan muligvis gøre et bedre job på specifikke problemer. Dette afsnit giver en grov forståelse af afvejningerne mellem metoder.

Indirekte versus direkte metoder

Når du løser et baneoptimeringsproblem med en indirekte metode, skal du eksplicit konstruere de sammenhængende ligninger og deres gradienter. Dette er ofte vanskeligt at gøre, men det giver en fremragende nøjagtighedsmåling for løsningen. Direkte metoder er meget lettere at konfigurere og løse, men har ikke en indbygget nøjagtighedsmåling. Som et resultat anvendes direkte metoder mere udbredt, især i ikke-kritiske applikationer. Indirekte metoder har stadig en plads i specialiserede applikationer, især luftfart, hvor nøjagtighed er kritisk.

Et sted, hvor indirekte metoder har særlige vanskeligheder, er problemer med sti ulighed begrænsninger. Disse problemer har tendens til at have løsninger, hvor begrænsningen er delvist aktiv. Når der konstrueres de sammenhængende ligninger til en indirekte metode, skal brugeren udtrykkeligt skrive ned, når begrænsningen er aktiv i løsningen, hvilket er vanskeligt at kende på forhånd. En løsning er at bruge en direkte metode til at beregne et indledende gæt, som derefter bruges til at konstruere et flerfaseproblem, hvor begrænsningen er foreskrevet. Det resulterende problem kan derefter løses nøjagtigt ved hjælp af en indirekte metode.

Optagelse mod kollokation

Enkeltoptagelsesmetoder bruges bedst til problemer, hvor kontrollen er meget enkel (eller der er et ekstremt godt indledende gæt). For eksempel et satellitmissionsplanlægningsproblem, hvor den eneste kontrol er størrelsen og retningen af ​​en indledende impuls fra motorerne.

Flere optagelser har tendens til at være gode til problemer med relativt enkel kontrol, men kompliceret dynamik. Selvom stibegrænsninger kan bruges, gør de det resulterende ikke-lineære program relativt vanskeligt at løse.

Direkte kollokationsmetoder er gode til problemer, hvor kontrolens nøjagtighed og tilstanden er ens. Disse metoder har en tendens til at være mindre nøjagtige end andre (på grund af deres lave orden), men er særligt robuste til problemer med vanskelige vejbegrænsninger.

Ortogonale kollokationsmetoder er bedst til at opnå løsninger med høj nøjagtighed til problemer, hvor nøjagtigheden af ​​kontrolbanen er vigtig. Nogle implementeringer har problemer med stibegrænsninger. Disse metoder er særligt gode, når opløsningen er glat.

Software

Eksempler på baneoptimeringsprogrammer inkluderer:

  • APMonitor : Storskala optimeringssoftware baseret på ortogonal kollokation.
  • ASTOS : Analyse, simulering og baneoptimeringssoftware til rumapplikationer . ASTOS-softwaren er et multifunktionelt værktøj til rumapplikationer. Oprindeligt designet til baneoptimering og giver nu moduler til en række analyser, simuleringer og designmuligheder
  • Bocop - Den optimale styringsløsning : Open source-værktøjskasse til optimale kontrolproblemer (brugervenlig og avanceret GUI til effektiv brug).
  • PyKEP , PyGMO (Open Source, fra Den Europæiske Rumorganisation til optimering af interplanetarisk bane)
  • Copernicus bane design og optimeringssystem [1]
  • DIDO : MATLAB optimal kontrolværktøjskasse, der bruges i NASA og den akademiske verden og distribueres af Elissar Global .
  • QuickShot : Et almindeligt, multi-threaded 3-DOF / 4-DOF-bane-simuleringsværktøj til robust global optimering fra SpaceWorks Enterprises, Inc.
  • DIRCOL : En software til generering af baneoptimering baseret på direkte kollokation.
  • Drake : En værktøjskasse til planlægning, kontrol og analyse til ikke-lineære dynamiske systemer.
  • FALCON.m : FSD Optimal Control Tool til Matlab, udviklet ved Institute of Flight System Dynamics ved Technical University of Munich.
  • Gekko (optimeringssoftware) : En Python-optimeringspakke med baneoptimeringsapplikationer fra HALE Aircraft og antenneslebne kabelsystemer.
  • Generelt værktøj til analyse af missioner
  • GPOPS-II ( G enerelt P ORMÅLET OP optimal, Kontrol S oftware) Løser flerfasede bane optimeringsproblemer. (Matlab)
  • HamPath : Om løsning af optimale kontrolproblemer ved indirekte og stifølgende metoder (Matlab og Python-grænseflader).
  • JModelica.org (Modelica-baseret open source-platform til dynamisk optimering)
  • LOTOS (Low Thrust Orbit Transfer Trajectory Optimization Software) fra Astos Solutions
  • MIDACO- optimeringssoftware specielt udviklet til interplanetariske rumbaner . (Tilgængelig i Matlab, Octave, Python, C / C ++, R og Fortran)
  • OpenOCL Open Optimal Control Library, optimal kontrolmodelleringsbibliotek, automatisk differentiering, ikke-lineær optimering, Matlab / Octave.
  • OTIS (optimale baner ved implicit simulering) [2]
  • Opty Python-pakke, der bruger SymPy til symbolsk beskrivelse af almindelige differentialligninger for at danne begrænsninger, der er nødvendige for at løse optimale kontrol- og parameteridentifikationsproblemer ved hjælp af den direkte kollokationsmetode og ikke-lineær programmering.
  • POST (program til optimering af simulerede baner) [3] , [4]
  • OptimTraj : Et open source- baneoptimeringsbibliotek til Matlab
  • ZOOM, konceptuelt design og analyse af raketkonfigurationer og baner) [5]
  • PSOPT, en open source optimal kontrol softwarepakke skrevet i C ++, der bruger direkte samlokaliseringsmetoder [6]
  • OpenGoddard En open source optimal kontrol softwarepakke skrevet i Python, der bruger pseudospektrale metoder.
  • Systemværktøjssæt Astrogator (STK Astrogator) : Et specialiseret analysemodul til kredsløbsmanøvre og design af rumbane. Astrogator tilbyder ortogonal-kollokationsbaseret baneoptimering ved hjælp af high-fidelity-kraftmodeller.
  • beluga : En open source Python-pakke til baneoptimering ved hjælp af indirekte metoder.
  • MODHOC: Et open source-softwareværktøj til multi-objektiv optimal kontrol, der implementerer en direkte transkription af endelige elementer i tiden og en agentbaseret multi-objektiv optimering

En samling af optimeringsværktøjer til lavt trykbaneoptimering, herunder medlemmer af sættet LTTT (Low Thrust Trajectory Tool), kan findes her: LTTT Suite Optimization Tools .

Referencer

  1. ^ a b Ross, IM A Primer on Pontryagins Princip in Optimal Control , Collegiate Publishers, San Francisco, 2009.
  2. ^ Ross, I. Michael; Sekhavat, Pooya; Fleming, Andrew; Gong, Qi (marts 2008). "Optimal feedbackkontrol: Fundamenter, eksempler og eksperimentelle resultater for en ny tilgang" . Journal of Guidance, Control og Dynamics . 31 (2): 307–321. Bibcode : 2008JGCD ... 31..307R . doi : 10.2514 / 1.29532 . ISSN  0731-5090 .
  3. ^ Qi Gong; Wei Kang; Bedrossian, NS; Fahroo, F .; Pooya Sekhavat; Bollino, K. (december 2007). "Pseudospektral optimal kontrol til militære og industrielle applikationer" . 2007 46. IEEE-konference om beslutning og kontrol : 4128–4142. doi : 10.1109 / CDC.2007.4435052 . ISBN 978-1-4244-1497-0. S2CID  2935682 .
  4. ^ 300 års optimal kontrol: Fra Brachystochrone til det maksimale princip , Hector J. Sussmann og Jan C. Willems. IEEE Control Systems Magazine, 1997.
  5. ^ Bryson, Ho, Applied Optimal Control, Blaisdell Publishing Company, 1969, s. 246.
  6. ^ LS Pontyragin, Den matematiske teori om optimale processer, New York, Intersciences, 1962
  7. ^ Malik, Aryslan; Henderson, Troy; Prazenica, Richard (januar 2021). "Generering af en bane til et multikropps-robotsystem, der bruger produktet af eksponentiel formulering" . AIAA Scitech 2021 Forum : 2016. doi : 10.2514 / 6.2021-2016 . ISBN 978-1-62410-609-5.
  8. ^ Daniel Mellinger og Vijay Kumar, "Minimumsgenerering af snapbane og kontrol for quadrotors" International konference om robotik og automatisering, IEEE 2011
  9. ^ Markus Hehn og Raffaello D'Andrea, "Realtidsgenerering af bane til Quadrocopters" IEEE-transaktioner om robotteknologi, 2015.
  10. ^ Fabio Morbidi, Roel Cano, David Lara, "Minimum-energiproduktion til en Quadrotor UAV" i Proc. IEEE International Conference on Robotics and Automation, s. 1492-1498, 2016.
  11. ^ John W. Eaton og James B. Rawlings. "Model-Predictive Control of Chemical Processes" Chemical Engineering Science, bind 47, nr. 4. 1992.
  12. ^ T. Chettibi, H. Lehtihet, M. Haddad, S. Hanchi, "Minimum cost trajectory planning for industrial robots" European Journal of Mechanics, 2004.
  13. ^ Manoj Srinivasan og Andy Ruina. "Computeroptimering af en minimal biped model opdager at gå og løbe" Nature, 2006.
  14. ^ ER Westervelt, JW Grizzle og DE Koditschek. "Hybrid Zero Dynamics of PLanar Biped Walkers" IEEE-transaktioner om automatisk kontrol, 2003.
  15. ^ Michael Posa, Scott Kuindersma og Russ Tedrake. "Optimering og stabilisering af baner til begrænsede dynamiske systemer." International konference om robotik og automatisering, IEEE 2016.
  16. ^ Hongkai Dai, Andres Valenzuela og Russ Tedrake. "Helkrops bevægelsesplanlægning med Centroidal Dynamics and Full Kinematics" International konference om humanoide robotter, IEEE 2014.
  17. ^ Phillips, CA, "Energy Management for a Multiple Pulse Missile", AIAA Paper 88-0334, jan., 1988
  18. ^ a b c d e f g John T. Betts "Praktiske metoder til optimal kontrol og estimering ved hjælp af ikke-lineær programmering" SIAM Advances in Design and Control, 2010.
  19. ^ Christopher L. Darby, William W. Hager og Anil V. Rao. "En hp-adaptiv pseudospektral metode til løsning af optimale kontrolproblemer." Optimale kontrolapplikationer og -metoder, 2010.
  20. ^ Koeppen, N .; Ross, IM; Wilcox, LC; Proulx, RJ (2019). "Fast Mesh Refinement in Pseudospectral Optimal Control" . Journal of Guidance, Control og Dynamics . 42 (4): 711-722. arXiv : 1904.12992 . Bibcode : 2019JGCD ... 42..711K . doi : 10.2514 / 1.G003904 . S2CID  126046171 .
  21. ^ a b Ross, I. Michael; D'Souza, Christopher N. (juli 2005). "Hybrid Optimal Control Framework for Mission Planning" . Journal of Guidance, Control og Dynamics . 28 (4): 686-697. Bibcode : 2005JGCD ... 28..686R . doi : 10.2514 / 1.8285 . ISSN  0731-5090 .
  22. ^ a b Patterson, Michael A .; Rao, Anil V. (2014-10-01). "GPOPS-II: EN MATLAB-software til løsning af optimale kontrolproblemer i flere faser ved hjælp af hp-adaptiv Gaussisk kvadraturkollokationsmetoder og sparsom ikke-lineær programmering" . ACM Trans. Matematik. Softw . 41 (1): 1: 1–1: 37. doi : 10.1145 / 2558904 . ISSN  0098-3500 .
  23. ^ a b c Vasile, M., Bernelli-Zazzera, F. Optimering af lavtryks- og tyngdekraftsassistentmanøvrer til design af interplanetariske baner. J af Astronaut Sci 51, 13–35 (2003). https://doi.org/10.1007/BF03546313
  24. ^ a b Vasile, M. og Campagnola, S. (2009). Design af tyngdekraftassisterende baner til Europa. JBIS, Journal of the British Interplanetary Society, 62 (1), 15-31. https://strathprints.strath.ac.uk/30864/
  25. ^ IM Ross og M. Karpenko, "A Review of Pseudospectral Optimal Control: From Theory to Flight," Annual Reviews in Control, Vol. 36, s. 182-197, 2012.
  26. ^ a b c Kortlægning af numeriske metoder til baneoptimering; John T. Betts Journal of Guidance, Control and Dynamics 1998; 0731-5090 bind 21 nr. 2 (193-207)
  27. ^ a b c d Anil V. Rao "En oversigt over numeriske metoder til optimal kontrol" Fremskridt inden for astronautiske videnskaber, 2009.
  28. ^ Camila C. Francolin, David A. Benson, William W. Hager, Anil V. Rao. "Estimering af costate i optimal kontrol ved hjælp af integrerede Gaussiske kvadratur ortogonale kollokationsmetoder" Optimal kontrolapplikationer og -metoder, 2014.
  29. ^ a b Ross, IM; Proulx, RJ (september 2019). "Yderligere resultater om hurtig Birkhoff Pseudospektral optimal kontrolprogrammering" . Journal of Guidance, Control og Dynamics . 42 (9): 2086–2092. Bibcode : 2019JGCD ... 42.2086R . doi : 10.2514 / 1.g004297 . ISSN  1533-3884 .
  30. ^ R., Malik, Mujeeb (1984). En spektral kollokationsmetode til Navier-Stokes-ligningerne . National Aeronautics and Space Administration, Langley Research Center. OCLC  11642811 .
  31. ^ "Spectral Methods and Pseudospectral Methods" , Spectral Methods and Their Applications , WORLD SCIENTIFIC, s. 100–187, maj 1998, doi : 10.1142 / 9789812816641_0004 , ISBN 978-981-02-3333-4, hentet 2021-04-23
  32. ^ Gong, Qi. Spektral og Pseudospektral optimal kontrol over vilkårlige net . OCLC  1185648645 .
  33. ^ Lloyd N. Trefethen. "Tilnærmelsesteori og tilnærmelsespraksis", SIAM 2013
  34. ^ a b Kang, Wei; Ross, I. Michael; Gong, Qi (2008), Astolfi, Alessandro; Marconi, Lorenzo (red.), "Pseudospektral optimal kontrol og dens konvergenssætninger" , analyse og design af ikke-lineære kontrolsystemer: Til ære for Alberto Isidori , Berlin, Heidelberg: Springer, s. 109-124, doi : 10.1007 / 978- 3-540-74358-3_8 , ISBN 978-3-540-74358-3, hentet 2021-01-05
  35. ^ Kang, Wei (november 2010). "Konvergenshastighed for Legendre pseudospektral optimal kontrol af feedback lineariserbare systemer" . Journal of Control Theory and Applications . 8 (4): 391-405. doi : 10.1007 / s11768-010-9104-0 . ISSN  1672-6340 . S2CID  122945121 .
  36. ^ Trefethen, Lloyd N. (Lloyd Nicholas) (januar 2019). Tilnærmelsesteori og tilnærmelsespraksis . ISBN 978-1-61197-594-9. OCLC  1119061092 .
  37. ^ DH Hodges og RR Bless, "En svag Hamiltonian Finite Element-metode til optimale kontrolproblemer", Journal of Guidance Control and Dynamics, 1990. https://arc.aiaa.org/doi/10.2514/3.20616
  38. ^ Vasile, M. og Finzi, A., "Direct Lunar Descent Optimization by Finite Elements in Time Approach," Journal of Mechanicsand Control, Vol. 1, nr. 1, 2000. https://pureportal.strath.ac.uk/da/publications/direct-lunar-descent-optimisation-by-finite-elements-in-time-appr
  39. ^ Vasile, M .: Endelige elementer i tiden: en direkte transkriptionsmetode til optimale kontrolproblemer. I: AIAA / AAS Astrodynamics Specialist Conference, Guidance, Navigation, and Control and Co-located Conferences, Toronto, 2-5 August 2010. https://arc.aiaa.org/doi/pdf/10.2514/6.2010-8275
  40. ^ Vasile, M., Bernelli-Zazzera, F., Jehn, R. og Janin, G. "Optimale interplanetariske baner ved hjælp af en kombination af manøvrer med lavt tryk og tyngdekraft," præsenteret som papir IAF-00-A.5.07 kl. den 51. IAF-kongres, Rio de Janeiro, Brasilien, oktober 2000.
  41. ^ Vasile M. Robust optimering af baner, der opfanger farligt NEO, august 2002, konference: AIAA / AAS Astrodynamics Specialist Conference and Exhibit, DOI: 10.2514 / 6.2002-4719.
  42. ^ Ricciardi, Lorenzo A. og Maddock, Christie Alisa og Vasile, Massimiliano (2019) Direkte løsning af multi-objektive optimale kontrolproblemer anvendt på design af rumplanmissionen. Journal of Guidance, Control and Dynamics, 42 (1). s. 30-46. ISSN 1533-3884.
  43. ^ Ricciardi, LA og Vasile, M. (2019). Direkte transkription af optimale kontrolproblemer med begrænsede elementer på Bernstein-basis. Journal of Guidance, Control and Dynamics, 42 (2), 229-243. https://doi.org/10.2514/1.G003753
  44. ^ Vasile M. (2019) Multi-Objective Optimal Control: En direkte tilgang. I: Baù G., Celletti A., Galeș C., Gronchi G. (red.) Satellitdynamik og rummissioner. Springer INdAM Series, bind 34. Springer, Cham. https://doi.org/10.1007/978-3-030-20633-8_6
  45. ^ Ricciardi, L., Maddock, C., & Vasile, M. (2020). Robust baneoptimering af et TSTO-rumplan ved hjælp af usikkerhedsbaserede atmosfæriske modeller. I 23. AIAA International Space Planes and Hypersonic Systems and Technologies Conference [AIAA 2020-2403]. https://doi.org/10.2514/6.2020-2403
  46. ^ David H. Jacobson, David Q. Mayne. "Differentiel dynamisk programmering" Elsevier, 1970.
  47. ^ Ross, IM (2020-06-14). "Forbedringer af DIDO Optimal Control Toolbox". arXiv : 2004.13112 [ math.OC ].
  48. ^ "Innovativ aeropropulsionsteknologi til fremtidige militære aktiver | SBIR.gov" . www.sbir.gov . Hentet 04-04-2017 .
  49. ^ "Analyse og parametrisk vurdering af referencemissioner til hypersonisk forskningskøretøjsdesign ved hjælp af QuickShot | Phoenix Integration" . www.phoenix-int.com . Hentet 04-04-2017 .
  50. ^ "SpaceWorks Enterprises Inc. tildelt fase 2 SBIR fra AFRL til videreudvikling af QuickShot Trajectory Tool" . SpaceWorks . 2015-08-24 . Hentet 04-04-2017 .
  51. ^ Beal, L. (2018). "GEKKO Optimization Suite" . Processer . 6 (8): 106. doi : 10.3390 / pr6080106 .
  52. ^ Gates, N. (2019). "Kombineret bane-, fremdrivnings- og batterimasseoptimering til solregenerativ ubemandet fly med lang udholdenhed i høj højde". AIAA Videnskabs- og teknologiforum (SciTech) . AIAA 2019-1221. doi : 10.2514 / 6.2019-1221 .
  53. ^ Sun, L. (2014). "Optimal baneoprindelse ved hjælp af model forudsigelig kontrol til antenneslebne kabelsystemer" (PDF) . Journal of Guidance, Control og Dynamics . 37 (2): 525-539. Bibcode : 2014JGCD ... 37..525S . CiteSeerX  10.1.1.700.5468 . doi : 10.2514 / 1.60820 .
  54. ^ Sun, L. (2015). "Parameterestimering for bugserede kabelsystemer ved hjælp af Moving Horizon Estimation" (PDF) . IEEE-transaktioner på rumfarts- og elektroniske systemer . 51 (2): 1432–1446. Bibcode : 2015ITAES..51.1432S . CiteSeerX  10.1.1.700.2174 . doi : 10.1109 / TAES.2014.130642 . S2CID  17039399 .
  55. ^ Ricciardi, LA og Vasile, M. MODHOC - Multi Objective Direct Hybrid Optimal Control. 7. internationale konference om astrodynamikværktøjer og -teknikker, Tyskland, 2018. https://strathprints.strath.ac.uk/67085/ .
  56. ^ M. Vasile og L. Ricciardi, "En direkte memetisk tilgang til løsningen af ​​Multi-Objective Optimal Control Problems," 2016 IEEE Symposium Series on Computational Intelligence (SSCI), 2016, s. 1-8, doi: 10.1109 / SSCI .2016.7850103. https://ieeexplore.ieee.org/abstract/document/7850103