Koncentration af foranstaltning - Concentration of measure

I matematik er koncentration af måling (ca. en median ) et princip, der anvendes i måle teori , sandsynlighed og kombinatorik og har konsekvenser for andre områder som Banach rumteori. Uformelt siger det, at "En tilfældig variabel, der på en Lipschitz- måde afhænger af mange uafhængige variabler (men ikke for meget af nogen af ​​dem), er i det væsentlige konstant".

Koncentrationen af ​​målefænomen blev fremsat i de tidlige 1970'ere af Vitali Milman i hans værker om den lokale teori om Banach-rum og udvidede en idé, der går tilbage til Paul Lévy 's arbejde . Det blev videreudviklet i værkerne af Milman og Gromov , Maurey , Pisier , Schechtman , Talagrand , Ledoux og andre.

Den generelle indstilling

Lad være et metrisk rum med et mål på Borel sæt med . Lade ${\ displaystyle (X, d)}$ ${\ displaystyle \ mu}$${\ displaystyle \ mu (X) = 1}$

${\ displaystyle \ alpha (\ epsilon) = \ sup \ left \ {\ mu (X \ setminus A _ {\ epsilon}) \, | A {\ mbox {er et Borel-sæt og}} \, \ mu (A) \ geq 1/2 \ højre \},}$

hvor

${\ displaystyle A _ {\ epsilon} = \ left \ {x \, | \, d (x, A) <\ epsilon \ right \}}$

er - udvidelse (også kaldet- opfedning i sammenhæng med Hausdorff-afstanden ) på et sæt . ${\ displaystyle \ epsilon}$${\ displaystyle \ epsilon}$${\ displaystyle A}$

Funktionen kaldes koncentrationshastigheden af rummet . Følgende ækvivalente definition har mange anvendelser: ${\ displaystyle \ alpha (\ cdot)}$${\ displaystyle X}$

${\ displaystyle \ alpha (\ epsilon) = \ sup \ left \ {\ mu (\ {F \ geq \ mathop {M} + \ epsilon \}) \ right \},}$

hvor supremum er over alle 1-Lipschitz-funktioner , og medianen (eller Levy-middelværdien) er defineret af ulighederne ${\ displaystyle F: X \ til \ mathbb {R}}$${\ displaystyle M = \ mathop {\ mathrm {Med}} F}$

${\ displaystyle \ mu \ {F \ geq M \} \ geq 1/2, \, \ mu \ {F \ leq M \} \ geq 1/2.}$

Uformelt udviser rummet et koncentrationsfænomen, hvis det falder meget hurtigt, når det vokser. Mere formelt kaldes en familie af metriske målerum en Lévy-familie, hvis de tilsvarende koncentrationshastigheder opfylder ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle \ alpha (\ epsilon)}$${\ displaystyle \ epsilon}$${\ displaystyle (X_ {n}, d_ {n}, \ mu _ {n})}$${\ displaystyle \ alpha _ {n}}$

${\ displaystyle \ forall \ epsilon> 0 \, \, \ alpha _ {n} (\ epsilon) \ til 0 {\ rm {\; som \;}} n \ til \ infty,}$

og en normal Lévy-familie, hvis

${\ displaystyle \ forall \ epsilon> 0 \, \, \ alpha _ {n} (\ epsilon) \ leq C \ exp (-cn \ epsilon ^ {2})}$

for nogle konstanter . For eksempler se nedenfor. ${\ displaystyle c, C> 0}$

Koncentration på sfæren

Det første eksempel går tilbage til Paul Lévy . I henhold til den sfæriske isoperimetriske ulighed blandt alle delmængder af sfæren med foreskrevet sfærisk mål er det sfæriske hætte ${\ displaystyle A}$${\ displaystyle S ^ {n}}$ ${\ displaystyle \ sigma _ {n} (A)}$

${\ displaystyle \ left \ {x \ i S ^ {n} | \ mathrm {dist} (x, x_ {0}) \ leq R \ right \},}$

for egnet , har den mindste udvidelse (til enhver ). ${\ displaystyle R}$${\ displaystyle \ epsilon}$${\ displaystyle A _ {\ epsilon}}$${\ displaystyle \ epsilon> 0}$

Ved at anvende dette på sæt af mål (hvor ) kan man udlede følgende koncentrationsulighed : ${\ displaystyle \ sigma _ {n} (A) = 1/2}$${\ displaystyle \ sigma _ {n} (S ^ {n}) = 1}$

${\ displaystyle \ sigma _ {n} (A _ {\ epsilon}) \ geq 1-C \ exp (-cn \ epsilon ^ {2})}$ ,

hvor er universelle konstanter. Opfyld derfor definitionen ovenfor af en normal Lévy-familie. ${\ displaystyle C, c}$${\ displaystyle (S ^ {n}) _ {n}}$

Vitali Milman anvendte denne kendsgerning på flere problemer i den lokale teori om Banach-rum, især for at give et nyt bevis på Dvoretzkys sætning .

Koncentration af mål i fysik

Al klassisk statistisk fysik er baseret på koncentrationen af ​​målefænomener: Den grundlæggende idé ('sætning') om ensemblers ækvivalens i termodynamisk grænse ( Gibbs , 1902 og Einstein , 1902-1904) er nøjagtigt den tynde skalkoncentrationssætning. For hver mekanisk system overveje faserum udstyret med den invariante Liouville foranstaltning (faserumfanget) og energibesparelse E . Det mikrokanoniske ensemble er bare en uforanderlig fordeling over overfladen af ​​konstant energi E opnået af Gibbs som grænsen for fordelinger i faserum med konstant tæthed i tynde lag mellem overfladerne af tilstande med energi E og med energi E + ΔE . Den kanoniske ensemble er givet ved sandsynlighedstætheden i faserummet (med hensyn til fasen volumen) hvor mængder F = const og T = const defineres af betingelserne for sandsynlighed normalisering og givet forventning om energi E . ${\ displaystyle \ rho = e ^ {\ frac {FE} {kT}},}$

Når antallet af partikler er stort, har forskellen mellem gennemsnitsværdierne for de makroskopiske variabler for de kanoniske og mikrokanoniske ensembler tendens til at være nul, og deres udsving evalueres eksplicit. Disse resultater er bevist nøje under visse regelmæssighedsforhold på energifunktionen E af Khinchin (1943). Det mest enkle tilfælde, når E er en sum af firkanter, var velkendt i detaljer før Khinchin og Lévy og endda før Gibbs og Einstein. Dette er Maxwell – Boltzmann-fordelingen af partikelenergien i ideel gas.

Det mikrokanoniske ensemble er meget naturligt set fra det naive fysiske synspunkt: dette er bare en naturlig ækvivalent fordeling på den isoenergiske overflade. Det kanoniske ensemble er meget nyttigt på grund af en vigtig egenskab: hvis et system består af to ikke-interagerende delsystemer, dvs. hvis energien E er summen , hvor er delsystemernes tilstande, så er ligevægtstilstande for delsystemer uafhængige, ligevægtsfordelingen af ​​systemet er et produkt af ligevægtsfordelinger af delsystemerne med samme T. Ækvivalensen af ​​disse ensembler er hjørnestenen i de mekaniske fundamenter for termodynamikken. ${\ displaystyle E = E_ {1} (X_ {1}) + E_ {2} (X_ {2})}$${\ displaystyle X_ {1}, X_ {2}}$

Andre eksempler

• Borell – TIS ulighed
• Gaussisk isoperimetrisk ulighed
• McDiarmids ulighed
• Talagrands koncentrationsulighed

Fodnoter

Yderligere læsning

• Ledoux, Michel (2001). Koncentrationen af ​​foranstaltningens fænomen . American Mathematical Society. ISBN   0-8218-2864-9 .

• AA Giannopoulos og V. Milman, Koncentrationsegenskab på sandsynlighedsrum , Fremskridt inden for matematik 156 (2000), 77-106.