Lipschitz kontinuitet - Lipschitz continuity

For en Lipschitz kontinuerlig funktion findes der en dobbeltkegle (hvid), hvis oprindelse kan flyttes langs grafen, så hele grafen altid forbliver uden for dobbeltkeglen

I matematisk analyse er Lipschitz kontinuitet , opkaldt efter den tyske matematiker Rudolf Lipschitz , en stærk form for ensartet kontinuitet for funktioner . Intuitivt er en Lipschitz kontinuerlig funktion begrænset i, hvor hurtigt den kan ændre sig: Der findes et reelt tal, så for hvert par punkter på grafen for denne funktion er den absolutte værdi af hældningen af ​​linjen, der forbinder dem, ikke større end dette reelle tal; den mindste sådan bund kaldes Lipschitz -konstanten for funktionen (eller modulet for ensartet kontinuitet). For eksempel er hver funktion, der har afgrænset første derivater, Lipschitz -kontinuerlig.

I teorien om differentialligninger er Lipschitz -kontinuitet den centrale betingelse for Picard – Lindelöf -sætningen, der garanterer eksistensen og unikheden af ​​løsningen på et startværdiproblem . En særlig type Lipschitz-kontinuitet, kaldet sammentrækning , bruges i Banach-fastpunktssætningen .

Vi har følgende kæde af strenge inklusioner for funktioner over et lukket og afgrænset ikke-trivielt interval af den reelle linje

Kontinuerligt differentierbar ⊂ Lipschitz kontinuerlig ⊂ α - Hölder kontinuerlig

hvor 0 < α ≤ 1. Vi har også

Lipschitz kontinuerlig ⊂ absolut kontinuerlig .

Definitioner

I betragtning af to metriske mellemrum ( X , d _X ) og ( Y , d _Y ), hvor d _X betegner metriket på mængden X og d _Y er metriket på sæt Y , kaldes en funktion f  : X → Y for Lipschitz kontinuerlig hvis der eksisterer en reel konstant K ≥ 0 således, at for alle x ₁ og x ₂ i X ,

${\ displaystyle d_ {Y} (f (x_ {1}), f (x_ {2})) \ leq Kd_ {X} (x_ {1}, x_ {2}).}$

Enhver sådan K omtales som en Lipschitz-konstant for funktionen f og f kan også blive omtalt som K-Lipschitz . Den mindste konstant kaldes undertiden den (bedste) Lipschitz -konstant ; i de fleste tilfælde er sidstnævnte opfattelse imidlertid mindre relevant. Hvis K = 1 kaldes funktionen et kort kort , og hvis 0 ≤ K <1 og f kortlægger et metrisk rum til sig selv, kaldes funktionen en sammentrækning .

Især kaldes en reelt værdsat funktion f  : R → R Lipschitz-kontinuerlig, hvis der eksisterer en positiv reel konstant K, således at for alle reelle x ₁ og x ₂ ,

${\ displaystyle | f (x_ {1})-f (x_ {2}) | \ leq K | x_ {1} -x_ {2} |.}$

I dette tilfælde er Y mængden af reelle tal R med standardmetrik d _Y ( y ₁ , y ₂ ) = | y ₁ - y ₂ |, og X er en delmængde af R .

Generelt er uligheden (trivielt) opfyldt, hvis x ₁ = x ₂ . Ellers kan man ækvivalent definere en funktion til at være Lipschitz -kontinuerlig, hvis og kun hvis der eksisterer en konstant K ≥ 0, således at for alle x ₁ ≠ x ₂ ,

${\ displaystyle {\ frac {d_ {Y} (f (x_ {1}), f (x_ {2}))} {d_ {X} (x_ {1}, x_ {2})}}} \ leq K .}$

For reelle funktioner af flere reelle variable, dette gælder hvis og kun hvis den absolutte værdi af skråningerne af alle sekant er afgrænset af K . Sættet af linjer med hældning K, der passerer gennem et punkt på funktionens graf, danner en cirkelformet kegle, og en funktion er Lipschitz, hvis og kun hvis funktionens graf overalt ligger helt uden for denne kegle (se figur).

En funktion kaldes lokalt Lipschitz -kontinuerlig, hvis der for hver x i X findes et kvarter U på x, så f begrænset til U er Lipschitz -kontinuerlig. Tilsvarende, hvis X er en lokalt kompakt metrisk rum, så f er lokalt Lipschitz hvis og kun hvis det er Lipschitz konstant på hver kompakt delmængde af X . I rum, der ikke er lokalt kompakte, er dette en nødvendig, men ikke en tilstrækkelig betingelse.

Mere generelt siges en funktion f defineret på X at være Hölder -kontinuerlig eller at tilfredsstille en Hölder -tilstand af orden α> 0 på X, hvis der eksisterer en konstant M ≥ 0, således at

${\ displaystyle d_ {Y} (f (x), f (y)) \ leq Md_ {X} (x, y)^{\ alpha}}$

for alle x og y i X . Nogle gange kaldes en Hölder ordensbetingelse α også for en ensartet Lipschitz -ordenstilstand α> 0.

Hvis der findes en K ≥ 1 med

${\ displaystyle {\ frac {1} {K}} d_ {X} (x_ {1}, x_ {2}) \ leq d_ {Y} (f (x_ {1}), f (x_ {2}) ) \ leq Kd_ {X} (x_ {1}, x_ {2})}$

så kaldes f bilipschitz (også skrevet bi-Lipschitz ). En bilipschitz -kortlægning er injektiv og er i virkeligheden en homeomorfisme på dens image. En bilipschitz -funktion er det samme som en injektiv Lipschitz -funktion, hvis inverse funktion også er Lipschitz.

Eksempler

Lipschitz kontinuerlige funktioner

• Funktionen defineret for alle reelle tal er Lipschitz kontinuerlig med Lipschitz -konstanten K  = 1, fordi den er overalt differentierbar, og den absolutte værdi af derivatet er afgrænset ovenfor af 1. Se den første egenskab, der er anført nedenfor under " Egenskaber ".${\ displaystyle f (x) = {\ sqrt {x^{2} +5}}}$
• På samme måde er sinusfunktionen Lipschitz -kontinuerlig, fordi dens derivat, cosinusfunktionen, er afgrænset ovenfor af 1 i absolut værdi.
• Funktionen f ( x ) = | x | defineret på reals er Lipschitz kontinuerlig med Lipschitz konstant konstant 1, ved den omvendte trekant ulighed . Dette er et eksempel på en Lipschitz kontinuerlig funktion, der ikke er differentierbar. Mere generelt er en norm på et vektorrum Lipschitz kontinuerlig i forhold til den tilhørende metriske, med Lipschitz -konstanten lig med 1.

Lipschitz kontinuerlige funktioner, der ikke er overalt differentierbare

• Funktionen ${\ displaystyle f (x) = | x |}$

Lipschitz kontinuerlige funktioner, der er overalt differentierbare, men ikke kontinuerligt differentierbare

• Funktionen , hvis derivat eksisterer, men har en væsentlig diskontinuitet ved .${\ displaystyle f (x) \; = \; {\ begin {cases} x^{2} \ sin (1/x) & {\ text {if}} x \ neq 0 \\ 0 & {\ text {if }} x = 0 \ end {cases}}}$${\ displaystyle x = 0}$

Kontinuerlige funktioner, der ikke (globalt) er Lipschitz kontinuerlige

• Funktionen f ( x ) =  √ x defineret på [0, 1] er ikke Lipschitz -kontinuerlig. Denne funktion bliver uendeligt stejl, når x nærmer sig 0, da dens derivat bliver uendeligt. Den er imidlertid ensartet kontinuerlig, og både Hölder -kontinuert i klasse C ^{0, α} for α ≤ 1/2 og også absolut kontinuerlig på [0, 1] (som begge indebærer førstnævnte).

Differentierbare funktioner, der ikke (lokalt) er Lipschitz -kontinuerlige

• Funktionen f defineret af f (0) = 0 og f ( x ) =  x ^3/2 sin (1/ x ) for 0 < x ≤1 giver et eksempel på en funktion, der er differentierbar på et kompakt sæt, men ikke lokalt Lipschitz fordi dens afledte funktion ikke er begrænset. Se også den første ejendom herunder.

Analytiske funktioner, der ikke (globalt) er Lipschitz -kontinuerlige

• Den eksponentielle funktion bliver vilkårligt stejl som x → ∞, og er derfor ikke globalt Lipschitz kontinuerlig, på trods af at den er en analytisk funktion .
• Funktionen f ( x ) =  x ² med domæne alle reelle tal er ikke Lipschitz -kontinuerlig. Denne funktion bliver vilkårligt stejl, når x nærmer sig uendeligt. Det er dog lokalt Lipschitz kontinuerligt.

Ejendomme

• En overalt differentierbar funktion g  :  R  →  R er Lipschitz kontinuerlig (med K  = sup | g ′ ( x ) |) hvis og kun hvis den har afgrænset første derivat ; en retning følger af middelværdisætningen . Især enhver kontinuerligt differentierbar funktion er lokalt Lipschitz, da kontinuerlige funktioner er lokalt afgrænsede, så dens gradient også er lokalt afgrænset.
• En Lipschitz -funktion g  :  R  →  R er absolut kontinuerlig og kan derfor differentieres næsten overalt , det vil sige differentieres på hvert punkt uden for et sæt Lebesgue -mål nul. Dens derivat er i det væsentlige afgrænset i størrelse af Lipschitz -konstanten, og for a  < b er forskellen g ( b ) -  g ( a ) lig integralet af derivatet g ′ på intervallet [ a ,  b ].
  • Omvendt, hvis f  : I  → R er absolut kontinuerlig og dermed differentieret næsten overalt og opfylder | f ′ ( x ) | ≤ K for næsten alle x i jeg , så f er Lipschitz kontinuert med Lipschitz konstant på de fleste K .
  • Mere generelt udvider Rademachers sætning differentieringsresultatet til Lipschitz -kortlægninger mellem euklidiske rum: et Lipschitz -kort f  :  U  →  R ^m , hvor U er et åbent sæt i R ⁿ , er næsten overalt differentierbart . Desuden, hvis K er den bedste Lipschitz -konstant på f , så når den totale derivat Df eksisterer.${\ displaystyle \ | Df (x) \ | \ leq K}$
• For et differentieret Lipschitz -kort f  :  U  →  R ^m holder uligheden for den bedste Lipschitz -konstant på f, og det viser sig at være en lighed, hvis domænet U er konveks.${\ displaystyle \ | Df \ | _ {\ infty, U} \ leq K}$
• Antag, at { f _n } er en sekvens af Lipschitz kontinuerlige afbildninger mellem to metriske rum, og at alle f _n har Lipschitz konstant afgrænset af nogle K . Hvis f _n konvergerer til en kortlægning f ensartet , så f er også Lipschitz, med Lipschitz konstant afgrænset af samme K . Dette indebærer især, at sættet af reelt værdsatte funktioner på et kompakt metrisk rum med en bestemt grænse for Lipschitz-konstanten er en lukket og konveks delmængde af Banach-rummet for kontinuerlige funktioner. Dette resultat gælder dog ikke for sekvenser, hvor funktionerne dog kan have ubegrænsede Lipschitz -konstanter. Faktisk er rummet for alle Lipschitz -funktioner på et kompakt metrisk rum en subalgebra af Banach -rummet med kontinuerlige funktioner og dermed tæt i det, en elementær konsekvens af Stone -Weierstrass -sætningen (eller som en konsekvens af Weierstrass -tilnærmelsessætning , fordi hvert polynom er lokalt Lipschitz -kontinuerligt).
• Hvert Lipschitz -kontinuerligt kort er ensartet kontinuerligt og dermed fortiori kontinuerligt . Mere generelt danner et sæt funktioner med afgrænset Lipschitz -konstant et ligestillet sæt. Den Arzelà-Ascoli teoremet indebærer, at hvis { f _n } er en ensartet afgrænset sekvens af funktioner med afgrænset Lipschitz konstant, så det har en konvergent undersekvens. Ved resultatet af det foregående afsnit er grænsefunktionen også Lipschitz, med den samme grænse for Lipschitz -konstanten. Især sættet med alle reelt værdsatte Lipschitz-funktioner på et kompakt metrisk rum X med Lipschitz-konstant ≤  K   er en lokalt kompakt konveks delmængde af Banach-rummet C ( X ).
• For en familie af Lipschitz -kontinuerlige funktioner f _α med fælles konstant er funktionen (og ) også Lipschitz -kontinuerlig med den samme Lipschitz -konstant, forudsat at den antager en endelig værdi i det mindste på et tidspunkt.${\ displaystyle \ sup _ {\ alpha} f _ {\ alpha}}$${\ displaystyle \ inf _ {\ alpha} f _ {\ alpha}}$
• Hvis U er en delmængde af det metriske rum M og f  : U  → R er en Lipschitz -kontinuerlig funktion, eksisterer der altid Lipschitz -kontinuerlige kort M  → R, der strækker sig f og har den samme Lipschitz -konstant som f (se også Kirszbraun -sætning ). En udvidelse leveres af

${\ displaystyle {\ tilde {f}} (x): = \ inf _ {u \ i U} \ {f (u)+k \, d (x, u) \},}$

hvor k er en Lipschitz konstant for f på U .

Lipschitz manifolds

Lad U og V være to åbne sæt i R ⁿ . En funktion T  : U → V kaldes bi-Lipschitz, hvis det er en Lipschitz-homomorfisme på sit billede, og dens inverse er også Lipschitz.

Ved hjælp af bi-Lipschitz-kortlægninger er det muligt at definere en Lipschitz-struktur på en topologisk manifold , da der er en pseudogruppestruktur på bi-Lipschitz-homomorfier. Denne struktur er mellemliggende for en stykkevis-lineær manifold og en glat manifold . Faktisk giver en PL -struktur anledning til en unik Lipschitz -struktur; det kan i den forstand 'næsten' glattes.

Ensidig Lipschitz

Lad F ( x ) være en øvre halvkontinuerlig funktion af x , og at F ( x ) er et lukket, konveks sæt for alle x . Så er F ensidig Lipschitz if

${\ displaystyle (x_ {1} -x_ {2})^{T} (F (x_ {1})-F (x_ {2})) \ leq C \ Vert x_ {1} -x_ {2} \ Vert ^{2}}$

for nogle C og for alle x ₁ og x ₂ .

Det er muligt, at funktionen F kunne have en meget stor Lipschitz-konstant, men en moderat størrelse eller endda negativ, ensidig Lipschitz-konstant. For eksempel funktionen

${\ displaystyle {\ begin {cases} F: \ mathbf {R} ^{2} \ to \ mathbf {R}, \\ F (x, y) =-50 (y- \ cos (x)) \ end {cases}}}$

har Lipschitz-konstant K = 50 og en ensidig Lipschitz-konstant C = 0. Et eksempel, der er ensidig Lipschitz, men ikke Lipschitz-kontinuerligt, er F ( x ) = e ^{- x} , med C = 0.

Se også

• Dini kontinuitet
• Kontinuitetsmodul
• Kvasi-isometri

Referencer