Hölder tilstand - Hölder condition

I matematik opfylder en reel eller kompleks -værdsat funktion f på d -dimensionale euklidiske rum en Hölder -tilstand , eller er Hölder kontinuerlig , når der er ikke -negative reelle konstanter C , α> 0, således at

${\ displaystyle | f (x) -f (y) | \ leq C \ | xy \ |^{\ alpha}}$

for alle x og y i domænet f . Mere generelt kan betingelsen formuleres for funktioner mellem to metriske mellemrum . Tallet α kaldes eksponenten for Hölder -tilstanden. En funktion på et interval, der opfylder betingelsen med α> 1, er konstant . Hvis α = 1, opfylder funktionen en Lipschitz -tilstand . For enhver α> 0 betyder betingelsen, at funktionen er ensartet kontinuerlig . Tilstanden er opkaldt efter Otto Hölder .

Vi har følgende kæde af strenge inklusioner for funktioner over et lukket og afgrænset ikke-trivielt interval af den reelle linje

Kontinuerligt differentierbar ⊂ Lipschitz kontinuerlig ⊂ α-Hölder kontinuerlig ⊂ ensartet kontinuerlig ⊂ kontinuerlig

hvor 0 <α ≤ 1.

Hölder -rum

Hölder -rum bestående af funktioner, der opfylder en Hölder -tilstand, er grundlæggende inden for funktionsanalyseområder, der er relevante for løsning af partielle differentialligninger og i dynamiske systemer . Hölder -rummet C ^{k , α} (Ω), hvor Ω er en åben delmængde af et euklidisk rum og k ≥ 0 et helt tal, består af disse funktioner på Ω, der har kontinuerlige derivater op gennem rækkefølge k og sådan, at de k th delderivater er Hölder kontinuerlig med eksponent α, hvor 0 <α ≤ 1. Dette er et lokalt konveks topologisk vektorrum . Hvis Hölder -koefficienten

${\ displaystyle | f | _ {C^{0, \ alpha}} = \ sup _ {x \ neq y \ in \ Omega} {\ frac {| f (x) -f (y) |} {\ | xy \ |^{\ alpha}}},}$

er endelig, så siges funktionen f at være (ensartet) Hölder kontinuerlig med eksponent α i Ω. I dette tilfælde fungerer Hölder -koefficienten som en seminorm . Hvis Hölder -koefficienten blot er begrænset til kompakte undersæt af Ω, siges funktionen f at være lokalt Hölder -kontinuerlig med eksponent α i Ω.

Hvis funktionen f og dens derivater op til rækkefølge k er begrænset til lukning af Ω, kan Hölder -rummet tildeles normen ${\ displaystyle C^{k, \ alpha} ({\ overline {\ Omega}})}$

${\ displaystyle \ | f \ | _ {C^{k, \ alpha}} = \ | f \ | _ {C^{k}}+\ max _ {| \ beta | = k} \ venstre | D^ {\ beta} f \ right | _ {C^{0, \ alpha}}}$

hvor β spænder over multi-indekser og

${\ displaystyle \ | f \ | _ {C^{k}} = \ max _ {| \ beta | \ leq k} \ sup _ {x \ in \ Omega} \ venstre | D^{\ beta} f ( x) \ højre |.}$

Disse seminormer og normer betegnes ofte enkelt og eller også og for at understrege afhængigheden af f . Hvis Ω er åben og afgrænset, er der et Banach -rum i forhold til normen . ${\ displaystyle | f | _ {0, \ alpha}}$${\ displaystyle \ | f \ | _ {k, \ alpha}}$${\ displaystyle | f | _ {0, \ alpha, \ Omega} \;}$${\ displaystyle \ | f \ | _ {k, \ alpha, \ Omega}}$${\ displaystyle C^{k, \ alpha} ({\ overline {\ Omega}})}$${\ displaystyle \ | \ cdot \ | _ {C^{k, \ alpha}}}$

Kompakt indlejring af Hölder -rum

Lad Ω være en afgrænset delmængde af et eller andet euklidisk rum (eller mere generelt et totalt afgrænset metrisk rum) og lad 0 <α <β ≤ 1 to Hölder -eksponenter. Derefter er der et indlysende inklusionskort over de tilsvarende Hölder -rum:

${\ displaystyle C^{0, \ beta} (\ Omega) \ til C^{0, \ alpha} (\ Omega),}$

som er kontinuerlig, da vi ved definition af Hölder -normerne har:

${\ displaystyle \ forall f \ i C^{0, \ beta} (\ Omega): \ qquad | f | _ {0, \ alpha, \ Omega} \ leq \ mathrm {diam} (\ Omega)^{\ beta -\ alpha} | f | _ {0, \ beta, \ Omega}.}$

Desuden er denne inklusion kompakt, hvilket betyder, at afgrænsede sæt i ‖ · ‖ _{0, β} -normen er relativt kompakte i ‖ · ‖ _{0, α} -normen. Dette er en direkte konsekvens af Ascoli-Arzelà-sætningen . Lad ( u _n ) være en afgrænset sekvens i C0 ^{, β} (Ω). Takket være Ascoli-Arzelà-sætningen kan vi uden tab af generalitet antage, at u _n → u ensartet, og vi kan også antage u = 0. Så

${\ displaystyle | u_ {n} -u | _ {0, \ alpha} = | u_ {n} | _ {0, \ alpha} \ til 0,}$

fordi

${\ displaystyle {\ frac {| u_ {n} (x) -u_ {n} (y) |} {| xy |^{\ alpha}}} = \ venstre ({\ frac {| u_ {n} ( x) -u_ {n} (y) |} {| xy |^{\ beta}}} \ højre)^{\ frac {\ alpha} {\ beta}} \ venstre | u_ {n} (x)- u_ {n} (y) \ right |^{1-{\ frac {\ alpha} {\ beta}}} \ leq | u_ {n} | _ {0, \ beta}^{\ frac {\ alpha} {\ beta}} \ venstre (2 \ | u_ {n} \ | _ {\ infty} \ højre)^{1-{\ frac {\ alpha} {\ beta}}} = o (1).}$

Eksempler

• Hvis 0 <α ≤ β ≤ 1, så er alle Hölder -kontinuerlige funktioner på et afgrænset sæt Ω også Hölder -kontinuerlige. Dette omfatter også β = 1 og dermed alle Lipschitz kontinuerte funktioner på et afgrænset sæt er også C ^{0, α} Hölder kontinuerlig.${\ displaystyle C^{0, \ beta} ({\ overline {\ Omega}})}$${\ displaystyle C^{0, \ alpha} ({\ overline {\ Omega}})}$
• Funktionen f ( x ) = x ^β (med β ≤ 1) defineret på [0, 1] fungerer som et prototypisk eksempel på en funktion, der er C ^{0, α} Hölder kontinuerlig for 0 <α ≤ β, men ikke for α> β. Yderligere, hvis vi defineret f analogt på , ville det være C ^{0, α} Hölder kontinuerlig kun for α = β.${\ displaystyle [0, \ infty)}$
• For α> 1 er enhver α – Hölder kontinuerlig funktion på [0, 1] (eller et hvilket som helst interval) en konstant.
• Der er eksempler på ensartet kontinuerlige funktioner, der ikke er α – Hölder kontinuerlige for nogen α. For eksempel er funktionen defineret på [0, 1/2] ved f (0) = 0 og ved f ( x ) = 1/log ( x ) ellers kontinuerlig og derfor ensartet kontinuerlig af Heine-Cantor-sætningen . Det opfylder imidlertid ikke en Hölder -betingelse for nogen ordre.
• Den Weierstrass funktion defineret ved:

${\ displaystyle f (x) = \ sum _ {n = 0}^{\ infty} a^{n} \ cos \ left (b^{n} \ pi x \ right),}$

hvor er et helt tal, og er α-Hölder kontinuerligt med ${\ displaystyle 0 <a <1, b}$${\ displaystyle b \ geq 2}$${\ displaystyle ab> 1+{\ tfrac {3 \ pi} {2}},}$

${\ displaystyle \ alpha =-{\ frac {\ log (a)} {\ log (b)}}.}$

• Den Cantor-funktionen er Hölder kontinuerlig for enhver eksponent og for ingen større en. I det tidligere tilfælde holder definitionens ulighed med konstanten C  : = 2.${\ displaystyle \ alpha \ leq {\ tfrac {\ log 2} {\ log 3}},}$
• Peanokurver fra [0, 1] ind på firkanten [0, 1] ² kan konstrueres til at være 1/2 – Hölder kontinuerlige. Det kan bevises, at når billedet af en α – Hölder kontinuerlig funktion fra enhedsintervallet til firkanten ikke kan fylde firkanten.${\ displaystyle \ alpha> {\ tfrac {1} {2}}}$
• Prøveveje til brunisk bevægelse er næsten sikkert overalt lokalt α-Hölder for enhver${\ displaystyle \ alpha <{\ tfrac {1} {2}}.}$
• Funktioner, der lokalt kan integreres, og hvis integraler tilfredsstiller en passende vækstbetingelse, er også Hölder -kontinuerlige. For eksempel hvis vi lader

${\ displaystyle u_ {x, r} = {\ frac {1} {| B_ {r} |}} \ int _ {B_ {r} (x)} u (y) dy}$

og du tilfredsstiller

${\ displaystyle \ int _ {B_ {r} (x)} \ venstre | u (y) -u_ {x, r} \ højre |^{2} dy \ leq Cr^{n+2 \ alpha},}$

så er u Hölder kontinuerlig med eksponent α.

• Funktioner, hvis svingning henfalder med en fast hastighed i forhold til afstand er Hölder kontinuerlig med en eksponent, der bestemmes af forfaldshastigheden. For eksempel hvis

${\ displaystyle w (u, x_ {0}, r) = \ sup _ {B_ {r} (x_ {0})} u- \ inf _ {B_ {r} (x_ {0})} u}$

for nogle funktioner opfylder u ( x )

${\ displaystyle w \ left (u, x_ {0}, {\ tfrac {r} {2}} \ right) \ leq \ lambda w \ left (u, x_ {0}, r \ right)}$

for en fast λ med 0 <λ <1 og alle tilstrækkeligt små værdier af r , så er u Hölder kontinuerlig.

• Funktioner i Sobolev -rummet kan integreres i det relevante Hölder -rum via Morreys ulighed, hvis den rumlige dimension er mindre end eksponenten for Sobolev -rummet. For at være præcis, hvis der så er en konstant C , afhængigt af p og n , således at:${\ displaystyle n <p \ leq \ infty}$

${\ displaystyle \ forall u \ i C ^{1} (\ mathbf {R} ^{n}) \ cap L ^{p} (\ mathbf {R} ^{n}): \ qquad \ | u \ | _ {C ^{0, \ gamma} (\ mathbf {R} ^{n})} \ leq C \ | u \ | _ {W ^{1, p} (\ mathbf {R} ^{n}) },}$

hvor Således hvis u ∈ W ^{1, p} ( R ⁿ ), så er u i virkeligheden Hölder kontinuert for eksponent γ, efter muligvis at være blevet defineret på et sæt mål 0.${\ displaystyle \ gamma = 1-{\ tfrac {n} {p}}.}$

Ejendomme

• En lukket additiv undergruppe af et uendeligt dimensionelt Hilbert -rum H , forbundet med α – Hölder kontinuerlige buer med α> 1/2, er et lineært underrum. Der er lukkede additive undergrupper af H , ikke lineære underrum, forbundet med 1/2 – Hölder kontinuerlige buer. Et eksempel er den additive undergruppe L ² ( R , Z ) i Hilbert -rummet L ² ( R , R ).
• Enhver α – Hölder kontinuerlig funktion f på et metrisk mellemrum X indrømmer en Lipschitz -tilnærmelse ved hjælp af en sekvens af funktioner ( f _k ), således at f _k er k -Lipschitz og

${\ displaystyle \ | f-f_ {k} \ | _ {\ infty, X} = O \ venstre (k^{-{\ frac {\ alpha} {1- \ alpha}}}} \ højre).}$

Omvendt konvergerer enhver sådan sekvens ( f _k ) af Lipschitz -funktioner til en α – Hölder kontinuerlig ensartet grænse f .

• Enhver α – Hölder -funktion f på en delmængde X af et normeret rum E indrømmer en ensartet kontinuerlig forlængelse af hele rummet, som er Hölder -kontinuert med den samme konstante C og den samme eksponent α. Den største sådan udvidelse er:

${\ displaystyle f^{*} (x): = \ inf _ {y \ i X} \ venstre \ {f (y)+C | xy |^{\ alpha} \ right \}.}$

• Billedet af enhver under en α – Hölder -funktion har højst Hausdorff -dimension , hvor er Hausdorff -dimensionen af .${\ displaystyle U \ delsæt \ mathbb {R} ^{n}}$${\ displaystyle {\ tfrac {\ dim _ {H} (U)} {\ alpha}}}$${\ displaystyle \ dim _ {H} (U)}$${\ displaystyle U}$
• Rummet kan ikke adskilles.${\ displaystyle C^{0, \ alpha} (\ Omega), 0 <\ alpha \ leq 1}$
• Indlejringen er ikke tæt.${\ displaystyle C^{0, \ beta} (\ Omega) \ delsæt C^{0, \ alpha} (\ Omega), 0 <\ alpha <\ beta \ leq 1}$

Noter

Referencer

• Lawrence C. Evans (1998). Partielle differentialligninger . American Mathematical Society, Providence. ISBN 0-8218-0772-2.
• Gilbarg, D .; Trudinger, Neil (1983). Elliptiske partielle differentialligninger af anden orden . New York: Springer. ISBN 3-540-41160-7..
• Han, Qing; Lin, Fanghua (1997). Elliptiske partielle differentialligninger . New York: Courant Institute of Mathematical Sciences . ISBN 0-9658703-0-8. OCLC  38168365 . MR 1669352