Kompakt plads - Compact space

I henhold til kompakthedskriterierne for det euklidiske rum som angivet i Heine -Borel -sætningen er intervallet A = (−∞, −2] ikke kompakt, fordi det ikke er afgrænset. Intervallet C = (2, 4) er ikke kompakt, fordi det er ikke lukket. Intervallet B = [0, 1] er kompakt, fordi det er både lukket og afgrænset.

I matematik , specielt generel topologi , kompakthed er en egenskab, generaliserer ideen om en delmængde af euklidisk rum bliver lukket (indeholdende alle dens grænseværdier point ) og afgrænset (med alle dets punkter ligger inden nogle faste afstand af hinanden). Eksempler på kompakte rum inkluderer et lukket reelt interval , en forening af et begrænset antal lukkede intervaller, et rektangel eller et begrænset sæt punkter. Denne forestilling er defineret for mere generelle topologiske rum på forskellige måder, som normalt er ækvivalente i euklidisk rum, men kan være ækvivalente i andre rum.

En sådan generalisering er, at et topologisk rum er sekventielt kompakt, hvis hver uendelig sekvens af punkter, der udtages fra rummet, har en uendelig undersekvens, der konvergerer til et eller andet sted i rummet. Den Bolzano-Weierstrass sætning , at en delmængde af euklidisk rum er kompakt i denne sekventielle mening, hvis og kun hvis den er lukket og afgrænset. Således, hvis man vælger et uendeligt antal punkter i det lukkede enhedsinterval [0, 1] , vil nogle af disse punkter komme vilkårligt tæt på et reelt tal i dette rum. For eksempel akkumuleres nogle af tallene i sekvensen 1/2, 4/5, 1/3, 5/6, 1/4, 6/7,… til 0 (mens andre akkumuleres til 1). Det samme sæt punkter ville ikke akkumuleres til nogen steder i det åbne enhedsinterval (0, 1) , så det åbne enhedsinterval er ikke kompakt. Selvom delmængder (delrum) af det euklidiske rum kan være kompakte, er hele rummet i sig selv ikke kompakt, da det ikke er afgrænset. For eksempel, i betragtning af at hele det reelle talelinje, sekvensen af ​​punkterne 0, 1, 2, 3, ... , ikke har nogen undersekvens, der konvergerer til et reelt tal. ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^{1}}$

Kompaktitet blev formelt indført af Maurice Fréchet i 1906 for at generalisere Bolzano -Weierstrass -sætningen fra rum med geometriske punkter til funktionsrum . Arzelà - Ascoli sætning og Peano eksistens sætning eksemplificerer anvendelser af denne forestilling om kompakthed til klassisk analyse. Efter den første introduktion blev forskellige ækvivalente forestillinger om kompakthed, herunder sekventiel kompakthed og grænsepunktskompakthed , udviklet i generelle metriske rum . I almindelige topologiske rum er disse begreber om kompakthed imidlertid ikke nødvendigvis ækvivalente. Den mest nyttige forestilling - og standarddefinitionen af ​​det ukvalificerede udtryk kompakthed - formuleres i form af eksistensen af ​​begrænsede familier med åbne sæt, der " dækker " rummet i den forstand, at hvert punkt i rummet ligger i et eller andet sæt indeholdt i familie. Denne mere subtile forestilling, introduceret af Pavel Alexandrov og Pavel Urysohn i 1929, udviser kompakte rum som generaliseringer af begrænsede sæt . I rum, der er kompakte i denne forstand, er det ofte muligt at sammenstille information, der lokalt holder - det vil sige i et kvarter ved hvert punkt - i tilsvarende udsagn, der holder i hele rummet, og mange sætninger er af denne karakter.

Udtrykket kompakt sæt bruges undertiden som et synonym for kompakt rum, men refererer ofte også til et kompakt underrum af et topologisk rum.

Historisk udvikling

I 1800 -tallet blev flere forskellige matematiske egenskaber forstået, der senere ville blive set som konsekvenser af kompakthed. På den ene side havde Bernard Bolzano ( 1817 ) været klar over, at enhver afgrænset rækkefølge (f.eks. I linjen eller flyet) har en undersekvens, der til sidst må komme vilkårligt tæt på et andet punkt, kaldet et grænsepunkt . Bolzanos bevis baserede sig på metoden til bisektion : sekvensen blev placeret i et interval, der derefter blev opdelt i to lige store dele, og en del indeholdende uendeligt mange udtryk i sekvensen blev valgt. Processen kan derefter gentages ved at opdele det resulterende mindre interval i mindre og mindre dele - indtil den lukker ned på det ønskede grænsepunkt. Den fulde betydning af Bolzanos sætning og dens bevismetode ville først dukke op næsten 50 år senere, da den blev genopdaget af Karl Weierstrass .

I 1880'erne blev det klart, at resultater svarende til Bolzano -Weierstrass -sætningen kunne formuleres for funktionsrum i stedet for kun tal eller geometriske punkter. Ideen om at betragte funktioner som sig selv er punkter i et generaliseret rum stammer fra undersøgelserne af Giulio Ascoli og Cesare Arzelà . Kulminationen på deres undersøgelser, Arzelà -Ascoli -sætningen , var en generalisering af Bolzano -Weierstrass -sætningen til familier med kontinuerlige funktioner , hvis præcise konklusion var, at det var muligt at udtrække en ensartet konvergent funktionssekvens fra en passende familie af funktioner. Den ensartede grænse for denne sekvens spillede derefter nøjagtig den samme rolle som Bolzanos "grænsepunkt". Mod begyndelsen af ​​det tyvende århundrede begyndte resultater, der ligner Arzelà og Ascolis resultater, at akkumulere inden for integrerede ligninger , som undersøgt af David Hilbert og Erhard Schmidt . For en bestemt klasse af Greens funktioner, der stammer fra løsninger af integrale ligninger, havde Schmidt vist, at en egenskab, der var analog med Arzelà -Ascoli -sætningen, havde en betydning af middelværdig konvergens - eller konvergens i det, der senere ville blive kaldt et Hilbert -rum . Dette førte i sidste ende til forestillingen om en kompakt operatør som en udløber af den generelle forestilling om et kompakt rum. Det var Maurice Fréchet, der i 1906 havde destilleret essensen af ​​Bolzano – Weierstrass -ejendommen og opfundet udtrykket kompakthed for at henvise til dette generelle fænomen (han brugte udtrykket allerede i sit papir fra 1904, der førte til den berømte tese fra 1906).

Imidlertid var en anden opfattelse af kompakthed helt og holdent også langsomt kommet frem i slutningen af ​​1800 -tallet fra undersøgelsen af kontinuum , som blev set som grundlæggende for den stringente formulering af analyse. I 1870 viste Eduard Heine , at en kontinuerlig funktion defineret på et lukket og afgrænset interval faktisk var ensartet kontinuerlig . I løbet af beviset brugte han et lemma om, at det fra enhver tællelig dækning af intervallet med mindre åbne intervaller var muligt at vælge et begrænset antal af disse, der også dækkede det. Betydningen af ​​dette lemma blev anerkendt af Émile Borel ( 1895 ), og det blev generaliseret til vilkårlige samlinger af intervaller af Pierre Cousin (1895) og Henri Lebesgue ( 1904 ). Den Heine-Borel sætning , som resultatet nu er kendt, er en anden særlig egenskab besat af lukkede og afgrænset sæt af reelle tal.

Denne egenskab var signifikant, fordi den tillod passage fra lokal information om et sæt (f.eks. Kontinuitet i en funktion) til global information om sættet (f.eks. Ensartet kontinuitet i en funktion). Denne følelse blev udtrykt af Lebesgue (1904) , som også udnyttede den i udviklingen af integralen, der nu bærer hans navn . I sidste ende formulerede den russiske point-set topologi- skole under ledelse af Pavel Alexandrov og Pavel Urysohn Heine-Borel-kompakthed på en måde, der kunne anvendes på den moderne forestilling om et topologisk rum . Alexandrov & Urysohn (1929) viste, at den tidligere version af kompakthed på grund af Fréchet, nu kaldet (relativ) sekventiel kompakthed , under passende betingelser fulgte fra den version af kompakthed, der blev formuleret med hensyn til eksistensen af ​​begrænsede underdækninger. Det var denne forestilling om kompakthed, der blev den dominerende, fordi den ikke kun var en stærkere ejendom, men den kunne formuleres i en mere generel ramme med et minimum af yderligere tekniske maskiner, da den kun støttede sig på strukturen af ​​de åbne sæt i et rum.

Grundlæggende eksempler

Enhver endelig plads er trivielt kompakt. Et ikke-trivielt eksempel på et kompakt rum er (lukket) enhedsinterval [0,1] for reelle tal . Hvis man vælger et uendeligt antal forskellige punkter i enhedsintervallet, skal der være et akkumuleringspunkt i dette interval. For eksempel kommer de ulige nummererede termer i sekvensen 1, 1/2, 1/3, 3/4, 1/5, 5/6, 1/7, 7/8, ... vilkårligt tæt på 0, mens de lige numre kommer vilkårligt tæt på 1. Den givne eksempelsekvens viser vigtigheden af ​​at inkludere intervallets grænsepunkter , da grænsepunkterne skal være i selve rummet-et åbent (eller halvåbent) interval af rigtige tal er ikke kompakte. Det er også afgørende, at intervallet begrænses , da man i intervallet [0, ∞) kunne vælge sekvensen af ​​punkterne 0, 1, 2, 3, ... , hvoraf ingen undersekvens i sidste ende kommer vilkårligt tæt på et givet reelt tal.

I to dimensioner er lukkede diske kompakte, da for ethvert uendeligt antal punkter, der samples fra en disk, skal nogle delmængder af disse punkter komme vilkårligt tæt på enten et punkt i disken eller et punkt på grænsen. En åben disk er dog ikke kompakt, fordi en sekvens af punkter kan have tendens til grænsen - uden at komme vilkårligt tæt på noget punkt i det indre. På samme måde er kugler kompakte, men en kugle, der mangler et punkt, er ikke, da en sekvens af punkter stadig kan have tendens til det manglende punkt og derved ikke komme vilkårligt tæt på noget punkt i rummet. Linjer og fly er ikke kompakte, da man kan tage et sæt lige store punkter i en given retning uden at nærme sig noget punkt.

Definitioner

Forskellige definitioner af kompakthed kan gælde afhængigt af generalitetsniveauet. En delmængde af det euklidiske rum kaldes især kompakt, hvis det er lukket og afgrænset . Dette indebærer ved Bolzano -Weierstrass -sætningen , at enhver uendelig sekvens fra sættet har en undersekvens, der konvergerer til et punkt i sættet. Forskellige ækvivalente forestillinger om kompakthed, såsom sekventiel kompakthed og grænsepunktskompakthed , kan udvikles i generelle metriske rum .

I modsætning hertil er de forskellige begreber om kompakthed ikke ækvivalente i almindelige topologiske rum , og den mest nyttige forestilling om kompakthed - oprindeligt kaldet bikompakthed - defineres ved hjælp af covers bestående af åbne sæt (se Definition af åbent omslag nedenfor). At denne form for kompakthed gælder for lukkede og afgrænsede undergrupper af det euklidiske rum er kendt som Heine -Borel -sætningen . Kompakthed, når det er defineret på denne måde, giver en ofte mulighed for at tage information, der er kendt lokalt - i et kvarter af hvert punkt i rummet - og at udvide den til information, der findes globalt i hele rummet. Et eksempel på dette fænomen er Dirichlets sætning, som det oprindeligt blev anvendt af Heine, at en kontinuerlig funktion på et kompakt interval er ensartet kontinuerlig ; her er kontinuitet en lokal egenskab ved funktionen, og ensartet kontinuitet den tilsvarende globale ejendom.

Åben omslag definition

Formelt kaldes et topologisk rum X kompakt, hvis hvert af dets åbne dæksler har et begrænset undercover . Det vil sige, at X er kompakt, hvis for hver samling C af åbne undersæt af X sådan

${\ displaystyle X = \ bigcup _ {x \ in C} x}$,

der er en endelig delmængde F af C, således at

${\ displaystyle X = \ bigcup _ {x \ in F} x.}$

Nogle grene af matematik som algebraisk geometri , typisk påvirket af den franske Bourbaki- skole , bruger udtrykket kvasi-kompakt til den generelle opfattelse og forbeholder udtrykket kompakt til topologiske rum, der både er Hausdorff og kvasi-kompakte . Et kompakt sæt kaldes undertiden som en compactum , flertals compacta .

Undergruppers kompaktitet

Et delmængde K af et topologisk rum X siges at være kompakt, hvis det er kompakt som et underrum (i underrummet topologi ). Det vil sige, at K er kompakt, hvis for hver vilkårlig samling C af åbne undersæt af X, således at

${\ displaystyle K \ subseteq \ bigcup _ {c \ i C} c}$,

der er en endelig delmængde F af C, således at

${\ displaystyle K \ subseteq \ bigcup _ {c \ i F} c}$.

Kompakthed er en "topologisk" egenskab. Det vil sige, hvis , med delmængde Z udstyret med sportopologi, så K er kompakt i Z hvis og kun hvis K er kompakt i Y . ${\ displaystyle K \ delsæt Z \ delsæt Y}$

Ækvivalente definitioner

Hvis X er et topologisk rum, er følgende ækvivalente:

1. X er kompakt.
2. Hvert åbent dæksel til X har et begrænset undercover .
3. X har en underbase, således at hvert dækning af rummet, af medlemmer af underbasen, har et begrænset underdække ( Alexanders underbase-sætning ).
4. X er Lindelöf og betydeligt kompakt .
5. Enhver samling af lukkede delmængder af X med den begrænsede krydsejendom har et ikke -frit kryds.
6. Hvert net på X har et konvergent undernet (se artiklen om net for et bevis).
7. Hvert filter på X har en konvergent forfining.
8. Hvert net på X har et klyngepunkt.
9. Hvert filter på X har et klyngepunkt.
10. Hvert ultrafilter på X konvergerer til mindst et punkt.
11. Hver uendelig delmængde af X har et komplet akkumuleringspunkt .

Euklidisk rum

For enhver delmængde A i det euklidiske rum er A kompakt, hvis og kun hvis den er lukket og afgrænset ; dette er Heine -Borel -sætningen .

Da et euklidisk rum er et metrisk rum, gælder betingelserne i det næste underafsnit også for alle dets undergrupper. Af alle de tilsvarende betingelser er det i praksis lettest at verificere, at et undersæt er lukket og afgrænset, for eksempel for et lukket interval eller lukket n -bold.

Metriske mellemrum

For ethvert metrisk mellemrum ( X , d ) er følgende ækvivalente (forudsat talt valg ):

1. ( X , d ) er kompakt.
2. ( X , d ) er komplet og totalt afgrænset (dette svarer også til kompakthed for ensartede mellemrum ).
3. ( X , d ) er sekventielt kompakt; det vil sige, at hver sekvens i X har en konvergent undersekvens, hvis grænse er i X (dette svarer også til kompakthed for først tællelige ensartede mellemrum ).
4. ( X , d ) er grænsepunkt kompakt (kaldes også svagt tællelig kompakt); det vil sige, hver uendelig delmængde af X har mindst én grænse punkt i X .
5. ( X , d ) er betydeligt kompakt ; det vil sige, at hvert tælleligt åbent dæksel af X har et begrænset undercover.
6. ( X , d ) er et billede af en kontinuerlig funktion fra Cantorsættet .
7. Hver faldende sekvens af lukkede sæt F1 ⊇ F2 ⊇ ... i ( X , d ) har et ikke -fritaget skæringspunkt.
8. ( X , d ) er lukket og totalt afgrænset.

Et kompakt metrisk rum ( X , d ) opfylder også følgende egenskaber:

1. Lebesgue's nummer lemma : For hvert åbent dæksel af X findes der et tal δ > 0, således at hvert undersæt af X med diameter < δ er indeholdt i et eller andet medlem af dækslet.
2. ( X , d ) er anden tællbar , adskillelig og Lindelöf -disse tre betingelser er ækvivalente for metriske rum. Det omvendte er ikke sandt; f.eks. opfylder et talbart diskret rum disse tre betingelser, men er ikke kompakt.
3. X er lukket og afgrænset (som en delmængde af ethvert metrisk rum, hvis begrænsede metric er d ). Det omvendte kan mislykkes for et ikke-euklidisk rum; f.eks. er den virkelige linje, der er udstyret med den diskrete metrik , lukket og afgrænset, men ikke kompakt, da samlingen af ​​alle singletoner i rummet er et åbent dæksel, der ikke tillader nogen endelig underdækning. Det er komplet, men ikke helt afgrænset.

Karakterisering ved kontinuerlige funktioner

Lad X være et topologisk rum og C ( X ) ringen af reelle kontinuerte funktioner på X . For hver p ∈ X er evalueringskortet givet ved ev _p ( f ) = f ( p ) en ringhomomorfisme. Den kerne af ev _p er en maksimal ideal , eftersom resten felt C ( X ) / ker ev _p er inden for reelle tal, ved første isomorfi teorem . Et topologisk rum X er pseudokompakt, hvis og kun hvis hvert maksimalt ideal i C ( X ) har restfelt de reelle tal. For helt almindelige rum svarer dette til, at hvert maksimalt ideal er kernen i en evalueringshomomorfisme. Der er dog pseudokompakte rum, der ikke er kompakte. ${\ displaystyle \ operatorname {ev} _ {p} \ colon C (X) \ to \ mathbf {R}}$

Generelt er der for ikke-pseudokompakte mellemrum altid maksimale idealer m i C ( X ), således at restfeltet C ( X )/ m er et ( ikke-arkimedisk ) hyperrealt felt . Rammerne for ikke-standardiseret analyse muliggør følgende alternative karakterisering af kompakthed: et topologisk rum X er kompakt, hvis og kun hvis hvert punkt x i den naturlige forlængelse *X er uendeligt tæt på et punkt x ₀ i X (mere præcist, x er indeholdt i monaden på x ₀ ).

Hyperreal definition

Et mellemrum X er kompakt, hvis dets hyperreale forlængelse *X (konstrueret f.eks. Af ultrapower -konstruktionen ) har den egenskab, at hvert punkt på *X er uendeligt tæt på et punkt på X ⊂ *X . For eksempel en åben real interval X = (0, 1) er ikke compact fordi dens hyperreal extension * (0,1) indeholder infinitesimals, som er uendeligt tæt på 0, hvilket ikke er et punkt X .

Tilstrækkelige betingelser

• En lukket delmængde af et kompakt rum er kompakt.
• En endelig sammenslutning af kompakte sæt er kompakt.
• Et kontinuerligt billede af et kompakt rum er kompakt.
• Skæringspunktet mellem enhver ikke-tom samling af kompakte undersæt i et Hausdorff-rum er kompakt (og lukket);
  • Hvis X ikke er Hausdorff, kan skæringspunktet mellem to kompakte undersæt muligvis ikke være kompakt (se f.eks. Fodnote).
• Det produkt af en hvilken som helst samling af kompakte rum er kompakt. (Dette er Tychonoffs sætning , som svarer til valgfrit aksiom .)
• I et målbart rum er et delmængde kompakt, hvis og kun hvis det er sekventielt kompakt (forudsat tællbart valg )
• Et begrænset sæt udstyret med enhver topologi er kompakt.

Egenskaber ved kompakte rum

• En kompakt delmængde af en Hausdorff space X er lukket.
  • Hvis X ikke er Hausdorff, er et kompakt undersæt af X muligvis ikke et lukket undersæt af X (se f.eks. Fodnote).
  • Hvis X ikke er Hausdorff, kan lukningen af ​​et kompakt sæt muligvis ikke være kompakt (se f.eks. Fodnote).
• I ethvert topologisk vektorrum (TVS) er et kompakt undersæt komplet . Hvert ikke-Hausdorff TVS indeholder dog kompakte (og dermed komplette) undersæt, der ikke er lukket.
• Hvis A og B er disjunkte kompakte delmængder af en hausdorffrum X , så findes der disjunkte åbne sæt U og V i X , således at A ⊆ U og B ⊆ V .
• En kontinuerlig samling fra et kompakt rum til et Hausdorff -rum er en homomorfisme .
• Et kompakt Hausdorff -rum er normalt og regelmæssigt .
• Hvis et mellemrum X er kompakt og Hausdorff, så er ingen finere topologi på X kompakt og ingen grovere topologi på X er Hausdorff.
• Hvis en delmængde af et metrisk mellemrum ( X , d ) er kompakt, er den d -afgrænset.

Funktioner og kompakte rum

Da et kontinuerligt billede af et kompakt rum er kompakt, er ekstreme værdisætning : en kontinuerlig realværdifunktion på et ikke-frit kompakt rum afgrænset over og opnår sit overordnede. (Lidt mere generelt gælder dette for en øvre semikontinuerlig funktion.) Som en slags modsætning til ovenstående udsagn er forbilledet af et kompakt rum under et ordentligt kort kompakt.

Komprimeringer

Hvert topologisk rum X er et åbent tæt underrum af et kompakt rum med højst et punkt mere end X , ved Alexandroffs et-punkts komprimering . Ved den samme konstruktion, hver lokalt kompakt hausdorffrum X er en åben tæt underrum af et kompakt hausdorffrum har højst ét punkt mere end X .

Bestilte kompakte rum

En ikke -undtaget kompakt delmængde af de reelle tal har et største element og et mindst element.

Lad X være et enkelt bestilt sæt udstyret med ordretopologien . Så er X kompakt, hvis og kun hvis X er et komplet gitter (dvs. alle undersæt har suprema og infima).

Eksempler

• Ethvert begrænset topologisk rum , inklusive det tomme sæt , er kompakt. Mere generelt er ethvert rum med en endelig topologi (kun uendeligt mange åbne sæt) kompakt; dette omfatter især den trivielle topologi .
• Ethvert rum, der bærer den cofinite topologi, er kompakt.
• Enhver lokalt kompakt Hausdorff-plads kan omdannes til et kompakt rum ved at tilføje et enkelt punkt til det ved hjælp af Alexandroff-et-punkts komprimering . Enpunktskomprimeringen af ℝ er homomorf i forhold til cirklen S ¹ ; et-punkts komprimering af ℝ ² er homeomorf for kuglen S ² . Ved hjælp af et-punkts komprimering kan man også let konstruere kompakte rum, der ikke er Hausdorff, ved at starte med et ikke-Hausdorff-rum.
• Den rigtige ordretopologi eller venstre ordenstopologi på ethvert afgrænset totalt bestilt sæt er kompakt. Især Sierpiński -rummet er kompakt.
• Intet diskret rum med et uendeligt antal punkter er kompakt. Samlingen af ​​alle singleter i rummet er et åbent omslag, der ikke tillader nogen endelig underdækning. Endelige diskrete rum er kompakte.
• I ℝ bærer den nedre grænse topologi , ingen utallige sæt er kompakte.
• I den uoverkommelige topologi på et utalligt sæt er intet uendeligt sæt kompakt. Ligesom det foregående eksempel er rummet som helhed ikke lokalt kompakt, men er stadig Lindelöf .
• Det lukkede enhedsinterval [0, 1] er kompakt. Dette følger af Heine -Borel -sætningen . Det åbne interval (0, 1) er ikke kompakt: det åbne dæksel til n = 3, 4, ...  har ikke et begrænset undercover. Tilsvarende er sættet med rationelle tal i det lukkede interval [0,1] ikke kompakt: sæt af rationelle tal i intervallerne dækker alle rationaler i [0, 1] for n = 4, 5, ...  men dette cover har ikke en endelig undercover. Her er sætene åbne i underrummet topologi, selvom de ikke er åbne som undersæt af  ℝ .${\ textstyle \ venstre ({\ frac {1} {n}}, 1-{\ frac {1} {n}} \ højre)}$${\ textstyle \ left [0, {\ frac {1} {\ pi}}-{\ frac {1} {n}} \ right] {\ text {og}} \ left [{\ frac {1} { \ pi}}+{\ frac {1} {n}}, 1 \ højre]}$
• Sættet ℝ for alle reelle tal er ikke kompakt, da der er et dækning af åbne intervaller, der ikke har et begrænset undercover. For eksempel dækker intervaller ( n - 1,  n + 1)  , hvor n tager alle heltalsværdier i Z , ℝ, men der er ingen endelig underdækning.
• På den anden side er den udvidede reelle talelinje, der bærer den analoge topologi , kompakt; Bemærk, at omslaget beskrevet ovenfor aldrig ville nå punkterne i det uendelige. Faktisk har sættet homomorfisme til [−1, 1] med at kortlægge hver uendelighed til den tilsvarende enhed og hvert reelt tal til dets tegn ganget med det unikke tal i den positive del af intervallet, der resulterer i dets absolutte værdi, divideret med et minus selv, og da homeomorfier bevarer omslag, kan Heine-Borel-ejendommen udledes.
• For hvert naturligt tal n er n -kuglen kompakt. Igen fra Heine-Borel-sætningen er den lukkede enhedsbold i ethvert endelig-dimensionelt normeret vektorrum kompakt. Dette gælder ikke for uendelige dimensioner; faktisk er et normeret vektorrum endeligt-dimensionelt, hvis og kun hvis dets lukkede enhedskugle er kompakt.
• På den anden side er den lukkede enhedsbold i dobbelten af ​​et normeret rum kompakt til den svage* topologi. ( Alaoglus sætning )
• Den Cantor sæt er kompakt. Faktisk er hvert kompakt metrisk rum et kontinuerligt billede af Cantorsættet.
• Overvej sættet K for alle funktioner f  : ℝ → [0, 1] fra den reelle talelinje til det lukkede enhedsinterval, og definer en topologi på K, så en sekvens i K konvergerer mod f ∈ K, hvis og kun hvis den konvergerer mod f ( x ) for alle reelle tal x . Der er kun én sådan topologi; det kaldes topologien for punktvis konvergens eller produkttopologien . Så er K et kompakt topologisk rum; dette følger af Tychonoff -sætningen .${\ displaystyle \ {f_ {n} \}}$${\ displaystyle \ {f_ {n} (x) \}}$
• Overvej sættet K for alle funktioner f  : [0, 1]  → [0, 1], der opfylder Lipschitz -betingelsen | f ( x ) -  f ( y ) | ≤ | x  -  y | for alle x ,  y  ∈  [0,1] . Betragt på K metricen forårsaget af den ensartede afstand Så af Arzelà -Ascoli sætning er rummet K kompakt.${\ displaystyle d (f, g) = \ sup _ {x \ i [0,1]} | f (x) -g (x) |.}$
• Den spektret af ethvert afgrænset lineær operatør på en Banachrumsteori er en ikke tom kompakt delmængde af komplekset numre ℂ . Omvendt enhver kompakt delmængde af ℂ opstår på denne måde, som det frekvensområde af nogle afgrænsede lineær operatør. For eksempel kan en diagonal operatør på Hilbert -rummet have en hvilken som helst kompakt, ikke -undtagelig delmængde af ℂ som spektrum.${\ displaystyle \ ell ^{2}}$

Algebraiske eksempler

• Kompakte grupper, såsom en ortogonal gruppe, er kompakte, mens grupper såsom en generel lineær gruppe ikke er det.
• Da de p -adiske heltal er homeomorfe i forhold til Cantorsættet , danner de et kompakt sæt.
• Den spektret af enhver kommutativ ring med Zariski topologi (dvs. det sæt af alle prime idealer) er kompakt, men aldrig Hausdorff (undtagen i trivielle tilfælde). I algebraisk geometri er sådanne topologiske rum eksempler på kvasi-kompakte ordninger , der "kvasi" refererer til topologiens ikke-Hausdorff-karakter.
• Den spektrum for en boolsk algebra er kompakt, hvilket er en del af Stone repræsentation teorem . Stenrum , kompakte totalt frakoblede Hausdorff -rum, danner den abstrakte ramme, hvori disse spektre studeres. Sådanne rum er også nyttige i studiet af uendelige grupper .
• Den struktur plads af en kommutativ UnitAl Banach algebra er en kompakt hausdorffrum.
• Den Hilbert terning er kompakt, igen en konsekvens af Tychonoff sætning.
• En uendelig gruppe (f.eks. Galois -gruppe ) er kompakt.

Se også

Noter

Referencer

Bibliografi

• Alexandrov, Pavel ; Urysohn, Pavel (1929), "Mémoire sur les espaces topologiques compacts", Koninklijke Nederlandse Akademie van Wetenschappen te Amsterdam, Proceedings of the Section of Mathematical Sciences , 14.
• Arkhangel'skii, AV; Fedorchuk, VV (1990), "De grundlæggende begreber og konstruktioner af generel topologi", i Arkhangel'skii, AV; Pontrjagin, LS (red.), General topology I , Encyclopedia of the Mathematical Sciences, 17 , Springer, ISBN 978-0-387-18178-3.
• Arkhangel'skii, AV (2001) [1994], "Compact space" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press.
• Bolzano, Bernard (1817), Rein analytischer Beweis des Lehrsatzes, dass zwischen je zwey Werthen, die en entgegengesetzes Resultat gewähren, wenigstens eine reele Wurzel der Gleichung liege , Wilhelm Engelmann( Rent analytisk bevis på sætningen om, at der mellem to værdier, der giver resultater af modsat tegn, ligger mindst en reel rod til ligningen ).
• Borel, Émile (1895), "Sur quelques points de la théorie des fonctions", Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure , 3, 12 : 9–55, doi : 10.24033/asens.406 , JFM  26.0429.03
• Boyer, Carl B. (1959), Beregningens historie og dens konceptuelle udvikling , New York: Dover Publications, MR  0124178.
• Boyer, Carl Benjamin ; Merzbach, Uta C (1991), A History of Mathematics (2. udgave), John Wiley & Sons, Inc., ISBN 978-0-471-54397-8.
• Arzelà, Cesare (1895), "Sulle funzioni di linee", Mem. Accad. Sci. Ist. Bologna Cl. Sci. Fis. Måtte. , 5 (5): 55–74.
• Arzelà, Cesare (1882–1883), "Un'osservazione intorno alle serie di funzioni", Rend. Dell 'Accad. R. Delle Sci. dell'Istituto di Bologna : 142–159.
• Ascoli, G. (1883–1884), "Le curve limiti di una varietà data di curve", Atti della R. Accad. Dei Lincei Memorie della Cl. Sci. Fis. Måtte. Nat. , 18 (3): 521–586.
• Fréchet, Maurice (1906), "Sur quelques punkter du Calcul fonctionnel" , Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo , 22 (1): 1-72, doi : 10,1007 / BF03018603 , HDL : 10338.dmlcz / 100.655 , S2CID  123.251.660.
• Gillman, Leonard; Jerison, Meyer (1976), Ringe af kontinuerlige funktioner , Springer-Verlag.
• Howes, Norman R. (23. juni 1995). Moderne analyse og topologi . Kandidattekster i matematik . New York: Springer-Verlag Science & Business Media. ISBN 978-0-387-97986-1. OCLC  31969970 . OL  1272666M .
• Kelley, John (1955), Generel topologi , Graduate Texts in Mathematics, 27 , Springer-Verlag.
• Kline, Morris (1972), Matematisk tanke fra gammel til moderne tid (3. udgave), Oxford University Press (udgivet 1990), ISBN 978-0-19-506136-9.
• Lebesgue, Henri (1904), Leçons sur l'intégration et la recherche des fonctions primitives , Gauthier-Villars.
• Robinson, Abraham (1996), Ikke-standardiseret analyse , Princeton University Press, ISBN 978-0-691-04490-3, MR  0205854.
• Scarborough, CT; Stone, AH (1966), "Produkter fra næsten kompakte rum" (PDF) , Transactions of the American Mathematical Society , Transactions of the American Mathematical Society, Vol. 124, nr. 1, 124 (1): 131–147, doi : 10.2307/1994440 , JSTOR  1994440.
• Steen, Lynn Arthur ; Seebach, J. Arthur Jr. (1995) [1978], Modeksempler i topologi (Dover Publications genoptryk af 1978 red.), Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-486-68735-3, MR  0507446
• Willard, Stephen (1970), General Topology , Dover -publikationer, ISBN 0-486-43479-6

eksterne links

• Utalligt kompakt på PlanetMath .
• Sundström, Manya Raman (2010). "En pædagogisk historie om kompakthed". arXiv : 1006.4131v1 [ math.HO ].

Denne artikel indeholder materiale fra eksempler på kompakte rum på PlanetMath , som er licenseret under Creative Commons Attribution/Share-Alike-licensen .