Banach fastpunktssætning - Banach fixed-point theorem

I matematik er Banachs faste punkt sætning (også kendt som sammentrækning kortlægning sætning eller kontraktiv kortlægning sætning ) et vigtigt redskab i teorien om metriske rum ; det garanterer eksistensen og unikheden af faste punkter i bestemte selvkort over metriske rum og giver en konstruktiv metode til at finde disse faste punkter. Det kan forstås som en abstrakt formulering af Picards metode til successive tilnærmelser . Teoremet er opkaldt efter Stefan Banach (1892–1945), der først erklærede det i 1922.

Udmelding

Definition. Lad være et komplet metrisk rum . Derefter kaldes et kort en sammentrækningskortlægning på X, hvis der findes sådan ${\ displaystyle (X, d)}$ ${\ displaystyle T: X \ til X}$ ${\ displaystyle q \ in [0,1)}$

{\ displaystyle d (T (x), T (y)) \ leq qd (x, y)}

for alle ${\ displaystyle x, y \ i X.}$

Teori med fast punkt i Banach. Lad være et ikke-tomt komplet metrisk rum med en sammentrækningstilknytning. Så indrømmer T et unikt fast punkt x * i X (dvs. T ( x * ) = x * ). Desuden kan x * findes som følger: start med et vilkårligt element og definer en sekvens { x _n } med x _n = T ( x _n_-1 ) for derefter x _n → x * . ${\ displaystyle (X, d)}$ ${\ displaystyle T: X \ til X.}$ ${\ displaystyle x_ {0} \ i X}$ ${\ displaystyle n \ geq 1.}$

Bemærkning 1. Følgende uligheder er ækvivalente og beskriver konvergensens hastighed :

{\ displaystyle {\ begin {align} d (x ^ {*}, x_ {n}) & \ leq {\ frac {q ^ {n}} {1-q}} d (x_ {1}, x_ { 0}), \\ d (x ^ {*}, x_ {n + 1}) & \ leq {\ frac {q} {1-q}} d (x_ {n + 1}, x_ {n}) , \\ d (x ^ {*}, x_ {n + 1}) & \ leq qd (x ^ {*}, x_ {n}). \ slut {justeret}}}

En sådan værdi af q kaldes en Lipschitz konstant for T , og den mindste kaldes "det bedste Lipschitz konstant" af T .

Bemærkning 2. d ( T ( x ), T ( y )) < d ( x , y ) for alle x ≠ y er generelt ikke nok til at sikre eksistensen af et fast punkt, som vist på kortet T : [ 1, ∞) → [1, ∞), T ( x ) = x + 1 / x , som mangler et fast punkt. Men hvis X er kompakt , betyder denne svagere antagelse eksistensen og unikheden af et fast punkt, der let kan findes som en minimizer af d ( x , T ( x )), faktisk findes en minimizer ved kompakthed, og skal være et fast punkt i T . Det let følger da, at det faste punkt er grænsen for enhver sekvens af iterationer af T .

Bemærkning 3. Når man bruger sætningen i praksis, er den sværeste del typisk at definere X korrekt, således at ${\ displaystyle T (X) \ subseteq X.}$

Bevis

Lad være vilkårlig og definer en sekvens { x _n } ved at indstille x _n = T ( x _n₋₁ ). Vi bemærker først, at vi for alle har uligheden ${\ displaystyle x_ {0} \ i X}$ ${\ displaystyle n \ in \ mathbb {N},}$

{\ displaystyle d (x_ {n + 1}, x_ {n}) \ leq q ^ {n} d (x_ {1}, x_ {0}).}

Dette følger ved induktion på n , idet man bruger det faktum, at T er en kortlægningskontraktion. Derefter kan vi vise, at { x _n } er en Cauchy-sekvens . Lad især sådan, at m > n : ${\ displaystyle m, n \ in \ mathbb {N}}$

{\ displaystyle {\ begin {align} d (x_ {m}, x_ {n}) & \ leq d (x_ {m}, x_ {m-1}) + d (x_ {m-1}, x_ { m-2}) + \ cdots + d (x_ {n + 1}, x_ {n}) \\ & \ leq q ^ {m-1} d (x_ {1}, x_ {0}) + q ^ {m-2} d (x_ {1}, x_ {0}) + \ cdots + q ^ {n} d (x_ {1}, x_ {0}) \\ & = q ^ {n} d (x_ {1}, x_ {0}) \ sum _ {k = 0} ^ {mn-1} q ^ {k} \\ & \ leq q ^ {n} d (x_ {1}, x_ {0}) \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} q ^ {k} \\ & = q ^ {n} d (x_ {1}, x_ {0}) \ left ({\ frac {1} {1 -q}} \ højre). \ slut {justeret}}}

Lad ε> 0 være vilkårlig, da q ∈ [0, 1), kan vi finde et stort, så at ${\ displaystyle N \ in \ mathbb {N}}$

{\ displaystyle q ^ {N} <{\ frac {\ varepsilon (1-q)} {d (x_ {1}, x_ {0})}}.}

Derfor kan vi ved at vælge m og n større end N skrive:

{\ displaystyle d (x_ {m}, x_ {n}) \ leq q ^ {n} d (x_ {1}, x_ {0}) \ left ({\ frac {1} {1-q}} \ højre) <\ venstre ({\ frac {\ varepsilon (1-q)} {d (x_ {1}, x_ {0})}} \ højre) d (x_ {1}, x_ {0}) \ venstre ({\ frac {1} {1-q}} \ højre) = \ varepsilon.}

Dette beviser, at sekvensen { x _n } er Cauchy. Ved fuldstændigheden af ( X , d ) har sekvensen en grænse. Desuden skal x * være et fast punkt på T : ${\ displaystyle x ^ {*} \ i X.}$

{\ displaystyle x ^ {*} = \ lim _ {n \ to \ infty} x_ {n} = \ lim _ {n \ to \ infty} T (x_ {n-1}) = T \ left (\ lim _ {n \ to \ infty} x_ {n-1} \ right) = T (x ^ {*}).}

Som en kortlægningskontraktion er T kontinuerlig, så det var berettiget at bringe grænsen inden i T. Endelig kan T ikke have mere end et fast punkt i ( X , d ), da ethvert par forskellige faste punkter p ₁ og p ₂ ville modsige sammentrækningen af T :

{\ displaystyle d (T (p_ {1}), T (p_ {2})) = d (p_ {1}, p_ {2})> qd (p_ {1}, p_ {2}).}

Ansøgninger

En standardapplikation er beviset for Picard – Lindelöf-sætningen om eksistensen og unikheden af løsninger til visse almindelige differentialligninger . Den søgte løsning af differentialligningen udtrykkes som et fast punkt for en passende integreret operator, der omdanner kontinuerlige funktioner til kontinuerlige funktioner. Banach-fastpunktssætningen bruges derefter til at vise, at denne integrale operatør har et unikt fast punkt.
En konsekvens af Banachs faste-sætning er, at små Lipschitz-forstyrrelser af identiteten er bi-lipschitz- homeomorfier. Lad Ω være et åbent sæt af et Banach-rum E ; lad I : Ω → E angive identitetskortet (inklusion) og lad g : Ω → E være et Lipschitz-kort med konstant k <1. Derefter

Ω ′: = ( I + g ) (Ω) er en åben delmængde af E : netop for enhver x i Ω sådan at B ( x , r ) ⊂ Ω man har B (( I + g ) ( x ), r (1− k )) ⊂ Ω ′;
I + g : Ω → Ω ′ er en bi-lipschitz-homeomorfisme;

præcist, ( I + g ) ⁻¹ er stadig af formen I + h : Ω → Ω ′ med h et Lipschitz-kort over konstant k / (1− k ). En direkte konsekvens af dette resultat giver bevis for den omvendte funktionssætning .

Det kan bruges til at give tilstrækkelige betingelser, hvorunder Newtons metode til successive tilnærmelser garanteres at fungere, og tilsvarende for Chebyshevs tredje ordens metode.
Det kan bruges til at bevise eksistensen og unikheden af løsninger til integrerede ligninger.
Det kan bruges til at bevise Nash-indlejringssætningen .
Det kan bruges til at bevise eksistensen og unikheden af løsninger til værdi iteration, politik iteration og politik evaluering af forstærkning læring .
Det kan bruges til at bevise eksistensen og unikheden af en ligevægt i Cournot-konkurrencen og andre dynamiske økonomiske modeller.

Konverserer

Flere samtaler af Banach-sammentrækningsprincippet findes. Følgende skyldes Czesław Bessaga , fra 1959:

Lad f : X → X være et kort over et abstrakt sæt, således at hver iterat f ⁿ har et unikt fast punkt. Lad os der eksistere en komplet metrik på X, således at f er kontraktiv, og q er kontraktionskonstanten. ${\ displaystyle q \ in (0,1),}$

Faktisk er meget svage antagelser tilstrækkelige til at opnå en sådan form for samtale. For eksempel hvis et kort på en T ₁ topologisk rum med en unik fast punkt a , således at der for hver vi har f ⁿ ( x ) → en , så er der allerede eksisterer en metrik på X med hensyn til hvilke f opfylder betingelserne i Banach-kontraktionsprincippet med kontraktionskonstant 1/2. I dette tilfælde er metricen faktisk en ultrametrisk . ${\ displaystyle f: X \ til X}$ ${\ displaystyle x \ i X}$

Generaliseringer

Der er en række generaliseringer (hvoraf nogle er øjeblikkelige følger ).

Lad T : X → X være et kort på et komplet ikke-tomt metrisk rum. Derefter er for eksempel nogle generaliseringer af Banach-fast sætning:

Antag, at nogle iterate T ⁿ af T er en sammentrækning. Derefter har T et unikt fast punkt.
Antag, at der for hver n findes c _n sådan, at d (T ⁿ (x), T ⁿ (y)) ≤ c _n d (x, y) for alle x og y , og at

{\ displaystyle \ sum \ nolimits _ {n} c_ {n} <\ infty.}

Derefter har T et unikt fast punkt.

I applikationer kan eksistensen og det unikke ved et fast punkt ofte vises direkte med Banachs standardpunkt-sætning ved et passende valg af metricen, der gør kortet T til en sammentrækning. Faktisk antyder ovenstående resultat fra Bessaga kraftigt at kigge efter en sådan måling. Se også artiklen om sætninger med fast punkt i uendelige dimensionelle rum til generaliseringer.

En anden klasse af generaliseringer stammer fra passende generaliseringer af begrebet metrisk rum , f.eks. Ved at svække de definerende aksiomer for begrebet metrisk. Nogle af disse har anvendelser, fx i teorien om programmering af semantik i teoretisk datalogi.

Se også

Bemærkninger

^ Kinderlehrer, David ; Stampacchia, Guido (1980). "Variationsuligheder i R ^N " . En introduktion til variationelle uligheder og deres anvendelser . New York: Academic Press. s. 7–22. ISBN 0-12-407350-6.
^ Banach, Stefan (1922). "Sur les opérations dans les ensembles abstraits et leur application aux équations intégrales" (PDF) . Fundamenta Mathematicae . 3 : 133–181. doi : 10.4064 / fm-3-1-133-181 .
^ Ciesielski, Krzysztof (2007). "Om Stefan Banach og nogle af hans resultater" (PDF) . Banach J. Math. Anal . 1 (1): 1–10. doi : 10.15352 / bjma / 1240321550 .
^ Günther, Matthias (1989). "Zum Einbettungssatz von J. Nash" [Om indlejringsteorem af J. Nash]. Mathematische Nachrichten (på tysk). 144 : 165–187. doi : 10.1002 / mana.19891440113 . MR 1037168 .
^ Lewis, Frank L .; Vrabie, Draguna; Syrmos, Vassilis L. (2012). "Forstærkningslæring og optimal adaptiv kontrol" . Optimal kontrol . New York: John Wiley & Sons. s. 461–517 [s. 474]. ISBN 978-1-118-12272-3.
^ Lang, Ngo Van; Soubeyran, Antoine (2000). "Eksistens og unikhed ved Cournot Equilibrium: A Contraction Mapping Approach" (PDF) . Økonomiske breve . 67 (3): 345-348. doi : 10.1016 / S0165-1765 (00) 00211-1 .
^ Stokey, Nancy L.; Lucas, Robert E. Jr. (1989). Rekursive metoder i økonomisk dynamik . Cambridge: Harvard University Press. s. 508–516. ISBN 0-674-75096-9.
^ Hitzler, Pascal ; Seda, Anthony K. (2001). "A 'Converse' of the Banach Contraction Mapping Theorem". Journal of Electrical Engineering . 52 (10 / s): 3-6.
^ Latif, Abdul (2014). "Princippet om sammentrækning af Banach og dets generaliseringer". Emner i Fixed Point Theory . Springer. s. 33–64. doi : 10.1007 / 978-3-319-01586-6_2 . ISBN 978-3-319-01585-9.
^ Hitzler, Pascal ; Seda, Anthony (2010). Matematiske aspekter af logisk programmering af semantik . Chapman og Hall / CRC. ISBN 978-1-4398-2961-5.
^ Seda, Anthony K .; Hitzler, Pascal (2010). "Generaliserede afstandsfunktioner i beregningsteorien". Computerjournalen . 53 (4): 443-464. doi : 10.1093 / comjnl / bxm108 .

Referencer

Agarwal, Praveen; Jleli, Mohamed; Samet, Bessem (2018). "Banach-kontraktionsprincip og applikationer". Faste punktsteori i metriske rum . Singapore: Springer. s. 1–23. doi : 10.1007 / 978-981-13-2913-5_1 . ISBN 978-981-13-2912-8.
Chicone, Carmen (2006). "Kontraktion" . Almindelige differentialligninger med applikationer (2. udgave). New York: Springer. s. 121–135. ISBN 0-387-30769-9.
Granas, Andrzej; Dugundji, James (2003). Teori om fast punkt . New York: Springer-Verlag. ISBN 0-387-00173-5.
Istrăţescu, Vasile I. (1981). Fixed Point Theory: En introduktion . Holland: D. Reidel. ISBN 90-277-1224-7. Se kapitel 7.
Kirk, William A .; Khamsi, Mohamed A. (2001). En introduktion til metriske områder og teori om fast punkt . New York: John Wiley. ISBN 0-471-41825-0.

Denne artikel inkorporerer materiale fra Banachs faste punkt sætning på PlanetMath , som er licenseret under Creative Commons Attribution / Share-Alike License .

[1] Kinderlehrer, David ; Stampacchia, Guido (1980). "Variationsuligheder i R ^N " . En introduktion til variationelle uligheder og deres anvendelser . New York: Academic Press. s. 7–22. ISBN 0-12-407350-6.

[2] Banach, Stefan (1922). "Sur les opérations dans les ensembles abstraits et leur application aux équations intégrales" (PDF) . Fundamenta Mathematicae . 3 : 133–181. doi : 10.4064 / fm-3-1-133-181 .

[3] Ciesielski, Krzysztof (2007). "Om Stefan Banach og nogle af hans resultater" (PDF) . Banach J. Math. Anal . 1 (1): 1–10. doi : 10.15352 / bjma / 1240321550 .

[4] Günther, Matthias (1989). "Zum Einbettungssatz von J. Nash" [Om indlejringsteorem af J. Nash]. Mathematische Nachrichten (på tysk). 144 : 165–187. doi : 10.1002 / mana.19891440113 . MR 1037168 .

[5] Lewis, Frank L .; Vrabie, Draguna; Syrmos, Vassilis L. (2012). "Forstærkningslæring og optimal adaptiv kontrol" . Optimal kontrol . New York: John Wiley & Sons. s. 461–517 [s. 474]. ISBN 978-1-118-12272-3.

[6] Lang, Ngo Van; Soubeyran, Antoine (2000). "Eksistens og unikhed ved Cournot Equilibrium: A Contraction Mapping Approach" (PDF) . Økonomiske breve . 67 (3): 345-348. doi : 10.1016 / S0165-1765 (00) 00211-1 .

[7] Stokey, Nancy L.; Lucas, Robert E. Jr. (1989). Rekursive metoder i økonomisk dynamik . Cambridge: Harvard University Press. s. 508–516. ISBN 0-674-75096-9.

[8] Hitzler, Pascal ; Seda, Anthony K. (2001). "A 'Converse' of the Banach Contraction Mapping Theorem". Journal of Electrical Engineering . 52 (10 / s): 3-6.

[Latif2014-9] Latif, Abdul (2014). "Princippet om sammentrækning af Banach og dets generaliseringer". Emner i Fixed Point Theory . Springer. s. 33–64. doi : 10.1007 / 978-3-319-01586-6_2 . ISBN 978-3-319-01585-9.

[10] Hitzler, Pascal ; Seda, Anthony (2010). Matematiske aspekter af logisk programmering af semantik . Chapman og Hall / CRC. ISBN 978-1-4398-2961-5.

[11] Seda, Anthony K .; Hitzler, Pascal (2010). "Generaliserede afstandsfunktioner i beregningsteorien". Computerjournalen . 53 (4): 443-464. doi : 10.1093 / comjnl / bxm108 .

Languages

In other projects