Antilinear kort - Antilinear map

I matematik siges en funktion mellem to virkelige eller komplekse vektorrum at være antilinjær eller konjugeret lineær, hvis ${\ displaystyle f: V \ til W}$

hvor og er de komplekse konjugater af og hhv. ${\ displaystyle {\ overline {a}}}$${\ displaystyle {\ overline {b}}}$${\ displaystyle a}$${\ displaystyle b,}$

Antilinear kort forekomme i kvantemekanik i studiet af tiden vending og i spinor kalkyle , hvor det er almindeligt at erstatte de barer over basisvektorer og komponenterne i geometriske objekter med prikker sat over indeksene.

Definitioner og karakteriseringer

En funktion kaldes lineær eller konjugeret lineær, hvis den er additiv og konjugeret homogen .

En funktion kaldes

additiv hvis ${\ displaystyle f}$

$${\ displaystyle f (x+y) = f (x)+f (y) \ quad {\ text {for alle vektorer}} x, y}$$

mens det kaldes konjugat homogent hvis

$${\ displaystyle f (ax) = {\ overline {a}} f (x) \ quad {\ text {for alle vektorer}} x {\ tekst {og alle skalarer}} a.}$$

I modsætning hertil er et lineært kort en funktion, der er additiv og homogen , hvor man kalder homogen if ${\ displaystyle f}$

$${\ displaystyle f (ax) = af (x) \ quad {\ text {for alle vektorer}} x {\ tekst {og alle skalarer}} a.}$$

Et lineært kort kan beskrives tilsvarende i form af det

lineære kort fra til det komplekse konjugerede vektorrum${\ displaystyle f: V \ til W}$ ${\ displaystyle {\ overline {f}}: V \ til {\ overline {W}}}$${\ displaystyle V}$ ${\ displaystyle {\ overline {W}}.}$

Eksempler

Anti-lineært dobbelt kort

I betragtning af et komplekst vektorrum af rang 1 kan vi konstruere et antilinearisk dobbeltkort, som er et antilinearisk kort${\ displaystyle V}$

${\ displaystyle l: V \ til \ mathbb {C}}$

sende et element for at${\ displaystyle x_ {1}+iy_ {1}}$${\ displaystyle x_ {1}, y_ {1} \ in \ mathbb {R}}$

${\ displaystyle x_ {1}+iy_ {1} \ mapsto a_ {1} x_ {1} -ib_ {1} y_ {1}}$

for nogle faste reelle tal . Vi kan udvide dette til ethvert begrænset dimensionelt komplekst vektorrum, hvor hvis vi skriver standardgrundlaget og hvert standardbaseret element ud som${\ displaystyle a_ {1}, b_ {1}}$${\ displaystyle e_ {1}, \ ldots, e_ {n}}$

${\ displaystyle e_ {k} = x_ {k}+iy_ {k}}$

derefter vil et antilinearisk komplekst kort til have formen${\ displaystyle \ mathbb {C}}$

${\ displaystyle \ sum _ {k} x_ {k}+iy_ {k} \ mapsto \ sum _ {k} a_ {k} x_ {k} -ib_ {k} y_ {k}}$

for . ${\ displaystyle a_ {k}, b_ {k} \ in \ mathbb {R}}$

Isomorfisme af anti-lineær dual med ægte dual

Den antilinære dual ^{pg 36} i et komplekst vektorrum${\ displaystyle V}$

${\ displaystyle {\ text {Hom}} _ {\ overline {\ mathbb {C}}} (V, \ mathbb {C})}$

er en speciel eksempel, fordi det er isomorf til den virkelige dobbelte af den underliggende reelle vektorrum af , . Dette er givet ved, at kortet sender et antilinearisk kort${\ displaystyle V}$${\ displaystyle {\ text {Hom}} _ {\ mathbb {R}} (V, \ mathbb {R})}$

${\ displaystyle l: V \ til \ mathbb {C}}$

til

${\ displaystyle {\ text {Im}} (l): V \ til \ mathbb {R}}$

I den anden retning er der det inverse kort, der sender en rigtig dobbeltvektor

${\ displaystyle \ lambda: V \ to \ mathbb {R}}$

til

${\ displaystyle l (v) =-\ lambda (iv)+i \ lambda (v)}$

giver det ønskede kort.

Ejendomme

Den sammensatte af to antilinear maps er en lineær afbildning . Klassen af semilineariske kort generaliserer klassen af ​​lineære kort.

Anti-dobbelt plads

Vektorrummet for alle antilinære former på et vektorrum kaldes det algebraiske anti-dual-rum i If er et topologisk vektorrum , så er vektorrummet for alle kontinuerlige antilinære funktionaliteter på betegnet med det kontinuerlige anti-dual-rum eller simpelthen anti-dobbeltrum af hvis der ikke kan opstå forvirring. ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle X.}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle X,}$${\ displaystyle {\ overline {X}}^{\ prime},}$${\ displaystyle X}$

Når er et normeret rum, så defineres den kanoniske norm på det (kontinuerlige) anti-dobbelte rum angivet ved at bruge den samme ligning: ${\ displaystyle H}$${\ displaystyle {\ overline {X}}^{\ prime},}$${\ displaystyle \ | f \ | _ {{\ overline {X}}^{\ prime}},}$

Denne formel er identisk med formlen for den dobbelte normen på kontinuerlige dobbelte plads af hvilke er defineret ved ${\ displaystyle X^{\ prime}}$${\ displaystyle X,}$

Kanonisk isometri mellem dual og anti-dual

Det komplekse konjugat af en funktionel defineres ved at sende til Det tilfredsstiller ${\ displaystyle {\ overline {f}}}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle x \ in \ operatorname {domain} f}$${\ displaystyle {\ overline {f (x)}}.}$

for hver eneste Dette siger præcis, at den kanoniske antilinære bijektion defineret af ${\ displaystyle f \ i X^{\ prime}}$${\ displaystyle g \ i {\ overline {X}}^{\ prime}.}$

$${\ displaystyle \ operatorname {Cong} ~: ~ X^{\ prime} \ til {\ overline {X}}^{\ prime} \ quad {\ text {hvor}} \ quad \ operatorname {Cong} (f) : = {\ overline {f}}}$$

såvel som dets omvendte er antilinære isometrier og følgelig også homeomorfismer . ${\ displaystyle \ operatorname {Cong}^{-1} ~: ~ {\ overline {X}}^{\ prime} \ til X^{\ prime}}$

Hvis da og dette kanoniske kort reduceres ned til identitetskortet. ${\ displaystyle \ mathbb {F} = \ mathbb {R}}$${\ displaystyle X^{\ prime} = {\ overline {X}}^{\ prime}}$${\ displaystyle \ operatorname {Cong}: X^{\ prime} \ til {\ overline {X}}^{\ prime}}$

Indre produktrum

Hvis er et

indre produktrum, opfylder både den kanoniske norm om og om parallelogramloven , hvilket betyder, at polariseringsidentiteten kan bruges til at definere et kanonisk indre produkt på og også, som denne artikel vil betegne med notationerne ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle X^{\ prime}}$${\ displaystyle {\ overline {X}}^{\ prime}}$${\ displaystyle X^{\ prime}}$${\ displaystyle {\ overline {X}}^{\ prime},}$

$${\ displaystyle \ langle f, g \ rangle _ {X^{\ prime}}: = \ langle g \ mid f \ rangle _ {X^{\ prime}} \ quad {\ text {og}} \ quad \ langle f, g \ rangle _ {{\ overline {X}}^{\ prime}}: = \ langle g \ mid f \ rangle _ {{\ overline {X}}^{\ prime}}}$$

hvor dette indre produkt gør og ind i Hilbert -rum. De indre produkter og er antilineære i deres andet argument. Desuden er den kanoniske norm fremkaldt af dette indre produkt (det vil sige normen defineret af ) i overensstemmelse med den dobbelte norm (det vil sige som defineret ovenfor af supremummet over enhedsbolden); udtrykkeligt betyder det, at følgende gælder for hver${\ displaystyle X^{\ prime}}$${\ displaystyle {\ overline {X}}^{\ prime}}$${\ displaystyle \ langle f, g \ rangle _ {X^{\ prime}}}$${\ displaystyle \ langle f, g \ rangle _ {{\ overline {X}}^{\ prime}}}$${\ displaystyle f \ mapsto {\ sqrt {\ left \ langle f, f \ right \ rangle _ {X^{\ prime}}}}}}$${\ displaystyle f \ i X^{\ prime}:}$

$${\ displaystyle \ sup _ {\ | x \ | \ leq 1, x \ i X} | f (x) | = \ | f \ | _ {X^{\ prime}} ~ = ~ {\ sqrt {\ langle f, f \ rangle _ {X^{\ prime}}}} ~ = ~ {\ sqrt {\ langle f \ mid f \ rangle _ {X^{\ prime}}}}}}$$

Hvis er et

indre produktrum, så er de indre produkter på det dobbelte rum og det anti-dobbelte rum betegnet henholdsvis med og er relateret af ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle X^{\ prime}}$${\ displaystyle {\ overline {X}}^{\ prime},}$${\ displaystyle \ langle \, \ cdot \ ,, \, \ cdot \, \ rangle _ {X^{\ prime}}}$${\ displaystyle \ langle \, \ cdot \ ,, \, \ cdot \, \ rangle _ {{\ overline {X}}^{\ prime}},}$

$${\ displaystyle \ langle \, {\ overline {f}} \, | \, {\ overline {g}} \, \ rangle _ {{\ overline {X}}^{\ prime}} = {\ overline { \ langle \, f \, | \, g \, \ rangle _ {X^{\ prime}}}} = \ langle \, g \, | \, f \, \ rangle _ {X^{\ prime} } \ qquad {\ text {for alle}} f, g \ i X^{\ prime}}$$

og

$${\ displaystyle \ langle \, {\ overline {f}} \, | \, {\ overline {g}} \, \ rangle _ {X^{\ prime}} = {\ overline {\ langle \, f \ , | \, g \, \ rangle _ {{\ \ overline {X}}^{\ prime}}}} = \ langle \, g \, | \, f \, \ rangle _ {{\ overline {X} }^{\ prime}} \ qquad {\ text {for alle}} f, g \ i {\ overline {X}}^{\ prime}.}$$

Se også

• Kompleks konjugat
• Kompleks konjugeret vektorrum
• Grundlæggende sætning om Hilbert -rum
• Indre produktrum  - Generalisering af prikproduktet; bruges til at definere Hilbert -mellemrum
• Lineært kort  - Kortlægning, der bevarer additions- og skalar -multiplikationen
• Matrix -lighed
• Riesz repræsentation sætning
• Sesquilinær form-Skalærværdi  -funktion af to komplekse variabler, der er lineær i en variabel og konjugat-lineær i den anden
• Time reversal  - Time reversal symmetri i fysik

Citater

Referencer

• Budinich, P. og Trautman, A. The Spinorial Chessboard . Springer-Verlag, 1988. ISBN  0-387-19078-3 . (antilinære kort diskuteres i afsnit 3.3).
• Horn og Johnson, Matrix Analysis, Cambridge University Press, 1985. ISBN  0-521-38632-2 . (antilinære kort diskuteres i afsnit 4.6).
• Trèves, François (2006) [1967]. Topologiske vektorrum, distributioner og kerner . Mineola, NY: Dover Publications. ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC  853623322 .

Denne lineære algebra -relaterede artikel er en stubbe . Du kan hjælpe Wikipedia ved at udvide den .

• v
• t
• e