Sekvilinær form - Sesquilinear form

I matematik er en sesquilinear form en generalisering af en bilinear form, der igen er en generalisering af begrebet dot-produktet af det euklidiske rum . En bilinær form er lineær i hvert af dens argumenter, men en sesquilinear form tillader, at et af argumenterne "vrides" på en halvlinearet måde, således navnet; der stammer fra det latinske numeriske præfiks sesqui- betyder "en og en halv". Det grundlæggende koncept for prikproduktet - der producerer en skalar ud fra et par vektorer - kan generaliseres ved at tillade et bredere udvalg af skalarværdier og måske samtidig ved at udvide definitionen af en vektor.

En motiverende særligt tilfælde er en sesquilinear form på en kompleks vektorrum , $V$ . Dette er et kort $V \times V \to C,$ der er lineært i et argument og "drejer" lineariteten af det andet argument ved kompleks konjugering (kaldet antilinear i det andet argument). Denne sag opstår naturligt i matematiske fysikapplikationer. En anden vigtig sag gør det muligt for skalarer at komme fra ethvert felt, og vridningen tilvejebringes af en feltautorisme .

En anvendelse i projektiv geometri kræver, at skalarer kommer fra en opdelingsring (skævt felt), $K$ , og dette betyder, at "vektorerne" skal erstattes af elementer i et $K-$ modul . I en meget generel indstilling, kan sesquilinear former der defineres $R$ -modules for vilkårlige ringe $R$ .

Uformel introduktion

Seksklinære former er abstrakte og generaliserer den grundlæggende forestilling om en hermitisk form på komplekst vektorrum . Hermitiske former ses almindeligvis i fysik som det indre produkt på et komplekst Hilbert-rum . I sådanne tilfælde er standard hermitisk form på $C n$ givet af

{\ displaystyle \ langle w, z \ rangle = \ sum _ {i = 1} ^ {n} {\ overline {w}} _ {i} z_ {i}.}

hvor betegner den komplekst konjugerede af dette produkt kan generaliseres til situationer, hvor man ikke arbejder med en ortonormalbasis for $C$ $n$ , eller endda nogen grundlag overhovedet. Ved at indsætte en ekstra faktor i produktet opnår man den skæve-hermitiske form , defineret mere præcist, nedenfor. Der er ingen særlig grund til at begrænse definitionen til de komplekse tal; det kan defineres for vilkårlige ringe, der bærer en antiautomorfisme , uformelt forstået som et generaliseret begreb "kompleks konjugering" for ringen. ${\ displaystyle {\ overline {w}} _ {i}}$ ${\ displaystyle w_ {i} ~.}$ ${\ displaystyle i}$

Konvention

Konventioner adskiller sig med hensyn til hvilket argument der skal være lineært. I kommutativt tilfælde skal vi tage den første til at være lineær, som det er almindeligt i den matematiske litteratur, undtagen i det afsnit, der er afsat til sesquilineære former på komplekse vektorrum. Der bruger vi den anden konvention og tager det første argument for at være konjugat-lineært (dvs. antilinear) og det andet for at være lineært. Dette er den konvention, der hovedsagelig bruges af fysikere og stammer fra Dirac's bra-ket notation i kvantemekanik .

I den mere generelle ikke-kommutative indstilling tager vi med højre moduler det andet argument for at være lineært, og med venstre moduler tager vi det første argument for at være lineært.

Komplekse vektorrum

Antagelse : I dette afsnit er sesquilinear-former antilinear i deres første argument og lineære i deres andet.

Over et komplekst vektorrum er et kort sesquilinear hvis ${\ displaystyle V}$ ${\ displaystyle \ varphi: V \ gange V \ til \ mathbb {C}}$

{\ displaystyle {\ begin {justeret} & \ varphi (x + y, z + w) = \ varphi (x, z) + \ varphi (x, w) + \ varphi (y, z) + \ varphi (y , w) \\ & \ varphi (ax, by) = {\ overline {a}} b \, \ varphi (x, y) \ end {aligned}}}

for alle og alle Her er det komplekse konjugat af en skalar ${\ displaystyle x, y, z, w \ in V}$ ${\ displaystyle a, b \ in \ mathbb {C}.}$ ${\ displaystyle {\ overline {a}}}$ ${\ displaystyle a.}$

En kompleks sesquilinear form kan også ses som et komplekst bilinear kort

{\ displaystyle {\ overline {V}} \ gange V \ til \ mathbb {C}}

hvor er det komplekse konjugerede vektorrum til Ved den universelle egenskab af tensorprodukter er disse i en-til-en korrespondance med komplekse lineære kort

{\ displaystyle {\ overline {V}}}

{\ displaystyle V.}

{\ displaystyle {\ overline {V}} \ otimes V \ to \ mathbb {C}.}

For en fast er kortet en

lineær funktionel på (dvs. et element i det dobbelte rum ). Ligeledes er kortet en konjugat-lineær funktionel på

{\ displaystyle z \ i V}

{\ displaystyle w \ mapsto \ varphi (z, w)}

{\ displaystyle V}

{\ displaystyle V ^ {*}}

{\ displaystyle w \ mapsto \ varphi (w, z)}

{\ displaystyle V.}

Givet nogen kompleks sesquilinear formular på vi kan definere en anden kompleks sesquilinear formular via

konjugattransposition :

{\ displaystyle \ varphi}

{\ displaystyle V}

{\ displaystyle \ psi}

{\ displaystyle \ psi (w, z) = {\ overline {\ varphi (z, w)}}.}

Generelt og vil være anderledes. Hvis de er de samme, siges det at være Hermitian . Hvis de er negativer af hinanden, siges det at være skæv-hermitisk . Hver sesquilinear form kan skrives som en sum af en hermitisk form og en skæv-hermitisk form.

{\ displaystyle \ psi}

{\ displaystyle \ varphi}

{\ displaystyle \ varphi}

{\ displaystyle \ varphi}

Matrixrepræsentation

Hvis der er et endeligt dimensionelt komplekst vektorrum, så er det i forhold til ethvert

grundlag for en sesquilinear form repræsenteret af en matrix af søjlevektoren og søjlevektoren :

{\ displaystyle V}

{\ displaystyle \ left \ {e_ {i} \ right \} _ {i}}

{\ displaystyle V,}

{\ displaystyle \ Phi,}

{\ displaystyle w}

{\ displaystyle w,}

{\ displaystyle z}

{\ displaystyle z}

{\ displaystyle \ varphi (w, z) = \ varphi \ left (\ sum _ {i} w_ {i} e_ {i}, \ sum _ {j} z_ {j} e_ {j} \ right) = \ sum _ {i} \ sum _ {j} {\ overline {w_ {i}}} z_ {j} \ varphi \ left (e_ {i}, e_ {j} \ right) = {\ overline {w}} ^ {\ mathrm {T}} \ Phi z.}

Komponenterne er givet af

{\ displaystyle \ Phi}

{\ displaystyle \ Phi _ {ij}: = \ varphi \ left (e_ {i}, e_ {j} \ right).}

Hermitisk form

Udtrykket hermitisk form kan også henvise til et andet koncept end det, der er forklaret nedenfor: det kan henvise til en bestemt differentieret form på en hermitisk manifold .

En kompleks hermitisk form (også kaldet en symmetrisk sesquilinear form ) er en sesquilinear form, således at ${\ displaystyle h: V \ gange V \ til \ mathbb {C}}$

{\ displaystyle h (w, z) = {\ overline {h (z, w)}}.}

Den standard Hermitian-form er givet (igen ved hjælp af "fysik" -konventionen om linearitet i den anden og konjugeret linearitet i den første variabel) af

{\ displaystyle \ mathbb {C} ^ {n}}

{\ displaystyle \ langle w, z \ rangle = \ sum _ {i = 1} ^ {n} {\ overline {w}} _ {i} z_ {i}.}

Mere generelt er det indre produkt på ethvert komplekst Hilbert-rum en hermitisk form.

Et minustegn introduceres i den hermitiske form for at definere gruppen

SU (1,1) .

{\ displaystyle ww ^ {*} - zz ^ {*}}

Et vektorrum med en hermitisk form kaldes et

hermitisk rum .

{\ displaystyle (V, h)}

Matrixrepræsentationen af en kompleks hermitisk form er en hermitisk matrix .

En kompleks hermitisk form anvendt på en enkelt vektor

{\ displaystyle | z | _ {h} = h (z, z)}

er altid et rigtigt tal . Man kan vise, at en kompleks sesquilinear form er Hermitian, hvis og kun hvis den tilknyttede kvadratiske form er reel for alle

{\ displaystyle z \ i V.}

Skæv-hermitisk form

En kompleks skæv-hermitisk form (også kaldet en antisymmetrisk sesquilinear form ) er en kompleks sesquilinear form, således at ${\ displaystyle s: V \ gange V \ til \ mathbb {C}}$

{\ displaystyle s (w, z) = - {\ overline {s (z, w)}}.}

Hver kompleks skæv-hermitisk form kan skrives som den imaginære enhed gange en hermitisk form.

{\ displaystyle i: = {\ sqrt {-1}}}

Matrixrepræsentationen af en kompleks skæv-hermitisk form er en skæv-hermitisk matrix .

En kompleks skæv-hermitisk form anvendt på en enkelt vektor

{\ displaystyle | z | _ {s} = s (z, z)}

er altid et rent imaginært tal .

Over en division ring

Dette afsnit gælder uændret, når delingsringen $K$ er kommutativ . Mere specifik terminologi gælder så også: delingsringen er et felt, anti-automorfismen er også en automorfisme, og det rigtige modul er et vektorrum. Følgende gælder for et venstre modul med passende omorganisering af udtryk.

Definition

En $σ$ -squilinear form over en højre $K-$ modul $M$ er et bi-additivt kort $φ : M \times M \to K$ med en associeret anti-automorfisme $σ$ af en delingsring $K$ således, at for alle $x, y$ i $M$ og alle $α, β$ i $K$ ,

{\ displaystyle \ varphi (x \ alpha, y \ beta) = \ sigma (\ alpha) \, \ varphi (x, y) \, \ beta.}

Den associerede anti-automorfisme $σ$ for enhver ikke-nul sesquilinear form $φ$ bestemmes entydigt af $φ$ .

Orthogonality

Givet en sesquilinear formular $φ$ over et modul $M$ og et underrum ( undermodul ) $W$ af $M$ , den ortogonale komplement af $W$ i forhold til $φ$ er

{\ displaystyle W ^ {\ perp} = \ {\ mathbf {v} \ i M \ mid \ varphi (\ mathbf {v}, \ mathbf {w}) = 0, \ \ forall \ mathbf {w} \ in W \}.}

Tilsvarende $x \in M$ er ortogonal til $y \in M$ med hensyn til $φ$ , som er skrevet $x ⊥ φ y$ (eller blot $x ⊥ y$ hvis $φ$ kan udledes af konteksten), når $φ (x, y) = 0$ . Dette forhold behøver ikke være symmetrisk , dvs. $x ⊥ y$ betyder ikke $y ⊥ x$ (men se § Reflexivity nedenfor).

Refleksivitet

En sesquilinear form $φ$ er refleksiv, hvis for alle $x, y$ i $M$ ,

{\ displaystyle \ varphi (x, y) = 0}

indebærer

{\ displaystyle \ varphi (y, x) = 0.}

Det vil sige, en sesquilinear form er refleksiv netop, når den afledte ortogonalitetsrelation er symmetrisk.

Hermitian variationer

En $σ$ -squilinear form $φ$ kaldes $(σ, ε)$ -Hermitian, hvis der findes $ε$ i $K,$ således at for alle $x, y$ i $M$ ,

{\ displaystyle \ varphi (x, y) = \ sigma (\ varphi (y, x)) \, \ varepsilon.}

Hvis $ε = 1$ , kaldes formen $σ$ - Hermitian , og hvis $ε = -1$ , kaldes den $σ$ - anti-Hermitian . (Når $σ$ er underforstået, henholdsvis simpelthen Hermitian eller anti-Hermitian .)

For en ikke-nul $(σ, ε)$ -Hermitian form følger det, at for alle $α$ i $K$ ,

{\ displaystyle \ sigma (\ varepsilon) = \ varepsilon ^ {- 1}}

{\ displaystyle \ sigma (\ sigma (\ alpha)) = \ varepsilon \ alpha \ varepsilon ^ {- 1}.}

Det følger også, at $φ (x, x)$ er et fast punkt på kortet $α \mapsto σ (α) ε$ . De faste punkter i dette kort fra en undergruppe af den additive gruppe af $K$ .

A $(σ, ε)$ -Hermitian form er refleksiv, og enhver refleksiv $σ$ -squilinear form er $(σ, ε)$ -Hermitian for nogle $ε$ .

I det specielle tilfælde, at $σ$ er identitetskortet (dvs. $σ = id$ ), er $K$ kommutativ, $φ$ er en bilinær form og $ε 2 = 1$ . Derefter kaldes den bilineære form for $ε = 1$ symmetrisk , og for $ε = -1$ kaldes skæv-symmetrisk .

Eksempel

Lad $V$ være det tredimensionelle vektorrum over det endelige felt $F = GF (q 2)$ , hvor $q$ er en primæreffekt . Med hensyn til standardbasis kan vi skrive $x = (x 1, x 2, x 3)$ og $y = (y 1, y 2, y 3)$ og definere kortet $φ$ ved:

{\ displaystyle \ varphi (x, y) = x_ {1} y_ {1} {} ^ {q} + x_ {2} y_ {2} {} ^ {q} + x_ {3} y_ {3} { } ^ {q}.}

Kortet $σ : t \mapsto t q$ er et involutory automorfi af $F$ . Kortet $φ$ er derefter en $σ$ -squilinear form. Matrixen $M φ, der er$ knyttet til denne form, er identitetsmatrixen . Dette er en hermitisk form.

I projektiv geometri

Antagelse : I dette afsnit er sesquilineære former antilineære (resp. Lineære ) i deres andet (resp. Første) argument.

I en projektiv geometri $G$ er en permutation $δ$ af delområderne, der inverterer inklusion, dvs.

S \subseteq T \Rightarrow T δ \subseteq S δ

for alle underrum

S

,

T

af

G

,

kaldes en sammenhæng . Et resultat af Birkhoff og von Neumann (1936) viser, at sammenhængen mellem desarguesiske projektive geometrier svarer til de ikke-degenererede sesquilineære former på det underliggende vektorrum. En sesquilinear form $φ$ er ikke-degenereret, hvis $φ (x, y) = 0$ for alle $y$ i $V$ (hvis og) kun hvis $x = 0$ .

For at opnå den fulde generalitet af denne erklæring, og da enhver desarguesisk projektiv geometri kan koordineres af en divisionsring , udvidede Reinhold Baer definitionen af en sesquilinear form til en divisionsring, som kræver udskiftning af vektorrum med $R-$ moduler . (I den geometriske litteratur omtales disse stadig som enten venstre eller højre vektorrum over skæve felter.)

Over vilkårlige ringe

Specialiseringen af ovenstående afsnit til skæve felter var en konsekvens af anvendelsen til projiceret geometri og ikke iboende for arten af sesquilineære former. Kun de mindre ændringer, der er nødvendige for at tage højde for manglende kommutativitet ved multiplikation, er nødvendige for at generalisere den vilkårlige feltversion af definitionen til vilkårlige ringe.

Lad $R$ være en ring , $V$ en $R$ - modul og $o$ en antiautomorphism af $R$ .

Et kort $φ : V \times V \to R$ er $σ$ -squilinear hvis

{\ displaystyle \ varphi (x + y, z + w) = \ varphi (x, z) + \ varphi (x, w) + \ varphi (y, z) + \ varphi (y, w)}

{\ displaystyle \ varphi (cx, dy) = c \, \ varphi (x, y) \, \ sigma (d)}

for alle $x, y, z, w$ i $V$ og alle $c, d$ i $R$ .

Et element $x$ er vinkelret på et andet element $y$ med hensyn til den sesquilineære form $φ$ (skrevet $x ⊥ y$ ), hvis $φ (x, y) = 0$ . Dette forhold behøver ikke være symmetrisk, dvs. $x ⊥ y$ betyder ikke $y ⊥ x$ .

En sesquilinear formular $φ : V \times V \to R$ er refleksiv (eller orthosymmetric ) hvis $cp (x, y) = 0$ indebærer $φ (y, x) = 0$ for alle $x, y$ i $V$ .

En sesquilinear form $φ : V \times V \to R$ er Hermitian, hvis der findes $σ$ sådan, at

{\ displaystyle \ varphi (x, y) = \ sigma (\ varphi (y, x))}

for alle $x, y$ i $V$ . En hermitisk form er nødvendigvis refleksiv, og hvis den ikke er nul, er den tilknyttede antiautomorfisme $σ$ en involution (dvs. af rækkefølge 2).

Da vi for en antiautomorfisme $σ$ har $σ (st) = σ (t) σ (s)$ for alle $s, t$ i $R$ , hvis $σ = id$ , så skal $R$ være kommutativ, og $φ$ er en bilinær form. Især hvis $R$ i dette tilfælde er et skævfelt, så er $R$ et felt, og $V$ er et vektorrum med en bilinær form.

En antiautomorfisme $σ : R \to R$ kan også ses som en isomorfisme $R \to R op$ , hvor $R op$ er den modsatte ring af $R$ , som har det samme underliggende sæt og den samme tilføjelse, men hvis multiplikationsoperation ( $*$ ) er defineret ved $en * b = ba$ , hvor produktet til højre er det produkt i $R$ . Det følger heraf, at et højre (venstre) $R-$ modul $V$ kan omdannes til et venstre (højre) $R op-$ modul, $V o$ . Således sesquilinear formular $φ : V \times V \to R$ kan ses som en bilineær formular $φ': V \times V o \to R$ .

Se også

*-ring

Bemærkninger

Referencer

Dembowski, Peter (1968), Finite geometries , Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete , Band 44, Berlin, New York: Springer-Verlag , ISBN 3-540-61786-8, MR 0233275
Gruenberg, KW; Weir, AJ (1977), Lineær geometri (2. udgave), Springer, ISBN 0-387-90227-9
Jacobson, Nathan J. (2009) [1985], Basic Algebra I (2. udgave), Dover, ISBN 978-0-486-47189-1

eksterne links

"Sesquilinear form" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press , 2001 [1994]

Languages

In other projects