Diskret tid og kontinuerlig tid - Discrete time and continuous time

I matematisk dynamik er diskret tid og kontinuerlig tid to alternative rammer inden for hvilke modeller variabler, der udvikler sig over tid.

Diskret tid

Diskret tid ser værdier af variabler som forekommende på forskellige, separate "tidspunkter" eller ækvivalent som uændrede i hvert tidsområde, der ikke er nul ("tidsperiode") - dvs. tid betragtes som en diskret variabel . Således springer en ikke-tidsvariabel fra en værdi til en anden, når tiden bevæger sig fra en tidsperiode til den næste. Dette tidsbillede svarer til et digitalt ur, der giver en fast aflæsning på 10:37 i et stykke tid og derefter hopper til en ny fast aflæsning på 10:38 osv. I denne ramme måles hver variabel af interesse en gang for hver tidsperiode. Antallet af målinger mellem to tidsperioder er begrænset. Målinger foretages typisk ved sekventielle heltalværdier for variablen "tid".

Et diskret signal eller et diskret tidssignal er en tidsserie, der består af en række af størrelser.

I modsætning til et kontinuerligt tidssignal er et diskret tidssignal ikke en funktion af et kontinuerligt argument; dog kan det være opnået ved sampling fra et kontinuerligt tidssignal. Når der opnås et diskret tidssignal ved sampling af en sekvens med ensartede tidsrum, har den en tilknyttet samplingshastighed .

Diskrete tidssignaler kan have flere oprindelser, men kan normalt klassificeres i en af ​​to grupper:

• Ved at erhverve værdier af et analogt signal med konstant eller variabel hastighed. Denne proces kaldes prøveudtagning .
• Ved at observere en iboende diskret tidsproces, såsom den ugentlige spidsværdi for en bestemt økonomisk indikator.

Kontinuerlig tid

I modsætning hertil ser kontinuerlig tid variabler som at have en bestemt værdi i potentielt kun en uendelig kort tid. Mellem to tidspunkter er der et uendeligt antal andre tidspunkter. Variablen "tid" spænder over hele linjen med reelle tal eller afhængigt af konteksten over en delmængde af den, såsom de ikke-negative reelle. Således betragtes tiden som en kontinuerlig variabel .

Et kontinuerligt signal eller et kontinuerligt tidssignal er en varierende størrelse (et signal ), hvis domæne, som ofte er tid, er et kontinuum (f.eks. Et tilsluttet interval af realerne ). Det vil sige, funktionens domæne er et utalligt sæt . Selve funktionen behøver ikke at være kontinuerlig . Derimod har et diskret tidssignal et tællbart domæne, ligesom de naturlige tal .

Et signal med kontinuerlig amplitude og tid er kendt som et kontinuerligt tidssignal eller et analogt signal . Dette (et signal ) vil have en vis værdi på hvert øjeblik. De elektriske signaler afledt i forhold til de fysiske størrelser såsom temperatur, tryk, lyd osv. Er generelt kontinuerlige signaler. Andre eksempler på kontinuerlige signaler er sinusbølge, cosinusbølge, trekantet bølge osv.

Signalet er defineret over et domæne, som måske eller måske ikke er endeligt, og der er en funktionel kortlægning fra domænet til signalets værdi. Kontinuiteten af ​​tidsvariablen i forbindelse med loven om tæthed for reelle tal betyder, at signalværdien kan findes på ethvert vilkårligt tidspunkt.

Et typisk eksempel på et uendeligt varighedssignal er:

${\ displaystyle f (t) = \ sin (t), \ quad t \ in \ mathbb {R}}$

En modstykke til begrænset varighed af ovenstående signal kan være:

${\ displaystyle f (t) = \ sin (t), \ quad t \ i [- \ pi, \ pi]}$ og ellers. ${\ displaystyle f (t) = 0}$

Værdien af ​​et endeligt (eller uendeligt) varighedssignal kan eller ikke være endeligt. For eksempel,

${\ displaystyle f (t) = {\ frac {1} {t}}, \ quad t \ in [0,1]}$ og ellers ${\ displaystyle f (t) = 0}$

er et endelig varighedssignal, men det kræver en uendelig værdi for . ${\ displaystyle t = 0 \,}$

I mange discipliner er konventionen, at et kontinuerligt signal altid skal have en endelig værdi, hvilket giver mere mening i tilfælde af fysiske signaler.

Til nogle formål er uendelige singulariteter acceptable, så længe signalet er integrerbart over ethvert endeligt interval (for eksempel er signalet ikke integrerbart ved uendelig, men er). ${\ displaystyle t ^ {- 1}}$${\ displaystyle t ^ {- 2}}$

Ethvert analogt signal er kontinuerligt af natur. Diskrete tidssignaler , der anvendes i digital signalbehandling , kan opnås ved sampling og kvantisering af kontinuerlige signaler.

Kontinuerligt signal kan også defineres over en anden uafhængig variabel end tid. En anden meget almindelig uafhængig variabel er plads og er især nyttig i billedbehandling , hvor der anvendes to rumdimensioner.

Relevante sammenhænge

Diskret tid anvendes ofte, når empiriske målinger er involveret, fordi det normalt kun er muligt at måle variabler sekventielt. For eksempel, mens økonomisk aktivitet faktisk finder sted kontinuerligt, er der intet øjeblik, hvor økonomien er helt i en pause, det er kun muligt at måle økonomisk aktivitet diskret. Af denne grund viser offentliggjorte data om f.eks. Bruttonationalproduktet en række kvartalsværdier .

Når man forsøger at empirisk forklare sådanne variabler i form af andre variabler og / eller deres egne tidligere værdier, bruger man tidsserier eller regressionsmetoder , hvor variabler er indekseret med et abonnement, der angiver den tidsperiode, hvor observation fandt sted. For eksempel kan y _t referere til værdien af indkomst observeret i uspecificeret tidsperiode t , y ₃ til værdien af ​​indkomst observeret i den tredje tidsperiode osv.

Desuden, når en forsker forsøger at udvikle en teori til at forklare, hvad der observeres i diskret tid, udtrykkes selve teorien ofte i diskret tid for at lette udviklingen af ​​en tidsserie eller regressionsmodel.

På den anden side er det ofte mere matematisk sporbart at konstruere teoretiske modeller i kontinuerlig tid, og ofte i områder som fysik kræver en nøjagtig beskrivelse brug af kontinuerlig tid. I en kontinuerlig tidskontekst betegnes værdien af ​​en variabel y på et ikke specificeret tidspunkt i tiden som y ( t ) eller, når betydningen er klar, simpelthen som y .

Typer af ligninger

Diskret tid

Diskret tid bruger forskelligninger , også kendt som gentagelsesrelationer. Et eksempel, kendt som det logistiske kort eller den logistiske ligning, er

${\ displaystyle x_ {t + 1} = rx_ {t} (1-x_ {t}),}$

hvor r er en parameter i området fra 2 til 4 inklusive, og x er en variabel i området fra 0 til 1 inklusive hvis værdi i periode t ikke-lineært påvirker dens værdi i den næste periode, t +1. For eksempel, hvis og , så for t = 1 har vi , og for t = 2 har vi . ${\ displaystyle r = 4}$${\ displaystyle x_ {1} = 1/3}$${\ displaystyle x_ {2} = 4 (1/3) (2/3) = 8/9}$${\ displaystyle x_ {3} = 4 (8/9) (1/9) = 32/81}$

Et andet eksempel modellerer justeringen af ​​en pris P som svar på ikke-nul overskydende efterspørgsel efter et produkt som

${\ displaystyle P_ {t + 1} = P_ {t} + \ delta \ cdot f (P_ {t}, ...)}$

hvor er den positive justeringshastighedsparameter, som er mindre end eller lig med 1, og hvor er funktionen for overskydende efterspørgsel . ${\ displaystyle \ delta}$${\ displaystyle f}$

Kontinuerlig tid

Kontinuerlig tid bruger differentialligninger . For eksempel kan justeringen af ​​en pris P som svar på ikke-nul overskydende efterspørgsel efter et produkt modelleres i kontinuerlig tid som

${\ displaystyle {\ frac {dP} {dt}} = \ lambda \ cdot f (P, ...)}$

hvor venstre side er det første afledte af prisen med hensyn til tid (det vil sige prisændringshastigheden), er parameteren for justeringshastighed, som kan være et hvilket som helst positivt endeligt antal, og er igen det overskydende behov fungere. ${\ displaystyle \ lambda}$${\ displaystyle f}$

Grafisk skildring

En variabel målt i diskret tid kan afbildes som en trinfunktion , hvor hver tidsperiode får et område på den vandrette akse af samme længde som hver anden tidsperiode, og den målte variabel er tegnet som en højde, der forbliver konstant i hele regionen for tidsperioden. I denne grafiske teknik vises grafen som en række vandrette trin. Alternativt kan hver tidsperiode ses som et løsrevet tidspunkt, sædvanligvis med et helt tal på den vandrette akse, og den målte variabel er tegnet som en højde over dette tidsakspunkt. I denne teknik vises grafen som et sæt prikker.

Værdierne for en variabel målt i kontinuerlig tid er tegnet som en kontinuerlig funktion , da tidsdomænet betragtes som hele den reelle akse eller i det mindste en sammenhængende del af den.

Se også

Referencer

• Gershenfeld, Neil A. (1999). Arten af ​​matematisk modellering . Cambridge University Press. ISBN   0-521-57095-6 .

• Wagner, Thomas Charles Gordon (1959). Analytiske transienter . Wiley.