Dobbelt Mersenne nummer - Double Mersenne number

Dobbelt Mersenne primtal
Antal kendte udtryk	4
Formodet nr. af vilkår	4
Første vilkår	7, 127, 2147483647
Største kendte udtryk	170141183460469231731687303715884105727
OEIS indeks

I matematik er et dobbelt Mersenne -tal et Mersenne -nummer af formen

{\ displaystyle M_ {M_ {p}} = 2^{2^{p} -1} -1}

hvor p er prim .

Eksempler

De første fire termer i sekvensen af dobbelt Mersenne -tal er (sekvens A077586 i OEIS ):

{\ displaystyle M_ {M_ {2}} = M_ {3} = 7}

{\ displaystyle M_ {M_ {3}} = M_ {7} = 127}

{\ displaystyle M_ {M_ {5}} = M_ {31} = 2147483647}

{\ displaystyle M_ {M_ {7}} = M_ {127} = 170141183460469231731687303715884105727}

Dobbelt Mersenne primtal

Et dobbelt Mersenne -tal, der er primtal , kaldes en dobbelt Mersenne -prime . Da en Mersenne tal M _p kan være primtal, hvis p er et primtal, (se Mersenne primtal for et bevis), en dobbelt Mersenne tal kan være primtal, hvis M _p er i sig selv en Mersenne primtal. For de første værdier af p, for hvilke M _p er prim, er det kendt at være prim for p = 2, 3, 5, 7, mens eksplicitte faktorer er fundet for p = 13, 17, 19 og 31. ${\ displaystyle M_ {M_ {p}}}$ ${\ displaystyle M_ {M_ {p}}}$ ${\ displaystyle M_ {M_ {p}}}$

${\ displaystyle p}$	${\ displaystyle M_ {p} = 2^{p} -1}$	${\ displaystyle M_ {M_ {p}} = 2^{2^{p} -1} -1}$	faktorisering af ${\ displaystyle M_ {M_ {p}}}$
2	3	prime	7
3	7	prime	127
5	31	prime	2147483647
7	127	prime	170141183460469231731687303715884105727
11	ikke prime	ikke prime	47 × 131009 × 178481 × 724639 × 2529391927 × 70676429054711 × 618970019642690137449562111 × ...
13	8191	ikke prime	338193759479 × 210206826754181103207028761697008013415622289 × ...
17	131071	ikke prime	231733529 × 64296354767 × ...
19	524287	ikke prime	62914441 × 5746991873407 × 2106734551102073202633922471 × 824271579602877114508714150039 × 65997004087015989956123720407169 × ...
23	ikke prime	ikke prime	2351 × 4513 × 13264529 × 76899609737 × ...
29	ikke prime	ikke prime	1399 × 2207 × 135607 × 622577 × 16673027617 × 4126110275598714647074087 × ...
31	2147483647	ikke prime	295257526626031 × 87054709261955177 × 242557615644693265201 × 178021379228511215367151 × ...
37	ikke prime	ikke prime
41	ikke prime	ikke prime
43	ikke prime	ikke prime
47	ikke prime	ikke prime
53	ikke prime	ikke prime
59	ikke prime	ikke prime
61	2305843009213693951	ukendt

Således er den mindste kandidat til den næste dobbelte Mersenne -prime , eller 2 ^{2305843009213693951} - 1. At være cirka 1.695 × 10 ^{694127911065419641} , dette tal er alt for stort til nogen i øjeblikket kendt primalitetstest . Det har ingen primfaktor under 4 × 10 ³³ . Der er sandsynligvis ikke andre dobbelte Mersenne -primtal end de fire kendte. ${\ displaystyle M_ {M_ {61}}}$

Mindste primfaktor på (hvor p er n th prim) er ${\ displaystyle M_ {M_ {p}}}$

7, 127, 2147483647, 170141183460469231731687303715884105727, 47, 338.193.759.479, 231.733.529, 62.914.441, 2351, 1399, 295257526626031, 18.287, 106.937, 863, 4703, 138.863, 22590223644617, ... (næste ord er> 4 × 10 ³³ ) (sekvens A309130 i OEIS )

Catalansk – Mersenne tal formodning

Den rekursivt definerede sekvens

{\ displaystyle c_ {0} = 2}

{\ displaystyle c_ {n+1} = 2^{c_ {n}}-1 = M_ {c_ {n}}}

kaldes sekvensen af catalanske – Mersenne -tal . De første termer i sekvensen (sekvens A007013 i OEIS ) er:

{\ displaystyle c_ {0} = 2}

{\ displaystyle c_ {1} = 2^{2} -1 = 3}

{\ displaystyle c_ {2} = 2^{3} -1 = 7}

{\ displaystyle c_ {3} = 2^{7} -1 = 127}

{\ displaystyle c_ {4} = 2^{127} -1 = 170141183460469231731687303715884105727}

{\ displaystyle c_ {5} = 2^{170141183460469231731687303715884105727} -1 \ ca. 5.454 \ gange 10^{51217599719369681875006054625051616349} \ ca. 10^{10^{37.7094}}}}

Catalansk kom op med denne sekvens efter opdagelsen af primtal af med Lucas i 1876. catalansk formodede , at de er prime "op til en vis grænse". Selvom de første fem udtryk er primtal, kan ingen kendte metoder bevise, at yderligere vilkår er primære (inden for rimelig tid), simpelthen fordi de er for store. Men hvis det ikke er prime, er der en chance for at opdage dette ved at beregne modulo nogle små prime (ved hjælp af rekursiv modulær eksponentiering ). Hvis den resulterende rest er nul, repræsenterer en faktor på og dermed vil modbevise dens primitet. Da det er et Mersenne -tal , skal en sådan primfaktor være af formen . Fordi, fordi det er sammensat, når det er sammensat, ville opdagelsen af et sammensat udtryk i sekvensen udelukke muligheden for yderligere primtal i sekvensen. ${\ displaystyle M_ {127} = c_ {4}}$ ${\ displaystyle c_ {5}}$ ${\ displaystyle c_ {5}}$ ${\ displaystyle p}$ ${\ displaystyle p}$ ${\ displaystyle c_ {5}}$ ${\ displaystyle c_ {5}}$ ${\ displaystyle p}$ ${\ displaystyle 2kc_ {4} +1}$ ${\ displaystyle 2^{n} -1}$ ${\ displaystyle n}$

I populærkulturen

I Futurama -filmen The Beast with a Billion Backs ses det dobbelte Mersenne -nummer kort i "et elementært bevis på Goldbach -formodningen ". I filmen er dette nummer kendt som en "martian prime". ${\ displaystyle M_ {M_ {7}}}$

Se også

Referencer

Yderligere læsning

Dickson, LE (1971) [1919], History of theory of Numbers , New York: Chelsea Publishing.

Languages

In other projects