Dobbelt periodisk funktion - Doubly periodic function

I matematik er en dobbelt periodisk funktion en funktion, der er defineret på det komplekse plan og har to "perioder", som er komplekse tal u og v, der er lineært uafhængige som vektorer over feltet med reelle tal . At u og v er perioder af en funktion ƒ betyder, at

${\ displaystyle f (z+u) = f (z+v) = f (z) \,}$

for alle værdier af det komplekse tal  z .

Den dobbelt periodiske funktion er således en todimensionel forlængelse af den enklere enkeltstående periodiske funktion , som gentager sig i en enkelt dimension. Kendte eksempler på funktioner med en enkelt periode på den reelle talelinje omfatter de trigonometriske funktioner som cosinus og sinus. I det komplekse plan er den eksponentielle funktion e ^z en enkelt periodisk funktion med periode 2 πi .

Som en vilkårlig kortlægning fra par af reals (eller komplekse tal) til reals kan en dobbelt periodisk funktion konstrueres med lille indsats. Antag for eksempel, at perioderne er 1 og  i , så det gentagende gitter er sættet med enhedsfirkanter med hjørner ved de gaussiske heltal . Værdier i prototypekvadratet (dvs. x  +  iy hvor 0 ≤  x  <1 og 0 ≤  y  <1) kan tildeles temmelig vilkårligt og derefter 'kopieres' til tilstødende firkanter. Denne funktion vil derefter nødvendigvis være dobbelt periodisk.

Hvis vektorerne 1 og i i dette eksempel erstattes af lineært uafhængige vektorer u og v , bliver prototype -firkanten et prototype -parallelogram, der stadig fliser flyet . "Oprindelsen" af parallelogrammernes gitter behøver ikke at være punktet 0: gitteret kan starte fra ethvert punkt. Med andre ord kan vi tænke på flyet og dets tilhørende funktionsværdier som resterende faste og mentalt oversætte gitteret for at få indsigt i funktionens egenskaber.

Hvis en dobbelt periodisk funktion også er en kompleks funktion, der opfylder Cauchy -Riemann -ligningerne og giver en analytisk funktion væk fra nogle sæt isolerede poler - med andre ord en meromorf funktion - så kan der opnås mange oplysninger om en sådan funktion ved at anvende nogle grundlæggende sætninger fra kompleks analyse.

• En ikke-konstant meromorf dobbelt periodisk funktion kan ikke begrænses til prototypens parallelogram. For hvis det var det, ville det være afgrænset overalt og derfor konstant af Liouvilles sætning .
• Da funktionen er meromorf, har den ingen væsentlige singulariteter, og dens poler er isoleret. Derfor kan et oversat gitter, der ikke passerer nogen stang, konstrueres. Den kontur integrerende omkring ethvert parallelogram i gitteret skal forsvinde, da værdierne overtages af den dobbelt periodisk funktion langs de to par af parallelle sider er identiske, og de to par sider gennemløbes i modsatte retninger som vi flytte rundt konturen. Derfor kan funktionen ved restsætningen ikke have en enkelt enkel pol inde i hvert parallelogram - den skal have mindst to enkle poler inden for hvert parallelogram (Jacobian case), eller den skal have mindst en pol af orden større end én (Weierstrassian sag).
• Et lignende argument kan anvendes på funktionen g = 1/ ƒ, hvor ƒ er meromorf og dobbelt periodisk. Under denne inversion de nuller af ƒ blevet de poler af g og vice versa . Så den meromorfe dobbelt periodiske funktion ƒ kan ikke have et enkelt nul liggende inden for hvert parallelogram på gitteret - det skal have mindst to simple nuller, eller det skal have mindst et nul af multiplicitet større end en. Det følger heraf, at ƒ ikke kan opnå nogen værdi bare én gang, da ƒ minus denne værdi i sig selv ville være en meromorf dobbelt periodisk funktion med kun et nul.

Se også

• Elliptisk funktion
  • Abel elliptiske funktioner
  • Jacobi elliptiske funktioner
  • Weierstrass elliptiske funktioner
  • Lemniscate elliptiske funktioner
  • Dixon elliptiske funktioner
• Grundlæggende par perioder
• Periodekortlægning

eksterne links

• "Dobbelt-periodisk funktion" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press , 2001 [1994]