Tvang (matematik) - Forcing (mathematics)

I den matematiske disciplin af sætteori er tvang en teknik til at bevise konsistens og uafhængighedsresultater . Det blev først brugt af Paul Cohen i 1963 for at bevise uafhængigheden af valgaksiomet og kontinuumhypotesen fra Zermelo - Fraenkel sætteori .

Tvang er blevet betydeligt omarbejdet og forenklet i de følgende år og har siden fungeret som en kraftfuld teknik, både inden for sætteori og inden for områder af matematisk logik, såsom rekursionsteori . Beskrivende sætteori bruger forestillinger om at tvinge fra både rekursionsteori og sætteori. Tvang er også blevet brugt i modelteori , men det er almindeligt inden for modelteori at definere genericitet direkte uden omtale af tvang.

Intuition

Intuitivt tvinger består af at udvide det sæt teoretiske univers til et større univers . I dette større univers kan man for eksempel have mange nye undergrupper af dem , der ikke var der i det gamle univers, og derved krænke kontinuumhypotesen . ${\ displaystyle V}$${\ displaystyle V^{*}}$${\ displaystyle \ omega}$ ${\ displaystyle = \ {0,1,2, \ ldots \}}$

Selvom det er umuligt at håndtere endelige sæt , er dette bare en anden version af Cantors paradoks om uendelighed. I princippet kunne man overveje:

${\ displaystyle V^{*} = V \ gange \ {0,1 \},}$

identificere sig med , og derefter indføre et udvidet medlemsforhold, der involverer "nye" sæt af formularen . Tvang er en mere udførlig version af denne idé, der reducerer ekspansionen til eksistensen af ​​et nyt sæt og giver mulighed for fin kontrol over egenskaberne i det udvidede univers. ${\ displaystyle x \ i V}$${\ displaystyle (x, 0)}$${\ displaystyle (x, 1)}$

Cohens originale teknik, nu kaldet forgrenet tvang , er en smule forskellig fra den ikke -ramificerede tvang, der er beskrevet her. Tvang er også ækvivalent med metoden for boolsk-værdsatte modeller , som nogle føler er konceptuelt mere naturlig og intuitiv, men normalt meget vanskeligere at anvende.

Tvinger posetter

En tvingende poset er en bestilt triple, hvor der er en forudbestilling på, der er atomløs , hvilket betyder, at den opfylder følgende betingelse: ${\ displaystyle (\ mathbb {P}, \ leq, \ mathbf {1})}$${\ displaystyle \ leq}$${\ displaystyle \ mathbb {P}}$

• For hver er der sådan , uden sådan noget . Det største element af er , det vil sige for alle .${\ displaystyle p \ in \ mathbb {P}}$${\ displaystyle q, r \ in \ mathbb {P}}$${\ displaystyle q, r \ leq p}$${\ displaystyle s \ in \ mathbb {P}}$${\ displaystyle s \ leq q, r}$${\ displaystyle \ mathbb {P}}$${\ displaystyle \ mathbf {1}}$${\ displaystyle p \ leq \ mathbf {1}}$${\ displaystyle p \ in \ mathbb {P}}$

Medlemmer af kaldes tvangsbetingelser eller retfærdige betingelser . Man læser som " er stærkere end ". Intuitivt giver den "mindre" tilstand "mere" information, ligesom det mindre interval giver flere oplysninger om tallet π, end intervallet gør. ${\ displaystyle \ mathbb {P}}$${\ displaystyle p \ leq q}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle q}$${\ displaystyle [3.1415926,3.1415927]}$${\ displaystyle [3.1,3.2]}$

Der er forskellige konventioner i brug. Nogle forfattere kræver også at være antisymmetriske , så forholdet er en delvis orden . Nogle bruger udtrykket delvis ordre alligevel i modstrid med standardterminologi, mens nogle bruger udtrykket forudbestilling . Det største element kan undværes. Den omvendte rækkefølge bruges også, især af Saharon Shelah og hans medforfattere. ${\ displaystyle \ leq}$

P-navne

Forbundet med en tvinge poset er den klasse af - navne . A -navn er et sæt af formularen ${\ displaystyle \ mathbb {P}}$ ${\ displaystyle V^{(\ mathbb {P})}}$${\ displaystyle \ mathbb {P}}$${\ displaystyle \ mathbb {P}}$${\ displaystyle A}$

${\ displaystyle A \ subseteq \ {(u, p) \ mid u ~ {\ text {er a}} ~ \ mathbb {P} {\ text {-navn og}} ~ p \ in \ mathbb {P} \ }.}$

Dette er faktisk en definition ved transfinit rekursion . Med den tomme mængde, den efterfølger ordenstal at ordinal , den power-sæt operatør, og en grænse ordinal , definere følgende hierarki: ${\ displaystyle \ varnothing}$${\ displaystyle \ alpha +1}$${\ displaystyle \ alpha}$${\ displaystyle {\ mathcal {P}}}$${\ displaystyle \ lambda}$

${\ displaystyle {\ begin {align} \ operatorname {Name} (\ varnothing) & = \ varnothing, \\\ operatorname {Name} (\ alpha +1) & = {\ mathcal {P}} (\ operatorname {Name } (\ alpha) \ times \ mathbb {P}), \\\ operatorname {Name} (\ lambda) & = \ bigcup \ {\ operatorname {Name} (\ alpha) \ mid \ alpha <\ lambda \}. \ end {align}}}$

Derefter defineres klassen af -navne som ${\ displaystyle \ mathbb {P}}$

${\ displaystyle V^{(\ mathbb {P})} = \ bigcup \ {\ operatorname {Name} (\ alpha) ~ | ~ \ alpha ~ {\ text {er en ordinær}}} \}.}$

De -names er i virkeligheden en udvidelse af universet . Givet definerer man at være -navnet ${\ displaystyle \ mathbb {P}}$${\ displaystyle x \ i V}$${\ displaystyle {\ check {x}}}$${\ displaystyle \ mathbb {P}}$

${\ displaystyle {\ check {x}} = \ {({\ check {y}}, \ mathbf {1}) \ mid y \ in x \}.}$

Igen er dette virkelig en definition ved transfinit rekursion.

Fortolkning

I betragtning af en delmængde af , definerer man derefter fortolknings- eller værdiansættelseskortet fra -navne ved ${\ displaystyle G}$${\ displaystyle \ mathbb {P}}$${\ displaystyle \ mathbb {P}}$

${\ displaystyle \ operatorname {val} (u, G) = \ {\ operatorname {val} (v, G) \ mid \ eksisterer p \ i G: ~ (v, p) \ i u \}.}$

Dette er igen en definition ved transfinit rekursion. Bemærk, at hvis , så . Man definerer derefter ${\ displaystyle \ mathbf {1} \ i G}$${\ displaystyle \ operatorname {val} ({\ check {x}}, G) = x}$

${\ displaystyle {\ understregning {G}} = \ {({\ check {p}}, p) \ midt p \ i G \}}$

så det . ${\ displaystyle \ operatorname {val} ({\ understregning {G}}, G) = \ {\ operatorname {val} ({\ check {p}}, G) \ midt p \ i G \} = G}$

Eksempel

Et godt eksempel på et tvinger poset er , hvor og er indsamlingen af Borel delmængder af med ikke-nul Lebesguemålet . I dette tilfælde kan man tale om betingelserne som værende sandsynligheder, og et -navn tildeler medlemskab i en sandsynlig forstand. På grund af den klare intuition dette eksempel kan give, bruges sandsynligt sprog undertiden med andre divergerende tvingende stillinger. ${\ displaystyle (\ operatorname {Bor} (I), \ subseteq, I)}$${\ displaystyle I = [0,1]}$${\ displaystyle \ operatorname {Bor} (I)}$${\ displaystyle I}$${\ displaystyle \ operatorname {Bor} (I)}$

Utallige transitive modeller og generiske filtre

Det centrale trin i at tvinge er givet et univers at finde et passende objekt, der ikke er i . Den resulterende klasse af alle fortolkninger af -navne vil være en model, der korrekt udvider originalen (siden ). ${\ displaystyle {\ mathsf {ZFC}}}$${\ displaystyle V}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle V}$${\ displaystyle \ mathbb {P}}$${\ displaystyle {\ mathsf {ZFC}}}$${\ displaystyle V}$${\ displaystyle G \ notin V}$

I stedet for at arbejde med er det nyttigt at overveje en tællelig transitiv model med . "Model" refererer til en model af sætteori, enten af ​​alle , eller en model af en stor, men endelig delmængde af eller en variant deraf. "Transitivitet" betyder, at hvis , så . Den Mostowski sammenbrud lemma , at dette kan antages, hvis medlemskab relation er velbegrundet . Effekten af ​​transitivitet er, at medlemskab og andre elementære forestillinger kan håndteres intuitivt. Modellens tællbarhed afhænger af Löwenheim – Skolem -sætningen . ${\ displaystyle V}$ ${\ displaystyle M}$${\ displaystyle (\ mathbb {P}, \ leq, \ mathbf {1}) \ i M}$${\ displaystyle {\ mathsf {ZFC}}}$${\ displaystyle {\ mathsf {ZFC}}}$${\ displaystyle x \ i y \ i M}$${\ displaystyle x \ i M}$

Som et sæt er der sæt ikke i - dette følger af Russells paradoks . Det passende sæt at vælge og slutte til er et generisk filter på . Betingelsen "filter" betyder, at: ${\ displaystyle M}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle \ mathbb {P}}$

• ${\ displaystyle G \ subseteq \ mathbb {P};}$
• ${\ displaystyle \ mathbf {1} \ i G;}$
• hvis , så${\ displaystyle p \ geq q \ i G}$${\ displaystyle p \ i G;}$
• hvis , så findes der en sådan${\ displaystyle p, q \ i G}$${\ displaystyle r \ i G}$${\ displaystyle r \ leq p, q.}$

For at være "generisk" betyder: ${\ displaystyle G}$

• Hvis er en "tæt" delmængde af (det vil sige for hver , der findes en sådan ), så .${\ displaystyle D \ i M}$${\ displaystyle \ mathbb {P}}$${\ displaystyle p \ in \ mathbb {P}}$${\ displaystyle q \ i D}$${\ displaystyle q \ leq p}$${\ displaystyle G \ cap D \ neq \ varnothing}$

Eksistensen af ​​et generisk filter følger af Rasiowa - Sikorski -lemmaet . Faktisk er lidt mere sandt: I betragtning af en betingelse kan man finde et generisk filter sådan . På grund af opdelingstilstanden på (betegnet som 'atomløs' ovenfor), hvis det er et filter, er det tæt. Hvis , så fordi er en model af . Af denne grund er der aldrig et generisk filter i . ${\ displaystyle G}$${\ displaystyle p \ in \ mathbb {P}}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle p \ i G}$${\ displaystyle \ mathbb {P}}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle \ mathbb {P} \ setminus G}$${\ displaystyle G \ i M}$${\ displaystyle \ mathbb {P} \ setminus G \ i M}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle {\ mathsf {ZFC}}}$${\ displaystyle M}$

Tvinger

I betragtning af et generisk filter fortsætter man som følger. Underklassen af -navne i er betegnet . Lade ${\ displaystyle G \ subseteq \ mathbb {P}}$${\ displaystyle \ mathbb {P}}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle M^{(\ mathbb {P})}}$

${\ displaystyle M [G] = \ left \ {\ operatorname {val} (u, G) ~ {\ Big |} ~ u \ in M^{(\ mathbb {P})} \ right \}.}$

For at reducere studiet af sætteorien til det , arbejder man med "tvingende sprog", der er bygget op som almindelig første ordens logik , med medlemskab som den binære relation og alle -navne som konstanter. ${\ displaystyle M [G]}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle \ mathbb {P}}$

Definer (skal læses som " kræfter i modellen med poset "), hvor er en betingelse, er en formel i tvangssproget, og 's er -navne, for at betyde, at hvis er et generisk filter, der indeholder , så . Specialtilfældet skrives ofte som " " eller simpelthen " ". Sådanne udsagn er sande i , uanset hvad der er. ${\ displaystyle p \ Vdash _ {M, \ mathbb {P}} \ varphi (u_ {1}, \ ldots, u_ {n})}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle \ varphi}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle \ mathbb {P}}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle \ varphi}$${\ displaystyle u_ {i}}$${\ displaystyle \ mathbb {P}}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle M [G] \ models \ varphi (\ operatorname {val} (u_ {1}, G), \ ldots, \ operatorname {val} (u_ {n}, G))}$${\ displaystyle \ mathbf {1} \ Vdash _ {M, \ mathbb {P}} \ varphi}$${\ displaystyle \ mathbb {P} \ Vdash _ {M, \ mathbb {P}} \ varphi}$${\ displaystyle \ Vdash _ {M, \ mathbb {P}} \ varphi}$${\ displaystyle M [G]}$${\ displaystyle G}$

Det, der er vigtigt, er, at denne eksterne definition af tvangsforholdet svarer til en intern definition inden for , defineret af transfinit induktion over -navne på forekomster af og , og derefter ved almindelig induktion over kompleksiteten af ​​formler. Dette har den virkning, at alle egenskaberne af virkelig er egenskaber for , og verifikationen af in bliver ligetil. Dette er normalt opsummeret som følgende tre nøgleegenskaber: ${\ displaystyle p \ Vdash _ {M, \ mathbb {P}} \ varphi}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle \ mathbb {P}}$${\ displaystyle u \ in v}$${\ displaystyle u = v}$${\ displaystyle M [G]}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle {\ mathsf {ZFC}}}$${\ displaystyle M [G]}$

• Sandhed : hvis og kun hvis det er tvunget af , det vil sige for en eller anden tilstand , har vi det .${\ displaystyle M [G] \ models \ varphi (\ operatorname {val} (u_ {1}, G), \ ldots, \ operatorname {val} (u_ {n}, G))}$ ${\ displaystyle G}$${\ displaystyle p \ i G}$${\ displaystyle p \ Vdash _ {M, \ mathbb {P}} \ varphi (u_ {1}, \ ldots, u_ {n})}$
• Definabilitet : Udtrykket " " kan defineres i .${\ displaystyle p \ Vdash _ {M, \ mathbb {P}} \ varphi (u_ {1}, \ ldots, u_ {n})}$${\ displaystyle M}$
• Sammenhæng : .${\ displaystyle p \ Vdash _ {M, \ mathbb {P}} \ varphi (u_ {1}, \ ldots, u_ {n}) \ land q \ leq p \ indebærer q \ Vdash _ {M, \ mathbb { P}} \ varphi (u_ {1}, \ ldots, u_ {n})}$

Vi definerer tvangsforholdet i ved induktion om formelernes kompleksitet, hvor vi først definerer forholdet for atomformler ved -induktion og derefter definerer det for vilkårlige formler ved induktion på deres kompleksitet. ${\ displaystyle \ Vdash _ {M, \ mathbb {P}}}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle \ in}$

Vi definerer først tvangsrelationen på atomformler, gør det for begge typer formler og samtidig. Det betyder, at vi definerer en relation, hvor betegner formeltype som følger: ${\ displaystyle x \ i y}$${\ displaystyle x = y}$${\ displaystyle R (p, a, b, t, \ mathbb {P})}$${\ displaystyle t}$

1. ${\ displaystyle R (p, a, b, 0, \ mathbb {P})}$betyder .${\ displaystyle p \ Vdash _ {\ mathbb {P}} a \ in b}$
2. ${\ displaystyle R (p, a, b, 1, \ mathbb {P})}$betyder .${\ displaystyle p \ Vdash _ {\ mathbb {P}} a = b}$
3. ${\ displaystyle R (p, a, b, 2, \ mathbb {P})}$betyder .${\ displaystyle p \ Vdash _ {\ mathbb {P}} a \ subseteq b}$

Her er en betingelse og og er -navne. Lad være en formel defineret ved -induktion: ${\ displaystyle p}$${\ displaystyle a}$${\ displaystyle b}$${\ displaystyle \ mathbb {P}}$${\ displaystyle R (p, a, b, t, \ mathbb {P})}$${\ displaystyle \ in}$

R1. hvis og kun hvis . ${\ displaystyle R (p, a, b, 0, \ mathbb {P})}$${\ displaystyle (\ forall q \ leq p) (\ eksisterer r \ leq q) (\ eksisterer (s, c) \ in b) (r \ leq s \, \ land \, R (r, a, c, 1, \ mathbb {P}))}}$

R2. hvis og kun hvis . ${\ displaystyle R (p, a, b, 1, \ mathbb {P})}$${\ displaystyle R (r, a, b, 2, \ mathbb {P}) \, \ land \, R (r, b, a, 2, \ mathbb {P})}$

R3. hvis og kun hvis . ${\ displaystyle R (p, a, b, 2, \ mathbb {P})}$${\ displaystyle (\ forall (s, c) \ in a) (\ forall q \ leq p) (\ eksisterer r \ leq q) (r \ leq s \, \ Rightarrow \, R (r, c, b, 0, \ mathbb {P}))}}$

Mere formelt bruger vi følgende binære forhold -navne: Lad hold for navne og hvis og kun hvis det er for mindst én betingelse . Denne relation er velbegrundet, hvilket betyder, at for ethvert navn er klassen af ​​alle navne , sådan som holder, et sæt, og der er ingen sådan funktion . ${\ displaystyle \ mathbb {P}}$${\ displaystyle S (a, b)}$${\ displaystyle a}$${\ displaystyle b}$${\ displaystyle (p, a) \ i b}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle a}$${\ displaystyle b}$${\ displaystyle S (a, b)}$${\ displaystyle f: \ omega \ longrightarrow Names}$${\ displaystyle (\ forall n \ in \ omega) S (f (n+1), f (n))}$

Generelt er en velbegrundet relation ikke en forudbestilling, fordi den måske ikke er transitiv. Men hvis vi betragter det som en "bestilling", er det en relation uden uendelige faldende sekvenser, og hvor for ethvert element er klassen af ​​elementer under det et sæt.

Det er let at lukke enhver binær relation for transitivitet. For navne og , holder, hvis der er mindst én finit sekvens (som et kort med domæne ) for nogle sådan, at , og for enhver , besidder. En sådan ordre er også velbegrundet. ${\ displaystyle a}$${\ displaystyle b}$${\ displaystyle a <b}$${\ displaystyle c_ {0}, \ dots, c_ {n}}$${\ displaystyle \ {0, \ dots, n \}}$${\ displaystyle n> 0}$${\ displaystyle c_ {0} = a}$${\ displaystyle c_ {n} = b}$${\ displaystyle i <n}$${\ displaystyle S (c_ {i-1}, c_ {i})}$

Vi definerer følgende veldefinerede rækkefølge på par navne: hvis et af følgende gælder: ${\ displaystyle T ((a, b), (c, d))}$

1. ${\ displaystyle \ max \ {a, b \} <\ max \ {c, d \}}$,
2. ${\ displaystyle \ max \ {a, b \} = \ max \ {c, d \}}$og ,${\ displaystyle \ min \ {a, b \} <\ min \ {c, d \}}$
3. ${\ displaystyle \ max \ {a, b \} = \ max \ {c, d \}}$og og .${\ displaystyle \ min \ {a, b \} = \ min \ {c, d \}}$${\ displaystyle a <c}$

Forholdet defineres ved rekursion på par navne. For ethvert par er det defineret af den samme relation til "enklere" par. Faktisk er der ved rekursionsteoremet en formel sådan, at R1, R2 og R3 er sætninger, fordi dens sandhedsværdi på et tidspunkt er defineret af dens sandhedsværdier i "mindre" punkter i forhold til den nogle velbegrundede relation, der bruges som en "ordning ". Nu er vi klar til at definere tvangsrelation: ${\ displaystyle R (p, a, b, t, \ mathbb {P})}$${\ displaystyle (a, b)}$${\ displaystyle R (p, a, b, t, \ mathbb {P})}$

1. ${\ displaystyle p \ Vdash _ {\ mathbb {P}} a \ in b}$betyder .${\ displaystyle a, b \ i Navn \, \ land \, R (p, a, b, 0, \ mathbb {P})}$
2. ${\ displaystyle p \ Vdash _ {\ mathbb {P}} a = b}$betyder .${\ displaystyle a, b \ i Navn \, \ land \, R (p, a, b, 1, \ mathbb {P})}$
3. ${\ displaystyle p \ Vdash _ {\ mathbb {P}} \ lnot f (a_ {1}, \ dots, a_ {n})}$betyder .${\ displaystyle a_ {1}, \ dots, a_ {n} \ i navn \, \ land \, \ lnot (\ eksisterer q \ leq p) q \ Vdash _ {\ mathbb {P}} f (a_ {1 }, \ prikker, a_ {n})}$
4. ${\ displaystyle p \ Vdash _ {\ mathbb {P}} (f (a_ {1}, \ dots, a_ {n}) \ land g (a_ {1}, \ dots, a_ {n}))}$betyder .${\ displaystyle a_ {1}, \ dots, a_ {n} \ in Name \, \ land \, (p \ Vdash _ {\ mathbb {P}} f (a_ {1}, \ dots, a_ {n} )) \ land (p \ Vdash _ {\ mathbb {P}} g (a_ {1}, \ dots, a_ {n}))}$
5. ${\ displaystyle p \ Vdash _ {\ mathbb {P}} (\ forall x) f (a_ {1}, \ dots, a_ {n}, x)}$betyder .${\ displaystyle a_ {1}, \ dots, a_ {n} \ in Name \, \ land \, a_ {1}, \ dots, a_ {n} \ in Name \, \ land \, (\ forall b \ i navne) p \ Vdash _ {\ mathbb {P}} f (a_ {1}, \ dots, a_ {n}, b)}$

Faktisk er dette en transformation af en vilkårlig formel til formlen, hvor og er yderligere variabler. Dette er definitionen på tvangsforholdet i universet for alle sæt uanset enhver tællelig transitiv model. Der er imidlertid en sammenhæng mellem denne "syntaktiske" formulering af tvang og den "semantiske" formulering af tvang over en tællelig transitiv model . ${\ displaystyle f (x_ {1}, \ dots, x_ {n})}$${\ displaystyle p \ Vdash _ {\ mathbb {P}} f (x_ {1}, \ dots, x_ {n})}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle \ mathbb {P}}$${\ displaystyle V}$${\ displaystyle M}$

1. For enhver formel er der en teorem af teorien (f.eks. Konjunktion af et begrænset antal aksiomer) sådan, at for enhver tællelig transitiv model, sådan og enhver atomløs delorden og ethvert -generisk filter over${\ displaystyle f (x_ {1}, \ dots, x_ {n})}$${\ displaystyle T}$${\ displaystyle {\ mathsf {ZFC}}}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle M \ modeller T}$${\ displaystyle \ mathbb {P} \ i M}$${\ displaystyle \ mathbb {P}}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle M}$
   $${\ displaystyle (\ forall a_ {1}, \ ldots, a_ {n} \ i M^{\ mathbb {P}}) (\ forall p \ in \ mathbb {P}) (p \ Vdash _ {M, \ mathbb {P}} f (a_ {1}, \ dots, a_ {n}) \, \ venstrehøjre pil \, M \ modeller p \ Vdash _ {\ mathbb {P}} f (a_ {1}, \ prikker , a_ {n})).}$$

   

Dette kaldes egenskaben for tvangsforholdets definabilitet.

Konsistens

Diskussionen ovenfor kan opsummeres af det grundlæggende konsistensresultat, at vi i betragtning af en tvingende stilling kan antage eksistensen af ​​et generisk filter , der ikke tilhører universet , sådan at det igen er et sæt-teoretisk univers, der modellerer . Desuden kan alle sandheder i reduceres til sandheder ved at inddrage det tvingende forhold. ${\ displaystyle \ mathbb {P}}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle V}$${\ displaystyle V [G]}$${\ displaystyle {\ mathsf {ZFC}}}$${\ displaystyle V [G]}$${\ displaystyle V}$

Begge stilarter, der støder op til enten en tællelig transitiv model eller hele universet , bruges ofte. Mindre almindeligt set er metoden ved hjælp af den "interne" definition af tvang, hvor der ikke nævnes sæt- eller klassemodeller. Dette var Cohens originale metode, og i en uddybning bliver det metoden til boolsk-værdsat analyse. ${\ displaystyle G}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle V}$

Cohen tvinger

Den enkleste ikke -private tvangsstilling er , de begrænsede delfunktioner fra til under omvendt inklusion. Det vil sige, at en betingelse i det væsentlige er to uensartede begrænsede delmængder og af , at de skal betragtes som "ja" og "nej" dele af , uden at der gives oplysninger om værdier uden for domænet . " er stærkere end " betyder, at med andre ord "ja" og "nej" dele af er supersets af "ja" og "nej" dele af og i den forstand giver mere information. ${\ displaystyle (\ operatorname {Fin} (\ omega, 2), \ supseteq, 0)}$${\ displaystyle \ omega}$${\ displaystyle 2 ~ {\ stackrel {\ text {df}} {=}} ~ \ {0,1 \}}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle {p^{-1}} [1]}$${\ displaystyle {p^{-1}} [0]}$${\ displaystyle \ omega}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle q}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle q \ supseteq p}$${\ displaystyle q}$${\ displaystyle p}$

Lad være et generisk filter til denne poset. Hvis og er begge i , så er en betingelse, fordi er et filter. Dette betyder, at det er en veldefineret delvis funktion fra til, fordi to betingelser er enige om deres fælles domæne. ${\ displaystyle G}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle q}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle p \ cup q}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle g = \ bigcup G}$${\ displaystyle \ omega}$${\ displaystyle 2}$${\ displaystyle G}$

Faktisk er det en total funktion. Givet , lad . Så er tæt. (I betragtning af enhver , hvis den ikke er i 's domæne, støder man op til en værdi for - resultatet er i .) En betingelse har i sit domæne, og siden finder vi det defineret. ${\ displaystyle g}$${\ displaystyle n \ in \ omega}$${\ displaystyle D_ {n} = \ {p \ midt p (n) ~ {\ tekst {er defineret}} \}}$${\ displaystyle D_ {n}}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle D_ {n}}$${\ displaystyle p \ i G \ cap D_ {n}}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle p \ subseteq g}$${\ displaystyle g (n)}$

Lad , sættet af alle "ja" medlemmer af de generiske betingelser. Det er muligt at give et navn for direkte. Lade ${\ displaystyle X = {g^{-1}} [1]}$${\ displaystyle X}$

${\ displaystyle {\ understregning {X}} = \ venstre \ {\ venstre ({\ tjek {n}}, p \ højre) \ midt p (n) = 1 \ højre \}.}$

Så nu antage, at i . Det påstår vi . Lade ${\ displaystyle \ operatorname {val} ({\ understregning {X}}, G) = X.}$${\ displaystyle A \ subseteq \ omega}$${\ displaystyle V}$${\ displaystyle X \ neq A}$

${\ displaystyle D_ {A} = \ {p \ mid (\ exist n) (n \ in \ operatorname {Dom} (p) \ land (p (n) = 1 \ iff n \ notin A)) \}. }$

Så er tæt. (I betragtning af nogen finder du, at det ikke er i sit domæne, og støder op til en værdi for i modstrid med status som " ".) Derefter eventuelle vidner . For at opsummere, er en "ny" delmængde af , nødvendigvis uendelig. ${\ displaystyle D_ {A}}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle n \ i A}$${\ displaystyle p \ i G \ cap D_ {A}}$${\ displaystyle X \ neq A}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle \ omega}$

At erstatte med , det vil sige i stedet overveje begrænsede delfunktioner, hvis input er af formen , med og , og hvis output er eller , får man nye undersæt af . De er alle forskellige ved et tæthedsargument: givet , lad ${\ displaystyle \ omega}$${\ displaystyle \ omega \ times \ omega _ {2}}$${\ displaystyle (n, \ alpha)}$${\ displaystyle n <\ omega}$${\ displaystyle \ alpha <\ omega _ {2}}$${\ displaystyle 0}$${\ displaystyle 1}$${\ displaystyle \ omega _ {2}}$${\ displaystyle \ omega}$${\ displaystyle \ alpha <\ beta <\ omega _ {2}}$

${\ displaystyle D _ {\ alpha, \ beta} = \ {p \ mid (\ exist n) (p (n, \ alpha) \ neq p (n, \ beta)) \},}$

så er hver enkelt tæt, og en generisk tilstand i den beviser, at det nye nye sæt er et sted uenig med det nye sæt. ${\ displaystyle D _ {\ alpha, \ beta}}$${\ displaystyle \ beta}$

Dette er endnu ikke forfalskningen af ​​kontinuumhypotesen. Man må bevise, at der ikke er blevet introduceret nye kort, som kort på eller på . For eksempel, hvis man i stedet betragter endelige delfunktioner fra til , den første utallige ordinal , får man i en bijektion fra til . Med andre ord, er kollapset , og i tvingende forlængelse er en tællelig ordinal. ${\ displaystyle \ omega}$${\ displaystyle \ omega _ {1}}$${\ displaystyle \ omega _ {1}}$${\ displaystyle \ omega _ {2}}$${\ displaystyle \ operatorname {Fin} (\ omega, \ omega _ {1})}$${\ displaystyle \ omega}$${\ displaystyle \ omega _ {1}}$${\ displaystyle V [G]}$${\ displaystyle \ omega}$${\ displaystyle \ omega _ {1}}$${\ displaystyle \ omega _ {1}}$

Det sidste trin i at vise kontinuumhypotesens uafhængighed er altså at vise, at Cohen -tvang ikke kollapser kardinaler. Til dette er en tilstrækkelig kombinatorisk egenskab, at alle antikæderne i tvingestillingen kan tælles.

Den talbare kædetilstand

En (stærk) antikæde af er en delmængde sådan, at hvis , så og er uforenelige (skrevet ), hvilket betyder, at der ikke er noget i sådan, at og . I eksemplet om Borelsæt betyder inkompatibilitet, der har nulmåling. I eksemplet om begrænsede delfunktioner betyder inkompatibilitet, at det ikke er en funktion, med andre ord, og tildele forskellige værdier til nogle domæneinput. ${\ displaystyle A}$${\ displaystyle \ mathbb {P}}$${\ displaystyle p, q \ i A}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle q}$${\ displaystyle p \ perp q}$${\ displaystyle r}$${\ displaystyle \ mathbb {P}}$${\ displaystyle r \ leq p}$${\ displaystyle r \ leq q}$${\ displaystyle p \ cap q}$${\ displaystyle p \ cup q}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle q}$

${\ displaystyle \ mathbb {P}}$opfylder den tællelige kædetilstand (ccc), hvis og kun hvis hvert antikæde i kan tælles. (Navnet, som naturligvis er upassende, er et overskud fra ældre terminologi. Nogle matematikere skriver "cac" for "tællelig antikæde -tilstand".) ${\ displaystyle \ mathbb {P}}$

Det er let at se, at tilfredsstiller ccc, fordi foranstaltningerne højst udgør op til . Også tilfredsstiller ccc, men beviset er vanskeligere. ${\ displaystyle \ operatorname {Bor} (I)}$${\ displaystyle 1}$${\ displaystyle \ operatorname {Fin} (E, 2)}$

I betragtning af en utallig underfamilie , skrump til en utallig underfamilie af sæt størrelser , for nogle . Hvis det er for utallige mange , så skrump dette til en utallig underfamilie og gentag, få et begrænset sæt og en utallig familie af uforenelige størrelsesbetingelser, så alle er i højst talelige mange . Vælg nu en vilkårlig , og vælg blandt enhver , der ikke er en af ​​de utallige mange medlemmer, der har et domænemedlem til fælles med . Så og er kompatible, så er ikke en antikæde. Med andre ord er -antichains tællelige. ${\ displaystyle W \ subseteq \ operatorname {Fin} (E, 2)}$${\ displaystyle W}$${\ displaystyle W_ {0}}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle n <\ omega}$${\ displaystyle p (e_ {1}) = b_ {1}}$${\ displaystyle p \ i W_ {0}}$${\ displaystyle W_ {1}}$${\ displaystyle \ {(e_ {1}, b_ {1}), \ ldots, (e_ {k}, b_ {k}) \}}$${\ displaystyle W_ {k}}$${\ displaystyle nk}$${\ displaystyle e}$${\ displaystyle \ operatorname {Dom} (p)}$${\ displaystyle p \ i W_ {k}}$${\ displaystyle p \ i W_ {k}}$${\ displaystyle W_ {k}}$${\ displaystyle q}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle p \ cup \ {(e_ {1}, b_ {1}), \ ldots, (e_ {k}, b_ {k}) \}}$${\ displaystyle q \ cup \ {(e_ {1}, b_ {1}), \ ldots, (e_ {k}, b_ {k}) \}}$${\ displaystyle W}$${\ displaystyle \ operatorname {Fin} (E, 2)}$

Betydningen af ​​antikæder ved tvang er, at tætte sæt og maksimale antikæder til de fleste formål er ækvivalente. En maksimal antikæde er en, der ikke kan udvides til et større antikæde. Det betyder, at hvert element er kompatibelt med nogle medlemmer af . Eksistensen af ​​en maksimal antikæde følger af Zorns Lemma . I betragtning af en maksimal antikæde , lad ${\ displaystyle A}$${\ displaystyle p \ in \ mathbb {P}}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle A}$

${\ displaystyle D = \ venstre \ {p \ i \ mathbb {P} \ mid (\ eksisterer q \ i A) (p \ leq q) \ højre \}.}$

Så er tæt, og hvis og kun hvis . Omvendt, givet et tæt sæt , viser Zorns Lemma, at der eksisterer en maksimal antikæde , og så hvis og kun hvis . ${\ displaystyle D}$${\ displaystyle G \ cap D \ neq \ varnothing}$${\ displaystyle G \ cap A \ neq \ varnothing}$${\ displaystyle D}$${\ displaystyle A \ subseteq D}$${\ displaystyle G \ cap D \ neq \ varnothing}$${\ displaystyle G \ cap A \ neq \ varnothing}$

Antag, at tilfredsstiller ccc givet , med en funktion i , kan man tilnærme sig inde som følger. Lad være et navn for (ved definitionen af ) og lad være en betingelse, der tvinger til at være en funktion fra til . Definer en funktion , hvis domæne er ved ${\ displaystyle \ mathbb {P}}$${\ displaystyle x, y \ i V}$${\ displaystyle f: x \ til y}$${\ displaystyle V [G]}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle V}$${\ displaystyle u}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle V [G]}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle u}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle y}$${\ displaystyle F}$${\ displaystyle x}$

${\ displaystyle F (a) {\ stackrel {\ text {df}} {=}} \ venstre \ {b \ venstre | (\ findes q \ i \ mathbb {P}) \ venstre [(q \ leq p) \ land \ left (q \ Vdash ~ u \ left ({\ check {a}} \ right) = {\ check {b}} \ right) \ right] \ right \}. \ right.}$

Ved at definere tvang, giver denne definition mening inden for . Ved sammenhængen mellem at tvinge, kommer en anden fra en uforenelig . Ved ccc, kan tælles. ${\ displaystyle V}$${\ displaystyle b}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle F (a)}$

Sammenfattende er det ukendt, da det afhænger af , men det er ikke vildt ukendt for en ccc-forcing. Man kan identificere et tal, der kan tælles for, hvad værdien er ved ethvert input, uafhængigt af . ${\ displaystyle f}$${\ displaystyle V}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle G}$

Dette har følgende meget vigtige konsekvens. Hvis in , er en overvejelse fra en uendelig ordinal til en anden, så er der en indflydelse i og følgelig en indsigelse i . Især kan kardinaler ikke kollapse. Konklusionen er, at i . ${\ displaystyle V [G]}$${\ displaystyle f: \ alfa \ til \ beta}$${\ displaystyle g: \ omega \ times \ alpha \ to \ beta}$${\ displaystyle V}$${\ displaystyle h: \ alfa \ til \ beta}$${\ displaystyle V}$${\ displaystyle 2^{\ aleph _ {0}} \ geq \ aleph _ {2}}$${\ displaystyle V [G]}$

Easton tvinger

Den nøjagtige værdi af kontinuum i ovenstående Cohen -model og varianter som for kardinaler generelt blev udarbejdet af Robert M. Solovay , der også fandt ud af, hvordan man skulle krænke (den generaliserede kontinuumhypotese ), kun for almindelige kardinaler , en endelig antal gange. For eksempel i den ovennævnte Cohen -model, hvis den holder fast , holder den derefter fast . ${\ displaystyle \ operatorname {Fin} (\ omega \ times \ kappa, 2)}$${\ displaystyle \ kappa}$${\ displaystyle {\ mathsf {GCH}}}$${\ displaystyle {\ mathsf {CH}}}$${\ displaystyle V}$${\ displaystyle 2^{\ aleph _ {0}} = \ aleph _ {2}}$${\ displaystyle V [G]}$

William B. Easton udarbejdede den korrekte klasseversion af overtrædelse af for almindelige kardinaler, og viste dybest set, at de kendte begrænsninger (monotonicitet, Cantors sætning og Königs sætning ) var de eneste beviselige begrænsninger (se Eastons sætning ). ${\ displaystyle {\ mathsf {GCH}}}$${\ displaystyle {\ mathsf {ZFC}}}$

Eastons arbejde var bemærkelsesværdigt, idet det indebar tvang med en ordentlig klasse betingelser. Generelt undlader metoden til at tvinge med en ordentlig klasse af betingelser at give en model af . For eksempel gør tvang med , hvor er den rette klasse af alle ordinaler, kontinuum til en ordentlig klasse. På den anden side introducerer tvinge med en tællelig optælling af ordinerne. I begge tilfælde er det resulterende synligt ikke en model af . ${\ displaystyle {\ mathsf {ZFC}}}$${\ displaystyle \ operatorname {Fin} (\ omega \ times \ mathbf {On}, 2)}$${\ displaystyle \ mathbf {On}}$${\ displaystyle \ operatorname {Fin} (\ omega, \ mathbf {On})}$${\ displaystyle V [G]}$${\ displaystyle {\ mathsf {ZFC}}}$

På et tidspunkt troede man, at mere sofistikeret tvang også ville tillade en vilkårlig variation i entydige kardinalers beføjelser . Dette har imidlertid vist sig at være et svært, subtilt og endda overraskende problem, med flere begrænsninger, der kan bevises i og med tvangsmodellerne, afhængigt af konsistensen af ​​forskellige store kardinalegenskaber . Mange åbne problemer er tilbage. ${\ displaystyle {\ mathsf {ZFC}}}$

Tilfældige reals

Tilfældig tvang kan defineres som at tvinge over sættet af alle kompakte undersæt af positiv måling ordnet efter relation (mindre sæt i inklusionssammenhæng er mindre sæt i bestilling og repræsenterer tilstand med flere oplysninger). Der er to typer vigtige tætte sæt: ${\ displaystyle P}$${\ displaystyle [0,1]}$${\ displaystyle \ subseteq}$

1. For ethvert positivt heltal er sættet${\ displaystyle n}$
   $${\ displaystyle D_ {n} = \ venstre \ {p \ i P: \ operatorname {diam} (p) <{\ frac {1} {n}} \ right \}}$$

   
   er tæt, hvor er diameteren af ​​sættet .${\ displaystyle \ operatorname {diam} (p)}$${\ displaystyle p}$
2. For enhver Borel -delmængde af foranstaltning 1, sættet${\ displaystyle B \ subseteq [0,1]}$
   $${\ displaystyle D_ {B} = \ {p \ i P: p \ subseteq B \}}$$

   
   er tæt.

For ethvert filter og for alle endelig mange elementer er der sådan, der holder . I tilfælde af denne bestilling betyder det, at ethvert filter er et sæt kompakte sæt med begrænset skæringsegenskab. Af denne grund er skæringspunktet mellem alle elementer i ethvert filter ikke fritaget. Hvis et filter skærer det tætte sæt for et positivt heltal , indeholder filteret betingelser med vilkårligt lille positiv diameter. Derfor har skæringspunktet mellem alle betingelser fra diameter 0, men de eneste ikke -undtagne sæt med diameter 0 er singletoner. Så der er præcis et reelt tal sådan . ${\ displaystyle G}$${\ displaystyle p_ {1}, \ ldots, p_ {n} \ i G}$${\ displaystyle q \ i G}$${\ displaystyle q \ leq p_ {1}, \ ldots, p_ {n}}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle D_ {n}}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle r_ {G}}$${\ displaystyle r_ {G} \ in \ bigcap G}$

Lad være et hvilket som helst Borel -målesæt 1. Hvis skærer , så . ${\ displaystyle B \ subseteq [0,1]}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle D_ {B}}$${\ displaystyle r_ {G} \ i B}$

Et generisk filter over en tællelig transitiv model er imidlertid ikke i . Det virkelige defineret af er beviseligt ikke et element af . Problemet er, at hvis , så " er kompakt", men set fra et større univers , kan være ikke-kompakt, og skæringspunktet mellem alle betingelser fra det generiske filter faktisk er tomt. Af denne grund overvejer vi sættet med topologiske lukninger af betingelser fra G. På grund af og den begrænsede skæringsegenskab for , har sættet også den endelige skæringsegenskab. Elementer i sættet er afgrænsede lukkede sæt som lukninger af afgrænsede sæt. Derfor er et sæt kompakte sæt med den begrænsede skæringsegenskab og har derfor et ikke -frit kryds. Da og jordmodellen arver en metrik fra universet , har sættet elementer med vilkårlig lille diameter. Endelig er der præcis en reel, der tilhører alle medlemmer af sættet . Det generiske filter kan rekonstrueres fra som . ${\ displaystyle V}$${\ displaystyle V}$${\ displaystyle r_ {G}}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle V}$${\ displaystyle p \ i P}$${\ displaystyle V \ models}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle U \ supset V}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle C = \ {{\ bar {p}}: p \ i G \}}$${\ displaystyle {\ bar {p}} \ supseteq p}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle C}$${\ displaystyle C}$${\ displaystyle C}$${\ displaystyle \ operatorname {diam} ({\ bar {p}}) = \ operatorname {diam} (p)}$${\ displaystyle V}$${\ displaystyle U}$${\ displaystyle C}$${\ displaystyle C}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle r_ {G}}$${\ displaystyle G = \ {p \ i P: r_ {G} \ i {\ bar {p}} \}}$

Hvis er navnet på , og for hold " er Borel -sæt med mål 1", så holder det ${\ displaystyle a}$${\ displaystyle r_ {G}}$${\ displaystyle B \ i V}$${\ displaystyle V \ models}$${\ displaystyle B}$

${\ displaystyle V [G] \ models \ left (p \ Vdash _ {\ mathbb {P}} a \ in {\ check {B}} \ right)}$

for nogle . Der er et sådant navn , at for ethvert generisk filter holder ${\ displaystyle p \ i G}$${\ displaystyle a}$${\ displaystyle G}$

${\ displaystyle \ operatorname {val} (a, G) \ in \ bigcup _ {p \ i G} {\ bar {p}}.}$

Derefter

${\ displaystyle V [G] \ models \ left (p \ Vdash _ {\ mathbb {P}} a \ in {\ check {B}} \ right)}$

holder for enhver tilstand . ${\ displaystyle p}$

Hvert Borel-sæt kan, ikke-entydigt, opbygges, startende fra intervaller med rationelle slutpunkter og anvende operationer af komplement og tællelige fagforeninger, et tælleligt antal gange. Optegnelsen over en sådan konstruktion kaldes en Borel -kode . Givet en Borel sæt i , én genopretter en Borel kode, og derefter anvender den samme konstruktion sekvens i at sætte Borel sæt . Det kan bevises, at man får det samme sæt uafhængigt af konstruktionen af , og at grundlæggende egenskaber bevares. For eksempel hvis , så . Hvis har måle nul, har måle nul. Denne kortlægning er injektiv. ${\ displaystyle B}$${\ displaystyle V}$${\ displaystyle V [G]}$${\ displaystyle B^{*}}$${\ displaystyle B}$${\ displaystyle B \ subseteq C}$${\ displaystyle B^{*} \ subseteq C^{*}}$${\ displaystyle B}$${\ displaystyle B^{*}}$${\ displaystyle B \ mapsto B^{*}}$

For ethvert sæt, der er sådan, at og " er et Borel -sæt med foranstaltning 1" holder . ${\ displaystyle B \ subseteq [0,1]}$${\ displaystyle B \ i V}$${\ displaystyle V \ models}$${\ displaystyle B}$${\ displaystyle r \ i B^{*}}$

Dette betyder, at det er "uendelig tilfældig sekvens af 0'er og 1'er" set fra , hvilket betyder, at det opfylder alle statistiske tests fra grundmodellen . ${\ displaystyle r}$${\ displaystyle V}$${\ displaystyle V}$

Så givet , en tilfældig reel, kan man vise det ${\ displaystyle r}$

${\ displaystyle G = \ venstre \ {B ~ ({\ tekst {i}} V) \ midt r \ i B^{*} ~ ({\ tekst {i}} V [G]) \ højre \}. }$

På grund af den gensidige interdefinabilitet mellem og , skriver man generelt for . ${\ displaystyle r}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle V [r]}$${\ displaystyle V [G]}$

En anden fortolkning af reals i blev leveret af Dana Scott . Rationelle tal i har navne, der svarer til utallige mange forskellige rationelle værdier, der er tildelt et maksimalt antikæde af Borelsæt-med andre ord en bestemt rationelt værdsat funktion på . Reelle tal svarer derefter til Dedekind -nedskæringer af sådanne funktioner, det vil sige målbare funktioner . ${\ displaystyle V [G]}$${\ displaystyle V [G]}$${\ displaystyle I = [0,1]}$${\ displaystyle V [G]}$

Boolsk-værdsatte modeller

Måske mere klart kan metoden forklares ud fra boolske værdiansatte modeller. I disse tildeles enhver erklæring en sandhedsværdi fra en komplet atomløs boolsk algebra , snarere end bare en sand/falsk værdi. Derefter vælges et ultrafilter i denne boolske algebra, som tildeler værdier sand/falsk til udsagn fra vores teori. Pointen er, at den resulterende teori har en model, der indeholder dette ultrafilter, som kan forstås som en ny model opnået ved at udvide den gamle med dette ultrafilter. Ved at vælge en Boolsk-værdsat model på en passende måde kan vi få en model, der har den ønskede egenskab. I den vil kun udsagn, der skal være sande (er "tvunget" til at være sande) være sande, på en måde (da den har denne udvidelse/minimalitetsejendom).

Meta-matematisk forklaring

Ved tvang forsøger vi normalt at vise, at en sætning er i overensstemmelse med (eller eventuelt en forlængelse af ). En måde at fortolke argumentet på er at antage, at det er konsistent og derefter bevise, at kombineret med den nye sætning også er konsistent. ${\ displaystyle {\ mathsf {ZFC}}}$${\ displaystyle {\ mathsf {ZFC}}}$${\ displaystyle {\ mathsf {ZFC}}}$${\ displaystyle {\ mathsf {ZFC}}}$

Hver "betingelse" er et begrænset stykke information - tanken er, at kun begrænsede stykker er relevante for konsistens, da en teori i kompakthedssætningen er tilfredsstillende, hvis og kun hvis hver begrænset delmængde af dens aksiomer er tilfredsstillende. Derefter kan vi vælge et uendeligt sæt af konsekvente betingelser for at udvide vores model. Derfor, under forudsætning af konsistensen af , beviser vi konsistensen af forlænget af dette uendelige sæt. ${\ displaystyle {\ mathsf {ZFC}}}$${\ displaystyle {\ mathsf {ZFC}}}$

Logisk forklaring

Ved Godels anden ufuldstændighedssætning kan man ikke bevise konsistensen af ​​nogen tilstrækkelig stærk formteori, f.eks. Kun at bruge teoriens aksiomer, medmindre teorien er inkonsekvent. Derfor forsøger matematikere ikke at bevise konsistensen ved kun at bruge aksiomerne for , eller at bevise, at det er konsistent for enhver hypotese, der kun bruger . Af denne grund er målet med et konsistensbevis at bevise konsistensen af ​​i forhold til konsistensen af . Sådanne problemer er kendt som problemer med relativ konsistens , hvoraf et beviser ${\ displaystyle {\ mathsf {ZFC}}}$${\ displaystyle {\ mathsf {ZFC}}}$${\ displaystyle {\ mathsf {ZFC}}}$${\ displaystyle {\ mathsf {ZFC}}+H}$${\ displaystyle H}$${\ displaystyle {\ mathsf {ZFC}}+H}$${\ displaystyle {\ mathsf {ZFC}}+H}$${\ displaystyle {\ mathsf {ZFC}}}$

$${\ displaystyle {\ mathsf {ZFC}} \ vdash \ operatorname {Con} ({\ mathsf {ZFC}}) \ rightarrow \ operatorname {Con} ({\ mathsf {ZFC}}+H).}$$

( ⁎ )

Det generelle skema for relative konsistensbeviser følger. Da ethvert bevis er begrænset, bruger det kun et begrænset antal aksiomer:

${\ displaystyle {\ mathsf {ZFC}}+\ lnot \ operatorname {Con} ({\ mathsf {ZFC}}+H) \ vdash (\ exist T) (\ operatorname {Fin} (T) \ land T \ subseteq {\ mathsf {ZFC}} \ land (T \ vdash \ lnot H)).}$

For ethvert givent bevis kan du kontrollere gyldigheden af ​​dette bevis. Dette kan bevises ved induktion af bevisets længde. ${\ displaystyle {\ mathsf {ZFC}}}$

${\ displaystyle {\ mathsf {ZFC}} \ vdash (\ forall T) ((T \ vdash \ lnot H) \ rightarrow ({\ mathsf {ZFC}} \ vdash (T \ vdash \ lnot H))).}$

Løs derefter

${\ displaystyle {\ mathsf {ZFC}}+\ lnot \ operatorname {Con} ({\ mathsf {ZFC}}+H) \ vdash (\ exist T) (\ operatorname {Fin} (T) \ land T \ subseteq {\ mathsf {ZFC}} \ land ({\ mathsf {ZFC}} \ vdash (T \ vdash \ lnot H))).}$

Ved at bevise følgende

$${\ displaystyle {\ mathsf {ZFC}} \ vdash (\ forall T) (\ operatorname {Fin} (T) \ land T \ subseteq {\ mathsf {ZFC}} \ rightarrow ({\ mathsf {ZFC}} \ vdash \ operatorname {Con} (T+H))),}$$

( ⁎⁎ )

det kan konkluderes, at

${\ displaystyle {\ mathsf {ZFC}}+\ lnot \ operatorname {Con} ({\ mathsf {ZFC}}+H) \ vdash (\ exist T) (\ operatorname {Fin} (T) \ land T \ subseteq {\ mathsf {ZFC}} \ land ({\ mathsf {ZFC}} \ vdash (T \ vdash \ lnot H)) \ land ({\ mathsf {ZFC}} \ vdash \ operatorname {Con} (T+H) )),}$

hvilket svarer til

${\ displaystyle {\ mathsf {ZFC}}+\ lnot \ operatorname {Con} ({\ mathsf {ZFC}}+H) \ vdash \ lnot \ operatorname {Con} ({\ mathsf {ZFC}}),}$

som giver (*). Kernen i det relative konsistensbevis beviser (**). Et bevis på kan konstrueres for enhver given endelig delmængde af aksiomerne (naturligvis med instrumenter). ( Selvfølgelig ikke noget universelt bevis .) ${\ displaystyle {\ mathsf {ZFC}}}$${\ displaystyle \ operatorname {Con} (T+H)}$${\ displaystyle T}$${\ displaystyle {\ mathsf {ZFC}}}$${\ displaystyle {\ mathsf {ZFC}}}$${\ displaystyle \ operatorname {Con} (T+H)}$

I , er det beviseligt, at for alle betingelser er sæt af formler (evalueret ved navne) tvunget af deduktivt lukket. Desuden beviser det for ethvert aksiom, at dette aksiom er tvunget af . Så er det tilstrækkeligt at bevise, at der er mindst én betingelse, der tvinger . ${\ displaystyle {\ mathsf {ZFC}}}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle {\ mathsf {ZFC}}}$${\ displaystyle {\ mathsf {ZFC}}}$${\ displaystyle \ mathbf {1}}$${\ displaystyle H}$

I tilfælde af boolsk værdiansat tvang er proceduren den samme: beviser, at den boolske værdi af ikke er . ${\ displaystyle H}$${\ displaystyle \ mathbf {0}}$

En anden tilgang anvender refleksionsteoremet. For ethvert givet begrænset sæt aksiomer er der et bevis på, at dette sæt aksiomer har en tællelig transitiv model. For enhver given begrænset sæt af aksiomer, der er et endeligt sæt af aksiomer sådanne, der beviser, at hvis en tællelige transitive model tilfredsstiller , derefter opfylder . Ved at bevise, at der er begrænset sæt af aksiomer sådan, at hvis en tællelige transitive model opfylder , så tilfredsstiller hypotesen . Så, for enhver given begrænset sæt af aksiomer, beviser . ${\ displaystyle {\ mathsf {ZFC}}}$${\ displaystyle {\ mathsf {ZFC}}}$${\ displaystyle T}$${\ displaystyle {\ mathsf {ZFC}}}$${\ displaystyle T '}$${\ displaystyle {\ mathsf {ZFC}}}$${\ displaystyle {\ mathsf {ZFC}}}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle T '}$${\ displaystyle M [G]}$${\ displaystyle T}$${\ displaystyle T ''}$${\ displaystyle {\ mathsf {ZFC}}}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle T ''}$${\ displaystyle M [G]}$${\ displaystyle H}$${\ displaystyle T}$${\ displaystyle {\ mathsf {ZFC}}}$${\ displaystyle {\ mathsf {ZFC}}}$${\ displaystyle \ operatorname {Con} (T+H)}$

Nogle gange i (**), en stærkere teori end bruges til at bevise . Så har vi bevis på konsistensen af ​​i forhold til konsistensen af . Bemærk , hvor er (konstruktionsbarhedens aksiom). ${\ displaystyle S}$${\ displaystyle {\ mathsf {ZFC}}}$${\ displaystyle \ operatorname {Con} (T+H)}$${\ displaystyle {\ mathsf {ZFC}}+H}$${\ displaystyle S}$${\ displaystyle {\ mathsf {ZFC}} \ vdash \ operatorname {Con} ({\ mathsf {ZFC}}) \ venstrehøjre pil \ operatorname {Con} ({\ mathsf {ZFL}})}}$${\ displaystyle {\ mathsf {ZFL}}}$${\ displaystyle {\ mathsf {ZF}}+V = L}$

Se også

• Liste over tvingende forestillinger
• Pænt navn

Referencer

• Bell, JL (1985). Boolsk-værdsatte modeller og uafhængighedsbeviser i Set Theory , Oxford. ISBN  0-19-853241-5
• Cohen, PJ (1966). Sætsteori og kontinuumhypotese . Addison - Wesley. ISBN 978-0-8053-2327-6.
• Grishin, VN (2001) [1994], "Forcing Method" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press
• Kunen, K. (1980). Sætteori: En introduktion til uafhængighedsbeviser . Nordholland. ISBN 978-0-444-85401-8.
• Jech, Thomas (2002). Set Theory: The Third Millennium Edition . Forår-Verlag. ISBN 3-540-44085-2.

eksterne links

• Nik Weavers bog Forcing for Mathematicians blev skrevet til matematikere, der ønsker at lære det grundlæggende maskineri i at tvinge. Der forudsættes ingen baggrund i logik, ud over anlægget med formel syntaks, som bør være anden natur for enhver veluddannet matematiker.
• Timothy Chows artikel A Beginner's Guide to Forcing er en god introduktion til begreberne tvang, der undgår en masse tekniske detaljer. Dette papir voksede ud af Chows nyhedsgruppeartikel Tvinge til dummies . Ud over forbedret eksponering indeholder Begynderguiden et afsnit om boolske værdiansatte modeller.
• Se også Kenny Easwarans artikel En munter introduktion til tvang og kontinuumhypotesen , som også er rettet mod begynderen, men indeholder flere tekniske detaljer end Chows artikel.
• Cohen, PJ The Independence of the Continuum Hypothesis , Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America, bind. 50, nr. 6. (15. december, 1963), s. 1143–1148.
• Cohen, PJ The Independence of the Continuum Hypothesis, II , Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America, bind. 51, nr. 1. (15. januar, 1964), s. 105–110.
• Paul Cohen holdt et historisk foredrag The Discovery of Forcing (Rocky Mountain J. Math. Bind 32, nummer 4 (2002), 1071–1100) om, hvordan han udviklede sit uafhængighedsbevis. Den linkede side har et downloadlink til en PDF med åben adgang, men din browser skal sende et henvisningsoverskrift fra den linkede side for at hente den.
• Akihiro Kanamori: Sætteori fra Cantor til Cohen
• Weisstein, Eric W. "Tvinger" . MathWorld .