4-manifold - 4-manifold

I matematik er en 4-manifold en 4-dimensionel topologisk manifold . En glat 4-manifold er en 4-manifold med en glat struktur . I dimension fire, i markant kontrast med lavere dimensioner, er topologiske og glatte manifolder helt forskellige. Der findes nogle topologiske 4-manifolds, som ikke tillader nogen glat struktur, og selvom der findes en glat struktur, behøver den ikke være unik (dvs. der er glatte 4-manifolds, som er homomorfe men ikke diffeomorfe ).

4-manifolds er vigtige inden for fysik, fordi i Generel relativitet er rumtid modelleret som en pseudo-Riemannian 4-manifold.

Topologiske 4-manifolds

Den Homotopiteori typen af en enkelt forbundet kompakt 4-manifold kun afhænger af skæringspunktet formularen på den midterste dimensionelle homologi. En berømt sætning af Michael Freedman  ( 1982 ) indebærer, at homeomorfi type manifolden kun afhænger af dette kryds form og på en invariant kaldes Kirby-Siebenmann invariant , og i øvrigt, at enhver kombination af unimodul formular og Kirby-Siebenmann invariant kan opstå , bortset fra at hvis formularen er jævn, så skal Kirby – Siebenmann-invarianten være signaturen / 8 (mod 2).

Eksempler:

  • I det særlige tilfælde, når formen er 0, indebærer dette den 4-dimensionelle topologiske Poincaré-formodning .
  • Hvis formen er E8-gitteret , giver dette en manifold kaldet E8-manifolden , en manifold, der ikke er homomorf til noget simpelt kompleks .
  • Hvis formularen er , er der to manifolder afhængigt af Kirby – Siebenmann-invarianten: den ene er 2-dimensionelt kompleks projektiv plads, og den anden er et falsk projektivt rum med samme homotopitype, men ikke homomorf (og uden glat struktur) .
  • Når formens rang er større end ca. 28, begynder antallet af positive bestemte unimodulære former at stige ekstremt hurtigt med rang, så der er enorme antal tilsvarende simpelt forbundne topologiske 4-manifolds (hvoraf de fleste synes at være næsten ingen interesse).

Freedmans klassifikation kan udvides til nogle tilfælde, hvor den grundlæggende gruppe ikke er for kompliceret; for eksempel, når det er , er der en klassifikation svarende til den ovenfor ved hjælp af Hermitian-former over grupperingen af . Hvis den grundlæggende gruppe er for stor (for eksempel en gratis gruppe på 2 generatorer), så synes Freedmans teknikker at mislykkes, og der er meget lidt kendt om sådanne manifolder.

For enhver finit præsenteret gruppe er det let at konstruere en (glat) kompakt 4-manifold med den som sin grundlæggende gruppe. Da der ikke er nogen algoritme til at fortælle, om to finit præsenterede grupper er isomorfe (selvom man vides at være triviel), er der ingen algoritme, der kan fortælle, om to 4-manifolds har den samme grundlæggende gruppe. Dette er en af ​​grundene til, at meget af arbejdet med 4-manifolds bare betragter det simpelt forbundne tilfælde: det generelle tilfælde af mange problemer er allerede kendt for at være uhåndterligt.

Glatte 4-manifolds

For manifolds med dimension på højst 6 kan enhver stykkevis lineær (PL) struktur udglattes på en i det væsentlige unik måde, så især er teorien om 4 dimensionelle PL manifolder meget den samme som teorien om 4 dimensionelle glatte manifolds.

Et stort åbent problem i teorien om glatte 4-manifolder er at klassificere de enkelt tilsluttede kompakte. Som de topologiske er kendt, opdeles dette i to dele:

  1. Hvilke topologiske manifolder er glatbare?
  2. Klassificer de forskellige glatte strukturer på et glatbart manifold.

Der er et næsten komplet svar på det første problem, som simpelthen forbundne kompakte 4-manifolds har glatte strukturer. For det første skal Kirby – Siebenmann-klassen forsvinde.

  • Hvis krydsformen er bestemt, giver Donaldsons sætning ( Donaldson 1983 ) et komplet svar: der er en glat struktur, hvis og kun hvis formen er diagonaliserbar.
  • Hvis formularen er ubestemt og ulige, er der en glat struktur.
  • Hvis formularen er ubestemt, og endda kan vi lige så godt antage, at den har en ikke-positiv signatur ved at ændre retning, hvis det er nødvendigt, i hvilket tilfælde det er isomorf til en sum af m kopier af II 1,1 og 2 n kopier af E 8 (- 1) for nogle m og n . Hvis m ≥ 3 n (således at dimensionen er mindst 11/8 gange signaturen |), er der en glat struktur givet ved at tage en sammenhængende sum af n K3 overflader og m  - 3 n kopier af S 2 × S 2 . Hvis m ≤ 2 n (så dimensionen højst er 10/8 gange signaturen |), så viste Furuta, at der ikke findes nogen glat struktur ( Furuta 2001 ). Dette efterlader et lille hul mellem 10/8 og 11/8, hvor svaret for det meste er ukendt. (Den mindste sag, der ikke er dækket ovenfor, har n = 2 og m = 5, men dette er også udelukket, så det mindste gitter, som svaret i øjeblikket ikke er kendt for, er gitteret II 7,55 af rang 62 med n = 3 og m = 7. Se for nylig (fra og med 2019) fremskridt på dette område.) "Formodningen 11/8" siger, at glatte strukturer ikke findes, hvis dimensionen er mindre end 11/8 gange | signaturen |.

Derimod kendes der meget lidt om det andet spørgsmål om klassificering af de glatte strukturer på en glat 4-manifold; faktisk er der ikke en enkelt glatbar 4-manifold, hvor svaret er kendt. Donaldson viste, at der er nogle ganske enkelt tilsluttede kompakte 4-manifolds, såsom Dolgachev-overflader , med et utalligt uendeligt antal forskellige glatte strukturer. Der er et utal af forskellige glatte strukturer på R 4 ; se eksotisk R 4 . Fintushel og Stern viste, hvordan man bruger kirurgi til at konstruere et stort antal forskellige glatte strukturer (indekseret af vilkårlige integrerede polynomer) på mange forskellige manifolder ved hjælp af Seiberg-Witten invarianter for at vise, at de glatte strukturer er forskellige. Deres resultater antyder, at enhver klassificering af simpelt forbundne glatte 4-manifolds vil være meget kompliceret. Der er i øjeblikket ingen sandsynlige formodninger om, hvordan denne klassificering kan se ud. (Nogle tidlige formodninger om, at alle simpelt forbundne glatte 4-manifolds kan være forbundne summer af algebraiske overflader eller symplektiske manifolds , muligvis med omvendte retninger, er blevet modbevist.)

Særlige fænomener i 4-dimensioner

Der er flere grundlæggende sætninger om manifolder, der kan bevises ved lavdimensionelle metoder i dimensioner højst 3 og ved helt forskellige højdimensionelle metoder i dimension mindst 5, men som er falske i dimension 4. Her er nogle eksempler:

  • I andre dimensioner end 4 tilvejebringer invarianten Kirby – Siebenmann hindring for eksistensen af ​​en PL-struktur; med andre ord en kompakt topologisk manifold har en PL struktur hvis og kun hvis dens Kirby-Siebenmann invariant i H 4 ( M , Z / 2 Z ) forsvinder. I dimension 3 og lavere indrømmer hvert topologisk manifold en i det væsentlige unik PL-struktur. I dimension 4 er der mange eksempler med forsvindende Kirby – Siebenmann-invariant, men ingen PL-struktur.
  • I en hvilken som helst anden dimension end 4 har en kompakt topologisk manifold kun et begrænset antal i det væsentlige forskellige PL- eller glatte strukturer. I dimension 4 kan kompakte manifolder have et utalligt uendeligt antal ikke-diffeomorfe glatte strukturer.
  • Fire er den eneste dimension n , for hvilke R n kan have en eksotisk glat struktur. R 4 har et utal af eksotiske glatte strukturer; se eksotisk R 4 .
  • Løsningen på den glatte Poincaré-formodning er kendt i alle andre dimensioner end 4 (den er normalt falsk i dimensionerne mindst 7; se eksotisk sfære ). Poincaré-formodningen for PL-manifolder er blevet bevist for alle andre dimensioner end 4, men det vides ikke, om det er sandt i 4 dimensioner (det svarer til den glatte Poincaré-formodning i 4 dimensioner).
  • Den glatte h-cobordism sætning gælder for cobordismer forudsat at hverken cobordismen eller dens grænse har dimension 4. Den kan mislykkes, hvis cobordismens grænse har dimension 4 (som vist af Donaldson ). Hvis cobordismen har dimension 4, er det ukendt, om h-cobordismens sætning holder.
  • En topologisk manifold med dimension, der ikke er lig med 4, har en nedbrydning af styret. Manifold af dimension 4 har en nedbrydning af et håndtag, hvis og kun hvis de er glatte.
  • Der er kompakte 4-dimensionelle topologiske manifolder, der ikke er homomorfe for noget simpelt kompleks. I dimension mindst 5 var eksistensen af ​​topologiske manifolder, der ikke var homomorfe til et simpelt kompleks, et åbent problem. Ciprian Manolescu viste, at der er manifolder i hver dimension større end eller lig med 5, der ikke er homomorfe til et simpelt kompleks.

Manglende Whitney-trick i dimension 4

Ifølge Frank Quinn vil "To n- dimensionelle submanifolds af en manifold af dimension 2 n normalt krydse sig selv og hinanden i isolerede punkter. " Whitney-tricket " bruger en isotopi på tværs af en indlejret 2-disk for at forenkle disse kryds. Groft sagt dette reducerer studiet af n -dimensionelle indlejringer til indlejringer af 2-diske.Men dette er ikke en reduktion, når indlejringen er 4: de 2 diske i sig selv er mellemdimensionelle, så det at prøve at integrere dem støder på nøjagtigt de samme problemer, som de antages at løse. Dette er fænomenet, der adskiller dimension 4 fra andre. "

Se også

Referencer