Grothendiecks Tôhoku- papir -Grothendieck's Tôhoku paper
Artiklen " Sur quelques points d'algèbre homologique " af Alexander Grothendieck , nu ofte omtalt som Tôhoku- papiret , blev offentliggjort i 1957 i Tôhoku Mathematical Journal . Det har revolutioneret emnet homologisk algebra , et rent algebraisk aspekt af algebraisk topologi . Det fjernede behovet for at skelne mellem tilfælde af moduler over en ring og skiver af abeliske grupper over et topologisk rum .
Baggrund
Materiale i papiret stammer fra Grothendiecks år ved University of Kansas i 1955–6. Forskning der tillod ham at sætte homologisk algebra på et aksiomatisk grundlag ved at introducere det abeliske kategorikoncept .
En lærebogsbehandling af homologisk algebra, "Cartan – Eilenberg" efter forfatterne Henri Cartan og Samuel Eilenberg , dukkede op i 1956. Grothendiecks arbejde var stort set uafhængigt af det. Hans abeliske kategorikoncept var i det mindste delvist forventet af andre. David Buchsbaum havde i sin doktorafhandling skrevet under Eilenberg introduceret en forestilling om " nøjagtig kategori " tæt på det abeliske kategorikoncept (behøver kun direkte beløb for at være identiske); og havde formuleret ideen om " nok injektionsmidler ". Den Tohoku papir indeholder et argument for at bevise, at en Grothendieck kategori (en bestemt type abelsk kategori, navnet kommer senere) har nok injectives; forfatteren angav, at beviset var af en standardtype. Ved at vise på denne måde, at kategorier af skiver fra abeliske grupper accepterede injektionsopløsninger , gik Grothendieck ud over teorien, der var tilgængelig i Cartan – Eilenberg, for at bevise eksistensen af en kohomologiteori generelt.
Senere udvikling
Efter Gabriel – Popescu-sætningen fra 1964 vidste man, at hver Grothendieck-kategori er en kvotientkategori i en modulkategori .
Den Tohoku papir indførte også Grothendieck spektrale sekvens knyttet til sammensætningen af afledte functors . I yderligere genovervejelse af fundamentet for homologisk algebra introducerede Grothendieck og udviklede sammen med Jean-Louis Verdier det afledte kategorikoncept . Den oprindelige motivation, som bebudet af Grothendieck på den internationale matematikerkongres i 1958 , var at formulere resultater om sammenhængende dualitet , nu under navnet "Grothendieck dualitet".