Lineært tidsinvariant system - Linear time-invariant system
I systemanalyse , blandt andre studieretninger, er et lineært tidsinvariant system ( LTI-system ) et system, der producerer et udgangssignal fra ethvert indgangssignal, der er underlagt begrænsningerne af linearitet og tidsinvarians ; disse udtryk er kort defineret nedenfor . Disse egenskaber gælder (nøjagtigt eller omtrentligt) for mange vigtige fysiske systemer, i hvilket tilfælde systemets respons y ( t ) på en vilkårlig input x ( t ) kan findes direkte ved hjælp af konvolution : y ( t ) = x ( t ) ∗ h ( t ) hvor h ( t ) kaldes systemets impulsrespons og ∗ repræsenterer konvolvering (må ikke forveksles med multiplikation, som det ofte bruges af symbolet på edb -sprog ). Desuden er der systematiske metoder til at løse et sådant system (bestemmelse af h ( t )), hvorimod systemer, der ikke opfylder begge egenskaber, generelt er vanskeligere (eller umulige) at løse analytisk. Et godt eksempel på et LTI -system er ethvert elektrisk kredsløb bestående af modstande, kondensatorer, induktorer og lineære forstærkere.
Lineær tid-invariant systemteori bruges også i billedbehandling , hvor systemerne har rumlige dimensioner i stedet for eller ud over en tidsmæssig dimension. Disse systemer kan omtales som lineær translation-invariant for at give terminologien den mest generelle rækkevidde. I tilfælde af generiske systemer for diskret tid (dvs. stikprøver ) er lineær skift-invariant det tilsvarende udtryk. LTI -systemteori er et område inden for anvendt matematik, der har direkte anvendelser inden for elektrisk kredsløbsanalyse og -design , signalbehandling og filterdesign , kontrolteori , maskinteknik , billedbehandling , design af måleinstrumenter af mange slags, NMR -spektroskopi og mange andre tekniske områder, hvor systemer med almindelige differentialligninger præsenterer sig.
Oversigt
De definerende egenskaber ved ethvert LTI -system er linearitet og tidsinvarians .
- Linearitet betyder, at forholdet mellem input og output , idet begge betragtes som funktioner, er en lineær afbildning: Hvis er en konstant så systemet output til er ; hvis er en yderligere indgang med systemet output så produktionen af systemet for at sige , dette ansøger om alle valg af , , . Sidstnævnte betingelse omtales ofte som superpositionsprincippet .
- Time invariance betyder, at uanset om vi anvender et input til systemet nu eller T sekunder fra nu, vil output være identisk bortset fra en tidsforsinkelse på T sekunder. Det vil sige, hvis produktionen på grund af input er , så produktionen på grund af input er . Derfor er systemet tidsvariant, fordi output ikke afhænger af det særlige tidspunkt, input er anvendt.
Det grundlæggende resultat i LTI -systemteori er, at ethvert LTI -system udelukkende kan karakteriseres ved en enkelt funktion kaldet systemets impulsrespons . Systemets output er simpelthen konvolutionen af input til systemet med systemets impulsrespons . Dette kaldes et kontinuerligt tidssystem. På samme måde defineres et diskret-tid lineært tidsinvariant (eller mere generelt "skift-invariant") system som et, der opererer i diskret tid : hvor y , x og h er sekvenser, og konvolutionen i diskret tid bruger en diskret summering frem for en integral.
LTI-systemer kan også karakteriseres i frekvensdomænet ved systemets overførselsfunktion , som er Laplace-transformationen af systemets impulsrespons (eller Z-transformationen i tilfælde af diskrete tidssystemer). Som et resultat af disse transformers egenskaber er output fra systemet i frekvensdomænet produktet af overførselsfunktionen og transformationen af input. Med andre ord svarer konvolvering i tidsdomænet til multiplikation i frekvensdomænet.
For alle LTI -systemer er egenfunktionerne og basisfunktionerne i transformationerne komplekse eksponentialer . Dette er, hvis input til et system er den komplekse bølgeform for en kompleks kompleks amplitude og kompleks frekvens , vil output være nogle komplekse konstante gange input, f.eks. For en ny kompleks amplitude . Forholdet er overførselsfunktionen ved frekvens .
Da sinusoider er en sum af komplekse eksponentialer med komplekse konjugerede frekvenser, hvis input til systemet er en sinusformet, vil systemets output også være en sinusformet, måske med en anden amplitude og en anden fase , men altid med samme frekvens ved at nå steady-state. LTI -systemer kan ikke producere frekvenskomponenter, der ikke er i input.
LTI systemteori er god til at beskrive mange vigtige systemer. De fleste LTI-systemer betragtes som "lette" at analysere, i hvert fald i forhold til det tidsvarierende og/eller ikke-lineære tilfælde. Ethvert system, der kan modelleres som en lineær differentialligning med konstante koefficienter, er et LTI -system. Eksempler på sådanne systemer er elektriske kredsløb, der består af modstande , induktorer og kondensatorer (RLC -kredsløb). Ideel fjeder -masse -spjældsystemer er også LTI -systemer og svarer matematisk til RLC -kredsløb.
De fleste LTI-systemkoncepter er ens mellem sagerne kontinuerlig og diskret tid (lineær skift-invariant). I billedbehandling erstattes tidsvariablen med to rumvariabler, og begrebet tidsinvarians erstattes af todimensionel skiftinvarians. Når man analyserer filterbanker og MIMO -systemer, er det ofte nyttigt at overveje vektorer af signaler.
Et lineært system, der ikke er tid-invariant, kan løses ved hjælp af andre tilgange, såsom Green function- metoden.
Kontinuerlige tidssystemer
Impulsrespons og konvolvering
Opførslen af et lineært system med kontinuerlig tid, tidsinvariant med indgangssignal x ( t ) og udgangssignal y ( t ) er beskrevet af konvolutionsintegralet:
(ved hjælp af kommutativitet )
hvor er systemets respons på en impuls : . er derfor proportional med et vægtet gennemsnit af inputfunktionen . Vægtningsfunktionen ændres ganske enkelt efter beløb . Ved ændringer understreger vægtningsfunktionen forskellige dele af inputfunktionen. Når er nul for alle negative , afhænger kun af værdier fra før tid , og systemet siges at være kausal .
For at forstå, hvorfor konvolutionen producerer output fra et LTI -system, lad notationen repræsentere funktionen med variabel og konstant . Og lad den kortere notation repræsentere . Derefter en kontinuerlig time system omdanner et input funktion, til et udgangssignal funktion, . Og generelt kan hver værdi af output afhænge af hver værdi af input. Dette koncept repræsenteres af:
For et lineært system skal tilfredsstille ligning 1 :
-
( Ligning 2 )
Og kravet om tidsvariation er:
-
( Ligning 3 )
I denne notation kan vi skrive impulssvaret som
Tilsvarende:
(ved hjælp af ligning 3 )
Udskiftning af dette resultat i konvolutionsintegralet:
som har form af højre side af ligning.2 til sagen og
Ligning 2 tillader derefter denne fortsættelse:
Sammenfattende kan inputfunktionen ,, repræsenteres af et kontinuum af tidsforskydede impulsfunktioner, kombineret "lineært", som vist på ligning 1 . Systemets linearitet egenskab tillader systemets respons at blive repræsenteret af den tilsvarende kontinuum af impulssvar responser , kombineret på samme måde. Og egenskaben time-invariance tillader, at kombinationen repræsenteres af konvolutionsintegralet.
De matematiske operationer ovenfor har en simpel grafisk simulering.
Eksponentialer som egenfunktioner
En egenfunktion er en funktion, for hvilken operatørens output er en skaleret version af den samme funktion. Det er,
De eksponentielle funktioner , hvor , er
egenfunktioner for en lineær , tidsinvariant operatør. Et enkelt bevis illustrerer dette koncept. Antag, at input er . Output fra systemet med impulsrespons er derefterhvor skalaren
Så systemets svar er en skaleret version af input. Især for alle er systemoutput produktet af input og konstanten . Derfor er en
egenfunktion af et LTI -system, og den tilsvarende egenværdi er .Direkte bevis
Det er også muligt direkte at udlede komplekse eksponentialer som egenfunktioner i LTI -systemer.
Lad os indstille en kompleks eksponentiel og en tidsforskydet version af den.
ved linearitet med hensyn til konstanten .
ved tidsvariation af .
Så . Indstilling og omdøbning får vi:
Fourier og Laplace transformerer
Egenfunktionsegenskaben for eksponentialer er meget nyttig til både analyse og indsigt i LTI -systemer. Den ensidige Laplace-transformation
Laplace-transformationen bruges normalt i forbindelse med ensidige signaler, dvs. signaler, der er nul for alle værdier på t mindre end en vis værdi. Normalt sættes denne "starttid" til nul, for nemheds skyld og uden tab af generalitet, idet transformationsintegralet tages fra nul til uendeligt (transformationen vist ovenfor med lavere grænse for integration af negativ uendelighed er formelt kendt som den bilaterale Laplace transformere ).
Fouriertransformen bruges til at analysere systemer, der behandler signaler, der er uendelige i omfang, såsom modulerede sinusoider, selvom den ikke kan anvendes direkte på input- og output -signaler, der ikke er kvadratiske integrerbare . Laplace -transformen fungerer faktisk direkte for disse signaler, hvis de er nul før et starttidspunkt, selvom de ikke er firkantede integrerbare, for stabile systemer. Fouriertransformationen anvendes ofte på spektre af uendelige signaler via Wiener -Khinchin -sætningen, selv når Fourier -transformationer af signalerne ikke eksisterer.
På grund af konvolutionsegenskaben for begge disse transformationer kan den konvolvering, der giver systemets output, transformeres til en multiplikation i transformdomænet, givet signaler, som transformationerne eksisterer for
Man kan bruge systemresponsen direkte til at bestemme, hvordan en bestemt frekvenskomponent håndteres af et system med denne Laplace -transformation. Hvis vi vurderer systemresponset (Laplace -transformering af impulsresponset) ved kompleks frekvens s = jω , hvor ω = 2 πf , opnår vi | H ( s ) | som er systemforstærkningen for frekvens f . Det relative faseskift mellem output og input for denne frekvenskomponent er ligeledes givet af arg ( H ( s )).
Eksempler
- Et enkelt eksempel på en LTI -operatør er derivatet .
- (dvs. det er lineært)
- (det vil sige, at tiden er uændret)
Når Laplace -transformationen af derivatet tages, transformeres det til en simpel multiplikation med Laplace -variablen s .
- En anden simpel LTI -operatør er en gennemsnitsoperatør
Vigtige systemegenskaber
Nogle af de vigtigste egenskaber ved et system er kausalitet og stabilitet. Kausalitet er en nødvendighed for et fysisk system, hvis uafhængige variabel er tid, men denne begrænsning er ikke til stede i andre tilfælde såsom billedbehandling.
Kausalitet
Et system er kausalt, hvis output kun afhænger af nutid og fortid, men ikke fremtidige input. En nødvendig og tilstrækkelig betingelse for årsagssammenhæng er
hvor er impulsresponsen. Det er generelt ikke muligt at bestemme årsagssammenhæng ud fra den
tosidige Laplace-transformation . Men når man arbejder i tidsdomænet, bruger man normalt den ensidige Laplace-transformering, som kræver kausalitet.Stabilitet
Et system er bounded-input, bounded-output stabilt (BIBO-stabilt), hvis output for hvert afgrænset input er begrænset. Matematisk, hvis alle input tilfredsstiller
fører til en tilfredsstillende output
(dvs. en begrænset maksimale absolutte værdi af indebærer en endelig maksimale absolutte værdi ), så er systemet stabilt. En nødvendig og tilstrækkelig betingelse er , at impulsresponset er i
L 1 (har en endelig L 1 -norm):I frekvensdomænet skal konvergensområdet indeholde den imaginære akse .
Som et eksempel er det ideelle lavpasfilter med impulssvar svarende til en sinc-funktion ikke BIBO-stabilt, fordi sinc-funktionen ikke har en endelig L 1- norm. For nogle afgrænsede input er output fra det ideelle lavpasfilter således ubegrænset. Især hvis indgangen er nul for og lig med en sinusformet ved
afskæringsfrekvensen for , vil udgangen være ubegrænset for alle andre tider end nulkrydsningerne.Diskrete tidssystemer
Næsten alt i systemer med kontinuerlig tid har en modpart i systemer med diskret tid.
Diskrete tidssystemer fra systemer med kontinuerlig tid
I mange sammenhænge er et diskret tid (DT) system virkelig en del af et større kontinuerligt tid (CT) system. For eksempel tager et digitalt optagesystem en analog lyd, digitaliserer den, muligvis behandler de digitale signaler og afspiller en analog lyd, som folk kan lytte til.
I praktiske systemer er de opnåede DT -signaler normalt ensartede samplede versioner af CT -signaler. Hvis der er et CT-signal, vil
samplingskredsløbet, der blev brugt før en analog-til-digital-konverter , omdanne det til et DT-signal:Impulsrespons og konvolvering
Lad repræsentere sekvensen
Og lad den kortere notation repræsentere
Et diskret system omdanner en indgangssekvens til en udgangssekvens. Generelt kan hvert element i udgangen afhænge af hvert element i input. Repræsenterer transformationsoperatoren ved , kan vi skrive:
Bemærk, at medmindre selve transformationen ændres med n , er output -sekvensen bare konstant, og systemet er uinteressant. (Således abonnementet, n .) I et typisk system afhænger y [ n ] stærkt af elementerne i x, hvis indekser er nær n .
For det særlige tilfælde af Kronecker delta -funktionen er output -sekvensen
impulssvaret :For et lineært system skal tilfredsstille:
-
( Ligning 4 )
Og kravet om tidsvariation er:
-
( Ligning 5 )
I et sådant system karakteriserer impulssvaret systemet fuldstændigt. Det vil sige, for enhver indgangssekvens, kan udgangssekvensen beregnes i form af input og impulsrespons. For at se, hvordan det gøres, skal du overveje identiteten:
som udtrykker i form af en sum af vægtede deltafunktioner.
Derfor:
hvor vi har påberåbt Eq.4 for sagen og .
Og på grund af ligning 5 kan vi skrive:
Derfor:
( kommutativitet )
som er den velkendte diskrete konvolutionsformel. Operatøren kan derfor tolkes som proportional med et vægtet gennemsnit af funktionen
x [ k ]. Vægtningsfunktionen er h [ - k ], simpelthen forskudt med beløb n . Når n ændres, understreger vægtningsfunktionen forskellige dele af inputfunktionen. Tilsvarende er systemets reaktion på en impuls på n = 0 en "tids" omvendt kopi af den uforskydede vægtningsfunktion. Når h [ k ] er nul for alle negative k , siges systemet at være kausal .Eksponentialer som egenfunktioner
En egenfunktion er en funktion, for hvilken operatørens output er den samme funktion, skaleret med en eller anden konstant. I symboler,
hvor f er egenfunktionen og er
egenværdien , en konstant.De eksponentielle funktioner , hvor , er
egenfunktioner for en lineær , tidsinvariant operatør. er prøveudtagningsintervallet og . Et enkelt bevis illustrerer dette koncept.Antag, at input er . Output fra systemet med impulsrespons er derefter
hvilket svarer til følgende ved
konvolutationens kommutative ejendomSå er en
egenfunktion af et LTI -system, fordi systemresponsen er den samme som input gange konstanten .Z og diskrete Fourier-transformationer
Egenfunktionsegenskaben for eksponentialer er meget nyttig til både analyse og indsigt i LTI -systemer. Den Z omdanne
er præcis måden at få egenværdierne fra impulsresponset på. Af særlig interesse er rene sinusoider; dvs. eksponentialer for formen , hvor . Disse kan også skrives som med . Den
diskret-tid Fouriertransformation (DTFT) giver egenværdierne af rene sinusoider. Begge dele og kaldes systemfunktionen , systemresponsen eller overførselsfunktionen .Ligesom den ensidige Laplace-transformering bruges Z-transformen normalt i forbindelse med ensidige signaler, dvs. signaler, der er nul for t <0. Den diskrete Fourier-transformering Fourier-serie kan bruges til analyse af periodiske signaler.
På grund af konvolutionsegenskaben for begge disse transformationer kan konvolutionen, der giver systemets output, transformeres til en multiplikation i transformationsdomænet. Det er,
Ligesom med Laplace-transformeringsoverførselsfunktionen i kontinuerlig systemanalyse, gør Z-transformeringen det lettere at analysere systemer og få indsigt i deres adfærd.
Eksempler
- Et enkelt eksempel på en LTI -operatør er forsinkelsesoperatoren .
- (dvs. det er lineært)
- (det vil sige, at tiden er uændret)
Z -transformationen af forsinkelsesoperatoren er en simpel multiplikation med z -1 . Det er,
- En anden simpel LTI -operatør er den gennemsnitlige operatør
Vigtige systemegenskaber
Input-output karakteristika for diskret-tid LTI-system er fuldstændig beskrevet af dets impulsrespons . To af de vigtigste egenskaber ved et system er kausalitet og stabilitet. Ikke-kausale (i tid) systemer kan defineres og analyseres som ovenfor, men kan ikke realiseres i realtid. Ustabile systemer kan også analyseres og bygges, men er kun nyttige som en del af et større system, hvis samlede overførselsfunktion
er stabil.Kausalitet
Et diskret-tid-LTI-system er årsagssammenhængende, hvis udgangens nuværende værdi kun afhænger af den aktuelle værdi og tidligere værdier for input. En nødvendig og tilstrækkelig betingelse for årsagssammenhæng er
Stabilitet
Et system er afgrænset input, afgrænset output stabilt (BIBO -stabilt), hvis output for hver afgrænset input er begrænset. Matematisk, hvis
indebærer det
(det vil sige, hvis afgrænset input indebærer afgrænset output, i den forstand at de maksimale absolutte værdier for og er begrænsede), så er systemet stabilt. En nødvendig og tilstrækkelig betingelse er , at impulsresponsen opfylder
I frekvensdomænet skal konvergensområdet indeholde enhedscirklen (dvs. locus tilfredsstillende for kompleks
z ).Noter
Se også
Referencer
- Phillips, Cl, Parr, JM, & Riskin, EA (2007). Signaler, systemer og transformationer . Prentice Hall. ISBN 978-0-13-041207-2.CS1 maint: flere navne: forfatterliste ( link )
- Hespanha, JP (2009). Lineær systemteori . Princeton University Press. ISBN 978-0-691-14021-6.
- Crutchfield, Steve (12. oktober 2010), "The Joy of Convolution" , Johns Hopkins University , hentet 21. november 2010
- Vaidyanathan, PP; Chen, T. (maj 1995). "Rollen af antikausale inverser i multirate filterbanker - del I: systemteoretiske grundlæggende faktorer" (PDF) . IEEE Trans. Signalproces . 43 (6): 1090. Bibcode : 1995ITSP ... 43.1090V . doi : 10.1109/78.382395 .
Yderligere læsning
- Porat, Boaz (1997). Et kursus i digital signalbehandling . New York: John Wiley. ISBN 978-0-471-14961-3.
- Vaidyanathan, PP; Chen, T. (maj 1995). "Rollen af antikausale inverser i multirate filterbanker - del I: systemteoretiske grundlæggende faktorer" (PDF) . IEEE Trans. Signalproces . 43 (5): 1090. Bibcode : 1995ITSP ... 43.1090V . doi : 10.1109/78.382395 .
eksterne links
- ECE 209: Gennemgang af kredsløb som LTI -systemer - Kort primer om den matematiske analyse af (elektriske) LTI -systemer.
- ECE 209: Kilder til faseskift - Giver en intuitiv forklaring på kilden til faseskift i to almindelige elektriske LTI -systemer.
- JHU 520.214 Signaler og systemer kursusnotater . Et indkapslet kursus i LTI systemteori. Tilstrækkelig til selvundervisning.
- LTI-systemeksempel: RC lavpasfilter . Amplitude og faserespons.