Oversigt over algebraiske strukturer - Outline of algebraic structures

Algebraiske strukturer
Gruppe -lignende Gruppe Semigroup  / Monoid Rack og quandle Quasigroup og loop Abelian gruppe Magma Løg gruppe Gruppeteori
Ring -lignende Ring Semiring Nær-ring Kommutativ ring Integreret domæne Mark Opdelingsring Ringteori
Lattice -lignende Gitter Semilattice Kompletteret gitter Samlet ordre Heyting algebra Boolsk algebra Kort over gitter Gitterteori
Modul -lignende Modul Grupper med operatører Vector plads Lineær algebra
Algebra- lignende Algebra associative Ikke-associativ Sammensætning algebra Løg algebra Graded Bialgebra
v t e

I matematik er der mange typer algebraiske strukturer, der studeres. Abstrakt algebra er primært undersøgelsen af ​​specifikke algebraiske strukturer og deres egenskaber. Algebraiske strukturer kan ses på forskellige måder, men det almindelige udgangspunkt for algebrtekster er, at et algebraisk objekt inkorporerer et eller flere sæt med en eller flere binære operationer eller unære operationer, der tilfredsstiller en samling af aksiomer .

En anden gren af ​​matematik kendt som universal algebra studerer algebraiske strukturer generelt. Fra det universelle algebra-synspunkt kan de fleste strukturer opdeles i sorter og kvasivarier afhængigt af de anvendte aksiomer. Nogle aksiomatiske formelle systemer , der hverken er sorter eller kvasivariteter, kaldet ikke- variationer , er undertiden inkluderet blandt de algebraiske strukturer af tradition.

Konkrete eksempler på hver struktur findes i de nævnte artikler.

Algebraiske strukturer er så mange i dag, at denne artikel uundgåeligt vil være ufuldstændig. Derudover er der undertiden flere navne på den samme struktur, og nogle gange defineres et navn ved at være uenige om aksiomer fra forskellige forfattere. De fleste strukturer, der vises på denne side, er almindelige strukturer, som de fleste forfattere er enige om. Andre weblister over algebraiske strukturer, der er organiseret mere eller mindre alfabetisk, inkluderer Jipsen og PlanetMath. Disse lister nævner mange strukturer, der ikke er inkluderet nedenfor, og kan præsentere mere information om nogle strukturer, end der er præsenteret her.

Undersøgelse af algebraiske strukturer

Algebraiske strukturer vises i de fleste grene af matematik, og man kan støde på dem på mange forskellige måder.

• Begyndende undersøgelse: I amerikanske universiteter er grupper , vektorrum og felter generelt de første strukturer, der er fundet i fag såsom lineær algebra . De introduceres normalt som sæt med visse aksiomer.
• Avanceret undersøgelse:
  • Abstrakt algebra studerer egenskaber ved specifikke algebraiske strukturer.
  • Universal algebra studerer algebraiske strukturer abstrakt i stedet for specifikke typer strukturer.
    • Sorter
  • Kategoriteori studerer indbyrdes forhold mellem forskellige strukturer, algebraisk og ikke-algebraisk. For at studere et ikke-algebraisk objekt er det ofte nyttigt at bruge kategoriteori til at knytte objektet til en algebraisk struktur.
    • Eksempel: Den grundlæggende gruppe i et topologisk rum giver information om det topologiske rum.

Typer af algebraiske strukturer

I fuld generalitet kan en algebraisk struktur bruge ethvert antal sæt og ethvert antal aksiomer i dens definition. De mest almindeligt studerede strukturer involverer imidlertid normalt kun et eller to sæt og en eller to binære operationer . Strukturerne nedenfor er organiseret efter, hvor mange sæt der er involveret, og hvor mange binære operationer der bruges. Øget indrykkning er beregnet til at indikere en mere eksotisk struktur, og de mindst indrykkede niveauer er de mest basale.

En binær operation på et sæt

Gruppelignende strukturer
	helhed	associativitet	Identitet	Invertibility	kommutativitet
Semigroupoid	unødvendige	Nødvendig	unødvendige	unødvendige	unødvendige
Lille kategori	unødvendige	Nødvendig	Nødvendig	unødvendige	unødvendige
Groupoid	unødvendige	Nødvendig	Nødvendig	Nødvendig	unødvendige
Magma	Nødvendig	unødvendige	unødvendige	unødvendige	unødvendige
Quasigroup	Nødvendig	unødvendige	unødvendige	Nødvendig	unødvendige
Loop	Nødvendig	unødvendige	Nødvendig	Nødvendig	unødvendige
semigruppe	Nødvendig	Nødvendig	unødvendige	unødvendige	unødvendige
Inverse Semigroup	Nødvendig	Nødvendig	unødvendige	Nødvendig	unødvendige
Monoid	Nødvendig	Nødvendig	Nødvendig	unødvendige	unødvendige
Gruppe	Nødvendig	Nødvendig	Nødvendig	Nødvendig	unødvendige
Abelian gruppe	Nødvendig	Nødvendig	Nødvendig	Nødvendig	Nødvendig
^ α Lukning, der bruges i mange kilder, er en ækvivalent aksiom til totalitet, skønt den er defineret forskelligt.

De følgende strukturer består af et sæt med en binær operation. Den mest almindelige struktur er en gruppe . Andre strukturer involverer svækkelse eller styrkelse af aksiomerne for grupper og kan endvidere bruge unære operationer.

• Grupper er nøglestrukturer. Abeliske grupper er en vigtig speciel type gruppe.
  • semigroups og monoids : Disse er som grupper, undtagen at operationen ikke behøver omvendte elementer.
  • quasigroups og loops : Disse er som grupper, medmindre operationen ikke behøver at være associerende.
  • Magmas : Disse er som grupper, medmindre operationen ikke behøver at være associerende eller har omvendte elementer.
• Semilattice : Dette er dybest set "halvdelen" af en gitterstruktur (se nedenfor).

To binære operationer på et sæt

De vigtigste typer strukturer med et sæt med to binære operationer er ringe og gitter . De aksiomer, der definerer mange af de andre strukturer, er modifikationer af aksiomerne for ringe og gitter. En væsentlig forskel mellem ringe og gitter er, at deres to operationer er forbundet med hinanden på forskellige måder. I ringlignende strukturer er de to operationer forbundet med fordelingsloven ; I gitterlignende strukturer er operationerne forbundet med absorptionsloven .

• Ringe : De to operationer kaldes normalt tilføjelse og multiplikation. Kommutative ringe er en særlig vigtig ringetype, hvor multiplikationsoperationen er kommutativ. Integrerede domæner og felter er især vigtige typer kommutative ringe.
  • Ikkeassocierende ringe : Disse er som ringe, men multiplikationsoperationen behøver ikke være associativ.
    • Løgnsringe og Jordan-ringe er specielle eksempler på ikke-associerende ringe.
  • semiringer : Dette er som ringe, men tilføjelsesprocessen behøver ikke have inverser.
  • nærringe : Dette er som ringe, men tilføjelsesprocessen behøver ikke at være kommutativ.
  • * -ringe : Dette er ringe med en ekstra unær operation kaldet en involvering .
• Gitter : De to operationer kaldes normalt meet and join .
  • Latticoid : mødes og deltager i pendlingen, men behøver ikke at tilknytte sig .
  • Skæve gitter : møde og blive med, men behøver ikke at pendle.

To binære operationer og to sæt

Følgende strukturer har det fælles træk ved at have to sæt, A og B , således at der er en binær operation fra A × A i A og en anden operation fra A × B i A .

• Vektorrum : Sættet A er en abelisk gruppe, og sættet B er et felt .
  • Graderede vektorrum : Vectorrum, der er udstyret med en direkte sumnedbrydning i underrum.
• Moduler : Sættet A er en abelisk gruppe, men B er kun en generel ring og ikke nødvendigvis et felt.
  • Specielle typer moduler, inklusive gratis moduler , projektive moduler , injektionsmoduler og flade moduler studeres i abstrakt algebra.
• Gruppe med operatører : I dette tilfælde er sæt A en gruppe, og sæt B er kun et sæt.

Tre binære operationer og to sæt

Mange strukturer her er faktisk hybridstrukturer af de tidligere nævnte.

• Algebra over et felt : Dette er en ring, der også er et vektorrum over et felt. Der er aksiomer, der styrer samspillet mellem de to strukturer. Multiplikation antages normalt at være associativ.
  • Algebra over en ring : Disse er defineret på samme måde som algebras over felter, bortset fra at feltet nu kan være en hvilken som helst kommutativ ring.
  • Graderet algebra : Disse algebras er udstyret med en nedbrydning til kvaliteter .
• Ikke-associerende algebras : Dette er algebras, for hvilke associativiteten af ​​ringmultiplikation er lempet.
  • Lie algebras og Jordan algebras er specielle eksempler på ikke-associerende algebras.
• Coalgebra : Denne struktur har aksiomer, der gør dens multiplikation dobbelt så stor som dem i en associativ algebra.
  • Bialgebra : Disse strukturer er samtidig algebras og kulgebras, hvis operationer er kompatible. Der er faktisk fire operationer til denne struktur.

Algebraiske strukturer med yderligere ikke-algebraisk struktur

Der er mange eksempler på matematiske strukturer, hvor algebraisk struktur findes sammen med ikke-algebraisk struktur.

• Topologiske vektorrum er vektorrum med en kompatibel topologi .
• Løgnegrupper : Dette er topologiske manifolder, der også har en kompatibel gruppestruktur.
• Bestilte grupper , bestilte ringe og bestilte felter har algebraisk struktur, der er kompatibel med en ordre på sættet.
• Von Neumann algebras : disse er * -allegebraer på et Hilbert-rum, der er udstyret med den svage operatortopologi .

Algebraiske strukturer i forskellige discipliner

Nogle algebraiske strukturer finder anvendelse inden for discipliner uden for abstrakt algebra. Det følgende er beregnet til at demonstrere nogle specifikke applikationer inden for andre områder.

I fysik :

• Løgnegrupper bruges i vid udstrækning i fysik. Et par kendte grupper inkluderer de ortogonale grupper og de enhedsgrupper .
• Løg algebras
• Indvendige produktrum
• Kac – Moody algebra
• De quaternions og mere generelt geometriske algebraer

I matematisk logik :

• Boolske algebras er både ringe og gitter under deres to operationer.
  • Heyting af algebraer er et specielt eksempel på boolske algebraer.
• Peano aritmetik
• Afgrænset algebra
• MV-algebra

I datalogi :

• Max-plus algebra
• Syntaktisk monoid
• Overgangsmonoid

Se også

Noter

Referencer

eksterne links

• Jipsen:
  • Alfabetisk liste over algebra strukturer; inkluderer mange, der ikke er nævnt her.
  • Online bøger og forelæsningsnotater.
  • Kort, der indeholder omkring 50 strukturer, hvoraf nogle ikke vises ovenfor. Ligeledes er de fleste af strukturerne ovenfor fraværende fra dette kort.
• PlanetMath emneindeks.
• Hazewinkel, Michiel (2001) Encyclopaedia of Mathematics. Springer-Verlag.
• Mathworld- side om abstrakt algebra.
• Stanford Encyclopedia of Philosophy : Algebra af Vaughan Pratt .