Faltings sætning - Faltings's theorem
 Gerd Faltings
| |
| Mark | Aritmetisk geometri |
|---|---|
| Formodet af | Louis Mordell |
| Formodet i | 1922 |
| Første bevis ved | Gerd Faltings |
| Første bevis i | 1983 |
| Generaliseringer |
Bombieri – Lang formodning Mordell – Lang formodning |
| Konsekvenser | Siegels sætning om integrerede punkter |
I aritmetisk geometri er Mordell -formodningen den formodning, der blev fremstillet af Louis Mordell, om at en kurve af slægt større end 1 over feltet Q for rationelle tal kun har uendeligt mange rationelle punkter . I 1983 blev det bevist af Gerd Faltings , og er nu kendt som Faltings sætning . Formodningen blev senere generaliseret ved at erstatte Q med et vilkårligt talfelt .
Baggrund
Lad C være en ikke-singulær algebraisk kurve af slægten g løbet Q . Derefter kan sættet af rationelle punkter på C bestemmes som følger:
- Sag g = 0: ingen point eller uendeligt mange; C håndteres som en keglesnit .
- Sag g = 1: ingen punkter, eller C er en elliptisk kurve, og dens rationelle punkter danner en endelig genereret abelsk gruppe ( Mordells sætning , senere generaliseret til Mordell – Weil -sætningen ). Desuden begrænser Mazurs vridningssætning strukturen i torsionsundergruppen.
- Sag g > 1: ifølge Mordell -formodningen, nu Faltings sætning, har C kun et begrænset antal rationelle punkter.
Beviser
Igor Shafarevich formodede, at der kun er uendeligt mange isomorfiske klasser af abelske sorter med fast dimension og fast polarisationsgrad over et fast talfelt med god reduktion uden for et fast begrænset sæt steder . Aleksei Parshin viste, at Shafarevichs endelig formodning ville indebære Mordell -formodningen ved hjælp af det, der nu kaldes Parshins trick.
Gerd Faltings beviste Shafarevichs endelig formodning ved hjælp af en kendt reduktion til et tilfælde af Tate -formodningen sammen med værktøjer fra algebraisk geometri , herunder teorien om Néron -modeller . Hovedideen med Faltings bevis er sammenligningen af Faltings højder og naive højder via Siegel modulære sorter .
Senere beviser
- Paul Vojta gav et bevis baseret på diophantin tilnærmelse . Enrico Bombieri fandt en mere elementær variant af Vojtas bevis.
- Brian Lawrence og Akshay Venkatesh gav et bevis baseret på p -adisk Hodge -teori og lånte også nogle af de lettere ingredienser i Faltings originale bevis.
Konsekvenser
Faltings 'papir fra 1983 havde som konsekvenser en række udsagn, som tidligere var blevet formodet:
- Den Mordell formodninger , at en kurve af slægten større end 1 over et antal felt har kun endelig mange rationelle punkter;
- Den Isogeny teorem at abelian sorter med isomorfe Tate moduler (som Q ℓ -modules med Galois handling) er isogenous .
En eksemplarisk anvendelse af Faltings sætning er på en svag form af Fermats sidste sætning : for enhver fast n ≥ 4 er der højst mange primitive heltalsløsninger (parvis coprime -løsninger) til a n + b n = c n , da for sådanne n den Fermat kurven x n + y n = 1 har slægten større end 1.
Generaliseringer
På grund af Mordell-Weil sætning , kan Faltings sætning omformuleres som et udsagn om skæringspunktet mellem en kurve C med en finitely genereret undergruppe Γ af en abelsk sort A . Generalisering ved at erstatte A med en semiabelisk sort , C med en vilkårlig subvariation af A og Γ med en vilkårlig finite-undergruppe af A fører til formodningen Mordell – Lang , som blev påvist i 1995 af McQuillan efter arbejde udført af Laurent, Raynaud , Hindry, Vojta og Faltings .
En anden højere dimensionerede generalisering af Faltings sætning er Bombieri-Lang formodninger , at hvis X er en pseudo-kanonisk række (dvs. en række generelle type) over et antal felt k , så X ( k ) er ikke Zariski tæt i X . Endnu mere generelle formodninger er blevet fremført af Paul Vojta .
Mordell -formodningen om funktionsfelter blev bevist af Yuri Ivanovich Manin og af Hans Grauert . I 1990 fandt Robert F. Coleman og fikserede et hul i Manins bevis.
Noter
Citater
Referencer
- Bombieri, Enrico (1990). "Mordell -formodningen revideret" . Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa Cl. Sci . 17 (4): 615–640. MR 1093712 .
- Coleman, Robert F. (1990). "Manins bevis på Mordell -formodningen om funktionsfelter" . L'Enseignement Mathématique . 2e Série. 36 (3): 393–427. ISSN 0013-8584 . MR 1096426 . Arkiveret fra originalen 2011-10-02.
- Cornell, Gary; Silverman, Joseph H. , red. (1986). Aritmetisk geometri. Referater fra konferencen holdt på University of Connecticut, Storrs, Connecticut, 30. juli - 10. august 1984 . New York: Springer-Verlag. doi : 10.1007/978-1-4613-8655-1 . ISBN 0-387-96311-1. MR 0861969 .→ Indeholder en engelsk oversættelse af Faltings (1983)
- Faltings, Gerd (1983). "Endlichkeitssätze für abelsche Varietäten über Zahlkörpern" [Endelighedsteoremer for abelske sorter over talfelter]. Inventiones Mathematicae (på tysk). 73 (3): 349–366. Bibcode : 1983InMat..73..349F . doi : 10.1007/BF01388432 . MR 0718935 .
- Faltings, Gerd (1984). "Erratum: Endlichkeitssätze für abelsche Varietäten über Zahlkörpern" . Inventiones Mathematicae (på tysk). 75 (2): 381. doi : 10.1007/BF01388572 . MR 0732554 .
- Faltings, Gerd (1991). "Diophantin tilnærmelse til abelske sorter". Ann. af matematik. 133 (3): 549–576. doi : 10.2307/2944319 . JSTOR 2944319 . MR 1109353 .
- Faltings, Gerd (1994). "Det generelle tilfælde af S. Langs formodninger". I Cristante, Valentino; Messing, William (red.). Barsotti Symposium i algebraisk geometri. Papirer fra symposiet holdt i Abano Terme, den 24. – 27. Juni 1991 . Perspektiver i matematik. San Diego, CA: Academic Press, Inc. ISBN 0-12-197270-4. MR 1307396 .
- Grauert, Hans (1965). "Mordells Vermutung über rationale Punkte auf algebraischen Kurven und Funktionenkörper" . Publikationer Mathématiques de l'IHÉS . 25 (25): 131–149. doi : 10.1007/BF02684399 . ISSN 1618-1913 . MR 0222087 .
- Hindry, Marc; Silverman, Joseph H. (2000). Diofantisk geometri . Kandidattekster i matematik . 201 . New York: Springer-Verlag. doi : 10.1007/978-1-4612-1210-2 . ISBN 0-387-98981-1. MR 1745599 . → Giver Vojtas bevis på Faltings sætning.
- Lang, Serge (1997). Undersøgelse af diofantisk geometri . Springer-Verlag . s. 101 –122. ISBN 3-540-61223-8.
- Lawrence, Brian; Venkatesh, Akshay (2020). "Diophantine problemer og p -adiske periode mappings". Opfind. Matematik . 221 (3): 893–999. arXiv : 1807.02721 . doi : 10.1007/s00222-020-00966-7 .
- Manin, Ju. I. (1963). "Rationelle punkter på algebraiske kurver over funktionsfelter" . Izvestiya Akademii Nauk SSSR. Seriya Matematicheskaya (på russisk). 27 : 1395–1440. ISSN 0373-2436 . MR 0157971 .(Oversættelse: Manin, Yu. (1966). "Rationelle punkter om algebraiske kurver over funktionsfelter". Oversættelser fra American Mathematical Society . Serie 2. 59 : 189–234. Doi : 10.1090/trans2/050/11 . ISBN 9780821817506. ISSN 0065-9290 . )
- McQuillan, Michael (1995). "Opdelingspunkter på semi-abelske sorter". Opfind. Matematik . 120 (1): 143–159. doi : 10.1007/BF01241125 .
- Mordell, Louis J. (1922). "Om de rationelle løsninger af den ubestemte ligning af tredje og fjerde grad" . Proc. Cambridge Philos. Soc . 21 : 179–192.
- Paršin, AN (1970). "Quelques conjectures de finitude en géométrie diophantienne" (PDF) . Actes du Congrès International des Mathématiciens . Tome 1. Nice: Gauthier-Villars (udgivet 1971). s. 467–471. MR 0427323 . Arkiveret fra originalen (PDF) den 2016-09-24 . Hentet 2016-06-11 .
- Parshin, AN (2001) [1994], "Mordell conjecture" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press
- Parshin, AN (1968). "Algebraiske kurver over funktionsfelter I". Izv. Akad. Nauk. SSSR Ser. Matematik. 32 (5): 1191–1219. Bibcode : 1968IzMat ... 2.1145P . doi : 10.1070/IM1968v002n05ABEH000723 .
- Shafarevich, IR (1963). "Algebraiske talfelter". Proceedings of the International Congress of Mathematicians : 163–176.
- Vojta, Paul (1991). "Siegels sætning i den kompakte sag". Ann. af matematik. 133 (3): 509–548. doi : 10.2307/2944318 . JSTOR 2944318 . MR 1109352 .