Perfekt kraft - Perfect power

Demonstration med Cuisenaire-stænger af den perfekte kraft af 4, 8 og 9

I matematik , en perfekt magt er et naturligt tal , der er et produkt af lige naturlige faktorer, eller med andre ord, et heltal , der kan udtrykkes som en firkant eller en højere heltal magt af en anden heltal større end en. Mere formelt er n en perfekt styrke, hvis der findes naturlige tal m > 1, og k > 1 sådan, at m ^k = n . I dette tilfælde kan n kaldes en perfekt k th magt . Hvis k = 2 eller k = 3, kaldes n henholdsvis en perfekt firkant eller perfekt terning . Nogle gange betragtes 0 og 1 også som perfekte kræfter (0 ^k = 0 for enhver k > 0, 1 ^k = 1 for enhver k ).

Eksempler og summer

En sekvens af perfekte kræfter kan genereres ved at gentage de mulige værdier for m og k . De første par stigende perfekte kræfter i numerisk rækkefølge (viser duplikatstyrker) er (sekvens A072103 i OEIS ):

${\ displaystyle 2 ^ {2} = 4, \ 2 ^ {3} = 8, \ 3 ^ {2} = 9, \ 2 ^ {4} = 16, \ 4 ^ {2} = 16, \ 5 ^ {2} = 25, \ 3 ^ {3} = 27,}$ ${\ displaystyle 2 ^ {5} = 32, \ 6 ^ {2} = 36, \ 7 ^ {2} = 49, \ 2 ^ {6} = 64, \ 4 ^ {3} = 64, \ 8 ^ {2} = 64, \ prikker}$

Den sum af de reciprokke af den perfekte evner (inklusive dubletter såsom 3 ⁴ og 9 ² , som begge er lig 81) er 1:

${\ displaystyle \ sum _ {m = 2} ^ {\ infty} \ sum _ {k = 2} ^ {\ infty} {\ frac {1} {m ^ {k}}} = 1.}$

som kan bevises som følger:

${\ displaystyle \ sum _ {m = 2} ^ {\ infty} \ sum _ {k = 2} ^ {\ infty} {\ frac {1} {m ^ {k}}} = \ sum _ {m = 2} ^ {\ infty} {\ frac {1} {m ^ {2}}} \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ frac {1} {m ^ {k}}} = \ sum _ {m = 2} ^ {\ infty} {\ frac {1} {m ^ {2}}} \ left ({\ frac {m} {m-1}} \ right) = \ sum _ {m = 2} ^ {\ infty} {\ frac {1} {m (m-1)}} = \ sum _ {m = 2} ^ {\ infty} \ left ({\ frac {1} {m-1 }} - {\ frac {1} {m}} \ right) = 1 \ ,.}$

De første perfekte kræfter uden dubletter er:

(undertiden 0 og 1), 4, 8, 9, 16, 25, 27, 32, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 125, 128, 144, 169, 196, 216, 225, 243, 256 , 289, 324, 343, 361, 400, 441, 484, 512, 529, 576, 625, 676, 729, 784, 841, 900, 961, 1000, 1024, ... (sekvens A001597 i OEIS )

Summen af ​​de gensidige af de perfekte kræfter p uden duplikater er:

${\ displaystyle \ sum _ {p} {\ frac {1} {p}} = \ sum _ {k = 2} ^ {\ infty} \ mu (k) (1- \ zeta (k)) \ ca. 0,874464368 \ prikker}$

hvor μ ( k ) er Möbius-funktionen og ζ ( k ) er Riemann zeta-funktionen .

Ifølge Euler , Goldbach viste (i en nu-tabt brev), at summen af1/p - 1over sættet af perfekte kræfter er p , eksklusive 1 og eksklusive duplikater, 1:

${\ displaystyle \ sum _ {p} {\ frac {1} {p-1}} = {{\ frac {1} {3}} + {\ frac {1} {7}} + {\ frac {1 } {8}} + {\ frac {1} {15}} + {\ frac {1} {24}} + {\ frac {1} {26}} + {\ frac {1} {31}}} + \ cdots = 1.}$

Dette er undertiden kendt som sætningen Goldbach – Euler .

Opdage perfekte kræfter

At detektere, om et givet naturligt tal n er en perfekt kraft, kan opnås på mange forskellige måder med varierende niveauer af kompleksitet . En af de enkleste sådanne metoder er at overveje alle mulige værdier for k over hver af divisorerne af n , op til . Så hvis delerne af er, skal en af ​​værdierne være lig med n, hvis n faktisk er en perfekt kraft. ${\ displaystyle k \ leq \ log _ {2} n}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle n_ {1}, n_ {2}, \ prikker, n_ {j}}$${\ displaystyle n_ {1} ^ {2}, n_ {2} ^ {2}, \ prikker, n_ {j} ^ {2}, n_ {1} ^ {3}, n_ {2} ^ {3} , \ prikker}$

Denne metode kan straks forenkles ved i stedet kun at overveje primværdierne på k . Dette skyldes, at hvis der for et komposit, hvor p er prime, kan dette simpelthen omskrives som . På grund af dette resultat skal den minimale værdi af k nødvendigvis være primær. ${\ displaystyle n = m ^ {k}}$ ${\ displaystyle k = ap}$${\ displaystyle n = m ^ {k} = m ^ {ap} = (m ^ {a}) ^ {p}}$

Hvis den fulde faktorisering af n er kendt, sig, hvor de er forskellige primtal, så er n en perfekt kraft, hvis og kun hvis hvor gcd betegner den største fælles skiller . Overvej som eksempel n = 2 ⁹⁶ · 3 ⁶⁰ · 7 ²⁴ . Da gcd (96, 60, 24) = 12, er n en perfekt 12. styrke (og en perfekt 6. styrke, 4. styrke, terning og firkant, da 6, 4, 3 og 2 deler 12). ${\ displaystyle n = p_ {1} ^ {\ alpha _ {1}} p_ {2} ^ {\ alpha _ {2}} \ cdots p_ {r} ^ {\ alpha _ {r}}}$${\ displaystyle p_ {i}}$ ${\ displaystyle \ gcd (\ alpha _ {1}, \ alpha _ {2}, \ ldots, \ alpha _ {r})> 1}$

Mellemrum mellem perfekte kræfter

I 2002 beviste den rumænske matematiker Preda Mihăilescu , at det eneste par af på hinanden følgende perfekte kræfter er 2 ³ = 8 og 3 ² = 9, hvilket beviser catalansk formodning .

Pillai's formodning siger, at der for et givet positivt heltal k kun er et endeligt antal par af perfekte kræfter, hvis forskel er k . Dette er et uløst problem.

Se også

• Prime magt

Referencer

• Daniel J. Bernstein (1998). "Opdagelse af perfekte kræfter i det væsentlige lineær tid" (PDF) . Matematik i beregning . 67 (223): 1253-1283. doi : 10.1090 / S0025-5718-98-00952-1 .

eksterne links

• Lluís Bibiloni, Pelegrí Viader og Jaume Paradís, On a Series of Goldbach and Euler, 2004 (Pdf)