Periodisk sekvens - Periodic sequence

I matematik er en periodisk sekvens (undertiden kaldet en cyklus ) en sekvens, for hvilken de samme udtryk gentages igen og igen:

a ₁ , a ₂ , ..., a _p ,   a ₁ , a ₂ , ..., a _p ,   a ₁ , a ₂ , ..., a _p , ...

Tallet p af gentagne udtryk kaldes perioden ( periode ).

Definition

En (rent) periodisk sekvens (med periode p ) eller en p- periodisk sekvens er en sekvens a ₁ , a ₂ , a ₃ , ... tilfredsstillende

a _{n + p} = a _n

for alle værdier af n . Hvis en sekvens betragtes som en funktion, hvis domæne er mængden af naturlige tal , så er en periodisk sekvens ganske enkelt en særlig type periodisk funktion . Den mindste p, for hvilken en periodisk sekvens er p -perioden, kaldes dens mindste periode eller nøjagtige periode .

Eksempler

Hver konstant funktion er 1-periodisk.

Sekvensen er periodisk med mindst periode 2. ${\ displaystyle 1,2,1,2,1,2 \ dots}$

Talsekvensen i decimaludvidelsen på 1/7 er periodisk med periode 6:

${\ displaystyle {\ frac {1} {7}} = 0.142857 \, 142857 \, 142857 \, \ ldots}$

Mere generelt er cifersekvensen i decimaludvidelsen af ​​ethvert rationelt tal i sidste ende periodisk (se nedenfor).

Magtforløbet for -1 er periodisk med periode to:

${\ displaystyle -1,1, -1,1, -1,1, \ ldots}$

Mere generelt er magtforløbet for enhver rod af enhed periodisk. Det samme gælder for magterne i ethvert element af endelig orden i en gruppe .

Et periodisk punkt for en funktion f  : X → X er et punkt x, hvis kredsløb

${\ displaystyle x, \, f (x), \, f (f (x)), \, f^{3} (x), \, f^{4} (x), \, \ ldots}$

er en periodisk sekvens. Her betyder den n -foldede sammensætning af f anvendt på x . Periodiske punkter er vigtige i teorien om dynamiske systemer . Hver funktion fra et begrænset sæt til sig selv har et periodisk punkt; cyklusdetektering er det algoritmiske problem med at finde et sådant punkt. ${\ displaystyle f^{n} (x)}$

Identiteter

Delvis opsummering

${\ displaystyle \ sum _ {n = 1}^{kp+m} a_ {n} = k*\ sum _ {n = 1}^{p} a_ {n}+\ sum _ {n = 1}^ {mand}}$ Hvor k og m <p er naturlige tal.

Delvise produkter

${\ displaystyle \ prod _ {n = 1}^{kp+m} a_ {n} = ({\ prod _ {n = 1}^{p} a_ {n}})^{k}*\ prod _ {n = 1}^{m} a_ {n}}$ Hvor k og m <p er naturlige tal.

Periodiske 0, 1 sekvenser

Enhver periodisk sekvens kan konstrueres ved elementmæssig addition, subtraktion, multiplikation og division af periodiske sekvenser bestående af nuller og enere. Periodisk nul og en sekvens kan udtrykkes som summer af trigonometriske funktioner:

${\ displaystyle \ sum _ {k = 1}^{1} \ cos (-\ pi {\ frac {n (k-1)} {1}})/1 = 1,1,1,1,1, 1,1,1,1 ...}$

${\ displaystyle \ sum _ {k = 1}^{2} \ cos (2 \ pi {\ frac {n (k-1)} {2}})/2 = 0,1,0,1,0, 1,0,1,0 ...}$

${\ displaystyle \ sum _ {k = 1}^{3} \ cos (2 \ pi {\ frac {n (k-1)} {3}})/3 = 0,0,1,0,0, 1,0,0,1,0,0,1,0,0,1 ...}$

${\ displaystyle ...}$

${\ displaystyle \ sum _ {k = 1}^{N} \ cos (2 \ pi {\ frac {n (k-1)} {N}})/N = 0,0,0 ..., 1 {\ text {sekvens med periode}} N}$

Generaliseringer

En sekvens er i sidste ende periodisk, hvis den kan gøres periodisk ved at droppe et begrænset antal udtryk fra begyndelsen. For eksempel er cifersekvensen i decimaludvidelsen på 1/56 i sidste ende periodisk:

1/56 = 0. 0 1 7 8 5 7 1 4 2 8 5 7 1 4 2 8 5 7 1 4 2 ...

En sekvens er i sidste ende periodisk, hvis den opfylder betingelsen for nogle r og tilstrækkelig stor k . ${\ displaystyle a_ {k+r} = a_ {k}}$

En sekvens er asymptotisk periodisk, hvis dens termer nærmer sig ordene for en periodisk sekvens. Det vil sige, sekvensen x ₁ ,  x ₂ ,  x ₃ , ... er asymptotisk periodisk, hvis der eksisterer en periodisk sekvens a ₁ ,  a ₂ ,  a ₃ , ... for hvilken

${\ displaystyle \ lim _ {n \ rightarrow \ infty} x_ {n} -a_ {n} = 0.}$

For eksempel sekvensen

1 /3, 2 /3, 1 /4, 3 /4, 1 /5, 4 /5, ...

er asymptotisk periodisk, da dens termer nærmer sig dem i den periodiske sekvens 0, 1, 0, 1, 0, 1, ....

Referencer