Principia Mathematica -Principia Mathematica

For Isaac Newtons bog, der indeholder grundlæggende fysiske love, se Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica .
For ikke at forveksle med matematikens principper - en anden bog Russell udgivet i 1903.

Titelsiden til den forkortede Principia Mathematica til ✸56
✸54.43 : "Fra dette forslag følger det, når aritmetisk tilføjelse er defineret, at 1 + 1 = 2." - bind I, 1. udgave, s. 379 (s. 362 i 2. udgave; s. 360 i forkortet version). (Beviset udfyldes faktisk i bind II, 1. udgave, side 86 , ledsaget af kommentaren, "Ovenstående forslag er lejlighedsvis nyttigt." De fortsætter med at sige "Det bruges mindst tre gange i ✸113.66 og ✸120.123 .472. ")
Jeg kan huske, at Bertrand Russell fortalte mig om en frygtelig drøm. Han var i øverste etage på universitetsbiblioteket omkring år 2100. En biblioteksassistent gik rundt i hylderne med en enorm spand, tog bøger ned, kiggede på dem, gendannede dem til hylderne eller kastede dem i spanden. Til sidst kom han til tre store bind, som Russell kunne genkende som den sidste overlevende kopi af Principia Mathematica . Han tog et af bindene ned, vendte om et par sider, virkede forvirret et øjeblik af den nysgerrige symbolik, lukkede bindet, afbalancerede det i sin hånd og tøvede ....

Hardy, GH (2004) [1940]. En matematiker undskyldning . Cambridge: University Press. s. 83. ISBN 978-0-521-42706-7.

Han [Russell] sagde en gang efter en vis kontakt med det kinesiske sprog, at han var forfærdet over at finde ud af, at Principia Mathematicas sprog var et indoeuropæisk sprog .

Littlewood, JE (1985). En matematiker diverse . Cambridge: University Press. s. 130.

Den Principia Mathematica (ofte forkortet PM ) er en tre-binds værk på grundlaget for matematik skrevet af matematikere Alfred North Whitehead og Bertrand Russell og udgivet i 1910, 1912, og 1913. I 1925-1927, viste det sig i en anden udgave med en vigtig introduktion til den anden udgave , en tillæg A , som erstattet ✸9 og helt nye tillæg B og Appendiks C . PM må ikke forveksles med Russells 1903 The Principles of Mathematics . PM blev oprindeligt opfattet som en efterfølgerbånd til Russells principper fra 1903 , men som premierminister siger, blev dette et praktisk arbejde af praktiske og filosofiske årsager: ”Det nuværende arbejde var oprindeligt beregnet til at være omfattet af et andet bind Principles of Mathematics . .. Men efterhånden som vi gik frem, blev det mere og mere tydeligt, at emnet er meget meget større, end vi havde antaget; desuden er vi på mange grundlæggende spørgsmål, som var blevet efterladt uklare og tvivlsomme i det tidligere arbejde, nået frem til det, vi tror at være tilfredsstillende løsninger. "

Ifølge sin introduktion havde PM tre mål: (1) i størst mulig grad at analysere ideerne og metoderne til matematisk logik og at minimere antallet af primitive forestillinger og aksiomer og slutningsregler ; (2) at præcist udtrykke matematiske propositioner i symbolsk logik ved hjælp af den mest bekvemme notation, som præcist udtryk tillader; (3) for at løse de paradokser, der plagede logik og sætteori ved begyndelsen af ​​det 20. århundrede, ligesom Russells paradoks .

Dette tredje mål motiverede vedtagelsen af ​​teorien om typer i PM . Teorien om typer vedtager grammatiske begrænsninger for formler, der udelukker ubegrænset forståelse af klasser, egenskaber og funktioner. Effekten af ​​dette er, at formler som tillader forståelse af objekter som Russell-set viser sig at være dårlige: de overtræder de grammatiske begrænsninger i PM- systemet .

Der er ingen tvivl om, at PM er af stor betydning i matematikens og filosofiens historie: Som Irvine har bemærket, skabte den interesse for symbolsk logik og avancerede emnet ved at popularisere det; det viste magt og kapacitet af symbolsk logik; og det viste, hvordan fremskridt inden for matematikfilosofi og symbolsk logik kunne gå hånd i hånd med en enorm frugtbarhed. Faktisk blev PM til dels skabt af en interesse i logik , det synspunkt, som alle matematiske sandheder er logiske sandheder på. Det var dels takket være de fremskridt, der blev gjort i PM, at der på trods af dets mangler blev gjort adskillige fremskridt inden for metalogik, herunder Gödel's ufuldstændighedssætninger .

For alt dette er PM- notationer ikke almindeligt anvendt i dag: sandsynligvis den vigtigste grund til dette er, at praktiserende matematikere har en tendens til at antage, at baggrunden Foundation er en form for systemet med Zermelo – Fraenkel sætteori . Ikke desto mindre er den videnskabelige, historiske og filosofiske interesse for PM stor og vedvarende: For eksempel placerede det moderne bibliotek det 23. på en liste over de 100 engelsksprogede faglitterære bøger i det tyvende århundrede. Der er også flere artikler om arbejdet i den peer-reviewed Stanford Encyclopedia of Philosophy, og akademiske forskere arbejder fortsat med Principia , hvad enten det er af den historiske grund til at forstå teksten eller dens forfattere eller af matematiske grunde til at forstå eller udvikle Principias logiske. system.

Grundlaget er lagt

Den Principia dækkede kun mængdelære , kardinaltal , ordenstal , og reelle tal . Dybere sætninger fra reel analyse var ikke inkluderet, men ved afslutningen af ​​tredje bind var det klart for eksperter, at en stor mængde kendt matematik i princippet kunne udvikles i den vedtagne formalisme. Det var også klart, hvor lang en sådan udvikling ville være.

Et fjerde bind om fundamentet for geometri var planlagt, men forfatterne indrømmede intellektuel udmattelse ved afslutningen af ​​det tredje.

Teoretisk grundlag

Som bemærket i kritikken af ​​teorien fra Kurt Gödel (nedenfor), i modsætning til en formalistisk teori , har den "logiske" teori om PM ingen "præcis erklæring om formalismens syntaks". Desuden er det i teorien næsten øjeblikkeligt observerbar, at fortolkninger (i betydningen modelteori ) præsenteres i form af sandhedsværdier for opførelsen af ​​symbolerne "⊢" (påstand om sandhed), "~" (logisk ikke) og "V" (logisk inklusive OR).

Sandhedsværdier : PM indlejrer forestillingerne om "sandhed" og "falskhed" i begrebet "primitiv proposition". En rå (ren) formalistisk teori ville ikke give betydningen af ​​de symboler, der danner en "primitiv proposition" - symbolerne i sig selv kunne være absolut vilkårlige og ukendte. Teorien specificerer kun, hvordan symbolerne opfører sig baseret på teoriens grammatik . Senere, ved tildeling af "værdier", ville en model specificere en fortolkning af, hvad formlerne siger. I det formelle Kleene-symbol, der er angivet nedenfor, er "fortolkningen" af, hvad symbolerne almindeligvis betyder, og underforstået hvordan de ender med at blive brugt, angivet i parentes, f.eks. "¬ (ikke)". Men dette er ikke en ren formalistisk teori.

Moderne konstruktion af en formel teori

Liste over forslag henvist til ved navne

Den følgende formalistiske teori tilbydes som kontrast til den logiske teori om PM . Et moderne formelt system ville blive konstrueret som følger:

  1. Anvendte symboler : Dette sæt er startsættet, og andre symboler kan vises, men kun pr. Definition fra disse begyndelsessymboler. Et startsæt kan være følgende sæt afledt af Kleene 1952: logiske symboler : "→" (antyder, IF-THEN og "⊃"), "&" (og), "V" (eller), "¬" ( ikke), "∀" (for alle), "∃" (der findes); prædikatsymbol "=" (er lig med); funktionssymboler "+" (aritmetisk tilføjelse), "∙" (aritmetisk multiplikation), "'" (efterfølger); individuelt symbol "0" (nul); variabler " a ", " b ", " c " osv .; og parenteser "(" og ")".
  2. Symbolstrenge : Teorien vil bygge "strenge" af disse symboler ved sammenkædning (sidestilling).
  3. Formationsregler : Teorien specificerer reglerne for syntaks (regler for grammatik) normalt som en rekursiv definition, der starter med "0" og specificerer, hvordan man bygger acceptable strenge eller "velformede formler" (wffs). Dette inkluderer en regel for "erstatning" af strenge med symbolerne kaldet "variabler".
  4. Transformationsregel (er) : De aksiomer, der angiver adfærden for symbolerne og symbolsekvenserne.
  5. Inferensregel, løsrivelse, modus ponens : Reglen, der gør det muligt for teorien at "løsrive" en "konklusion" fra "premisserne", der førte op til den, og derefter at kassere "premisserne" (symboler til venstre for linjen │ eller symboler over linjen, hvis vandret). Hvis dette ikke var tilfældet, ville udskiftning resultere i længere og længere strenge, der skal fremføres. Efter anvendelsen af ​​modus ponens er der kun andet end konklusionen, resten forsvinder for evigt.
Moderne teorier angiver ofte den klassiske eller modus ponens eller "løsrivelsesreglen" som deres første aksiom :
A , A ⊃ B │ B
Symbolet "│" skrives normalt som en vandret linje, her betyder "⊃" "antyder". Symbolerne A og B er "stand-ins" til strenge; denne form for notation kaldes et "aksiomskema" (dvs. der er et utalligt antal specifikke former, som notationen kunne have). Dette kan læses på en måde, der ligner IF-THEN, men med en forskel: givet symbolstreng IF A og A indebærer B DAN B (og bevarer kun B til yderligere brug). Men symbolerne har ingen "fortolkning" (f.eks. Ingen "sandhedstabel" eller "sandhedsværdier" eller "sandhedsfunktioner"), og modus ponens fortsætter mekanisk ved grammatik alene.

Konstruktion

Teorien om PM har både væsentlige ligheder og lignende forskelle med en moderne formel teori. Kleene siger, at "dette fradrag af matematik fra logik blev tilbudt som intuitiv aksiomatik. Axiomerne var beregnet til at blive troet eller i det mindste at blive accepteret som sandsynlige hypoteser om verden". Faktisk, i modsætning til en formalistisk teori, der manipulerer symboler i henhold til reglerne i grammatik, introducerer PM forestillingen om "sandhedsværdier", dvs. sandhed og falskhed i den virkelige forstand, og "sandhedens påstand" næsten øjeblikkeligt som den femte og sjette elementer i teoriens struktur ( PM 1962: 4–36):

  1. Variabler
  2. Anvendelse af forskellige bogstaver
  3. De grundlæggende funktioner i propositioner : "den modstridende funktion" symboliseret med "~" og den "logiske sum eller disjunktiv funktion" symboliseret ved "∨" tages som defineret som primitiv og logisk implikation (det følgende eksempel bruges også til at illustrere 9. Definition nedenfor ) som
    p ⊃ q . = . ~ p ∨ q Df . ( PM 1962: 11)
    og logisk produkt defineret som
    s . q . = . ~ (~ p ∨ ~ q ) Df . ( PM 1962: 12)
  4. Ækvivalens : Logisk ækvivalens, ikke aritmetisk ækvivalens: "≡" givet som en demonstration af, hvordan symbolerne bruges, dvs. "Således står ' p ≡ q ' for '( p ⊃ q ) . ( Q ⊃ p )'." ( PM 1962: 7). Bemærk, at for at diskutere en notation PM identificeres en "meta" -notation med "[space] ... [space]":
    Logisk ækvivalens vises igen som en definition :
    p ≡ q . = . ( p ⊃ q ) . ( q ⊃ p ) ( PM 1962: 12),
    bemærk udseendet af parenteser. Denne grammatiske brug er ikke specificeret og vises sporadisk; parenteser spiller en vigtig rolle i symbolstrenge, men f.eks. notationen "( x )" for nutidens "∀ x ".
  5. Sandhedsværdier : "Den 'sandhedsværdi' af en proposition er sandhed, hvis den er sand, og falskhed, hvis den er falsk" (denne sætning skyldes Gottlob Frege ) ( PM 1962: 7).
  6. Assertion-skilt : " '⊦ . P kan læses 'det er rigtigt, at' ... således '⊦ : s . ⊃ . Q ' betyder 'det er rigtigt, at p indebærer q ', mens' ⊦ . S . ⊃⊦ . q 'betyder' p er sandt; derfor er q sandt '. Den første af disse involverer ikke nødvendigvis sandheden hverken af p eller q , mens den anden involverer sandheden for begge "( PM 1962: 92).
  7. Inferens : PM 's version af modus ponens . "[Hvis] '⊦ . P ' og '⊦ ( p ⊃ q )' er opstået, vil '⊦ . Q ' forekomme, hvis det ønskes at registrere det. Processen med slutningen kan ikke reduceres til symboler. Dens eneste registrering er forekomsten af ​​'⊦ . Q ' [med andre ord symbolerne til venstre forsvinder eller kan slettes] "( PM 1962: 9).
  8. Brug af prikker
  9. Definitioner : Disse bruger tegnet "=" med "Df" i højre ende.
  10. Resumé af foregående udsagn : kort diskussion af de primitive ideer "~ p " og " p ∨ q " og "⊦" foran en proposition.
  11. Primitive propositioner : aksiomerne eller postulaterne. Dette blev markant ændret i den anden udgave.
  12. Propositionsfunktioner : Begrebet "proposition" blev markant ændret i den anden udgave, herunder introduktionen af ​​"atomiske" propositioner forbundet med logiske tegn til dannelse af "molekylære" propositioner og brugen af ​​substitution af molekylære propositioner i atomare eller molekylære propositioner til skabe nye udtryk.
  13. Værdiområdet og total variation
  14. Tvetydig påstand og den virkelige variabel : Denne og de næste to sektioner blev ændret eller opgivet i anden udgave. Navnlig blev forskellen mellem begreberne defineret i afsnit 15. Definition og den virkelige variabel og 16 propositioner, der forbinder reelle og tilsyneladende variabler, opgivet i anden udgave.
  15. Formel implikation og formel ækvivalens
  16. Identitet
  17. Klasser og relationer
  18. Forskellige beskrivende funktioner i relationer
  19. Flertals beskrivende funktioner
  20. Enhedsklasser

Primitive ideer

Jf. PM 1962: 90–94, til første udgave:

  • (1) Elementære propositioner .
  • (2) Elementære forslag om funktioner .
  • (3) Påstand : introducerer begreberne "sandhed" og "falskhed".
  • (4) Påstand om en propositionel funktion .
  • (5) Negation : "Hvis p er en hvilken som helst proposition, vil propositionen" not- p "eller" p er falsk "repræsenteret af" ~ p "".
  • (6) Disjunktion : "Hvis p og q er nogen propositioner, vil propositionen" p eller q , dvs. "enten p er sandt eller q er sandt", hvor alternativerne ikke skal udelukke hinanden, repræsenteret af " p ∨ q "".
  • (jf. afsnit B)

Primitive propositioner

Den første udgave (se diskussion i forhold til den anden udgave nedenfor) begynder med en definition af tegnet "⊃"

✸1.01 . p ⊃ q . = . ~ p ∨ q . Df .

✸1.1 . Alt, hvad der antydes af et sandt elementært forslag, er sandt. Pp modus ponens

( ✸1.11 blev opgivet i anden udgave.)

✸1.2 . ⊦ : p ∨ s . ⊃ . s . PP- princippet om tautologi

✸1.3 . ⊦ : q . ⊃ . p ∨ q . PP- princippet om tilføjelse

✸1.4 . ⊦ : p ∨ q . ⊃ . q ∨ s . PP- princippet om permutation

✸1.5 . ⊦ : p ∨ ( q ∨ r ) . ⊃ . q ∨ ( p ∨ r ). Pp associerende princip

✸1.6 . ⊦ :. q ⊃ r . ⊃ : p ∨ q . ⊃ . p ∨ r . PP- princippet om summering

✸1.7 . Hvis p er et elementært forslag, er ~ p et elementært forslag. Pp

711.71 . Hvis p og q er elementære propositioner, er p ∨ q en elementær proposition. Pp

✸1.72 . Hvis φ p og ψ p er elementære propositionelle funktioner, der tager elementære propositioner som argumenter, er φ p ∨ ψ p en elementær proposition. Pp

Sammen med "Introduktion til anden udgave" opgiver anden udgaves bilag A hele sektionen ✸9 . Dette inkluderer seks primitive udsagn ✸9 til ✸9.15 sammen med aksiomerne for reducerbarhed.

Den reviderede teori gøres vanskelig ved introduktionen af Sheffer slagtilfælde ("|") for at symbolisere "inkompatibilitet" (dvs. hvis begge elementære propositioner p og q er sande, er deres "streg" p | q falske), den moderne logiske NAND (ikke-OG). I den reviderede teori præsenterer introduktionen begrebet "atomisk proposition", et "datum", der "tilhører den filosofiske del af logikken". Disse har ingen dele, der er forslag og ikke indeholder begreberne "alle" eller "nogle". For eksempel: "dette er rødt" eller "dette er tidligere end det". Sådanne ting kan eksistere ad finitum , dvs. endda en "uendelig optælling" af dem for at erstatte "generalitet" (dvs. begrebet "for alle"). PM derefter "avancere [s] til molekylære propositioner", som alle er forbundet med "slagtilfælde". Definitioner giver ækvivalenser for "~", "∨", "⊃" og " . ".

Den nye introduktion definerer "elementære propositioner" som atomare og molekylære positioner sammen. Derefter erstatter alle de primitive propositioner ✸1.2 til ✸1.72 med en enkelt primitiv proposition indrammet med hensyn til slagtilfælde:

"Hvis p , q , r er elementære propositioner, givet p og p | ( q | r ), kan vi udlede r . Dette er en primitiv proposition."

Den nye introduktion holder notationen for "der eksisterer" (nu omarbejdet som "undertiden sand") og "for alle" (omarbejdet som "altid sandt"). Appendiks A styrker begrebet "matrix" eller "predikativ funktion" (en "primitiv idé", PM 1962: 164) og præsenterer fire nye primitive propositioner som ✸8.1 – ✸8.13 .

✸88 . Multiplikativ aksiom

✸120 . Uendelig aksiom

Forstørrede typer og aksiomet for reducerbarhed

I simpel typeteori er objekter elementer af forskellige usammenhængende "typer". Typer opbygges implicit som følger. Hvis τ 1 , ..., τ m er typer, er der en type (τ 1 , ..., τ m ), der kan betragtes som klassen af ​​propositionelle funktioner i τ 1 , ..., τ m ( som i sætteori i det væsentlige er sættet med undergrupper af τ 1 × ... × τ m ). Især er der en type () af propositioner, og der kan være en type ι (iota) af "individer", hvorfra andre typer er bygget. Russell og Whiteheads notation for opbygning af typer fra andre typer er ret besværlig, og notationen her skyldes kirken .

I den forgrenede type teori om PM er alle objekter elementer af forskellige usammenhængende forgrenede typer. Forstørrede typer opbygges implicit som følger. Hvis τ 1 , ..., τ m , σ 1 , ..., σ n er forgrenede typer, er der som i simpel typeteori en type (τ 1 , ..., τ m , σ 1 , ... , σ n ) af "predikative" propositionsfunktioner af τ 1 , ..., τ m , σ 1 , ..., σ n . Der er imidlertid også forgrenede typer (τ 1 , ..., τ m | σ 1 , ..., σ n ), der kan betragtes som klasser af propositionelle funktioner af τ 1 , ... τ m opnået fra propositionelle funktioner af typen (τ 1 , ..., τ m , σ 1 , ..., σ n ) ved at kvantificere over σ 1 , ..., σ n . Når n = 0 (så der ikke er σs) kaldes disse propositionelle funktioner predikative funktioner eller matricer. Dette kan være forvirrende, fordi den nuværende matematiske praksis ikke skelner mellem predikative og ikke-predikative funktioner, og under alle omstændigheder definerer PM aldrig nøjagtigt, hvad en "predikativ funktion" faktisk er: dette tages som en primitiv forestilling.

Russell og Whitehead fandt det umuligt at udvikle matematik og samtidig opretholde forskellen mellem predikative og ikke-predikative funktioner, så de introducerede aksiomet for reducerbarhed og sagde, at der for hver ikke-predikativ funktion er en predikativ funktion, der tager de samme værdier. I praksis betyder dette aksiom i det væsentlige, at elementerne af typen (τ 1 , ..., τ m | σ 1 , ..., σ n ) kan identificeres med elementerne af typen (τ 1 , ..., τ m ), som får hierarkiet af forgrenede typer til at kollapse ned til simpel typeteori. (Strengt taget er dette ikke helt korrekt, fordi PM tillader, at to propositionelle funktioner er forskellige, selvom de tager de samme værdier på alle argumenter; dette adskiller sig fra den nuværende matematiske praksis, hvor man normalt identificerer to sådanne funktioner.)

I Zermelo sætteori kan man modellere den forgrenede type teori om PM som følger. Man vælger et sæt til at være den type enkeltpersoner. For eksempel kan ι være sættet med naturlige tal eller sættet med atomer (i en sætteori med atomer) eller ethvert andet sæt man er interesseret i. Hvis τ 1 , ..., τ m er typer, er typen f.eks. (τ 1 , ..., τ m ) er effektsættet for produktet τ 1 × ... × τ m , som også kan betragtes uformelt, da sættet af (propositionel predikativ) fungerer fra dette produkt til en 2 -element sæt {true, false}. Den forgrenede type (τ 1 , ..., τ m | σ 1 , ..., σ n ) kan modelleres som produkt af typen (τ 1 , ..., τ m , σ 1 , ... , σ n ) med sæt af sekvenser af n kvantificeringsanordninger (∀ eller ∃), der angiver, hvilken kvantificeringsenhed, der skal anvendes på hver variabel σ i . (Man kan variere dette lidt ved at lade σ'erne kvantificeres i en hvilken som helst rækkefølge eller lade dem forekomme før nogle af τ'erne, men det gør lille forskel undtagen til bogholderiet.)

Notation

Hovedartikel: Ordliste over Principia Mathematica

En forfatter bemærker, at "notationen i det arbejde er blevet afløst af den efterfølgende udvikling af logik i det 20. århundrede, i det omfang begynderen overhovedet har problemer med at læse PM"; mens meget af det symbolske indhold kan konverteres til moderne notation, er selve den originale notation "et emne for videnskabelig tvist", og en del notation "inkorporerer materielle logiske doktriner, så den ikke blot kan erstattes af nutidig symbolik".

Kurt Gödel var hårdt kritisk over notationen:

"Det skal beklages, at denne første omfattende og grundige præsentation af en matematisk logik og afledningen af ​​matematik fra den [mangler] så meget formel præcision i fundamentet (indeholdt i in1 – ✸21 i Principia [dvs. , sektioner ✸1 – ✸5 (propositionelogik), ✸8–14 (predikatlogik med identitet / lighed), ✸20 (introduktion til sætteori) og ✸21 (introduktion til relationsteori)]) som den repræsenterer i dette respekter et betydeligt tilbageskridt sammenlignet med Frege. Det, der først og fremmest mangler, er en præcis redegørelse for formalismens syntaks. Syntaktiske overvejelser udelades, selv i tilfælde, hvor de er nødvendige for bevisets sammenhæng ".

Dette afspejles i nedenstående eksempel på symbolerne " p ", " q ", " r " og "⊃", der kan formes til strengen " p ⊃ q ⊃ r ". PM kræver en definition af, hvad denne symbolstreng betyder i form af andre symboler; i moderne behandlinger ville "dannelsesreglerne" (syntaktiske regler, der førte til "velformede formler") have forhindret dannelsen af ​​denne streng.

Kilden til notationen : Kapitel I "Indledende forklaringer på ideer og notationer" begynder med kilden til de elementære dele af notationen (symbolerne = ⊃≡ − ΛVε og systemet med prikker):

"Notationen, der er vedtaget i dette arbejde, er baseret på Peanos , og de følgende forklaringer er til en vis grad modelleret på dem, som han forud for hans Formulario Mathematico [dvs. Peano 1889]. Hans brug af prikker som parentes er vedtaget, og så er mange af hans symboler "( PM 1927: 4).

PM ændrede Peano's Ɔ til ⊃, og vedtog også et par af Peanos senere symboler, såsom ℩ og ι, og Peanos praksis med at vende bogstaverne på hovedet.

PM vedtager påstandstegnet "⊦" fra Freges Begriffsschrift fra 1879 :

"(I) t kan læses 'det er sandt at'"

Således at hævde en proposition p PM skriver:

"⊦ . S. " ( PM 1927: 92)

(Vær opmærksom på, at venstre prik, som i originalen, er firkantet og af større størrelse end perioden til højre.)

Det meste af resten af ​​notationen i PM blev opfundet af Whitehead.

En introduktion til notationen af ​​"Afsnit A Matematisk logik" (formler –1 – ✸5.71)

PM 's prikker bruges på en måde, der ligner parenteser. Hver prik (eller flere prikker) repræsenterer enten en venstre eller højre parentes eller det logiske symbol ∧. Mere end en prik angiver parentesens "dybde", f.eks. " . ", " : " Eller " :. ", " :: ". Imidlertid er placeringen af ​​den matchende højre eller venstre parentes ikke udtrykkeligt angivet i notationen, men skal udledes af nogle regler, der er komplekse og til tider tvetydige. Desuden, når prikkerne står for et logisk symbol ∧, skal venstre og højre operander udledes ved hjælp af lignende regler. Først skal man beslutte ud fra sammenhæng, om prikkerne står for en venstre eller højre parentes eller et logisk symbol. Derefter skal man beslutte, hvor langt den anden tilsvarende parentes er: her fortsætter man, indtil man møder enten et større antal prikker eller det samme antal prikker, der næste har samme eller større "kraft" eller slutningen af ​​linjen. Prikker ved siden af ​​tegnene ⊃, ≡, ∨, = Df har større kraft end prikker ved siden af ​​( x ), (∃ x ) og så videre, som har større kraft end prikker, der indikerer et logisk produkt ∧.

Eksempel 1. Linjen

✸ 3.4 . ⊢ : s . q . ⊃ . p ⊃ q

svarer til

⊢ ((p ∧ q) ⊃ (p ⊃ q)).

De to prikker, der står sammen umiddelbart efter påstandstegnet, indikerer, at hvad der hævdes er hele linjen: da der er to af dem, er deres rækkevidde større end for nogen af ​​de enkelte prikker til højre for dem. De erstattes af en venstre parentes, der står, hvor prikkerne er, og en højre parentes i slutningen af ​​formlen, således:

⊢ (s . Q . ⊃ . P ⊃ q).

(I praksis undertrykkes disse yderste parenteser, som vedlægger en hel formel, normalt.) Den første af de enkelte prikker, der står mellem to propositionelle variabler, repræsenterer sammenhæng. Det tilhører den tredje gruppe og har det snævreste omfang. Her erstattes det med det moderne symbol for sammenhæng "∧", således

⊢ (p ∧ q . ⊃ . P ⊃ q).

De to resterende enkelte prikker udvælger hovedformlen for hele formlen. De illustrerer nytten af ​​priknotationen til at vælge de forbindelser, der er relativt vigtigere end dem, der omgiver dem. Den ene til venstre for "⊃" erstattes af et par parenteser, den højre går hvor prikken er, og den venstre går så langt til venstre som muligt uden at krydse en gruppe prikker med større kraft, i i dette tilfælde de to prikker, der følger påstandstegnet, således

⊢ ((p ∧ q) ⊃ . P ⊃ q)

Prikken til højre for "⊃" erstattes af en venstre parentes, der går, hvor prikken er, og en højre parentes, der går så langt til højre, som den kan uden at gå ud over det omfang, der allerede er etableret af en gruppe prikker med større kraft (i dette tilfælde de to prikker, der fulgte påstandstegnet). Så den højre parentes, der erstatter prikken til højre for "⊃", er placeret foran den højre parentes, som erstattede de to prikker efter påstandstegnet, således

⊢ ((p ∧ q) ⊃ (p ⊃ q)).

Eksempel 2 med dobbelt, tredobbelt og firdobbelt prik:

.59.521 . ⊢:: (∃x). φx. ⊃. q: ⊃:. (∃x). φx. v. r: ⊃. qvr

står for

((((∃x) (φx)) ⊃ (q)) ⊃ (((((∃x) (φx)) v (r)) ⊃ (qvr)))

Eksempel 3 med en dobbelt prik, der angiver et logisk symbol (fra bind 1, side 10):

p ⊃ q : q ⊃ r .⊃. p ⊃ r

står for

( p ⊃ q ) ∧ (( q ⊃ r ) ⊃ ( p ⊃ r ))

hvor den dobbelte prik repræsenterer det logiske symbol ∧ og kan ses som at have højere prioritet som en ikke-logisk enkelt prik.

Senere i sektion ✸14 vises parenteser [[] ", og i sektioner ✸20 og derefter vises parenteser" {} ". Om disse symboler har specifikke betydninger eller kun er til visuel afklaring, er uklart. Desværre bruges den enkelte prik (men også " : ", " :. ", " :: " osv.) Også til at symbolisere "logisk produkt" (nutidig logisk OG ofte symboliseret med "&" eller "∧").

Logisk implikation er repræsenteret af Peanos "Ɔ" forenklet til "⊃", logisk negation symboliseres af en langstrakt tilde, dvs. "~" (nutidig "~" eller "¬"), den logiske ELLER med "v". Symbolet "=" sammen med "Df" bruges til at angive "er defineret som", hvorimod i afsnit ✸13 og derpå defineres "=" som (matematisk) "identisk med", dvs. moderne matematisk "lighed" ( jf. diskussion i afsnit ✸13 ). Logisk ækvivalens er repræsenteret af "≡" (nutidig "hvis og kun hvis"); "elementære" propositionsfunktioner skrives på den sædvanlige måde, f.eks. " f ( p )", men senere vises funktionstegnet direkte før variablen uden parentes, f.eks. "φ x ", "χ x " osv.

Eksempel PM introducerer definitionen af ​​"logisk produkt" som følger:

.03.01 . s . q . = . ~ (~ p v ~ q ) Df .
hvor " s . q " er det logiske produkt af p og q .
.023.02 . p ⊃ q ⊃ r . = . p ⊃ q . q ⊃ r Df .
Denne definition tjener kun til at forkorte bevis.

Oversættelse af formlerne til moderne symboler : Forskellige forfattere bruger alternative symboler, så der kan ikke gives nogen endelig oversættelse. På grund af kritik som Kurt Gödel nedenfor vil de bedste moderne behandlinger dog være meget præcise med hensyn til formelernes "formningsregler" (syntaksen).

Den første formel kan konverteres til moderne symbolik som følger:

( p & q ) = df (~ (~ p v ~ q ))

skiftevis

( p & q ) = df (¬ (¬ p v ¬ q ))

skiftevis

( p ∧ q ) = df (¬ (¬ p v ¬ q ))

etc.

Den anden formel kan konverteres som følger:

( p → q → r ) = df ( p → q ) & ( q → r )

Men bemærk at dette ikke er (logisk) ækvivalent med ( p → ( q → r )) eller (( p → q ) → r ), og disse to er heller ikke logisk ækvivalente.

En introduktion til notationen af ​​"Afsnit B Teori om tilsyneladende variabler" (formler ✸8 – ✸14.34)

Disse sektioner vedrører det, der nu er kendt som predikatlogik , og predikatlogik med identitet (lighed).

  • NB: Som et resultat af kritik og fremskridt erstatter anden udgave af PM (1927) ✸9 med en ny ✸8 (Appendiks A). Dette nye afsnit eliminerer den første udgaves skelnen mellem reelle og tilsyneladende variabler, og det eliminerer "den primitive idé 'påstand om en propositionel funktion'. For at tilføje behandlingens kompleksitet introducerer ✸8 tanken om at erstatte en" matrix ", og Sheffer slagtilfælde :
  • Matrix : I moderne brug er PM 's matrix (i det mindste for propositionelle funktioner ), en sandhedstabel , dvs. alle sandhedsværdier for en proposition eller predikatfunktion.
  • Sheffer slagtilfælde : Er den moderne logiske NAND (NOT-AND), dvs. "inkompatibilitet", hvilket betyder:
"Givet to propositioner p og q , betyder ' p | q '" proposition p er uforenelig med proposition q ", dvs. hvis begge propositioner p og q vurderes som sande, så og først derefter vurderes p | q som falsk." Efter afsnit ✸8 ser Sheffer-slaget ingen brug.

Afsnit ✸10: De eksistentielle og universelle "operatorer" : PM tilføjer "( x )" for at repræsentere den moderne symbolik "for alle x " dvs. "∀ x ", og det bruger en bagudrettet E til at repræsentere "der findes en x ", dvs." (Ǝx) ", dvs. den moderne" ∃x ". Den typiske notation svarer til følgende:

"( x ) . φ x " betyder "for alle værdier af variablen x evalueres funktion to til sand"
"(Ǝ x ) . Φ x " betyder "for en værdi af variablen x evalueres funktion φ til sand"

Afsnit ✸10, ✸11, ✸12: Egenskaber for en variabel udvidet til alle individer : sektion ✸10 introducerer begrebet "en egenskab" af en "variabel". PM giver eksemplet: φ er en funktion, der indikerer "er en græsk", og ψ angiver "er en mand", og χ angiver "er en dødelig", disse funktioner gælder derefter for en variabel x . PM kan nu skrive og evaluere:

( x ) . ψ x

Ovenstående betegnelse betyder "for alle x er x en mand". I betragtning af en samling individer kan man evaluere ovenstående formel for sandhed eller falskhed. I betragtning af den begrænsede samling af individer {Socrates, Platon, Russell, Zeus} vurderes ovenstående til "sand", hvis vi tillader, at Zeus er en mand. Men det mislykkes for:

( x ) . φ x

fordi Russell ikke er græsk. Og det mislykkes for

( x ) . χ x

fordi Zeus ikke er dødelig.

Udstyret med denne betegnelse kan PM oprette formler til at udtrykke følgende: "Hvis alle grækere er mænd, og hvis alle mænd er dødelige, er alle grækere dødelige". ( PM 1962: 138)

( x ) . φ x ⊃ ψ x : ( x ) . ψ x ⊃ χ x : ⊃ : ( x ) . φ x ⊃ χ x

Et andet eksempel: formlen:

✸10.01 . (Ǝ x ) . φ x . = . ~ ( x ) . ~ φ x Df .

betyder "Symbolerne repræsenterer påstanden 'Der findes mindst en x , der tilfredsstiller funktion φ' defineres af symboler, der repræsenterer påstanden 'Det er ikke sandt, at i betragtning alle værdier af x , er der ingen værdier af x opfylder φ'".

Symbolerne ⊃ x og "≡ x " vises ved ✸10.02 og ✸10.03 . Begge er forkortelser for universalitet (dvs. for alle), der binder variablen x til den logiske operator. Moderne notation ville simpelthen have brugt parenteser uden for lighedstegnet ("="):

.0210,02 φ x ⊃ x ψ x . = . ( x ) . φ x ⊃ ψ x Df
Moderne notation: ∀ x (φ ( x ) → ψ ( x )) (eller en variant)
✸10,03 φ x ≡ x ψ x . = . ( x ) . φ x ≡ ψ x Df
Moderne notation: ∀ x (φ ( x ) ↔ ψ ( x )) (eller en variant)

PM tilskriver Peano den første symbolik.

Afsnit ✸11 anvender denne symbolik på to variabler. Således kunne følgende notationer: ⊃ x , ⊃ y , ⊃ x, y alle kunne vises i en enkelt formel.

Afsnit ✸12 genindfører begrebet "matrix" (nutidig sandhedstabel ), begrebet logiske typer og især forestillingerne om første ordens og andenordens funktioner og propositioner.

Ny symbolik "φ ! X " repræsenterer enhver værdi af en første ordens funktion. Hvis en circumflex "＾" placeres over en variabel, er dette en "individuel" værdi af y , hvilket betyder at " ŷ " angiver "individer" (f.eks. En række i en sandhedstabel); denne skelnen er nødvendig på grund af propositionens funktioners matrix / ekstension.

Nu udstyret med matrixbegrebet kan PM hævde sin kontroversielle aksiom af reducerbarhed : en funktion af en eller to variabler (to er tilstrækkelige til PM 's brug) hvor alle dens værdier er angivet (dvs. i dens matrix) er (logisk) ækvivalent ("≡") til en eller anden "predikativ" funktion af de samme variabler. Definitionen med en variabel er givet nedenfor som en illustration af notationen ( PM 1962: 166–167):

✸12,1 ⊢ : (Ǝ f ) : φ x . ≡ x . f ! x Pp ;

Pp er en "primitiv proposition" ("propositioner antaget uden bevis") ( PM 1962: 12, dvs. moderne "aksiomer"), der tilføjes til de 7 defineret i afsnit ✸1 (startende med ✸1.1 modus ponens ). Disse skal skelnes fra de "primitive ideer", der inkluderer påstandstegnet "⊢", negation "~", logisk ELLER "V", begreberne "elementær proposition" og "elementær propositionel funktion"; disse er så tæt som PM kommer til regler for notationsdannelse, dvs. syntaks .

Dette betyder: "Vi hævder sandheden af ​​følgende: Der findes en funktion f med egenskaben, der: givet alle værdier af x , er deres evalueringer i funktion φ (dvs. resulterer i deres matrix) logisk ækvivalent med noget f, der evalueres ved de samme værdier af x . (og omvendt, deraf logisk ækvivalens) ". Med andre ord: givet en matrix bestemt af egenskaben φ anvendt på variablen x , findes der en funktion f, der, når den anvendes til x, er logisk ækvivalent med matrixen. Eller: hver matrix φ x kan repræsenteres af en funktion f anvendt på x , og omvendt.

✸13: Identitetsoperatøren "=" : Dette er en definition, der bruger tegnet på to forskellige måder, som bemærket af citatet fra PM :

✸13.01 . x = y . = : (φ) : φ ! x . ⊃ . φ ! y Df

midler:

"Denne definition angiver, at x og y skal kaldes identiske, når hver predikativ funktion, der er opfyldt af x , også er tilfreds med y ... Bemærk, at det andet tegn på ligestilling i ovenstående definition er kombineret med" Df ", og således ikke virkelig det samme symbol som det tegn på lighed, der er defineret. "

Ikke-lig-tegnet "≠" ser ud som en definition på ✸13.02 .

✸14: Beskrivelser :

"En beskrivelse er en sætning af formen" udtrykket y, der tilfredsstiller φ ŷ , hvor φ ŷ er en eller anden funktion, der er tilfreds med et og kun et argument. "

Fra denne PM anvender to nye symboler, en "E" og en omvendt iota "℩". Her er et eksempel:

.0214.02 . E ! (℩ y ) (φ y ) . = : (Ǝ b ) : φ y . ≡ y . y = b Df .

Dette har betydningen:

"Den y- tilfredsstillende φ ŷ findes", som holder når, og kun når φ ŷ er opfyldt med en værdi af y og uden nogen anden værdi. "( PM 1967: 173–174)

Introduktion til notationen af ​​teorien om klasser og relationer

Teksten springer fra sektion ✸14 direkte til de grundlæggende sektioner ✸20 GENEREL TEORI OM KLASSER og ✸21 ALMINDELIG teori om forhold . "Relationer" er det, der er kendt i nutidig sætteori som sæt af ordnede par . Afsnit ✸20 og ✸22 introducerer mange af de symboler, der stadig er i moderne brug. Disse inkluderer symbolerne "ε", "⊂", "∩", "∪", "-", "Λ" og "V": "ε" betyder "er et element af" ( PM 1962: 188); "⊂" ( ✸22.01 ) betyder "er indeholdt i", "er en delmængde af"; "∩" ( ✸22.02 ) betyder krydset (logisk produkt) af klasser (sæt); "∪" ( ✸22.03 ) betyder union (logisk sum) af klasser (sæt); "-" ( ✸22.03 ) betyder negation af en klasse (sæt); "Λ" betyder nullklassen; og "V" betyder den universelle klasse eller univers for diskurs.

Små græske bogstaver (undtagen "ε", "ι", "π", "φ", "ψ", "χ" og "θ") repræsenterer klasser (f.eks. "Α", "β", "γ "," δ "osv.) ( PM 1962: 188):

x ε α
"Anvendelsen af ​​et enkelt bogstav i stedet for symboler som ẑ (φ z ) eller ẑ (φ ! Z ) er praktisk talt næsten uundværlig, da ellers bliver notationen hurtigt utåleligt tung. Så ' x ε α' betyder ' x er en medlem af klassen α '". ( PM 1962: 188)
α ∪ –α = V
Foreningen af ​​et sæt og dets inverse er det universelle (afsluttede) sæt.
α ∩ –α = Λ
Skæringspunktet mellem et sæt og dets inverse er nul (tom) sæt.

Når de anvendes på relationer i afsnit ✸23 BEREGNING AF FORBINDELSER , får symbolerne "⊂", "∩", "∪" og "-" en prik: for eksempel: "⊍", "∸".

Begrebet og notationen af ​​"en klasse" (sæt) : I den første udgave hævder PM , at ingen nye primitive ideer er nødvendige for at definere, hvad der menes med "en klasse", og kun to nye "primitive forslag" kaldet aksiomerne af reducerbarhed for henholdsvis klasser og relationer ( PM 1962: 25). Men inden denne forestilling kan defineres, føler PM det nødvendigt at oprette en ejendommelig betegnelse " ẑ (φ z )", som den kalder et "fiktivt objekt". ( PM 1962: 188)

⊢ : x ε ẑ (φ z ) . ≡ . (φ x )
"dvs. ' x er et medlem af klassen bestemt af (φ ẑ )' er [logisk] ækvivalent med ' x opfylder (φ ẑ ),' eller til '(φ x ) er sandt.'". ( PM 1962: 25)

I det mindste kan PM fortælle læseren, hvordan disse fiktive objekter opfører sig, fordi "En klasse er helt bestemt, når dens medlemskab er kendt, dvs. der kan ikke være to forskellige klasser, der har det samme medlemskab" ( PM 1962: 26). Dette symboliseres ved følgende ligestilling (svarende til ✸13.01 ovenfor:

ẑ (φ z ) = ẑ (ψ z ) . ≡ : ( x ) : φ x . ≡ . ψ x
"Denne sidste er det karakteristiske ved klasser og retfærdiggør os i behandling af ẑ (ψ z ) som den klasse, der bestemmes af [funktionen] ψ ẑ ." ( PM 1962: 188)

Måske kan ovenstående gøres tydeligere ved diskussionen af ​​klasser i Introduktion til anden udgave , som bortskaffer Axiom of Reducibility og erstatter det med begrebet: "Alle funktioner i funktioner er ekstensionelle" ( PM 1962: xxxix), dvs.

φ x ≡ x ψ x . ⊃ . ( x ) : ƒ (φ ẑ ) ≡ ƒ (ψ ẑ ) ( PM 1962: xxxix)

Dette har den rimelige betydning, at "HVIS for alle værdier af x er sandhedsværdierne for funktionerne φ og ψ af x [logisk] ækvivalente, DAN er funktionen ƒ for en given φ ẑ og ƒ af ψ ẑ [logisk] ækvivalent . " PM hævder, at dette er "indlysende":

"Dette er indlysende, da φ kun kan forekomme i ƒ (φ ẑ ) ved at erstatte værdier på φ med p, q, r, ... i en [logisk-] funktion, og hvis φ x ≡ ψ x , erstatningen af ​​φ x for p i en [logisk-] funktion giver samme sandhedsværdi til sandhedsfunktionen som erstatningen af ​​ψ x . Derfor er der ikke længere nogen grund til at skelne mellem funktionsklasser, for vi har i i kraft af ovenstående
φ x ≡ x ψ x . ⊃ . ( x ) . φ ẑ = . ψ ẑ ".

Overhold ændringen til lighedstegnet "=" til højre. PM fortsætter med at fastslå, at de fortsat vil hænge fast i betegnelsen " ẑ (φ z )", men dette svarer kun til φ ẑ , og dette er en klasse. (alle citater: PM 1962: xxxix).

Konsistens og kritik

Ifølge Carnap 's 'Logicist Foundations of Mathematics', Russell ønskede en teori, der kunne plausibelt siges at udlede alle matematik fra rent logiske aksiomer. Imidlertid krævede Principia Mathematica, ud over de grundlæggende aksiomer af typeteorien, tre yderligere aksiomer, der tilsyneladende ikke var sande som blotte spørgsmål om logik, nemlig aksiomet for uendelig , valgaksiomet og aksiomet for reducerbarhed . Da de to første var eksistentielle aksiomer, formulerede Russell matematiske udsagn afhængigt af dem som betingede. Men reducerbarhed var nødvendig for at være sikker på, at de formelle udsagn endog korrekt udtrykker udsagn om reel analyse, så udsagn afhængigt af det ikke kunne omformuleres som betingede. Frank P. Ramsey forsøgte at hævde, at Russells forgrening af teorien om typer var unødvendig, så reducerbarhed kunne fjernes, men disse argumenter syntes ufattelige.

Ud over status for aksiomerne som logiske sandheder kan man stille følgende spørgsmål om ethvert system såsom PM:

Det var kendt, at selve propositionslogikken var konsistent, men den samme var ikke etableret for Principias aksiomer af sætteori. (Se Hilberts andet problem .) Russell og Whitehead mistænkte, at systemet i PM var ufuldstændigt: De påpegede for eksempel, at det ikke synes kraftigt nok til at vise, at kardinalen ω ω eksisterer. Man kan dog spørge, om en eller anden rekursiv aksiomatiserbar udvidelse af den er komplet og konsekvent.

Gödel 1930, 1931

I 1930 viste Gödel's fuldstændighedssætning , at førsteordens prædikatlogik i sig selv var komplet i en meget svagere forstand - det vil sige, at enhver sætning, der ikke kan bevises fra et givet sæt aksiomer, faktisk skal være falsk i en eller anden model af aksiomerne. Dette er dog ikke den stærkere følelse af fuldstændighed, der ønskes for Principia Mathematica, da et givet system af aksiomer (som dem af Principia Mathematica) kan have mange modeller, hvoraf nogle er udsendte og i andre, hvoraf denne udsagn er falsk, så udsagnet efterlades uafgjort af aksiomerne.

Gödel's ufuldstændighedssætninger kaster uventet lys over disse to relaterede spørgsmål.

Gödel's første ufuldstændighedssætning viste, at ingen rekursiv udvidelse af Principia kunne være både konsistent og komplet for aritmetiske udsagn. (Som nævnt ovenfor var Principia i sig selv allerede kendt for at være ufuldstændig for nogle ikke-aritmetiske udsagn.) Ifølge sætningen findes der inden for ethvert tilstrækkeligt kraftigt rekursivt logisk system (såsom Principia ) en erklæring G, der i det væsentlige lyder: "The erklæring G kan ikke bevises. " En sådan erklæring er en slags Catch-22 : hvis G er påviselig, så er den falsk, og systemet er derfor inkonsekvent; og hvis G ikke kan bevises, så er det sandt, og systemet er derfor ufuldstændigt.

Gödel's anden ufuldstændighedssætning (1931) viser, at intet formelt system, der udvider grundlæggende aritmetik, kan bruges til at bevise sin egen konsistens. Således kan udsagnet "der er ingen modsætninger i Principia- systemet" ikke bevises i Principia- systemet, medmindre der er modsætninger i systemet (i hvilket tilfælde det kan bevises både sandt og falsk).

Wittgenstein 1919, 1939

Ved den anden udgave af PM havde Russell fjernet sit aksiom af reducerbarhed til et nyt aksiom (selvom han ikke angiver det som sådan). Gödel 1944: 126 beskriver det på denne måde:

"Denne ændring er forbundet med det nye aksiom, at funktioner kun kan forekomme i propositioner" gennem deres værdier ", dvs. ekstensivt ... [dette er] ganske ubestemmeligt selv fra det konstruktive synspunkt ... forudsat at kvantificeringsanordninger altid er begrænset til bestemte Ordre:% s". Denne ændring fra en kvasintensionel holdning til en fuldt udvidet holdning begrænser også prædikatlogik til anden rækkefølge, dvs. funktioner af funktioner: "Vi kan beslutte, at matematik er at begrænse sig til funktioner af funktioner, der adlyder ovenstående antagelse" ( PM 2. udgave s. 401, tillæg C).

Dette nye forslag resulterede i et dybtgående resultat. En "udvidet holdning" og begrænsning til en anden ordens prædikatlogik betyder, at en propositionsfunktion, der udvides til alle individer, såsom "Alle 'x' er blå" nu skal liste alle de 'x', der tilfredsstiller (er sande i) propositionen, der opregner dem i en mulig uendelig sammenhæng: f.eks. x 1 ∧ x 2 ∧. . . ∧ x n ∧. . .. Ironisk nok opstod denne ændring som et resultat af kritik fra Wittgenstein i hans 1919 Tractatus Logico-Philosophicus . Som beskrevet af Russell i introduktionen til anden udgave af PM :

"Der er et andet kursus, anbefalet af Wittgenstein † († Tractatus Logico-Philosophicus , * 5.54ff) af filosofiske grunde. Dette er at antage, at propositionsfunktioner altid er sandhedsfunktioner, og at en funktion kun kan forekomme i en proposition gennem dens værdier. [...] [Arbejder gennem konsekvenserne] ser det ud til, at alt i bind I forbliver sandt (selvom der ofte kræves nye bevis); teorien om induktive kardinaler og ordinaler overlever, men det ser ud til, at teorien om uendelig Dedekindianske og velordnede serier kollapser stort set, så irrationelle og reelle tal generelt ikke længere kan behandles tilstrækkeligt. Også Cantors bevis for, at 2 n > n bryder sammen, medmindre n er endelig. " ( PM 2. udgave genoptrykt 1962: xiv, jf. Også nyt bilag C).

Med andre ord betyder det faktum, at en uendelig liste ikke kan realiseres realistisk, at begrebet "antal" i uendelig forstand (dvs. kontinuum) ikke kan beskrives af den nye teori, der er foreslået i PM 2. udgave .

Wittgenstein kritiserede i sine foredrag om matematikens fundamenter i Cambridge 1939 Principia af forskellige grunde, såsom:

  • Det foregiver at afsløre det grundlæggende grundlag for aritmetik. Imidlertid er det vores hverdagslige aritmetiske praksis som tælling, der er grundlæggende; for hvis der opstod en vedvarende uoverensstemmelse mellem optælling og Principia , ville dette blive behandlet som bevis for en fejl i Principia (f.eks. at Principia ikke karakteriserede tal eller tilføjelse korrekt), ikke som bevis for en fejl i dagligdags optælling.
  • Beregningsmetoderne i Principia kan kun bruges i praksis med meget små tal. For at beregne ved hjælp af store tal (f.eks. Milliarder), ville formlerne blive for lange, og der skulle bruges en genvejsmetode, som uden tvivl ville stole på daglige teknikker som at tælle (ellers på ikke-grundlæggende og dermed tvivlsomme metoder såsom induktion). Så igen afhænger Principia af daglige teknikker, ikke omvendt.

Wittgenstein indrømmede imidlertid, at Principia ikke desto mindre kan gøre nogle aspekter af hverdagens aritmetik klarere.

Gödel 1944

I sin 1944 Russells matematisk logik , Gödel tilbyder en "kritisk, men sympatisk diskussion af logicistic orden af ideer":

"Det skal beklages, at denne første omfattende og grundige præsentation af en matematisk logik og afledningen af ​​matematik fra den [mangler] så meget formel præcision i fundamentet (indeholdt i * 1- * 21 i Principia ), at det repræsenterer i denne henseende et betydeligt tilbageskridt sammenlignet med Frege. Det, der først og fremmest mangler, er en præcis redegørelse for formalismens syntaks. Syntaktiske overvejelser udelades selv i tilfælde, hvor de er nødvendige for bevisets sammenhæng. ... Sagen er især tvivlsom for substitutionsreglen og om at erstatte definerede symboler med deres definiens ... det er hovedsageligt substitutionsreglen, der skal bevises "(Gödel 1944: 124)

Indhold

Del I Matematisk logik. Bind I ✸1 til ✸43

Dette afsnit beskriver den propositionelle og predikatberegning og giver de grundlæggende egenskaber for klasser, relationer og typer.

Del II Prolegomena til kardinal aritmetik. Volumen I ✸50 til ✸97

Denne del dækker forskellige egenskaber ved relationer, især dem der er nødvendige for kardinal aritmetik.

Del III Kardinal aritmetik. Volumen II ✸100 til ✸126

Dette dækker definitionen og de grundlæggende egenskaber ved kardinaler. En kardinal defineres som en ækvivalensklasse af lignende klasser (i modsætning til ZFC , hvor en kardinal er en særlig slags von Neumann-ordinær). Hver type har sin egen samling kardinaler tilknyttet, og der er en betydelig mængde bogføring, der er nødvendig for at sammenligne kardinaler af forskellige typer. PM definerer tilføjelse, multiplikation og eksponentiering af kardinaler og sammenligner forskellige definitioner af endelige og uendelige kardinaler. .03120.03 er Axiom of infinity.

Del IV Relation-aritmetik. Volumen II ✸150 til ✸186

Et "relationsnummer" er en ækvivalensklasse af isomorfe relationer. PM definerer analoger af addition, multiplikation og eksponentiering for vilkårlige relationer. Tilsætningen og multiplikationen svarer til den sædvanlige definition af tilføjelse og multiplikation af ordener i ZFC, selvom definitionen af ​​eksponentiering af relationer i PM ikke svarer til den sædvanlige, der anvendes i ZFC.

Del V-serien. Volumen II ✸200 til ✸234 og bind III ✸250 til ✸276

Dette dækker serier, som er PM's betegnelse for det, der nu kaldes et totalt ordnet sæt. Især dækker den komplette serier, kontinuerlige funktioner mellem serier med ordentopologien (selvom de selvfølgelig ikke bruger denne terminologi), velordnede serier og serier uden "huller" (dem med et medlem strengt mellem to givne medlemmer) .

Del VI Mængde. Volumen III ✸300 til ✸375

Dette afsnit konstruerer ringen af ​​heltal, felterne med rationelle og reelle tal og "vektorfamilier", der er relateret til det, der nu kaldes torsorer over abeliske grupper.

Sammenligning med sætteori

Dette afsnit sammenligner systemet i PM med de sædvanlige matematiske fundamenter for ZFC. Systemet med PM er nogenlunde sammenligneligt i styrke med Zermelo-sætteori (eller mere præcist en version af det, hvor adskillelsesaksiomet har alle kvantifikatorer afgrænset).

  • Systemet med propositionelogik og predikatberegning i PM er stort set det samme som det, der anvendes nu, bortset fra at notationen og terminologien er ændret.
  • Den mest åbenlyse forskel mellem PM og sætteori er, at i PM tilhører alle objekter en af ​​et antal uensartede typer. Dette betyder, at alt bliver duplikeret for hver (uendelig) type: for eksempel har hver type sine egne ordinaler, kardinaler, reelle tal osv. Dette resulterer i en masse bogføring for at forbinde de forskellige typer med hinanden.
  • I ZFC er funktioner normalt kodet som sæt bestilte par. I PM-funktioner behandles temmelig forskelligt. Først og fremmest betyder "funktion" "propositionel funktion", noget der tager værdierne sandt eller falsk. For det andet bestemmes funktioner ikke af deres værdier: det er muligt at have flere forskellige funktioner, der alle tager de samme værdier (for eksempel kan man betragte 2 x +2 og 2 ( x +1) som forskellige funktioner på grund af at computerprogrammerne for at evaluere dem er forskellige). Funktionerne i ZFC givet ved sæt af ordnede par svarer til det, PM kalder "matricer", og de mere generelle funktioner i PM kodes ved at kvantificere over nogle variabler. Især skelner PM mellem funktioner defineret ved hjælp af kvantificering og funktioner, der ikke er defineret ved hjælp af kvantificering, mens ZFC ikke skelner mellem denne.
  • PM har ingen analog med udskiftningsaksiomet , selvom dette er af ringe praktisk betydning, da dette aksiom bruges meget lidt i matematik uden for sætteori.
  • PM understreger relationer som et grundlæggende begreb, mens det i den nuværende matematiske praksis er funktioner snarere end relationer, der behandles som mere fundamentale; for eksempel understreger kategoriteori morfismer eller funktioner snarere end relationer. (Der er dog en analog af kategorier, der kaldes allegorier, der modellerer relationer snarere end funktioner, og er meget lig typen PM.)
  • I PM defineres kardinaler som klasser af lignende klasser, mens kardinaler i ZFC er specielle ordinaler. I PM er der en anden samling kardinaler til hver type med nogle komplicerede maskiner til at flytte kardinaler mellem typer, mens der i ZFC kun er 1 slags kardinal. Da PM ikke har noget ækvivalent med udskiftningsaksiomet, er det ikke i stand til at bevise eksistensen af ​​kardinaler større end ℵ ω .
  • I PM-ordener behandles som ækvivalensklasser af velordnede sæt, og som med kardinaler er der en anden samling ordener for hver type. I ZFC er der kun en samling ordinals, normalt defineret som von Neumann ordinals . En mærkelig finurlighed ved PM er, at de ikke har en ordinal svarende til 1, hvilket forårsager adskillige unødvendige komplikationer i deres sætninger. Definitionen af ​​ordinal eksponentiering α β i PM svarer ikke til den sædvanlige definition i ZFC og har nogle temmelig uønskede egenskaber: for eksempel er den ikke kontinuerlig i β og er ikke ordnet (det er ikke engang en ordinal).
  • Konstruktionerne af heltal, rationelle og reelle tal i ZFC er blevet strømlinet betydeligt over tid siden konstruktionerne i PM.

Forskelle mellem udgaver

Bortset fra korrektioner af forkert udskrivning er hovedteksten til PM uændret mellem første og anden udgave. Hovedteksten i bind 1 og 2 blev nulstillet, så den optager færre sider i hver. I den anden udgave blev bind 3 ikke nulstillet, idet det blev fotografisk genoptrykt med samme sidenummerering; rettelser blev stadig foretaget. Det samlede antal sider (eksklusive endepapirer) i den første udgave er 1.996; i det andet 2.000. Volumen 1 har fem nye tilføjelser:

  • En introduktion på 54 sider af Russell, der beskriver de ændringer, de ville have foretaget, hvis de havde haft mere tid og energi. Den vigtigste ændring, han foreslår, er fjernelsen af ​​det kontroversielle aksiom af reducerbarhed, selvom han indrømmer, at han ikke kender nogen tilfredsstillende erstatning for det. Han synes også mere gunstig for ideen om, at en funktion skal bestemmes af dens værdier (som det er almindeligt i den nuværende matematiske praksis).
  • Appendiks A, nummereret som * 8, 15 sider, om Sheffer-slagtilfælde.
  • Appendiks B, nummereret som * 89, der diskuterer induktion uden aksiomet af reducerbarhed.
  • Appendiks C, 8 sider, der diskuterer propositionelle funktioner.
  • En 8-siders liste med definitioner i slutningen, der giver et meget tiltrængt indeks til de 500 benyttede notationer.

I 1962 offentliggjorde Cambridge University Press en forkortet paperback-udgave indeholdende dele af den anden udgave af bind 1: den nye introduktion (og den gamle), hovedteksten op til * 56 og bilag A og C.

Udgaver

Den første udgave blev genoptrykt i 2009 af Merchant Books, ISBN  978-1-60386-182-3 , ISBN  978-1-60386-183-0 , ISBN  978-1-60386-184-7 .

Se også

Fodnoter

Referencer

Tractatus Logico-Philosophicus (Wien 1918), original publikation på tysk).

eksterne links