Kvasiperiodisk funktion - Quasiperiodic function

I matematik er en kvasiperiodisk funktion en funktion, der har en vis lighed med en periodisk funktion. En funktion er kvasiperiodisk med kvasiperiod, hvis , hvor er en " enklere " funktion end . Hvad det betyder at være " enklere " er vagt. ${\ displaystyle f}$${\ displaystyle \ omega}$${\ displaystyle f (z + \ omega) = g (z, f (z))}$${\ displaystyle g}$${\ displaystyle f}$

Funktionen f ( x ) = x / 2π + sin ( x ) tilfredsstiller ligningen f ( x + 2π) = f ( x ) +1, og er derfor aritmetisk kvasiperiodisk.

Et simpelt tilfælde (undertiden kaldet aritmetisk kvasiperiodisk) er, hvis funktionen overholder ligningen:

${\ displaystyle f (z + \ omega) = f (z) + C}$

Et andet tilfælde (undertiden kaldet geometrisk kvasiperiodisk) er, hvis funktionen overholder ligningen:

${\ displaystyle f (z + \ omega) = Cf (z)}$

Et eksempel på dette er Jacobi theta-funktionen , hvor

${\ displaystyle \ vartheta (z + \ tau; \ tau) = e ^ {- 2 \ pi iz- \ pi i \ tau} \ vartheta (z; \ tau),}$

viser, at for fast har den kvasiperiode ; det er også periodisk med periode et. Et andet eksempel tilvejebringes af Weierstrass sigma-funktionen , som er kvasiperiodisk i to uafhængige kvasiperioder, perioderne for den tilsvarende Weierstrass ℘- funktion . ${\ displaystyle \ tau}$${\ displaystyle \ tau}$

Funktioner med en additiv funktionel ligning

${\ displaystyle f (z + \ omega) = f (z) + az + b \}$

kaldes også kvasiperiodisk. Et eksempel på dette er Weierstrass zeta-funktionen , hvor

${\ displaystyle \ zeta (z + \ omega, \ Lambda) = \ zeta (z, \ Lambda) + \ eta (\ omega, \ Lambda) \}$

for en z- uafhængig η når ω er en periode med den tilsvarende Weierstrass ℘-funktion.

I det specielle tilfælde hvor vi siger f er periodisk med periode ω i periodegitteret . ${\ displaystyle f (z + \ omega) = f (z) \}$${\ displaystyle \ Lambda}$

Kvasiperiodiske signaler

Kvasiperiodiske signaler i betydningen lydbehandling er ikke kvasiperiodiske funktioner i den betydning, der er defineret her; i stedet har de karakteren af næsten periodiske funktioner, og den artikel skal konsulteres. Den mere vage og generelle forestilling om kvasiperiodicitet har endnu mindre at gøre med kvasiperiodiske funktioner i matematisk forstand.

Et nyttigt eksempel er funktionen:

${\ displaystyle f (z) = \ sin (Az) + \ sin (Bz)}$

Hvis forholdet A / B er rationelt, vil dette have en ægte periode, men hvis A / B er irrationel, er der ingen ægte periode, men en række af stadig mere nøjagtige "næsten" perioder.

Se også

• Kvasiperiodisk bevægelse

eksterne links

• Kvasiperiodisk funktion på PlanetMath