Karakteristisk polynom - Characteristic polynomial

${\ displaystyle I}$

${\ displaystyle \ mathbf {v}}$

${\ displaystyle \ lambda IA}$

${\ displaystyle A}$

${\ displaystyle \ det (\ lambda IA),}$

${\ displaystyle \ lambda.}$

Formel definition

Overvej en matrix Det karakteristiske polynom af betegnet med er polynomet defineret af ${\ displaystyle n \ gange n}$${\ displaystyle A.}$${\ displaystyle A,}$${\ displaystyle p_ {A} (t),}$

$${\ displaystyle p_ {A} (t) = \ det (tI-A)}$$

${\ displaystyle I}$

${\ displaystyle n \ gange n}$

Nogle forfattere definerer det karakteristiske polynom til at være. Det polynom adskiller sig fra det, der er defineret her ved et tegn, så det gør ingen forskel for egenskaber som at have som rødder egenværdierne for ; men definitionen ovenfor giver altid et

${\ displaystyle \ det (A-tI).}$

${\ displaystyle (-1)^{n},}$

${\ displaystyle A}$

${\ displaystyle n}$

Eksempler

At beregne matrixens karakteristiske polynom

$${\ displaystyle A = {\ begin {pmatrix} 2 & 1 \\-1 & 0 \ end {pmatrix}}.}$$

$${\ displaystyle tI-A = {\ begin {pmatrix} t-2 & -1 \\ 1 & t-0 \ end {pmatrix}}}$$

${\ displaystyle (t-2) t-1 (-1) = t^{2} -2t+1 \, \ !,}$

${\ displaystyle A.}$

Et andet eksempel bruger hyperbolske funktioner i en hyperbolsk vinkel φ. For matrixen tage

$${\ displaystyle A = {\ begin {pmatrix} \ cosh (\ varphi) & \ sinh (\ varphi) \\\ sinh (\ varphi) & \ cosh (\ varphi) \ end {pmatrix}}.}$$

$${\ displaystyle \ det (tI-A) = (t- \ cosh (\ varphi))^{2}-\ sinh^{2} (\ varphi) = t^{2} -2t \ \ cosh (\ varphi )+1 = (te^{\ varphi}) (te^{-\ varphi}).}$$

Ejendomme

Den karakteristiske polynomium af en matrix er monic (sin førende koefficient er ) og dens grad er den vigtigste kendsgerning om det karakteristiske polynomium allerede blev nævnt i den motiverende afsnit: egenværdierne for er netop de

${\ displaystyle p_ {A} (t)}$

${\ displaystyle n \ gange n}$

${\ displaystyle 1}$

${\ displaystyle n.}$

${\ displaystyle A}$

${\ displaystyle p_ {A} (t)}$

${\ displaystyle A,}$

${\ displaystyle n}$

${\ displaystyle p_ {A} (0)}$

${\ displaystyle \ det (-A) = (-1)^{n} \ det (A),}$

${\ displaystyle t^{n}}$

${\ displaystyle t^{n-1}}$

${\ displaystyle A.}$

${\ displaystyle \ det (A)}$

For en matrix er det karakteristiske polynom således givet af ${\ displaystyle 2 \ gange 2}$${\ displaystyle A,}$

$${\ displaystyle t^{2}-\ operatorname {tr} (A) t+\ det (A).}$$

Ved hjælp af sproget i den ydre algebra kan en matrix karakteristiske polynom udtrykkes som ${\ displaystyle n \ gange n}$${\ displaystyle A}$

$${\ displaystyle p_ {A} (t) = \ sum _ {k = 0}^{n} t^{nk} (-1)^{k} \ operatorname {tr} \ left (\ textstyle \ bigwedge^{ k} A \ højre)}$$

${\ displaystyle \ operatorname {tr} \ left (\ textstyle \ bigwedge ^{k} A \ right)}$

${\ displaystyle k}$

${\ displaystyle A,}$

${\ displaystyle {\ binom {n} {k}}.}$

${\ displaystyle A}$

${\ displaystyle k.}$

Når karakteristikken for koefficienternes felt er hvert sådant spor alternativt kan beregnes som en enkelt determinant, matrixens, ${\ displaystyle 0,}$${\ displaystyle k \ gange k}$

$${\ displaystyle \ operatorname {tr} \ left (\ textstyle \ bigwedge ^{k} A \ right) = {\ frac {1} {k!}} {\ begin {vmatrix} \ operatorname {tr} A & k-1 & 0 & \ cdots & \\\ operatorname {tr} A^{2} & \ operatorname {tr} A & k-2 & \ cdots & \\\ vdots & \ vdots && \ ddots & \ vdots \\\ operatorname {tr} A^{k -1} & \ operatorname {tr} A^{k-2} && \ cdots & 1 \\\ operatorname {tr} A^{k} & \ operatorname {tr} A^{k-1} && \ cdots & \ operatorname {tr} A \ end {vmatrix}} ~.}$$

Den Cayley-Hamilton sætning , at en erstatning af i det karakteristiske polynomium (tolkning de resulterende beføjelser som matrix beføjelser og den konstante sigt som gange identitetsmatricen) giver matricen nul. Uformelt set opfylder hver matrix sin egen karakteristiske ligning. Denne erklæring svarer til at sige, at det

${\ displaystyle t}$

${\ displaystyle A}$

${\ displaystyle c}$

${\ displaystyle c}$

${\ displaystyle A}$

${\ displaystyle A.}$

To lignende matricer har det samme karakteristiske polynom. Det omvendte er imidlertid generelt ikke sandt: to matricer med det samme karakteristiske polynom behøver ikke at være ens.

Matrixen og dens

${\ displaystyle A}$

${\ displaystyle A}$

${\ displaystyle K}$

${\ displaystyle A}$

Karakteristisk polynom af et produkt af to matricer

Hvis og er to firkantede matricer, er karakteristiske polynomer af og sammenfaldende: ${\ displaystyle A}$${\ displaystyle B}$${\ displaystyle n \ gange n}$${\ displaystyle AB}$${\ displaystyle BA}$

$${\ displaystyle p_ {AB} (t) = p_ {BA} (t). \,}$$

Når er

${\ displaystyle A}$

${\ displaystyle AB}$

${\ displaystyle BA}$

$${\ displaystyle BA = A^{-1} (AB) A.}$$

I det tilfælde, hvor begge og er ental, er den ønskede identitet en lighed mellem polynomer i og koefficienterne for matricerne. For at bevise denne lighed er det således tilstrækkeligt at bevise, at den er verificeret på en ikke-tom

${\ displaystyle A}$

${\ displaystyle B}$

${\ displaystyle t}$

Mere generelt, hvis er en matrix af orden og er en matrix af orden, så er og er matrix, og man har ${\ displaystyle A}$${\ displaystyle m \ gange n}$${\ displaystyle B}$${\ displaystyle n \ gange m,}$${\ displaystyle AB}$${\ displaystyle m \ gange m}$${\ displaystyle BA}$${\ displaystyle n \ gange n}$

$${\ displaystyle p_ {BA} (t) = t^{nm} p_ {AB} (t). \,}$$

For at bevise dette kan man antage ved at udveksle, hvis det er nødvendigt, og derefter ved at grænser op til bunden med rækker af nuller, og til højre, ved, nuller -søjler, får man to matricer og sådan, at og er lig med kantet af rækker og kolonner med nuller. Resultatet følger af tilfældet med firkantede matricer ved at sammenligne de karakteristiske polynomer af og${\ displaystyle n> m,}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle B.}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle nm}$${\ displaystyle B}$${\ displaystyle nm}$${\ displaystyle n \ gange n}$${\ displaystyle A^{\ prime}}$${\ displaystyle B^{\ prime}}$${\ displaystyle B^{\ prime} A^{\ prime} = BA}$${\ displaystyle A^{\ prime} B^{\ prime}}$${\ displaystyle AB}$${\ displaystyle nm}$${\ displaystyle A^{\ prime} B^{\ prime}}$${\ displaystyle AB.}$

Karakteristisk polynom af A ^k

Hvis er en egenværdi af en firkantmatrix med egenvektor, er det klart en egenværdi på${\ displaystyle \ lambda}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle \ mathbf {v},}$${\ displaystyle \ lambda ^{k}}$${\ displaystyle A^{k}}$

$${\ displaystyle A^{k} {\ textbf {v}} = A^{k-1} A {\ textbf {v}} = \ lambda A^{k-1} {\ textbf {v}} = \ prikker = \ lambda ^{k} {\ textbf {v}}.}$$

Multiplikationerne kan også vise sig at stemme overens, og dette generaliserer til ethvert polynom i stedet for : ${\ displaystyle x^{k}}$

Sætning  -  Lad være en firkantet matrix og lad være et polynom. Hvis det karakteristiske polynom af har en faktorisering ${\ displaystyle A}$${\ displaystyle n \ gange n}$${\ displaystyle f (t)}$${\ displaystyle A}$

$${\ displaystyle p_ {A} (t) = (t- \ lambda _ {1}) (t- \ lambda _ {2}) \ cdots (t- \ lambda _ {n})}$$

derefter er matrixens karakteristiske polynom givet ved ${\ displaystyle f (A)}$

$${\ displaystyle p_ {f (A)} (t) = (tf (\ lambda _ {1})) (tf (\ lambda _ {2})) \ cdots (tf (\ lambda _ {n})). }$$

Det vil sige, at den algebraiske multiplicitet af in er lig med summen af ​​algebraiske multiplikationer af in over sådan, at Især, og her et polynom for eksempel, vurderes på en matrix ganske enkelt som${\ displaystyle \ lambda}$${\ displaystyle f (A)}$${\ displaystyle \ lambda '}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle \ lambda '}$${\ displaystyle f (\ lambda ') = \ lambda.}$${\ displaystyle \ operatorname {tr} (f (A)) = \ textstyle \ sum _ {i = 1}^{n} f (\ lambda _ {i})}$${\ displaystyle \ operatorname {det} (f (A)) = \ textstyle \ prod _ {i = 1}^{n} f (\ lambda _ {i}).}$${\ displaystyle f (t) = t^{3} +1,}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle f (A) = A^{3} +1.}$

Sætningen gælder for matricer og polynomer over ethvert felt eller kommutativ ring . Den antagelse, der har en faktorisering til lineære faktorer, er imidlertid ikke altid sand, medmindre matrixen er over et

${\ displaystyle p_ {A} (t)}$

Bevis

Dette bevis gælder kun for matricer og polynomer over komplekse tal (eller et algebraisk lukket felt). I så fald kan det karakteristiske polynom for enhver kvadratmatrix altid faktoriseres som $${\ displaystyle p_ {A} (t) = \ left (t- \ lambda _ {1} \ right) \ left (t- \ lambda _ {2} \ right) \ cdots \ left (t- \ lambda _ { n} \ højre)}$$ hvor er egenværdierne for muligvis gentaget. Desuden garanterer Jordan -nedbrydningssætningen , at enhver kvadratmatrix kan dekomponeres, som hvor der er en inversibel matrix og er øvre trekantet med på diagonalen (med hver egenværdi gentaget i henhold til dens algebraiske multiplicitet). (Jordans normale form har stærkere egenskaber, men disse er tilstrækkelige; alternativt kan Schur -nedbrydningen bruges, hvilket er mindre populært, men noget lettere at bevise). ${\ displaystyle \ lambda _ {1}, \ lambda _ {2}, \ ldots, \ lambda _ {n}}$${\ displaystyle A,}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle A = S^{-1} USA,}$${\ displaystyle S}$${\ displaystyle U}$${\ displaystyle \ lambda _ {1}, \ ldots, \ lambda _ {n}}$ Lad derefter ${\ displaystyle f (t) = \ textstyle \ sum _ {i} \ alpha _ {i} t^{i}.}$ $${\ displaystyle f (A) = \ textstyle \ sum \ alpha _ {i} (S^{-1} US)^{i} = \ textstyle \ sum \ alpha _ {i} S^{-1} USS^ {-1} US \ cdots S^{-1} US = \ textstyle \ sum \ alpha _ {i} S^{-1} U^{i} S = S^{-1} (\ textstyle \ sum \ alfa _ {i} U^{i}) S = S^{-1} f (U) S.}$$ Om en øvre triangulær matrix med diagonal matrixen er øvre trekantet med diagonal i og dermed er øvre trekantet med diagonal Derfor egenværdier af er Da er lig at den har samme egenværdier, med de samme algebraiske mangfoldigheder. ${\ displaystyle U}$${\ displaystyle \ lambda _ {1}, \ dots, \ lambda _ {n},}$${\ displaystyle U^{i}}$${\ displaystyle \ lambda _ {1}^{i}, \ dots, \ lambda _ {n}^{i}}$${\ displaystyle U^{i},}$${\ displaystyle f (U)}$${\ displaystyle f \ left (\ lambda _ {1} \ right), \ dots, f \ left (\ lambda _ {n} \ right).}$${\ displaystyle f (U)}$${\ displaystyle f (\ lambda _ {1}), \ dots, f (\ lambda _ {n}).}$${\ displaystyle f (A) = S^{-1} f (U) S}$${\ displaystyle f (U),}$

Sekulær funktion og sekulær ligning

Sekulær funktion

Udtrykket sekulær funktion er blevet brugt om det, der nu kaldes karakteristisk polynom (i nogle litteratur bruges udtrykket sekulær funktion stadig). Udtrykket stammer fra det faktum, at det karakteristiske polynom blev brugt til at beregne verdslige forstyrrelser (på en tidsskala på et århundrede, det vil sige langsomt i forhold til årlig bevægelse) af planetbaner, ifølge Lagranges teori om svingninger.

Sekulær ligning

Sekulær ligning kan have flere betydninger.

• I lineær algebra bruges den undertiden i stedet for karakteristisk ligning.
• I astronomi er det det algebraiske eller numeriske udtryk for størrelsen af ​​ulighederne i en planets bevægelse, der er tilbage, efter at ulighederne i en kort periode er tilladt.

• I molekylære orbitale beregninger vedrørende elektronens energi og dens bølgefunktion bruges den også i stedet for den karakteristiske ligning.

Til generelle associative algebraer

Ovenstående definition af det karakteristiske polynom af en matrix med poster i et felt generaliserer uden ændringer af sagen, når bare en

${\ displaystyle A \ i M_ {n} (F)}$

${\ displaystyle F}$

${\ displaystyle F}$

${\ displaystyle F}$

Se også

• Karakteristisk ligning (disambiguation)
• Minimal polynom (lineær algebra)
• Varianter af tensorer
• Ledsagermatrix
• Faddeev – LeVerrier -algoritme
• Cayley -Hamilton sætning
• Samuelson – Berkowitz algoritme

Referencer

• TS Blyth & EF Robertson (1998) Basic Linear Algebra , s 149, Springer ISBN  3-540-76122-5 .
• John B. Fraleigh & Raymond A. Beauregard (1990) Linear Algebra 2. udgave, s 246, Addison-Wesley ISBN  0-201-11949-8 .
• Garibaldi, Skip (2004), "Det karakteristiske polynom og determinant er ikke ad hoc -konstruktioner", American Mathematical Monthly , 111 (9): 761–778, arXiv : math/0203276 , doi : 10.2307/4145188 , JSTOR  4145188 , MR  2104048
• Werner Greub (1974) Lineær algebra 4. udgave, s. 120–5, Springer, ISBN  0-387-90110-8 .
• Paul C. Shields (1980) Elementary Linear Algebra 3. udgave, s 274, Worth Publishers ISBN  0-87901-121-1 .
• Gilbert Strang (1988) Linear Algebra and Its Applications 3. udgave, s 246, Brooks/Cole ISBN  0-15-551005-3 .