Ensartet funktion - Univalent function

I matematik , i grenen af kompleks analyse , kaldes en holomorf funktion på en åben delmængde af det komplekse plan univalent, hvis den er injektionsdygtig .

Eksempler

Funktionen er univalent i den åbne enhedsdisk, som det antyder . Da den anden faktor ikke er nul i den åbne enhedsdisk, skal den være injektionsdygtig. ${\ displaystyle f \ colon z \ mapsto 2z + z ^ {2}}$${\ displaystyle f (z) = f (w)}$${\ displaystyle f (z) -f (w) = (zw) (z + w + 2) = 0}$${\ displaystyle f}$

Grundlæggende egenskaber

Man kan bevise, at hvis og er to åbne forbundne sæt i det komplekse plan, og ${\ displaystyle G}$${\ displaystyle \ Omega}$

${\ displaystyle f: G \ to \ Omega}$

er en ensartet funktion, således at (det vil sige, er en overvejelse ), så er afledningen af aldrig nul, er inverterbar , og dens inverse er også holomorf. Mere har man efter kædereglen${\ displaystyle f (G) = \ Omega}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle f ^ {- 1}}$

${\ displaystyle (f ^ {- 1}) '(f (z)) = {\ frac {1} {f' (z)}}$

for alle i ${\ displaystyle z}$${\ displaystyle G.}$

Sammenligning med reelle funktioner

For virkelige analytiske funktioner , i modsætning til for komplekse analytiske (det vil sige holomorfe) funktioner, holder disse udsagn ikke. Overvej f.eks. Funktionen

${\ displaystyle f: (- 1,1) \ til (-1,1) \,}$

givet af ƒ ( x ) =  x ³ . Denne funktion er tydeligt injektionsdygtig, men dens afledte er 0 ved x  = 0, og dens inverse er ikke analytisk eller endda differentierbar på hele intervallet (-1, 1). Derfor, hvis vi udvider domænet til en åben delmængde G af det komplekse plan, må det undlade at være injektivt; og dette er tilfældet, da (for eksempel) f (εω) = f (ε) (hvor ω er en primitiv terningsrod af enhed og ε er et positivt reelt tal, der er mindre end radius af G som et kvarter på 0).

Se også

• Schlicht-funktion

Referencer

Denne artikel inkorporerer materiale fra enværdig analytisk funktion på PlanetMath , som er licenseret under Creative Commons Attribution / Share-Alike License .