Omskrevet sfære - Circumscribed sphere
I geometri er en afgrænset kugle af en polyhedron en kugle, der indeholder polyhedronen og berører hver af polyhedronens hjørner. Ordet cirkumsfære bruges undertiden til at betyde den samme ting, analogt med udtrykket omringe . Som i tilfælde af todimensionale omskrevne cirkler , radius af en kugle omskrevne omkring et polyeder P kaldes circumradius af P , og midtpunktet af dette område kaldes circumcenter af P .
Eksistens og optimalitet
Når den eksisterer, behøver en afgrænset kugle ikke være den mindste kugle, der indeholder polyhedronet ; for eksempel har tetrahedronet dannet af en top af en terning og dets tre naboer den samme cirkumsfære som selve terningen, men kan være indeholdt i en mindre sfære med de tre nærliggende hjørner på dens ækvator. Imidlertid er den mindste kugle, der indeholder en given polyhedron, altid cirkumsfæren af det konvekse skrog af en delmængde af polyhedronens hjørner.
I De solidorum elementis (ca. 1630) bemærkede René Descartes , at for en polyhedron med en afgrænset kugle har alle ansigter afgrænsede cirkler, de cirkler, hvor ansigtets plan møder den afgrænsede sfære. Descartes foreslog, at denne nødvendige betingelse for eksistensen af en afgrænset sfære er tilstrækkelig, men det er ikke sandt: nogle bipyramider kan for eksempel have omskrevne cirkler til deres ansigter (som alle er trekanter), men stadig ikke har nogen afgrænset sfære til hele polyhedron. Men når en simpel polyhedron har en afgrænset cirkel for hvert af sine ansigter, har den også en afgrænset sfære.
Relaterede begreber
Den omskrevne sfære er den tredimensionelle analog af den omskrevne cirkel . Alle almindelige polyedre har afgrænsede kugler, men de fleste uregelmæssige polyeder har ikke en, da generelt ikke alle hjørner ligger på en fælles sfære. Den omskrevne kugle (når den findes) er et eksempel på en afgrænsende kugle , en kugle, der indeholder en given form. Det er muligt at definere den mindste afgrænsningskugle for enhver polyhedron og beregne den i lineær tid .
Andre sfærer, der er defineret for nogle, men ikke alle polyedre, inkluderer en mellemkugle , en kugle, der tangerer til alle kanterne af en polyhedron, og en indskrevet kugle , en kugle, der tangerer til alle flader af en polyhedron. I den almindelige flerhed findes den indskrevne sfære, mellemsfære og omskrevne sfære alle og er koncentriske .
Når den afgrænsede kugle er sættet med uendelige begrænsningspunkter for hyperbolsk rum , er en polyhedron, som den omskifter, kendt som en ideel polyhedron .
Peg på den afgrænsede kugle
Der er fem konvekse regelmæssige polyedre , kendt som de platoniske faste stoffer . Alle platoniske faste stoffer har afgrænsede kugler. For et vilkårligt punkt på den afgrænsede kugle af hvert platonisk fast stof med antallet af hjørner , hvis afstanden til hjørnerne er , så
