Diskretisering - Discretization

I anvendt matematik er diskretisering processen med at overføre kontinuerlige funktioner, modeller, variabler og ligninger til diskrete modstykker. Denne proces udføres normalt som et første skridt mod at gøre dem egnede til numerisk evaluering og implementering på digitale computere. Dikotomisering er det specielle tilfælde af diskretisering, hvor antallet af diskrete klasser er 2, som kan tilnærme en kontinuerlig variabel som en binær variabel (skabe en dikotomi til modelleringsformål , som i binær klassificering ).

Diskretisering er også relateret til diskret matematik og er en vigtig komponent i granulær computing . I denne forbindelse diskretisering kan også henvise til modificering af variabel eller kategori granularitet , som når flere diskrete variable aggregeres eller multiple diskrete kategorier fusioneret.

Når kontinuerlige data diskretiseres , er der altid en vis diskretiseringsfejl . Målet er at reducere mængden til et niveau, der betragtes som ubetydeligt til modelleringsformålet .

Udtrykkene diskretisering og kvantisering har ofte den samme betegnelse, men ikke altid identiske konnotationer . (Specifikt deler de to udtryk et semantisk felt .) Det samme gælder diskretiseringsfejl og kvantiseringsfejl .

Matematiske metoder i forbindelse med diskretisering inkluderer Euler – Maruyama-metoden og nul-ordens hold .

Diskretisering af lineære tilstandsrummodeller

Diskretisering vedrører også transformation af kontinuerlige differentialligninger til diskrete differentialligninger , der er egnede til numerisk beregning .

Følgende tilstandsrumsmodel for kontinuerlig tid

${\ displaystyle {\ dot {\ mathbf {x}}} (t) = \ mathbf {A} \ mathbf {x} (t) + \ mathbf {B} \ mathbf {u} (t) + \ mathbf {w } (t)}$

${\ displaystyle \ mathbf {y} (t) = \ mathbf {C} \ mathbf {x} (t) + \ mathbf {D} \ mathbf {u} (t) + \ mathbf {v} (t)}$

hvor v og w er kontinuerlige nul-gennemsnitlige hvide støjkilder med effektspektraltætheder

${\ displaystyle \ mathbf {w} (t) \ sim N (0, \ mathbf {Q})}$

${\ displaystyle \ mathbf {v} (t) \ sim N (0, \ mathbf {R})}$

kan diskretiseres under antagelse af nul-rækkefølge hold for input u og kontinuerlig integration for støj v , til

${\ displaystyle \ mathbf {x} [k + 1] = \ mathbf {A} _ {d} \ mathbf {x} [k] + \ mathbf {B} _ {d} \ mathbf {u} [k] + \ mathbf {w} [k]}$

${\ displaystyle \ mathbf {y} [k] = \ mathbf {C} _ {d} \ mathbf {x} [k] + \ mathbf {D} _ {d} \ mathbf {u} [k] + \ mathbf {v} [k]}$

med kovarianter

${\ displaystyle \ mathbf {w} [k] \ sim N (0, \ mathbf {Q} _ {d})}$

${\ displaystyle \ mathbf {v} [k] \ sim N (0, \ mathbf {R} _ {d})}$

hvor

${\ displaystyle \ mathbf {A} _ {d} = e ^ {\ mathbf {A} T} = {\ mathcal {L}} ^ {- 1} \ {(s \ mathbf {I} - \ mathbf {A }) ^ {- 1} \} _ {t = T}}$

${\ displaystyle \ mathbf {B} _ {d} = \ left (\ int _ {\ tau = 0} ^ {T} e ^ {\ mathbf {A} \ tau} d \ tau \ right) \ mathbf {B } = \ mathbf {A} ^ {- 1} (\ mathbf {A} _ {d} -I) \ mathbf {B}}$, hvis ikke- singular${\ displaystyle \ mathbf {A}}$

${\ displaystyle \ mathbf {C} _ {d} = \ mathbf {C}}$

${\ displaystyle \ mathbf {D} _ {d} = \ mathbf {D}}$

${\ displaystyle \ mathbf {Q} _ {d} = \ int _ {\ tau = 0} ^ {T} e ^ {\ mathbf {A} \ tau} \ mathbf {Q} e ^ {\ mathbf {A} ^ {\ top} \ tau} d \ tau}$

${\ displaystyle \ mathbf {R} _ {d} = \ mathbf {R} {\ frac {1} {T}}}$

og er prøvetid, skønt den transponerede matrix er . Ligningen for den diskretiserede målestøj er en konsekvens af, at den kontinuerlige målestøj er defineret med en effektspektraltæthed. ${\ displaystyle T}$${\ displaystyle \ mathbf {A} ^ {\ top}}$${\ displaystyle \ mathbf {A}}$

Et smart trick til at beregne A _d og B _d i et trin er ved at bruge følgende egenskab:

${\ displaystyle e ^ {{\ begin {bmatrix} \ mathbf {A} & \ mathbf {B} \\\ mathbf {0} & \ mathbf {0} \ end {bmatrix}} T} = {\ begin {bmatrix } \ mathbf {A_ {d}} & \ mathbf {B_ {d}} \\\ mathbf {0} & \ mathbf {I} \ end {bmatrix}}}$

Hvor og er de diskretiserede stats-rum-matricer. ${\ displaystyle \ mathbf {A} _ {d}}$${\ displaystyle \ mathbf {B} _ {d}}$

Diskretisering af processtøj

Numerisk evaluering af er lidt vanskeligere på grund af den matrixeksponentielle integral. Det kan dog beregnes ved først at konstruere en matrix og beregne den eksponentielle af den ${\ displaystyle \ mathbf {Q} _ {d}}$

${\ displaystyle \ mathbf {F} = {\ begin {bmatrix} - \ mathbf {A} & \ mathbf {Q} \\\ mathbf {0} & \ mathbf {A} ^ {\ top} \ end {bmatrix} } T}$

${\ displaystyle \ mathbf {G} = e ^ {\ mathbf {F}} = {\ begin {bmatrix} \ prikker & \ mathbf {A} _ {d} ^ {- 1} \ mathbf {Q} _ {d } \\\ mathbf {0} & \ mathbf {A} _ {d} ^ {\ top} \ end {bmatrix}}.}$

Den diskretiserede processtøj evalueres derefter ved at multiplicere transponeringen af ​​den nederste højre partition af G med den øverste højre partition af G :

${\ displaystyle \ mathbf {Q} _ {d} = (\ mathbf {A} _ {d} ^ {\ top}) ^ {\ top} (\ mathbf {A} _ {d} ^ {- 1} \ mathbf {Q} _ {d}) = \ mathbf {A} _ {d} (\ mathbf {A} _ {d} ^ {- 1} \ mathbf {Q} _ {d}).}$

Afledning

Startende med den kontinuerlige model

${\ displaystyle \ mathbf {\ dot {x}} (t) = \ mathbf {A} \ mathbf {x} (t) + \ mathbf {B} \ mathbf {u} (t)}$

vi ved, at matrixen eksponentiel er

${\ displaystyle {\ frac {d} {dt}} e ^ {\ mathbf {A} t} = \ mathbf {A} e ^ {\ mathbf {A} t} = e ^ {\ mathbf {A} t} \ mathbf {A}}$

og ved at multipultere den model, vi får

${\ displaystyle e ^ {- \ mathbf {A} t} \ mathbf {\ dot {x}} (t) = e ^ {- \ mathbf {A} t} \ mathbf {A} \ mathbf {x} (t ) + e ^ {- \ mathbf {A} t} \ mathbf {B} \ mathbf {u} (t)}$

som vi genkender som

${\ displaystyle {\ frac {d} {dt}} (e ^ {- \ mathbf {A} t} \ mathbf {x} (t)) = e ^ {- \ mathbf {A} t} \ mathbf {B } \ mathbf {u} (t)}$

og ved at integrere ..

${\ displaystyle e ^ {- \ mathbf {A} t} \ mathbf {x} (t) -e ^ {0} \ mathbf {x} (0) = \ int _ {0} ^ {t} e ^ { - \ mathbf {A} \ tau} \ mathbf {B} \ mathbf {u} (\ tau) d \ tau}$

${\ displaystyle \ mathbf {x} (t) = e ^ {\ mathbf {A} t} \ mathbf {x} (0) + \ int _ {0} ^ {t} e ^ {\ mathbf {A} ( t- \ tau)} \ mathbf {B} \ mathbf {u} (\ tau) d \ tau}$

som er en analytisk løsning på den kontinuerlige model.

Nu ønsker vi at skelne ovenstående udtryk. Vi antager, at u er konstant under hvert tidspunkt.

${\ displaystyle \ mathbf {x} [k] \ {\ stackrel {\ mathrm {def}} {=}} \ \ mathbf {x} (kT)}$

${\ displaystyle \ mathbf {x} [k] = e ^ {\ mathbf {A} kT} \ mathbf {x} (0) + \ int _ {0} ^ {kT} e ^ {\ mathbf {A} ( kT- \ tau)} \ mathbf {B} \ mathbf {u} (\ tau) d \ tau}$

${\ displaystyle \ mathbf {x} [k + 1] = e ^ {\ mathbf {A} (k + 1) T} \ mathbf {x} (0) + \ int _ {0} ^ {(k + 1 ) T} e ^ {\ mathbf {A} ((k + 1) T- \ tau)} \ mathbf {B} \ mathbf {u} (\ tau) d \ tau}$

${\ displaystyle \ mathbf {x} [k + 1] = e ^ {\ mathbf {A} T} \ left [e ^ {\ mathbf {A} kT} \ mathbf {x} (0) + \ int _ { 0} ^ {kT} e ^ {\ mathbf {A} (kT- \ tau)} \ mathbf {B} \ mathbf {u} (\ tau) d \ tau \ right] + \ int _ {kT} ^ { (k + 1) T} e ^ {\ mathbf {A} (kT + T- \ tau)} \ mathbf {B} \ mathbf {u} (\ tau) d \ tau}$

Vi genkender parentesudtrykket som , og det andet udtryk kan forenkles ved at erstatte funktionen . Bemærk, at . Vi antager også, at det er konstant under integralen , hvilket igen giver ${\ displaystyle \ mathbf {x} [k]}$${\ displaystyle v (\ tau) = kT + T- \ tau}$${\ displaystyle d \ tau = -dv}$${\ displaystyle \ mathbf {u}}$

${\ displaystyle {\ begin {matrix} \ mathbf {x} [k + 1] & = & e ^ {\ mathbf {A} T} \ mathbf {x} [k] - \ left (\ int _ {v (kT )} ^ {v ((k + 1) T)} e ^ {\ mathbf {A} v} dv \ right) \ mathbf {B} \ mathbf {u} [k] \\ & = & e ^ {\ mathbf {A} T} \ mathbf {x} [k] - \ left (\ int _ {T} ^ {0} e ^ {\ mathbf {A} v} dv \ right) \ mathbf {B} \ mathbf {u } [k] \\ & = & e ^ {\ mathbf {A} T} \ mathbf {x} [k] + \ left (\ int _ {0} ^ {T} e ^ {\ mathbf {A} v} dv \ right) \ mathbf {B} \ mathbf {u} [k] \\ & = & e ^ {\ mathbf {A} T} \ mathbf {x} [k] + \ mathbf {A} ^ {- 1} \ left (e ^ {\ mathbf {A} T} - \ mathbf {I} \ right) \ mathbf {B} \ mathbf {u} [k] \ end {matrix}}}$

hvilket er en nøjagtig løsning på diskretiseringsproblemet.

Når er ental, kan sidstnævnte udtryk stadig bruges ved at erstatte det med dets Taylor-ekspansion , ${\ displaystyle \ mathbf {A}}$${\ displaystyle e ^ {\ mathbf {A} T}}$

${\ displaystyle e ^ {{\ mathbf {A}} T} = \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ frac {1} {k!}} ({\ mathbf {A}} T) ^ {k}.}$

Dette giver

${\ displaystyle {\ begin {matrix} \ mathbf {x} [k + 1] & = & e ^ {{\ mathbf {A}} T} \ mathbf {x} [k] + \ left (\ int _ {0 } ^ {T} e ^ {{\ mathbf {A}} v} dv \ right) \ mathbf {B} \ mathbf {u} [k] \\ & = & \ left (\ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ frac {1} {k!}} ({\ mathbf {A}} T) ^ {k} \ right) \ mathbf {x} [k] + \ left (\ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} {\ frac {1} {k!}} {\ Mathbf {A}} ^ {k-1} T ^ {k} \ right) \ mathbf {B} \ mathbf {u} [k], \ end {matrix}}}$

hvilket er den form, der anvendes i praksis.

Tilnærmelser

Præcis diskretisering kan undertiden være ukompliceret på grund af de involverede tunge matrixeksponentielle og integrerede operationer. Det er meget nemmere at beregne en tilnærmet diskret model, der er baseret på den for små tidsskridt . Den omtrentlige løsning bliver derefter: ${\ displaystyle e ^ {\ mathbf {A} T} \ approx \ mathbf {I} + \ mathbf {A} T}$

${\ displaystyle \ mathbf {x} [k + 1] \ approx (\ mathbf {I} + \ mathbf {A} T) \ mathbf {x} [k] + T \ mathbf {B} \ mathbf {u} [ k]}$

Dette er også kendt som Euler-metoden , som også er kendt som den fremadrettede Euler-metode. Andre mulige tilnærmelser er , ellers kendt som den bagudgående Euler-metode, og som er kendt som den bilineære transformation eller Tustin-transformation. Hver af disse tilnærmelser har forskellige stabilitetsegenskaber. Den bilineære transformation bevarer ustabiliteten i systemet med kontinuerlig tid. ${\ displaystyle e ^ {\ mathbf {A} T} \ approx \ left (\ mathbf {I} - \ mathbf {A} T \ right) ^ {- 1}}$${\ displaystyle e ^ {\ mathbf {A} T} \ approx \ left (\ mathbf {I} + {\ frac {1} {2}} \ mathbf {A} T \ right) \ left (\ mathbf {I } - {\ frac {1} {2}} \ mathbf {A} T \ right) ^ {- 1}}$

Diskretisering af kontinuerlige funktioner

I statistik og maskinindlæring refererer diskretisering til processen med at konvertere kontinuerlige funktioner eller variabler til diskretiserede eller nominelle funktioner. Dette kan være nyttigt, når du opretter sandsynlighedsmassefunktioner.

Diskretisering af glatte funktioner

I generaliseret funktioner teori, diskretisering opstår som et særligt tilfælde af foldning Sætning om hærdet distributioner

${\ displaystyle {\ mathcal {F}} \ {f * \ operatorname {III} \} = {\ mathcal {F}} \ {f \} \ cdot \ operatorname {III}}$

${\ displaystyle {\ mathcal {F}} \ {\ alpha \ cdot \ operatorname {III} \} = {\ mathcal {F}} \ {\ alpha \} * \ operatorname {III}}$

hvor er Dirac-kam , er diskretisering, er periodisering , er en hurtigt faldende hærdet fordeling (f.eks. en Dirac-delta-funktion eller en hvilken som helst anden kompakt understøttet funktion), er en glat , langsomt voksende almindelig funktion (f.eks. den funktion, der er konstant eller enhver anden båndbegrænset funktion) og er (enheds, almindelig frekvens) Fourier-transformation . Funktioner, der ikke er glatte, kan gøres glatte ved hjælp af en blødgøringsmiddel før diskretisering. ${\ displaystyle \ operatorname {III}}$${\ displaystyle \ cdot \ operatorname {III}}$${\ displaystyle * \ operatorname {III}}$${\ displaystyle f}$ ${\ displaystyle \ delta}$${\ displaystyle \ alpha}$ ${\ displaystyle 1}$${\ displaystyle {\ mathcal {F}}}$${\ displaystyle \ alpha}$

Som et eksempel giver diskretisering af den funktion, der konstant er, den sekvens, der, fortolket som koefficienterne for en lineær kombination af Dirac-delta-funktioner , danner en Dirac-kam . Hvis der desuden anvendes trunkering , opnår man endelige sekvenser, f.eks . De er diskrete i både tid og frekvens. ${\ displaystyle 1}$ ${\ displaystyle [.., 1,1,1, ..]}$${\ displaystyle [1,1,1,1]}$

Se også

• Diskret begivenhedssimulering
• Diskret rum
• Diskret tid og kontinuerlig tid
• Endelig forskel metode
• Endelig volumenmetode til ustabil strømning
• Udjævning
• Stokastisk simulation
• Tidsskaleberegning

Referencer

Yderligere læsning

• Robert Grover Brown & Patrick YC Hwang (1997). Introduktion til tilfældige signaler og anvendt Kalman-filtrering (3. udgave). ISBN 978-0471128397.
• Chi-Tsong Chen (1984). Lineær systemteori og design . Philadelphia, PA, USA: Saunders College Publishing. ISBN 978-0030716911.
• C. Van Loan (juni 1978). "Computingintegraler, der involverer den eksponentielle matrix" (PDF) . IEEE-transaktioner ved automatisk kontrol . 23 (3): 395-404. doi : 10.1109 / TAC.1978.1101743 . HDL : 1813/7095 .
• RH Middleton & GC Goodwin (1990). Digital kontrol og estimering: en samlet tilgang . s. 33f. ISBN 978-0132116657.

eksterne links