Gulv- og loftsfunktioner - Floor and ceiling functions

I matematik og datalogi , den gulvet funktion er funktion , der tager som input et reelt tal x , og giver som output den største heltal mindre end eller lig med x , betegnet gulv ( x ) eller ⌊ x ⌋ . Tilsvarende loftet funktion kortlægger x til den mindste heltal større end eller lig med x , betegnet ceil ( x ) eller ⌈ x ⌉ .

For eksempel er ⌊2.4⌋ = 2 , ⌊ − 2.4⌋ = −3 , ⌈2.4⌉ = 3 og ⌈ − 2.4⌉ = −2 .

Den integrale del eller heltal del af x , ofte betegnet [ x ], defineres normalt som ⌊ x ⌋ hvis x ikke er negativ, og ⌈ x ⌉ ellers. For eksempel [2.4] = 2 og [−2.4] = −2 . Funktionen af afkortning generaliserer dette til et specificeret antal cifre: afkortning til nul signifikante cifre er den samme som heltalets del.

Nogle forfattere definerer heltalsdelen som gulvet uanset tegnet på x ved hjælp af en række notationer til dette.

For n et heltal er ⌊ n ⌋ = ⌈ n ⌉ = [ n ] = n .

Notation

Den integrerede del eller et heltal af et nummer ( partie entière i originalen) blev først defineret i 1798 af Adrien-Marie Legendre i hans bevis på Legendres formel .

Carl Friedrich Gauss introducerede den firkantede parentesnotation i sit tredje bevis for kvadratisk gensidighed (1808). Dette forblev standarden i matematik, indtil Kenneth E. Iverson i sin bog A Programming Language fra 1962 introducerede navnene "gulv" og "loft" og de tilsvarende notationer og . Begge notationer bruges nu i matematik, selvom Iversons notation vil blive fulgt i denne artikel. ${\ displaystyle [x]}$${\ displaystyle \ lfloor x \ rfloor}$${\ displaystyle \ lceil x \ rceil}$

I nogle kilder anvendes fed eller dobbelt parentes til gulv og omvendte parenteser eller] x [til loft. Nogle gange forstås funktionen rund-mod-nul. ${\ displaystyle [\! [x] \!]}$${\ displaystyle] \!] x [\! ​​[}$${\ displaystyle [x]}$

Den brøkdel er savtandsfunktionen , betegnet med for ægte x og defineret af formlen ${\ displaystyle \ {x \}}$

${\ displaystyle \ {x \} = x- \ lfloor x \ rfloor.}$

For alle x ,

${\ displaystyle 0 \ leq \ {x \} <1.}$

Eksempler

x	Etage ${\ displaystyle \ lfloor x \ rfloor}$	Loft ${\ displaystyle \ lceil x \ rceil}$	Brøkdel ${\ displaystyle \ {x \}}$
2	2	2	0
2.4	2	3	0,4
2.9	2	3	0,9
−2.7	−3	−2	0,3
−2	−2	−2	0

Typesætning

Gulv- og loftsfunktionerne er normalt set med venstre og højre firkantede parenteser, hvor de øvre (til gulvfunktion) eller nedre (til loftfunktion) vandrette bjælker mangler ( til gulv og til loft). Disse tegn findes i Unicode: ${\ displaystyle \ lfloor \, \ rfloor}$${\ displaystyle \ lceil \, \ rceil}$

• U + 2308 ⌈ VENSTRE loft (HTML ⌈  · ⌈, ⌈ )
• U + 2309 ⌉ HØJRE loft (HTML ⌉  · ⌉, ⌉ )
• U + 230A ⌊ VENSTRE GULV (HTML ⌊  · ⌊, ⌊ )
• U + 230B ⌋ HØJRE GULV (HTML ⌋  · ⌋, ⌋ )

I LaTeX- sætningssystemet kan disse symboler specificeres med \lfloor, \rfloor, \lceilog \rceilkommandoerne i matematisk tilstand og udvides i størrelse ved hjælp af \left\lfloor, \right\rfloor, \left\lceilog \right\rceilefter behov.

Definition og egenskaber

Givet reelle tal x og y , kan heltal k , m , n og sæt af heltal , gulv og loft defineres ved ligningerne ${\ displaystyle \ mathbb {Z}}$

${\ displaystyle \ lfloor x \ rfloor = \ max \ {m \ in \ mathbb {Z} \ mid m \ leq x \},}$

${\ displaystyle \ lceil x \ rceil = \ min \ {n \ in \ mathbb {Z} \ mid n \ geq x \}.}$

Da der er nøjagtigt et heltal i et halvt åbent interval af længde et, for ethvert reelt tal x , er der unikke heltal m og n, der tilfredsstiller ligningen

${\ displaystyle x-1 <m \ leq x \ leq n <x + 1.}$

hvor  og  kan også tages som definitionen på gulv og loft. ${\ displaystyle \ lfloor x \ rfloor = m}$${\ displaystyle \ lceil x \ rceil = n}$

Ækvivalenser

Disse formler kan bruges til at forenkle udtryk, der involverer gulve og lofter.

${\ displaystyle {\ begynde {justeret} \ lfloor x \ rfloor = m & \; \; {\ mbox {hvis og kun hvis}} & m & \ leq x <m + 1, \\\ lceil x \ rceil = n & \; \; {\ mbox {hvis og kun hvis}} & n-1 & <x \ leq n, \\\ lfloor x \ rfloor = m & \; \; {\ mbox {hvis og kun hvis}} & x-1 & <m \ leq x, \\\ lceil x \ rceil = n & \; \; {\ mbox {hvis og kun hvis}} & x & \ leq n <x + 1. \ end {justeret}}}$

På det sprog, orden teori , gulvet funktion er en residuated kortlægning , der er en del af en Galois-forbindelse : det er den øverste adjungerede til den funktion, der integrerer de hele tal ind i reelle tal.

${\ displaystyle {\ begynder {justeret} x <n & \; \; {\ mbox {hvis og kun hvis}} & \ lfloor x \ rfloor & <n, \\ n <x & \; \; {\ mbox {hvis og kun hvis}} & n & <\ lceil x \ rceil, \\ x \ leq n & \; \; {\ mbox {hvis og kun hvis}} & \ lceil x \ rceil & \ leq n, \\ n \ leq x & \; \; {\ mbox {hvis og kun hvis}} & n & \ leq \ lfloor x \ rfloor. \ end {justeret}}}$

Disse formler viser, hvordan tilføjelse af heltal til argumenterne påvirker funktionerne:

${\ displaystyle {\ begynder {justeret} \ lfloor x + n \ rfloor & = \ lfloor x \ rfloor + n, \\\ lceil x + n \ rceil & = \ lceil x \ rceil + n, \\\ {x + n \} & = \ {x \}. \ slut {justeret}}}$

Ovenstående er aldrig sandt, hvis n ikke er et heltal; dog for hver x og y gælder følgende uligheder:

${\ displaystyle {\ begin {align} \ lfloor x \ rfloor + \ lfloor y \ rfloor & \ leq \ lfloor x + y \ rfloor \ leq \ lfloor x \ rfloor + \ lfloor y \ rfloor +1, \\\ lceil x \ rceil + \ lceil y \ rceil -1 & \ leq \ lceil x + y \ rceil \ leq \ lceil x \ rceil + \ lceil y \ rceil. \ end {justeret}}}$

Forholdet mellem funktionerne

Det fremgår klart af definitionerne, at

${\ displaystyle \ lfloor x \ rfloor \ leq \ lceil x \ rceil,}$   med ligestilling, hvis og kun hvis x er et heltal, dvs.

${\ displaystyle \ lceil x \ rceil - \ lfloor x \ rfloor = {\ begin {cases} 0 & {\ mbox {if}} x \ in \ mathbb {Z} \\ 1 & {\ mbox {if}} x \ not \ in \ mathbb {Z} \ end {cases}}}$

Faktisk for både heltal n er både gulv- og loftfunktionerne identiteten :

${\ displaystyle \ lfloor n \ rfloor = \ lceil n \ rceil = n.}$

Negation af argumentet skifter gulv og loft og ændrer tegnet:

${\ displaystyle {\ begin {justeret} \ lfloor x \ rfloor + \ lceil -x \ rceil & = 0 \\ - \ lfloor x \ rfloor & = \ lceil -x \ rceil \\ - \ lceil x \ rceil & = \ lfloor -x \ rfloor \ end {justeret}}}$

og:

${\ displaystyle \ lfloor x \ rfloor + \ lfloor -x \ rfloor = {\ begin {cases} 0 & {\ text {if}} x \ in \ mathbb {Z} \\ - 1 & {\ text {if}} x \ not \ in \ mathbb {Z}, \ end {cases}}}$

${\ displaystyle \ lceil x \ rceil + \ lceil -x \ rceil = {\ begin {cases} 0 & {\ text {if}} x \ in \ mathbb {Z} \\ 1 & {\ text {if}} x \ ikke \ i \ mathbb {Z}. \ end {cases}}}$

Negation af argumentet supplerer den brøkdel:

${\ displaystyle \ {x \} + \ {- x \} = {\ begin {cases} 0 & {\ text {if}} x \ in \ mathbb {Z} \\ 1 & {\ text {if}} x \ ikke \ i \ mathbb {Z}. \ slut {cases}}}$

Funktionerne gulv, loft og brøkdel er idempotente :

${\ displaystyle {\ begin {align} {\ Big \ lfloor} \ lfloor x \ rfloor {\ Big \ rfloor} & = \ lfloor x \ rfloor, \\ {\ Big \ lceil} \ lceil x \ rceil {\ Big \ rceil} & = \ lceil x \ rceil, \\ {\ Big \ {} \ {x \} {\ Big \}} & = \ {x \}. \ end {justeret}}}$

Resultatet af indlejrede gulv- eller loftsfunktioner er den inderste funktion:

${\ displaystyle {\ begin {align} {\ Big \ lfloor} \ lceil x \ rceil {\ Big \ rfloor} & = \ lceil x \ rceil, \\ {\ Big \ lceil} \ lfloor x \ rfloor {\ Big \ rceil} & = \ lfloor x \ rfloor \ end {justeret}}}$

på grund af identitetsegenskaben for heltal.

Kvoter

Hvis m og n er heltal og n ≠ 0,

${\ displaystyle 0 \ leq \ left \ {{\ frac {m} {n}} \ right \} \ leq 1 - {\ frac {1} {| n |}}.}$

Hvis n er et positivt heltal

${\ displaystyle \ left \ lfloor {\ frac {x + m} {n}} \ right \ rfloor = \ left \ lfloor {\ frac {\ lfloor x \ rfloor + m} {n}} \ right \ rfloor,}$

${\ displaystyle \ venstre \ lceil {\ frac {x + m} {n}} \ højre \ rceil = \ venstre \ lceil {\ frac {\ lceil x \ rceil + m} {n}} \ højre \ rceil.}$

Hvis m er positiv

${\ displaystyle n = \ venstre \ lceil {\ frac {n} {m}} \ højre \ rceil + \ venstre \ lceil {\ frac {n-1} {m}} \ højre \ rceil + \ prikker + \ venstre \ lceil {\ frac {n-m + 1} {m}} \ højre \ rceil,}$

${\ displaystyle n = \ venstre \ lfloor {\ frac {n} {m}} \ højre \ rfloor + \ venstre \ lfloor {\ frac {n + 1} {m}} \ højre \ rfloor + \ prikker + \ venstre \ lfloor {\ frac {n + m-1} {m}} \ højre \ rfloor.}$

For m = 2 betyder det

${\ displaystyle n = \ venstre \ lfloor {\ frac {n} {2}} \ højre \ rfloor + \ venstre \ lceil {\ frac {n} {2}} \ højre \ rceil.}$

Mere generelt for positiv m (Se Hermites identitet )

${\ displaystyle \ lceil mx \ rceil = \ venstre \ lceil x \ højre \ rceil + \ venstre \ lceil x - {\ frac {1} {m}} \ højre \ rceil + \ prikker + \ venstre \ lceil x- { \ frac {m-1} {m}} \ højre \ rceil,}$

${\ displaystyle \ lfloor mx \ rfloor = \ left \ lfloor x \ right \ rfloor + \ left \ lfloor x + {\ frac {1} {m}} \ right \ rfloor + \ dots + \ left \ lfloor x + {\ frac {m-1} {m}} \ højre \ rfloor.}$

Følgende kan bruges til at konvertere gulve til lofter og omvendt ( m positivt)

${\ displaystyle \ venstre \ lceil {\ frac {n} {m}} \ højre \ rceil = \ venstre \ lfloor {\ frac {n + m-1} {m}} \ højre \ rfloor = \ venstre \ lfloor { \ frac {n-1} {m}} \ højre \ rfloor +1,}$

${\ displaystyle \ venstre \ lfloor {\ frac {n} {m}} \ højre \ rfloor = \ venstre \ lceil {\ frac {n-m + 1} {m}} \ højre \ rceil = \ venstre \ lceil { \ frac {n + 1} {m}} \ højre \ rceil -1,}$

For alle m og n strengt positive heltal:

${\ displaystyle \ sum _ {k = 1} ^ {n-1} \ venstre \ lfloor {\ frac {km} {n}} \ højre \ rfloor = {\ frac {(m-1) (n-1) + \ gcd (m, n) -1} {2}},}$

som for positiv og coprime m og n reduceres til

${\ displaystyle \ sum _ {k = 1} ^ {n-1} \ left \ lfloor {\ frac {km} {n}} \ right \ rfloor = {\ frac {1} {2}} (m-1 ) (n-1).}$

Da højre side af det generelle tilfælde er symmetrisk i m og n , betyder det, at

${\ displaystyle \ venstre \ lfloor {\ frac {m} {n}} \ højre \ rfloor + \ venstre \ lfloor {\ frac {2m} {n}} \ højre \ rfloor + \ prikker + \ venstre \ lfloor {\ frac {(n-1) m} {n}} \ højre \ rfloor = \ venstre \ lfloor {\ frac {n} {m}} \ højre \ rfloor + \ venstre \ lfloor {\ frac {2n} {m} } \ højre \ rfloor + \ prikker + \ venstre \ lfloor {\ frac {(m-1) n} {m}} \ højre \ rfloor.}$

Mere generelt, hvis m og n er positive,

${\ displaystyle {\ begin {align} & \ left \ lfloor {\ frac {x} {n}} \ right \ rfloor + \ left \ lfloor {\ frac {m + x} {n}} \ right \ rfloor + \ venstre \ lgulv {\ frac {2m + x} {n}} \ højre \ rgulv + \ prikker + \ venstre \ lgulv {\ frac {(n-1) m + x} {n}} \ højre \ rgulv \ \ = & \ venstre \ lfloor {\ frac {x} {m}} \ højre \ rfloor + \ venstre \ lfloor {\ frac {n + x} {m}} \ højre \ rfloor + \ venstre \ lfloor {\ frac {2n + x} {m}} \ højre \ rfloor + \ cdots + \ venstre \ lfloor {\ frac {(m-1) n + x} {m}} \ højre \ rfloor. \ Slut {justeret}}}$

Dette kaldes undertiden en gensidighedslov .

Indlejrede divisioner

For positivt heltal n og vilkårlige reelle tal m , x :

${\ displaystyle \ left \ lfloor {\ frac {\ lfloor x / m \ rfloor} {n}} \ right \ rfloor = \ left \ lfloor {\ frac {x} {mn}} \ right \ rfloor}$

${\ displaystyle \ venstre \ lceil {\ frac {\ lceil x / m \ rceil} {n}} \ højre \ rceil = \ venstre \ lceil {\ frac {x} {mn}} \ højre \ rceil.}$

Kontinuitet og serieudvidelser

Ingen af de funktioner, der diskuteres i denne artikel er kontinuerlig , men alle er stykkevis lineær : funktionerne , og har diskontinuiteter ved heltal. ${\ displaystyle \ lfloor x \ rfloor}$${\ displaystyle \ lceil x \ rceil}$${\ displaystyle \ {x \}}$

${\ displaystyle \ lfloor x \ rfloor}$  er øvre semi-kontinuerlig og     og   er lavere semi-kontinuerlig. ${\ displaystyle \ lceil x \ rceil}$${\ displaystyle \ {x \}}$

Da ingen af de funktioner, der diskuteres i denne artikel er kontinuerlige, ingen af dem har en magt serie ekspansion. Da gulv og loft ikke er periodiske, har de ikke ensartede konvergerende Fourier- serieudvidelser. Den brøkdelte funktion har Fourier-serieudvidelse

${\ displaystyle \ {x \} = {\ frac {1} {2}} - {\ frac {1} {\ pi}} \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} {\ frac {\ sin (2 \ pi kx)} {k}}}$

for x ikke et heltal.

Ved diskontinuitetspunkter konvergerer en Fourier-serie til en værdi, der er gennemsnittet af dens grænser til venstre og højre, i modsætning til gulv-, lofts- og brøkdelfunktionerne: for y fast og x et multiplum af y konvergerer Fourier-serien til y / 2, snarere end til x  mod  y  = 0. På kontinuitetspunkter konvergerer serien til den sande værdi.

Brug af formelgulvet (x) = x - {x} giver

${\ displaystyle \ lfloor x \ rfloor = x - {\ frac {1} {2}} + {\ frac {1} {\ pi}} \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} {\ frac { \ sin (2 \ pi kx)} {k}}}$

for x ikke et heltal.

Ansøgninger

Mod operatør

For et heltal x og et positivt heltal y giver moduloperationen , betegnet med x mod y , værdien af ​​resten, når x divideres med y . Denne definition kan udvides til reel x og y , y ≠ 0, med formlen

${\ displaystyle x {\ bmod {y}} = xy \ left \ lfloor {\ frac {x} {y}} \ right \ rfloor.}$

Derefter følger det af definitionen af ​​gulvfunktion, at denne udvidede operation tilfredsstiller mange naturlige egenskaber. Især er x mod y altid mellem 0 og y , dvs.

hvis y er positiv,

${\ displaystyle 0 \ leq x {\ bmod {y}} <y,}$

og hvis y er negativ,

${\ displaystyle 0 \ geq x {\ bmod {y}}> y.}$

Kvadratisk gensidighed

Gauss tredje bevis for kvadratisk gensidighed , som modificeret af Eisenstein, har to grundlæggende trin.

Lad p og q være forskellige positive ulige primtal, og lad

${\ displaystyle m = {\ frac {p-1} {2}},}$ ${\ displaystyle n = {\ frac {q-1} {2}}.}$

For det første bruges Gauss's lemma til at vise, at Legendre-symbolerne er givet af

${\ displaystyle \ left ({\ frac {q} {p}} \ right) = (- 1) ^ {\ left \ lfloor {\ frac {q} {p}} \ right \ rfloor + \ left \ lfloor { \ frac {2q} {p}} \ højre \ rfloor + \ prikker + \ venstre \ lfloor {\ frac {mq} {p}} \ højre \ rfloor}}$

og

${\ displaystyle \ left ({\ frac {p} {q}} \ right) = (- 1) ^ {\ left \ lfloor {\ frac {p} {q}} \ right \ rfloor + \ left \ lfloor { \ frac {2p} {q}} \ højre \ rfloor + \ prikker + \ venstre \ lfloor {\ frac {np} {q}} \ højre \ rfloor}.}$

Det andet trin er at bruge et geometrisk argument til at vise det

${\ displaystyle \ venstre \ lfloor {\ frac {q} {p}} \ højre \ rfloor + \ venstre \ lfloor {\ frac {2q} {p}} \ højre \ rfloor + \ prikker + \ venstre \ lfloor {\ frac {mq} {p}} \ højre \ rfloor + \ venstre \ lfloor {\ frac {p} {q}} \ højre \ rfloor + \ venstre \ lfloor {\ frac {2p} {q}} \ højre \ rfloor + \ prikker + \ venstre \ lfloor {\ frac {np} {q}} \ højre \ rfloor = mn.}$

Kombination af disse formler giver kvadratisk gensidighed i formen

${\ displaystyle \ left ({\ frac {p} {q}} \ right) \ left ({\ frac {q} {p}} \ right) = (- 1) ^ {mn} = (- 1) ^ {{\ frac {p-1} {2}} {\ frac {q-1} {2}}}.}$

Der er formler, der bruger gulvet til at udtrykke den kvadratiske karakter af små tal mod ulige primer p :

${\ displaystyle \ left ({\ frac {2} {p}} \ right) = (- 1) ^ {\ left \ lfloor {\ frac {p + 1} {4}} \ right \ rfloor},}$

${\ displaystyle \ left ({\ frac {3} {p}} \ right) = (- 1) ^ {\ left \ lfloor {\ frac {p + 1} {6}} \ right \ rfloor}.}$

Afrunding

For et vilkårligt reelt tal er afrunding til nærmeste heltal med bånd, der bryder mod positiv uendelighed, givet ved ; afrunding mod negativ uendelighed gives som . ${\ displaystyle x}$ ${\ displaystyle x}$${\ displaystyle {\ text {rpi}} (x) = \ venstre \ lfloor x + {\ tfrac {1} {2}} \ højre \ rfloor = \ venstre \ lceil {\ tfrac {\ lfloor 2x \ rfloor} {2 }} \ højre \ rceil}$${\ displaystyle {\ text {rni}} (x) = \ left \ lceil x - {\ tfrac {1} {2}} \ right \ rceil = \ left \ lfloor {\ tfrac {\ lceil 2x \ rceil} { 2}} \ højre \ rfloor}$

Hvis tie-breaking er væk fra 0, så afrunding funktion , og afrunding hen imod selv kan udtrykkes med den mere besværlige , hvilket er ovenstående udtryk til afrunding mod positiv uendelighed minus en fuldstændige indikator for . ${\ displaystyle {\ text {ri}} (x) = \ operatorname {sgn} (x) \ left \ lfloor | x | + {\ tfrac {1} {2}} \ right \ rfloor}$${\ displaystyle \ lfloor x \ rceil = \ left \ lfloor x + {\ tfrac {1} {2}} \ right \ rfloor + \ left \ lceil {\ tfrac {2x-1} {4}} \ right \ rceil - \ left \ lfloor {\ tfrac {2x-1} {4}} \ right \ rfloor -1}$${\ displaystyle {\ text {rpi}} (x)}$ ${\ displaystyle {\ tfrac {2x-1} {4}}}$

Antal cifre

Antallet af cifre i basis b af et positivt heltal k er

${\ displaystyle \ lfloor \ log _ {b} {k} \ rfloor + 1 = \ lceil \ log _ {b} {(k + 1)} \ rceil.}$

Faktorer for fakta

Lad n være et positivt heltal og p et positivt primtal. Eksponenten for den højeste kraft af p, der deler n ! er givet ved en version af Legendres formel

${\ displaystyle \ venstre \ lfloor {\ frac {n} {p}} \ højre \ rfloor + \ venstre \ lfloor {\ frac {n} {p ^ {2}}} \ højre \ rfloor + \ venstre \ lfloor { \ frac {n} {p ^ {3}}} \ højre \ rfloor + \ dots = {\ frac {n- \ sum _ {k} a_ {k}} {p-1}}}$

hvor er måden at skrive n i base s . Dette er en begrænset sum, da gulvene er nul, når p ^k > n . ${\ textstyle n = \ sum _ {k} a_ {k} p ^ {k}}$

Beatty sekvens

De Beatty sekvens viser, hvordan ethvert positivt irrationel tal giver anledning til en opdeling af de naturlige tal i to sekvenser via gulvet funktion.

Eulers konstant (γ)

Der er formler for Eulers konstante γ = 0,57721 56649 ... der involverer gulv og loft, f.eks

${\ displaystyle \ gamma = \ int _ {1} ^ {\ infty} \ left ({1 \ over \ lfloor x \ rfloor} - {1 \ over x} \ right) \, dx,}$

${\ displaystyle \ gamma = \ lim _ {n \ to \ infty} {\ frac {1} {n}} \ sum _ {k = 1} ^ {n} \ left (\ left \ lceil {\ frac {n } {k}} \ right \ rceil - {\ frac {n} {k}} \ right),}$

og

${\ displaystyle \ gamma = \ sum _ {k = 2} ^ {\ infty} (- 1) ^ {k} {\ frac {\ left \ lfloor \ log _ {2} k \ right \ rfloor} {k} } = {\ tfrac {1} {2}} - {\ tfrac {1} {3}} + 2 \ venstre ({\ tfrac {1} {4}} - {\ tfrac {1} {5}} + {\ tfrac {1} {6}} - {\ tfrac {1} {7}} \ right) +3 \ left ({\ tfrac {1} {8}} - \ cdots - {\ tfrac {1} { 15}} \ højre) + \ cdots}$

Riemann zeta-funktion (ζ)

Den brøkdelte delfunktion vises også i integrerede repræsentationer af Riemann zeta-funktionen . Det er ligetil at bevise (ved hjælp af integration af dele), at hvis der er en funktion med et kontinuerligt derivat i det lukkede interval [ a , b ], ${\ displaystyle \ phi (x)}$

${\ displaystyle \ sum _ {a <n \ leq b} \ phi (n) = \ int _ {a} ^ {b} \ phi (x) \, dx + \ int _ {a} ^ {b} \ left (\ {x \} - {\ tfrac {1} {2}} \ højre) \ phi '(x) \, dx + \ venstre (\ {a \} - {\ tfrac {1} {2}} \ højre ) \ phi (a) - \ left (\ {b \} - {\ tfrac {1} {2}} \ right) \ phi (b).}$

Lade for reel del af s større end 1 og lade en og b være heltal, og lade b tilgang uendelighed giver ${\ displaystyle \ phi (n) = {n} ^ {- s}}$

${\ displaystyle \ zeta (s) = s \ int _ {1} ^ {\ infty} {\ frac {{\ frac {1} {2}} - \ {x \}} {x ^ {s + 1} }} \, dx + {\ frac {1} {s-1}} + {\ frac {1} {2}}.}$

Denne formel er gyldig for alle s med reel del større end −1, (undtagen s = 1, hvor der er en pol) og kombineret med Fourier-udvidelsen til { x } kan bruges til at udvide zeta-funktionen til hele det komplekse plan og for at bevise dens funktionelle ligning.

For s = σ + det i den kritiske stribe 0 < σ <1,

${\ displaystyle \ zeta (s) = s \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} e ^ {- \ sigma \ omega} (\ lfloor e ^ {\ omega} \ rfloor -e ^ {\ omega} ) e ^ {- it \ omega} \, d \ omega.}$

I 1947 brugte van der Pol denne repræsentation til at konstruere en analog computer til at finde rødderne til zeta-funktionen.

Formler til primtal

Gulvfunktionen vises i flere formler, der karakteriserer primtal. For eksempel, da er lig med 1, hvis m deler n , og til 0 ellers, følger det, at et positivt heltal n er et primtal, hvis og kun hvis${\ displaystyle \ left \ lfloor {\ frac {n} {m}} \ right \ rfloor - \ left \ lfloor {\ frac {n-1} {m}} \ right \ rfloor}$

${\ displaystyle \ sum _ {m = 1} ^ {\ infty} \ left (\ left \ lfloor {\ frac {n} {m}} \ right \ rfloor - \ left \ lfloor {\ frac {n-1} {m}} \ højre \ rfloor \ højre) = 2.}$

Man kan også give formler til produktion af primtal. Lad for eksempel p _n være n- th-prime, og for ethvert heltal r > 1 definer det reelle tal α med summen

${\ displaystyle \ alpha = \ sum _ {m = 1} ^ {\ infty} p_ {m} r ^ {- m ^ {2}}.}$

Derefter

${\ displaystyle p_ {n} = \ left \ lfloor r ^ {n ^ {2}} \ alpha \ right \ rfloor -r ^ {2n-1} \ left \ lfloor r ^ {(n-1) ^ {2 }} \ alpha \ right \ rfloor.}$

Et lignende resultat er, at der er et tal θ = 1.3064 ... ( Mills 'konstant ) med den egenskab, der

${\ displaystyle \ left \ lfloor \ theta ^ {3} \ right \ rfloor, \ left \ lfloor \ theta ^ {9} \ right \ rfloor, \ left \ lfloor \ theta ^ {27} \ right \ rfloor, \ dots }$

er alle førsteklasses.

Der er også et tal ω = 1,9287800 ... med egenskaben der

${\ displaystyle \ left \ lfloor 2 ^ {\ omega} \ right \ rfloor, \ left \ lfloor 2 ^ {2 ^ {\ omega}} \ right \ rfloor, \ left \ lfloor 2 ^ {2 ^ {2 ^ { \ omega}}} \ højre \ rgulv, \ prikker}$

er alle førsteklasses.

Lad π ( x ) være antallet af primtal, der er mindre end eller lig med x . Det er et ligetil fradrag fra Wilsons sætning, at

${\ displaystyle \ pi (n) = \ sum _ {j = 2} ^ {n} \ left \ lfloor {\ frac {(j-1)! + 1} {j}} - \ left \ lfloor {\ frac {(j-1)!} {j}} \ højre \ rfloor \ højre \ rfloor.}$

Også, hvis n ≥ 2,

${\ displaystyle \ pi (n) = \ sum _ {j = 2} ^ {n} \ venstre \ lfloor {\ frac {1} {\ sum _ {k = 2} ^ {j} \ venstre \ lfloor \ venstre \ lfloor {\ frac {j} {k}} \ højre \ rfloor {\ frac {k} {j}} \ højre \ rfloor}} \ højre \ rfloor.}$

Ingen af ​​formlerne i dette afsnit er til praktisk brug.

Løst problemer

Ramanujan indsendte disse problemer til Journal of the Indian Mathematical Society .

Hvis n er et positivt heltal, bevis det

1. ${\ displaystyle \ left \ lfloor {\ tfrac {n} {3}} \ right \ rfloor + \ left \ lfloor {\ tfrac {n + 2} {6}} \ right \ rfloor + \ left \ lfloor {\ tfrac {n + 4} {6}} \ højre \ rfloor = \ venstre \ lfloor {\ tfrac {n} {2}} \ højre \ rfloor + \ venstre \ lfloor {\ tfrac {n + 3} {6}} \ højre gulv,}$
2. ${\ displaystyle \ left \ lfloor {\ tfrac {1} {2}} + {\ sqrt {n + {\ tfrac {1} {2}}}} \ right \ rfloor = \ left \ lfloor {\ tfrac {1} {2}} + {\ sqrt {n + {\ tfrac {1} {4}}}} \ højre \ rfloor,}$
3. ${\ displaystyle \ left \ lfloor {\ sqrt {n}} + {\ sqrt {n + 1}} \ right \ rfloor = \ left \ lfloor {\ sqrt {4n + 2}} \ right \ rfloor.}$

Uløst problem

Undersøgelsen af Warings problem har ført til et uløst problem:

Er der positive heltal k ≥ 6 sådan, at

${\ displaystyle 3 ^ {k} -2 ^ {k} \ left \ lfloor \ left ({\ tfrac {3} {2}} \ right) ^ {k} \ right \ rfloor> 2 ^ {k} - \ venstre \ lfloor \ venstre ({\ tfrac {3} {2}} \ højre) ^ {k} \ højre \ rfloor -2}$ ?

Mahler har bevist, at der kun kan være et endeligt antal af sådanne k ; ingen er kendt.

Computerimplementeringer

I de fleste programmeringssprog gør den enkleste metode til at konvertere et flydende nummer til et heltal ikke gulv eller loft, men trunkering . Årsagen til dette er historisk, da de første maskiner brugte deres komplement og afkortning var enklere at implementere (gulvet er enklere i to komplement ). FORTRAN blev defineret til at kræve denne adfærd og dermed implementerer næsten alle processorer konvertering på denne måde. Nogle anser dette for at være en uheldig historisk designbeslutning, der har ført til bugs, der håndterer negative forskydninger og grafik på den negative side af oprindelsen.

En bit-wise højre-skift af en underskrevet heltal ved er det samme som . Opdeling med en styrke på 2 skrives ofte som et højre-skift, ikke til optimering, som man kan antage, men fordi bunden af ​​negative resultater er påkrævet. Hvis vi antager, at sådanne skift er "for tidlig optimering", og at erstatte dem med division kan ødelægge software. ${\ displaystyle x}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle \ left \ lfloor {\ frac {x} {2 ^ {n}}} \ right \ rfloor}$

Mange programmeringssprog (inklusive C , C ++ , C # , Java , PHP , R og Python ) giver standardfunktioner til gulv og loft, normalt kaldet floorog ceil, eller mindre almindeligt ceiling. Det sprog, som APL bruger ⌊xtil gulv. The J Programming Language , en opfølgning til APL, der er designet til at bruge standard keyboard symboler, anvendelser <.til gulv og >.til loftet. ALGOL bruger entiertil gulv.

Regnearkssoftware

De fleste regnearkprogrammer understøtter en eller anden form for en ceilingfunktion. Selvom detaljerne adskiller sig mellem programmerne, understøtter de fleste implementeringer en anden parameter - hvoraf det givne nummer afrundes til et multiplum. For eksempel ceiling(2, 3)runde 2 op til det nærmeste multiplum af 3, hvilket giver 3. Definitionen af, hvad "runde op" betyder, adskiller sig imidlertid fra program til program.

Microsoft Excel brugte næsten nøjagtigt det modsatte af standardnotation, med INTfor gulv og FLOORbetydning rund-mod-nul og CEILINGbetyder rund-væk-fra-nul. Dette har fulgt op til Office Open XML -filformatet. Excel 2010 følger nu standarddefinitionen.

Den OpenDocument -filformat, som bruges af OpenOffice.org , LibreOffice og andre, følger den matematiske definition af loftet for sin ceilingfunktion, med en valgfri parameter til Excel kompatibilitet. CEILING(-4.5)Returnerer f.eks. −4.

Se også

• Beslag (matematik)
• Heltalsfunktion
• Trinfunktion

Bemærkninger

Referencer

• JWS Cassels (1957), En introduktion til Diophantine approximation , Cambridge Tracts in Mathematics and Mathematical Physics, 45 , Cambridge University Press
• Crandall, Richard; Pomerance, Carl ( Prime Numbers: A Computational Perspective , New York: Springer , ISBN 0-387-94777-9
• Graham, Ronald L .; Knuth, Donald E .; Patashnik, Oren (1994), Concrete Mathematics , Reading Ma .: Addison-Wesley, ISBN 0-201-55802-5
• Hardy, GH; Wright, EM (1980), en introduktion til teorien om numre (femte udgave) , Oxford: Oxford University Press , ISBN 978-0-19-853171-5
• Nicholas J. Higham, Håndbog til skrivning til de matematiske videnskaber , SIAM. ISBN  0-89871-420-6 , s. 25
• ISO / IEC . ISO / IEC 9899 :: 1999 (E): Programmeringssprog - C (2. udgave), 1999; Afsnit 6.3.1.4, s. 43.
• Iverson, Kenneth E. (1962), A Programming Language , Wiley
• Lemmermeyer, Franz (2000), Gensidighedslove: fra Euler til Eisenstein , Berlin: Springer , ISBN 3-540-66957-4
• Ramanujan, Srinivasa (2000), Collected Papers , Providence RI: AMS / Chelsea, ISBN 978-0-8218-2076-6
• Ribenboim, Paulo, The New Book of Prime Number Records , New York: Springer, ISBN 0-387-94457-5
• Michael Sullivan. Precalculus , 8. udgave, s. 86
• Titchmarsh, Edward Charles; Heath-Brown, David Rodney ("Roger") (1986), Theory of the Riemann Zeta-function (2. udg.), Oxford: Oxford UP, ISBN 0-19-853369-1

eksterne links

• "Floor function" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press , 2001 [1994]
• Štefan Porubský, "Integer afrundingsfunktioner" , Interaktiv informationsportal for algoritmisk matematik , Institut for datalogi ved Det Tjekkiske Videnskabsakademi, Prag, Tjekkiet, hentet 24. oktober 2008
• Weisstein, Eric W. "Floor Function" . MathWorld .
• Weisstein, Eric W. "Loftfunktion" . MathWorld .