Observerbar - Observable

I fysik er en observerbar en fysisk størrelse, der kan måles. Eksempler omfatter position og momentum . I systemer styret af klassisk mekanik er det en reelt værdsat "funktion" på sættet af alle mulige systemtilstande. I kvantefysik er det en operator eller måler , hvor kvantetilstandens egenskab kan bestemmes af en række sekvenser af operationer . F.eks. Kan disse operationer indebære at sende systemet til forskellige elektromagnetiske felter og til sidst aflæse en værdi.

Fysisk meningsfulde observerbare må også tilfredsstille transformationslove , der relaterer observationer udført af forskellige observatører i forskellige referencerammer . Disse transformationslove er automorfismer i statsrummet , det vil sige bijektive transformationer, der bevarer visse matematiske egenskaber i det pågældende rum.

Kvantemekanik

I kvantefysikken , observable åbenbart som lineære operatorer på et Hilbertrum repræsenterer tilstandsrum af kvantetilstande. Egenværdierne for observerbare er reelle tal, der svarer til mulige værdier, den dynamiske variabel repræsenteret af den observerbare kan måles som at have. Det vil sige, at observerbare i kvantemekanikken tildeler reelle tal til resultaterne af bestemte målinger , svarende til operatørens egenværdi med hensyn til systemets målte kvantetilstand . Som en konsekvens kan kun visse målinger bestemme værdien af en observerbar for en tilstand af et kvantesystem. I klassisk mekanik kan enhver måling foretages for at bestemme værdien af en observerbar.

Forholdet mellem tilstanden i et kvantesystem og værdien af en observerbar kræver en vis lineær algebra til beskrivelsen. I matematiske formulering af kvantemekanikken , er tilstande givet ved ikke-nul vektorer i en Hilbert rum V . To vektorer v og w anses for at angive den samme tilstand, hvis og kun hvis for nogle ikke-nul . Observable er givet ved selvadjungerede operatører på V . Men som angivet nedenfor svarer ikke alle selvtilstødende operatører til en fysisk meningsfuld observerbar. I tilfælde af et partikelsystem består rummet V af funktioner kaldet bølgefunktioner eller tilstandsvektorer . ${\ displaystyle \ mathbf {w} = c \ mathbf {v}}$ ${\ displaystyle c \ in \ mathbb {C}}$

I tilfælde af omdannelsesprodukter love i kvantemekanikken de nødvendige automorphisms er ét stykke (eller antiunitary ) lineær transformationer af Hilbert rummet V . Under galilisk relativitet eller særlig relativitet er matematikken i referencerammer særlig enkel, hvilket begrænser mængden af fysisk betydningsfulde observerbare betydeligt.

I kvantemekanikken udviser måling af observerbare ting nogle tilsyneladende uintuitive egenskaber. Specifikt, hvis et system er i en tilstand, der er beskrevet af en vektor i et Hilbert-rum , påvirker måleprocessen tilstanden på en ikke-deterministisk, men statistisk forudsigelig måde. Især efter at en måling er påført, kan tilstandsbeskrivelsen af en enkelt vektor blive ødelagt og blive erstattet af et statistisk ensemble . Den irreversible karakter af måleoperationer i kvantefysik kaldes undertiden måleproblemet og beskrives matematisk ved hjælp af kvanteoperationer . Ved strukturen i kvanteoperationer er denne beskrivelse matematisk ækvivalent med den, der tilbydes ved relativ tilstandstolkning, hvor det originale system betragtes som et undersystem i et større system, og tilstanden i det originale system er givet af det delvise spor af tilstanden i større system.

I kvantemekanik er dynamiske variabler som position, translationel (lineær) momentum , orbital vinkelmoment , spin og total vinkelmoment hver forbundet med en hermitisk operatør, der virker på kvantesystemets tilstand . De egenværdierne af operatøren svarer til de mulige værdier, som dynamiske variable kan observeres som havende. Antag for eksempel en egenket ( egenvektor ) af det observerbare med egenværdi og eksisterer i et Hilbert -rum . Derefter ${\ displaystyle A}$ ${\ displaystyle {\ hat {A}}}$ ${\ displaystyle {\ hat {A}}}$ ${\ displaystyle | \ psi _ {a} \ rangle}$ ${\ displaystyle {\ hat {A}}}$ ${\ displaystyle a}$

{\ displaystyle {\ hat {A}} | \ psi _ {a} \ rangle = a | \ psi _ {a} \ rangle.}

Denne egenket -ligning siger, at hvis en måling af det observerbare foretages, mens interessesystemet er i staten , skal den observerede værdi af den pågældende måling med sikkerhed returnere egenværdien . Men hvis interessesystemet er i den generelle tilstand , returneres egenværdien med sandsynlighed af Born -reglen . ${\ displaystyle {\ hat {A}}}$ ${\ displaystyle | \ psi _ {a} \ rangle}$ ${\ displaystyle a}$ ${\ displaystyle | \ phi \ rangle \ i {\ mathcal {H}}}$ ${\ displaystyle a}$ ${\ displaystyle | \ langle \ psi _ {a} | \ phi \ rangle |^{2}}$

Ovenstående definition er noget afhængig af vores konvention om at vælge reelle tal til at repræsentere reelle fysiske størrelser . Bare fordi dynamiske variabler er "reelle" og ikke "uvirkelige" i metafysisk forstand, betyder det ikke, at de skal svare til reelle tal i matematisk forstand.

For at være mere præcis er den dynamiske variabel/observerbar en selvtilstødende operatør i et Hilbert-rum.

Operatører på begrænsede og uendelige dimensionelle Hilbert -rum

Observerbare kan repræsenteres af en hermitisk matrix, hvis Hilbert-rummet er endeligt-dimensionelt. I et uendeligt dimensionelt Hilbert-rum repræsenteres det observerbare af en symmetrisk operator , som muligvis ikke er defineret overalt . Årsagen til en sådan ændring er, at i et uendeligt-dimensionelt Hilbert-rum kan den observerbare operator blive ubegrænset , hvilket betyder, at den ikke længere har den største egenværdi. Dette er ikke tilfældet i et endeligt-dimensionelt Hilbert-rum: en operator kan ikke have flere egenværdier end dimensionen af den tilstand, den virker på, og ved den velordnede egenskab har ethvert endelig sæt af reelle tal et største element. For eksempel kan positionen af en punktpartikel, der bevæger sig langs en linje, tage et hvilket som helst reelt tal som sin værdi, og mængden af reelle tal er utalligt uendelig . Da egenværdien af en observerbar repræsenterer en mulig fysisk mængde, som dens tilsvarende dynamiske variabel kan indtage, må vi konkludere, at der ikke er nogen største egenværdi for den position, der kan observeres i dette utallige uendelige dimensionelle Hilbert-rum.

Uforenelighed med observerbare i kvantemekanik

En afgørende forskel mellem klassiske størrelser og kvantemekaniske observerbare er, at sidstnævnte muligvis ikke kan måles samtidigt, en egenskab kaldet komplementaritet . Dette udtrykkes matematisk ved ikke- kommutativitet hos de tilsvarende operatører, således at kommutatoren

{\ displaystyle \ left [{\ hat {A}}, {\ hat {B}} \ right]: = {\ hat {A}} {\ hat {B}}-{\ hat {B}} {\ hat {A}} \ neq {\ hat {0}}.}

Denne ulighed udtrykker en afhængighed af måleresultater af den rækkefølge, hvor målinger af observerbare og udføres. Observerbare enheder svarende til ikke-pendlende operatører kaldes inkompatible observerbare . Inkompatible observerbare må ikke have et komplet sæt af fælles egenfunktioner . Bemærk, at der kan være nogle samtidige egenvektorer af og , men ikke nok i antal til at danne et fuldstændigt grundlag . ${\ displaystyle {\ hat {A}}}$ ${\ displaystyle {\ hat {B}}}$ ${\ displaystyle {\ hat {A}}}$ ${\ displaystyle {\ hat {B}}}$

Se også

Yderligere læsning

Auyang, Sunny Y. (1995). Hvordan er kvantefeltteori mulig? . New York, NY: Oxford University Press. ISBN 978-0195093452.
Ballentine, Leslie E. (2014). Kvantemekanik: en moderne udvikling (Repr. Red.). World Scientific Publishing Co. ISBN 9789814578608.
von Neumann, John (1996). Matematiske grundlag for kvantemekanik . Oversat af Robert T. Beyer (12. print., 1. paperback print. Red.). Princeton, NJ: Princeton Univ. Trykke. ISBN 978-0691028934.
Varadarajan, VS (2007). Kvantetoriens geometri (2. udgave). New York: Springer. ISBN 9780387493862.
Weyl, Hermann (2009). "Tillæg C: Kvantfysik og kausalitet". Matematik og naturvidenskabens filosofi . Revideret og udvidet engelsk udgave baseret på en oversættelse af Olaf Helmer. Princeton, NJ: Princeton University Press. s. 253–265. ISBN 9780691141206.
Claude Cohen-Tannoudji; Bernard Diu; Franck Laloë (4. december 2019). Quantum Mechanics, bind 1: Grundlæggende begreber, værktøjer og applikationer . Wiley. ISBN 978-3-527-34553-3.
David J. Griffiths (2017). Introduktion til kvantemekanik . Cambridge University Press. ISBN 978-1-107-17986-8.

^ Griffiths, David J. (2017). Introduktion til kvantemekanik . Cambridge University Press. s. 111. ISBN 978-1-107-17986-8.
^ Cohen-Tannoudji, Claude; Diu, Bernard; Laloë, Franck (2019-12-04). Quantum Mechanics, bind 1: Grundlæggende begreber, værktøjer og applikationer . Wiley. s. 232. ISBN 978-3-527-34553-3.

[1] Griffiths, David J. (2017). Introduktion til kvantemekanik . Cambridge University Press. s. 111. ISBN 978-1-107-17986-8.

[2] Cohen-Tannoudji, Claude; Diu, Bernard; Laloë, Franck (2019-12-04). Quantum Mechanics, bind 1: Grundlæggende begreber, værktøjer og applikationer . Wiley. s. 232. ISBN 978-3-527-34553-3.

Languages

In other projects