Parametrisk oscillator - Parametric oscillator
En parametrisk oscillator er en drevet harmonisk oscillator, i hvilken oscillationerne drives ved at variere en eller anden parameter i systemet med en eller anden frekvens, typisk forskellig fra oscillatorens naturlige frekvens . Et simpelt eksempel på en parametrisk oscillator er et barn, der pumper en legepladsvinge ved periodisk at stå og sidde på huk for at øge størrelsen på svingets svingninger. Barnets bevægelser varierer svingens inertimoment som et pendul . Barnets "pumpe" -bevægelser skal være dobbelt så hyppige som svingningens svingninger. Eksempler på parametre, der kan varieres, er oscillatorens resonansfrekvens og dæmpning .
Parametriske oscillatorer anvendes i flere fysiske områder. Den klassiske varactor parametriske oscillator består af en halvleder varactor diode forbundet til et resonanskredsløb eller hulrumsresonator . Det drives af at variere diodens kapacitans ved at anvende en varierende forspænding . Kredsløbet, der varierer diodens kapacitans, kaldes "pumpe" eller "driver". I mikrobølgeelektronik fungerer bølgeleder / YAG- baserede parametriske oscillatorer på samme måde. Et andet vigtigt eksempel er optisk parametrisk oscillator , som konverterer et input laser lysbølge i to output bølger af lavere frekvens ( ).
Når den drives ved pumpeniveauer under oscillation, kan den parametriske oscillator forstærke et signal og danne en parametrisk forstærker ( paramp ). Varactor parametriske forstærkere blev udviklet som støjsvage forstærkere i radio- og mikrobølgefrekvensområdet. Fordelen ved en parametrisk forstærker er, at den har meget lavere støj end en forstærker baseret på en forstærkningsenhed som en transistor eller et vakuumrør . Dette skyldes, at i den parametriske forstærker varieres en reaktans i stedet for en (støjproducerende) modstand . De bruges i radiomodtagere med meget lav støj i radioteleskoper og rumfartøjskommunikationsantenner .
Parametrisk resonans forekommer i et mekanisk system, når et system er parametrisk ophidset og svinger ved en af dets resonansfrekvenser. Parametrisk excitation adskiller sig fra tvang, da handlingen vises som en tidsvarierende ændring af en systemparameter.
Historie
Parametriske svingninger blev først bemærket i mekanikken. Michael Faraday (1831) var den første til at bemærke svingninger af en frekvens, der blev ophidset af kræfter med dobbelt så høj frekvens, i crispations (ruffede overfladebølger) observeret i et vinglas spændt på at "synge". Franz Melde (1860) genererede parametriske svingninger i en streng ved at anvende en tuninggaffel til periodisk at variere spændingen ved to gange strengets resonansfrekvens. Parametrisk svingning blev først behandlet som et generelt fænomen af Rayleigh (1883,1887).
En af de første til at anvende konceptet på elektriske kredsløb var George Francis FitzGerald , som i 1892 forsøgte at vække svingninger i et LC-kredsløb ved at pumpe det med en varierende induktans fra en dynamo. Parametriske forstærkere ( paramps ) blev første gang brugt i 1913 til 1915 til radiotelefoni fra Berlin til Wien og Moskva, og blev forudsagt at have en nyttig fremtid ( Ernst Alexanderson 1916). Disse tidlige parametriske forstærkere anvendes nonlinearity af en jernkerne induktor , så de kunne kun fungere ved lave frekvenser.
I 1948 påpegede Aldert van der Ziel en stor fordel ved den parametriske forstærker: fordi den brugte en variabel reaktans i stedet for en modstand til forstærkning, den havde i sig selv lav støj. En parametrisk forstærker, der blev brugt som frontenden af en radiomodtager, kunne forstærke et svagt signal, mens der blev introduceret meget lidt støj. I 1952 udvidede Harrison Rowe hos Bell Labs noget matematisk arbejde fra 1934 med pumpede svingninger af Jack Manley og offentliggjorde den moderne matematiske teori om parametriske svingninger, Manley-Rowe-forholdet .
Den varactordioden opfundet i 1956 havde en ikke-lineær kapacitans, der var brugbare i mikrobølgefrekvenser. Varactor parametrisk forstærker blev udviklet af Marion Hines i 1956 hos Western Electric . På det tidspunkt, hvor det blev opfundet, blev mikrobølger lige udnyttet, og varaktorforstærkeren var den første halvlederforstærker ved mikrobølgefrekvenser. Den blev anvendt til lav støj radiomodtagere på mange områder, og har været meget anvendt i radioteleskoper , satellit jordstationer og langtrækkende radar . Det er den vigtigste type parametrisk forstærker, der bruges i dag. Siden den tid er parametriske forstærkere blevet bygget med andre ikke-lineære aktive enheder såsom Josephson-kryds .
Teknikken er blevet udvidet til at omfatte optiske frekvenser i optiske parametriske oscillatorer og forstærkere, der bruger ikke-lineære krystaller som det aktive element.
Matematisk analyse
En parametrisk oscillator er en harmonisk oscillator, hvis fysiske egenskaber varierer med tiden. Ligningen af en sådan oscillator er
Denne ligning er lineær i . Ved antagelse, parametrene og kun afhænger tid og ikke afhænge af tilstanden af oscillator. Generelt og antages det at variere periodisk med samme periode .
Hvis parametrene varierer med omtrent det dobbelte af den naturlige frekvens af oscillatoren (defineret nedenfor), oscillatoren faselåses til den parametriske variation og absorberer energi med en hastighed, der er proportional med den energi, den allerede har. Uden en kompenserende energitabsmekanisme, der leveres af , vokser svingningsamplituden eksponentielt. (Dette fænomen kaldes parametrisk excitation , parametrisk resonans eller parametrisk pumpning .) Hvis den indledende amplitude imidlertid er nul, forbliver den sådan; dette adskiller det fra den ikke-parametriske resonans af drevne enkle harmoniske oscillatorer , hvor amplituden vokser lineært i tid uanset den oprindelige tilstand.
En velkendt oplevelse af både parametrisk og drevet svingning spiller på en gynge. Vippende frem og tilbage pumper svinget som en drevet harmonisk oscillator , men når den er i bevægelse, kan svingen også drives parametrisk ved skiftevis at stå og sidde på huk ved nøglepunkter i svingbuen. Dette ændrer svingens inertimoment og dermed resonansfrekvensen, og børn kan hurtigt nå store amplituder forudsat at de har en vis amplitude til at begynde med (fx få et skub). Stående og huk i hvile fører dog ingen steder.
Transformation af ligningen
Vi begynder med at foretage en ændring af variabler
hvor er en tidsintegral af dæmpningen
- .
Denne ændring af variabler eliminerer dæmpningsperioden
hvor den transformerede frekvens er defineret
- .
Generelt er variationerne i dæmpning og frekvens relativt små forstyrrelser
hvor og er konstanter, nemlig henholdsvis den tidsmæssige oscillatorfrekvens og dæmpning.
Den transformerede frekvens kan skrives på en lignende måde:
- ,
hvor er den naturlige frekvens af den dæmpede harmoniske oscillator
og
- .
Således kan vores transformerede ligning skrives
- .
De uafhængige variationer og henholdsvis oscillatordæmpning og resonansfrekvens kan kombineres til en enkelt pumpefunktion . Den omvendte konklusion er, at enhver form for parametrisk excitation kan opnås ved at variere enten resonansfrekvensen eller dæmpningen eller begge dele.
Løsning af den transformerede ligning
Lad os antage, at det specifikt er sinusformet
hvor pumpefrekvensen, men ikke behøver at være nøjagtig. Løsningen på vores transformerede ligning kan skrives
hvor de hurtigt varierende komponenter er blevet udtænkt ( og ) for at isolere de langsomt varierende amplituder og . Dette svarer til Laplaces variation af parametre metode.
Ved at erstatte denne løsning i den transformerede ligning og kun beholde udtrykkene første orden i giver to koblede ligninger
Disse ligninger kan afkobles og løses ved at foretage en anden ændring af variabler
som giver ligningerne
hvor følgende for kortfattethed er defineret
og afstemningen
- .
Den ligning afhænger ikke , og linearisering nær dens ligevægtsstilling viser, at henfalder eksponentielt til sin ligevægt
hvor henfaldet konstant
- .
Med andre ord, den parametriske oscillator faselåses til pumpesignalet .
Tager (dvs. forudsat at fasen er låst), bliver ligningen
hvis løsning er ; svingningens amplitude afviger eksponentielt. Den tilsvarende amplitude af den ikke-transformerede variabel behøver imidlertid ikke at afvige
Amplituden divergerer, henfalder eller forbliver konstant, afhængigt af om den er henholdsvis større end, mindre end eller lig med .
Den maksimale amplitude af væksten opstår, når . Ved denne frekvens er ligevægtsfasen nul, hvilket antyder, at og . Som varieret fra , bevæger sig væk fra nul, og dvs. amplituden vokser langsommere. For tilstrækkeligt store afvigelser fra kan henfaldskonstanten blive rent imaginær siden
- .
Hvis afstemningen overstiger , bliver den rent imaginær og varierer sinusformet. Ved hjælp af definitionen af afstemningen skal pumpefrekvensen ligge mellem og for at opnå eksponentiel vækst i . Ekspanderende kvadratrødderne i en binomial serie viser, at spredningen i pumpe frekvenser, der resulterer i eksponentielt voksende er ca. .
Intuitiv afledning af parametrisk excitation
Ovenstående afledning kan virke som en matematisk håndflade, så det kan være nyttigt at give en intuitiv afledning. Den ligning kan skrives i form
der repræsenterer en simpel harmonisk oscillator (eller alternativt et båndpasfilter ), der drives af et signal, der er proportionalt med dets respons .
Antag, at der allerede har en svingning ved frekvens, og at pumpningen har dobbelt frekvens og en lille amplitude . Anvendelse af en trigonometrisk identitet for produkter af sinusoider, deres produkt producerer to kørselssignaler, den ene med frekvens og den anden med frekvens
At være off-resonans, dæmpes signalet og kan forsømmes i starten. Derimod er signalet på resonans, tjener til at forstærke og er proportionalt med amplituden . Derfor vokser amplituden eksponentielt, medmindre den oprindeligt er nul.
Udtrykt i Fourier-rum er multiplikationen en sammenblanding af deres Fourier-transformationer og . Den positive feedback opstår, fordi komponenten konverterer komponenten til et kørselssignal ved og omvendt (omvendt tegnene). Dette forklarer, hvorfor pumpefrekvensen skal være nær , det dobbelte af oscillatorens naturlige frekvens. Pumpning med en meget forskellig frekvens vil ikke parre (dvs. give gensidig positiv feedback) mellem og komponenterne i .
Parametrisk resonans
Parametrisk resonans er den parametriske resonans fænomen af mekanisk perturbation og svingning ved bestemte frekvenser (og de tilhørende harmoniske ). Denne effekt er forskellig fra regelmæssig resonans, fordi den udviser ustabilitetsfænomenet .
Parametrisk resonans forekommer i et mekanisk system, når et system er parametrisk ophidset og svinger ved en af dets resonansfrekvenser. Parametrisk resonans finder sted, når den eksterne exciteringsfrekvens er lig med det dobbelte af systemets naturlige frekvens. Parametrisk excitation adskiller sig fra tvang, da handlingen vises som en tidsvarierende ændring af en systemparameter. Det klassiske eksempel på parametrisk resonans er det lodret tvungne pendul.
For små amplituder og ved linearisering er stabiliteten af den periodiske opløsning givet af Mathieus ligning :
hvor er noget forstyrrelse fra den periodiske løsning. Her fungerer udtrykket som en 'energikilde' og siges at vække systemet parametrisk. Mathieu-ligningen beskriver mange andre fysiske systemer til en sinusformet parametrisk excitation, såsom et LC-kredsløb, hvor kondensatorpladerne bevæger sig sinusformet.
Parametriske forstærkere
Introduktion
En parametrisk forstærker er implementeret som en mixer . Mixerens forstærkning vises i output som forstærkerforstærkning. Det svage indgangssignal blandes med et stærkt lokalt oscillatorsignal, og det resulterende stærke output bruges i de efterfølgende modtagertrin.
Parametriske forstærkere fungerer også ved at ændre en parameter på forstærkeren. Intuitivt kan dette forstås som følger for en variabel kondensatorbaseret forstærker. Opladning i en kondensator adlyder:
derfor er spændingen over
At kende ovenstående, hvis en kondensator er opladet, indtil dens spænding svarer til den samplede spænding for et indgående svagt signal, og hvis kondensatorens kapacitans derefter reduceres (f.eks. Ved manuelt at flytte pladerne længere fra hinanden), vil spændingen over kondensatoren stige . På denne måde forstærkes spændingen i det svage signal.
Hvis kondensatoren er en varicap-diode , kan "bevægelse af pladerne" gøres simpelthen ved at anvende tidsvarierende DC-spænding på varicap-dioden. Denne kørselsspænding kommer normalt fra en anden oscillator - undertiden kaldet en "pumpe".
Det resulterende udgangssignal indeholder frekvenser, der er summen og forskellen mellem indgangssignalet (f1) og pumpesignalet (f2): (f1 + f2) og (f1 - f2).
En praktisk parametrisk oscillator har brug for følgende tilslutninger: en til den "fælles" eller " jord ", en til at fremføre pumpen, en til at hente output og måske en fjerde til forspænding. En parametrisk forstærker har brug for en femte port for at indlæse det signal, der forstærkes. Da en varaktordiode kun har to forbindelser, kan den kun være en del af et LC-netværk med fire egenvektorer med noder ved forbindelserne. Dette kan implementeres som en transimpedansforstærker , en vandrende bølgeforstærker eller ved hjælp af en cirkulator .
Matematisk ligning
Den parametriske oscillatorligning kan udvides ved at tilføje en ekstern drivkraft :
- .
Vi antager, at dæmpningen er tilstrækkelig stærk, at i mangel af den drivende kraft , amplituden af de parametriske svingninger ikke afviger, dvs at . I denne situation virker den parametriske pumpning til at sænke den effektive dæmpning i systemet. Til illustration lad dæmpningen konstant og antager, at den eksterne drivkraft er en gennemsnitsværdi resonansfrekvens , dvs. . Ligningen bliver
hvis løsning er omtrent
- .
Når det nærmer sig tærsklen , adskiller amplituden sig. Når systemet går ind i parametrisk resonans, og amplituden begynder at vokse eksponentielt, selv i fravær af en drivkraft .
Fordele
- Det er meget følsomt
- forstærker med lavt støjniveau til ultrahøjfrekvent og mikrobølgeradio
- Den unikke evne til at fungere som en trådløs drevet forstærker, der ikke kræver intern strømkilde
Andre relevante matematiske resultater
Hvis parametrene for en andenordens lineær differentialligning varieres periodisk, viser Floquet-analyse , at opløsningerne skal variere enten sinusformet eller eksponentielt.
Den ovenstående ligning med periodisk varierende er et eksempel på en Hill-ligningen . Hvis er en simpel sinusform, kaldes ligningen en Mathieu-ligning .
Se også
Referencer
Yderligere læsning
- Kühn L. (1914) Elektrotech. Z. , 35 , 816-819.
- Mumford, WW (1960). "Nogle bemærkninger om parametriske transducers historie". Procedurer fra Institute of Radio Engineers . 48 (5): 848-853. doi : 10.1109 / jrproc.1960.287620 . S2CID 51646108 .
- Pungs L. DRGM Nr. 588 822 (24. oktober 1913); DRP Nr. 281440 (1913); Elektrotech. Z. , 44 , 78-81 (1923?); Proc. IRE , 49 , 378 (1961).
Eksterne artikler
- Elmer, Franz-Josef, " Parametric Resonance Pendulum Lab University of Basel ". unibas.ch, 20. juli 1998.
- Cooper, Jeffery, " Parametrisk resonans i bølgeligninger med et tidsperiodisk potentiale ". SIAM Journal om matematisk analyse, bind 31, nummer 4, s. 821–835. Society for Industrial and Applied Mathematics, 2000.
- " Driven Pendulum: Parametrisk resonans ". phys.cmu.edu (demonstration af fysisk mekanik eller klassisk mekanik. Resonanssvingninger oprettet i et simpelt pendul via periodisk varierende pendellængde.)
- Mumford, WW, " Nogle noter om parametriske transducers historie ". Proceedings of the IRE, bind 98, nummer 5, s. 848–853. Institute of Electrical and Electronics Engineers, maj 1960.