Kvotientrum (lineær algebra) - Quotient space (linear algebra)

Denne artikel handler om kvotienter i vektorrum. For kvotioner af topologiske rum, se Kvotientrum (topologi) .

I lineær algebra er kvotienten af et vektorrum V ved et underrum N et vektorrum opnået ved at "kollapse" N til nul. Det opnåede rum kaldes et kvotrum og betegnes V / N (læs V mod N eller V med N ).

Definition

Formelt er konstruktionen som følger. Lad V være et vektorrum over et felt K , og lad N være et underrum af V . Vi definerer en ækvivalensrelation ~ på V med, at x ~ y hvis x - y ∈ N . Det vil sige, x er relateret til y , hvis man kan opnås ud fra den anden ved at tilføje et element af N . Ud fra denne definition kan man udlede, at ethvert element i N er relateret til nulvektoren; mere præcist bliver alle vektorerne i N kortlagt til nulvektorens ækvivalensklasse.

Den ækvivalens klasse (eller i dette tilfælde, den sidegruppe ) af x er ofte betegnet

[ x ] = x + N

da det er givet af

[ x ] = { x + n  : n ∈ N }.

Kvotionsrummet V / N defineres derefter som V / ~, sættet af alle ækvivalensklasser over V med ~. Skalær multiplikation og addition er defineret på ækvivalensklasserne ved

  • α [ x ] = [α x ] for alle α ∈ K , og
  • [ x ] + [ y ] = [ x + y ].

Det er ikke svært at kontrollere, at disse operationer er veldefinerede (dvs. ikke afhænger af valget af repræsentant ). Disse operationer gør kvotrummet V / N til et vektorrum over K med N som nulklassen, [0].

Kortlægningen, der knytter sig til v ∈ V ækvivalensklassen [ v ], er kendt som kvotientkortet .

Alternativt formuleret er kvotrummet sættet af alle affine undersæt, som er parallelle med .

Eksempler

Lad X = R 2 være standard kartesiske plan, og lad Y være en linje gennem oprindelsen i X . Derefter kvotientrummet X / Y kan identificeres med rummet af alle linier i X der er parallelle med Y . Det vil sige, at elementerne i sættet X / Y er linier i X parallelt med Y . Bemærk, at de punkter langs en hvilken som helst sådan linje vil tilfredsstille ækvivalensrelationen fordi deres forskel vektorer tilhører Y . Dette giver en måde, hvorpå man kan visualisere kvotientrum geometrisk. (Ved at omparametere disse linjer kan kvotrummet mere konventionelt repræsenteres som rummet for alle punkter langs en linje gennem oprindelsen, der ikke er parallel med Y. På samme måde kan kvotrummet for R 3 ved en linje gennem oprindelsen igen repræsenteres som sættet af alle co-parallelle linjer, eller alternativt repræsenteres som vektorrummet, der består af et plan, der kun skærer linjen ved oprindelsen.)

Et andet eksempel er kvotienten af R n i underrummet, der spænder over de første m standardbasisvektorer. Mellemrummet R n består af alle n -typer af reelle tal ( x 1 ,…, x n ) . Underrummet, der er konstateret med R m , består af alle n -tuples således at den sidste n - m indgange er nul: ( x 1 , ..., x m , 0, 0, ..., 0) . To vektorer af R n er i samme kongruensklasse modulo underrummet, hvis og kun hvis de er identiske i de sidste n - m koordinater. Kvotionsrummet R n / R m er isomorft for R n - m på en indlysende måde.

Mere generelt, hvis V er en (intern) direkte sum af underrum U og W,

derefter kvotientrummet V / U er naturligt isomorf til W .

Et vigtigt eksempel på et funktionelt kvotrum er et L p -rum .

Ejendomme

Der er en naturlig epimorfisme fra V til kvotrummet V / U givet ved at sende x til dens ækvivalensklasse [ x ]. Den kerne (eller nullspace) af denne epimorphism er underrum U . Dette forhold opsummeres pænt med den korte nøjagtige sekvens

Hvis U er et underrum af V , den dimension af V / U kaldes codimension af U i V . Da et grundlag for V kan konstrueres ud fra et grundlag A for U og et grundlag B for V / U ved at tilføje en repræsentant for hvert element af B til A , er dimensionen af V summen af ​​dimensionerne af U og V / U . Hvis V er endelig-dimensionel , følger det, at kodimensionen af U i V er forskellen mellem dimensionerne af V og U :

Lad T  : V → W være en lineær operator . Kernen af T , betegnet ker ( T ), er det sæt af alle x ∈ V , således at Tx = 0. Kernen er et underrum af V . Den første isomorfi sætning af lineær algebra siger, at kvotientrummet V / ker ( T ) er isomorf til billedet af V i W . En umiddelbar konsekvens for endelige-dimensionelle rum er rang-nullitet-sætningen : dimensionen af V er lig med dimensionen af ​​kernen ( nulliteten af T ) plus billedets dimension ( rækken af T ).

Den cokernel af en lineær operator T  : V → W er defineret til at være kvotientrummet W / im ( T ).

Kvotient af et Banach -rum ved et underrum

Hvis X er et Banach -rum og M er et lukket underrum af X , så er kvotienten X / M igen et Banach -rum. Kvotrummet er allerede udstyret med en vektorrumsstruktur ved konstruktionen af ​​det foregående afsnit. Vi definerer en norm på X / M ved

Når X er færdig, kvotientrummet X / M er komplet med hensyn til normen, og derfor en Banachrumsteori.

Eksempler

Lad C [0,1] betegne Banach-rummet for kontinuerlige realværdierede funktioner på intervallet [0,1] med sup-normen . Betegne underrum af alle funktioner f ∈ C [0,1] med f (0) = 0 ved M . Derefter ækvivalens klasse af en funktion g bestemmes af dets værdi på 0, og kvotientrummet C [0,1] /  M er isomorf til R .

Hvis X er en Hilbert rum , så kvotienten rum X / M er isomorf til den ortogonale komplement af M .

Generalisering til lokalt konvekse rum

Kvoten for et lokalt konveks rum ved et lukket underrum er igen lokalt konveks. Antag faktisk, at X er lokalt konveks, så topologien på X genereres af en familie af seminorme { p α  | α ∈  A } hvor A er et indekssæt. Lad M være et lukket underrum, og definer seminorme q α på X / M ved

Så er X / M et lokalt konveks rum, og topologien på det er kvotientopologien .

Hvis X desuden kan måles , så er X / M det også . Hvis X er et Fréchet -rum , så er X / M det også .

Se også

Referencer

  1. ^ Halmos (1974) s. 33-34 §§ 21-22
  2. ^ Katznelson & Katznelson (2008) s. 9 § 1.2.4
  3. ^ Roman (2005) s. 75-76, kap. 3
  4. ^ Axler (2015) s. 95, § 3.83
  5. ^ Halmos (1974) s. 34, § 22, sætning 1
  6. ^ Axler (2015) s. 97, § 3.89
  7. ^ Halmos (1974) s. 34, § 22, sætning 2
  8. ^ Dieudonné (1976) s. 65, § 12.14.8
  9. ^ Dieudonné (1976) s. 54, § 12.11.3

Kilder

  • Axler, Sheldon (2015). Lineær algebra udført til højre . Bachelor Tekster i matematik (3. udgave). Springer . ISBN 978-3-319-11079-0.
  • Dieudonné, Jean (1976), Treatise on Analysis , 2 , Academic Press , ISBN 978-0122155024
  • Halmos, Paul Richard (1974) [1958]. Endelige-dimensionelle vektorrum . Bachelor -tekster i matematik (2. udgave). Springer . ISBN 0-387-90093-4.
  • Katznelson, Yitzhak ; Katznelson, Yonatan R. (2008). A (Terse) Introduktion til lineær algebra . American Mathematical Society . ISBN 978-0-8218-4419-9.
  • Roman, Steven (2005). Avanceret lineær algebra . Kandidattekster i matematik (2. udgave). Springer . ISBN 0-387-24766-1.