Glidefunktionskontrol - Sliding mode control

I kontrolsystemer er glidefunktionskontrol ( SMC ) en ikke-lineær styringsmetode , der ændrer dynamikken i et ikke-lineært system ved at anvende et diskontinuerligt styresignal (eller mere stringent, et værdisat styresignal), der tvinger systemet til at "glide" langs et tværsnit af systemets normale adfærd. Den tilstand - feedback- kontrol loven er ikke en kontinuerlig funktion af tid. I stedet kan den skifte fra en kontinuerlig struktur til en anden baseret på den aktuelle position i statsrummet. Derfor er glidefunktionskontrol en kontrolmetode med variabel struktur . De flere kontrolstrukturer er designet, så baner altid bevæger sig mod et tilstødende område med en anden kontrolstruktur, og så vil den ultimative bane ikke eksistere helt inden for en kontrolstruktur. I stedet vil det glide langs grænserne for kontrolstrukturerne. Systemets bevægelse, når det glider langs disse grænser, kaldes en glidende tilstand, og det geometriske sted, der består af grænserne, kaldes den glidende (hyper) overflade . I forbindelse med moderne kontrolteori kan ethvert variabelt struktursystem , ligesom et system under SMC, ses som et specielt tilfælde af et hybrid dynamisk system, da systemet både flyder gennem et kontinuerligt tilstandsrum, men også bevæger sig gennem forskellige diskrete styremåder.

Introduktion

Figur 1: Fase plan bane af et system, der stabiliseres af en glidende funktionsstyreenhed. Efter den indledende nåfase angiver systemet "dias" langs linjen . Den særlige overflade er valgt, fordi den har ønskelig dynamik i reduceret orden, når den er begrænset til den. I dette tilfælde svarer overfladen til førsteordens LTI-system , som har en eksponentielt stabil oprindelse.${\ displaystyle s = 0}$${\ displaystyle s = 0}$${\ displaystyle s = x_ {1}+{\ dot {x}} _ {1} = 0}$ ${\ displaystyle {\ dot {x}} _ {1} =-x_ {1}}$

Figur 1 viser et eksempel på en bane for et system under kontrol af glidemåde. Glidefladen er beskrevet af , og glidefunktionen langs overfladen begynder efter den endelige tid, når systembaner har nået overfladen. I den teoretiske beskrivelse af glidemåder forbliver systemet begrænset til glidefladen og behøver kun ses som glidende langs overfladen. Imidlertid tilnærmer reelle implementeringer af glidefunktionskontrol denne teoretiske adfærd med et højfrekvent og generelt ikke-deterministisk koblingsstyresignal, der får systemet til at "snakke" i et tæt område af glidefladen. Chattering kan reduceres ved brug af dødbånd eller grænselag omkring glidefladen eller andre kompenserende metoder. Selvom systemet generelt er ikke-lineært, er systemets idealiserede (dvs. ikke-snak) adfærd i figur 1, når det er begrænset til overfladen, et LTI-system med en eksponentielt stabil oprindelse. ${\ displaystyle s = 0}$${\ displaystyle s = 0}$

Intuitivt bruger glidefunktionskontrol praktisk talt uendelig forstærkning til at tvinge et dynamisk systems baner til at glide langs det begrænsede glidemodus -underrum. Baner fra denne glidemåde i reduceret orden har ønskelige egenskaber (f.eks. Glider systemet naturligt langs det, indtil det hviler ved en ønsket ligevægt ). Hovedstyrken ved glidefunktionskontrol er dens robusthed . Fordi styringen kan være så enkel som at skifte mellem to tilstande (f.eks. "Til"/"fra" eller "fremad"/"baglæns"), behøver den ikke at være præcis og vil ikke være følsom over for parametervariationer, der indtræder i kontrolkanal. Fordi kontrolloven ikke er en kontinuerlig funktion , kan glidefunktionen desuden nås på en endelig tid (dvs. bedre end asymptotisk adfærd). Under visse fælles betingelser kræver optimalitet brug af bang -bang -kontrol ; derfor beskriver glidefunktionskontrol den optimale controller til et bredt sæt dynamiske systemer.

En anvendelse af glidemodus -controller er styringen af ​​elektriske drev, der drives af switchende effektomformere. På grund af disse konverters diskontinuerlige driftstilstand er en diskontinuerlig glidemodulstyring et naturligt implementeringsvalg frem for kontinuerlige controllere, der muligvis skal anvendes ved hjælp af pulsbreddemodulation eller en lignende teknik til at anvende et kontinuerligt signal til en udgang, der kan kun tage diskrete stater. Glidefunktionskontrol har mange applikationer inden for robotik. Især er denne kontrolalgoritme blevet brugt til at spore kontrol af ubemandede overfladefartøjer i simuleret groft hav med høj grad af succes.

Glidefunktionskontrol skal anvendes med større omhu end andre former for ikke -lineær kontrol, der har mere moderat kontrolhandling. Fordi aktuatorer især har forsinkelser og andre ufuldkommenheder, kan den hårde glidende tilstandsstyring føre til snak, energitab, planteskader og ophidselse af umodelleret dynamik. Kontinuerlige kontroldesignmetoder er ikke så modtagelige for disse problemer og kan gøres til at efterligne glidemodus-controllere.

Kontrolordning

Overvej et ikke -lineært dynamisk system beskrevet af

hvor

${\ displaystyle \ mathbf {x} (t) \ triangleq {\ begin {bmatrix} x_ {1} (t) \\ x_ {2} (t) \\\ vdots \\ x_ {n-1} (t) \\ x_ {n} (t) \ end {bmatrix}} \ in \ mathbb {R} ^{n}}$

er en n -dimensional tilstand vektor og

${\ displaystyle \ mathbf {u} (t) \ triangleq {\ begin {bmatrix} u_ {1} (t) \\ u_ {2} (t) \\\ vdots \\ u_ {m-1} (t) \\ u_ {m} (t) \ end {bmatrix}} \ in \ mathbb {R} ^{m}}$

er en m -dimensionale indgangsvektor, som vil blive anvendt til tilstand tilbagemelding . De funktioner og antages at være konstant og tilstrækkeligt glat , således at Picard-Lindelöf teorem kan bruges til at sikre, at opløsning til ligning ( 1 ) eksisterer og er unik . ${\ displaystyle f: \ mathbb {R} ^{n} \ times \ mathbb {R} \ to \ mathbb {R} ^{n}}$${\ displaystyle B: \ mathbb {R} ^{n} \ times \ mathbb {R} \ to \ mathbb {R} ^{n \ times m}}$${\ displaystyle \ mathbf {x} (t)}$

En fælles opgave er at designe en lov om tilbagekobling af staten (dvs. en kortlægning fra den aktuelle tilstand på tidspunktet t til input ) for at stabilisere det dynamiske system i ligning ( 1 ) omkring oprindelsen . Det vil sige under kontrolloven, når systemet startes væk fra oprindelsen, vil det vende tilbage til det. F.eks. Kan komponenten i tilstandsvektoren repræsentere den forskel, nogle output er væk fra et kendt signal (f.eks. Et ønskeligt sinusformet signal); hvis kontrollen kan sikre, at den hurtigt vender tilbage til , så vil output spore den ønskede sinusformede. I kontrol med glidende tilstand ved designeren, at systemet opfører sig ønskeligt (f.eks. Har det en stabil ligevægt ), forudsat at det er begrænset til et underrum af dets konfigurationsrum . Glidefunktionskontrol tvinger systembanerne ind i dette underrum og holder dem derefter der, så de glider langs det. Dette reducerede orden underrum omtales som en glidende (hyper) overflade , og når feedback med lukket kredsløb tvinger baner til at glide langs det, omtales det som en glidemåde for det lukkede system. Baner langs dette underrum kan sammenlignes med baner langs egenvektorer (dvs. tilstande) af LTI -systemer ; glidefunktionen håndhæves imidlertid ved at folde vektorfeltet med feedback med høj forstærkning. Som en marmor, der ruller langs en revne, er baner begrænset til glidefunktionen. ${\ displaystyle \ mathbf {u} (\ mathbf {x} (t))}$${\ displaystyle \ mathbf {x} (t)}$${\ displaystyle \ mathbf {u}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {x} = [0,0, \ ldots, 0]^{\ intercal}}$${\ displaystyle x_ {1}}$${\ displaystyle \ mathbf {x}}$${\ displaystyle \ mathbf {u}}$${\ displaystyle x_ {1}}$${\ displaystyle x_ {1} = 0}$

Glidefunktionskontrollen indebærer

1. Udvælgelse af en hyperoverflade eller en manifold (dvs. glidefladen), således at systemet bane udviser ønskelig adfærd, når begrænset til denne manifold.
2. At finde feedback vinder, så systembanen skærer og forbliver på manifolden.

Fordi lovene til glidefunktionskontrol ikke er kontinuerlige , har den evnen til at køre baner til glidefunktionen i begrænset tid (dvs. stabilitet af glidefladen er bedre end asymptotisk). Men når banerne når glidefladen, får systemet karakter af glidefunktionen (f.eks. Kan oprindelsen kun have asymptotisk stabilitet på denne overflade). ${\ displaystyle \ mathbf {x} = \ mathbf {0}}$

Glidefunktionsdesigneren vælger en skiftefunktion, der repræsenterer en slags "afstand", som staterne er væk fra en glidende overflade. ${\ displaystyle \ sigma: \ mathbb {R} ^{n} \ to \ mathbb {R} ^{m}}$${\ displaystyle \ mathbf {x}}$

• En tilstand, der er uden for denne glidende overflade har .${\ displaystyle \ mathbf {x}}$${\ displaystyle \ sigma (\ mathbf {x}) \ neq 0}$
• En tilstand, der er på denne glidende overflade har .${\ displaystyle \ sigma (\ mathbf {x}) = 0}$

Glidefunktionskontrolloven skifter fra en tilstand til en anden baseret på tegnet på denne afstand. Så glidefunktionskontrollen fungerer som et stift tryk, der altid skubber i retning af glidefunktionen, hvor . Ønskede baner vil nærme sig den glidende overflade, og fordi kontrolloven ikke er kontinuerlig (dvs. den skifter fra en tilstand til en anden, når baner bevæger sig hen over denne overflade), nås overfladen på en endelig tid. Når en bane når overfladen, vil den glide langs den og kan for eksempel bevæge sig mod oprindelsen. Så skiftefunktionen er som et topografisk kort med en kontur af konstant højde, langs hvilken baner tvinges til at bevæge sig. ${\ displaystyle \ sigma (\ mathbf {x}) = 0}$${\ displaystyle \ mathbf {x} (t)}$${\ displaystyle \ mathbf {x} = \ mathbf {0}}$

Den glidende (hyper) overflade er af dimension, hvor n er antallet af tilstande i og m er antallet af indgangssignaler (dvs. styresignaler) i . For hvert kontrolindeks er der en glideflade givet af ${\ displaystyle n \ gange m}$${\ displaystyle \ mathbf {x}}$${\ displaystyle \ mathbf {u}}$${\ displaystyle 1 \ leq k \ leq m}$${\ displaystyle n \ gange 1}$

Den vitale del af SMC -design er at vælge en kontrollov, så glidefunktionen (dvs. denne overflade givet af ) eksisterer og kan nås langs systembaner. Princippet for glidefunktionskontrol er at tvangsbegrænse systemet ved passende kontrolstrategi at blive på den glideflade, hvor systemet vil udvise ønskelige egenskaber. Når systemet er begrænset af glidekontrollen til at blive på glidefladen, styres systemdynamikken af ​​system med reduceret orden hentet fra ligning ( 2 ). ${\ displaystyle \ sigma (\ mathbf {x}) = \ mathbf {0}}$

For at tvinge systemstaterne til at tilfredsstille , skal man: ${\ displaystyle \ mathbf {x}}$${\ displaystyle \ sigma (\ mathbf {x}) = \ mathbf {0}}$

1. Sørg for, at systemet er i stand til at nå fra enhver indledende tilstand${\ displaystyle \ sigma (\ mathbf {x}) = \ mathbf {0}}$
2. Når den er nået , er kontrolhandlingen i stand til at opretholde systemet ved${\ displaystyle \ sigma (\ mathbf {x}) = \ mathbf {0}}$${\ displaystyle \ sigma (\ mathbf {x}) = \ mathbf {0}}$

Eksistensen af ​​lukkede løsninger

Bemærk, at fordi kontrolloven ikke er kontinuerlig , er den bestemt ikke lokalt Lipschitz kontinuerlig , og eksistens og entydighed af løsninger til det lukkede system er ikke garanteret af Picard – Lindelöf-sætningen . Således skal løsningerne forstås i Filippov -forstand. Groft sagt er det resulterende lukkede system, der bevæger sig langs , tilnærmet af den glatte dynamik, men denne glatte adfærd er muligvis ikke virkelig realiserbar. Tilsvarende højhastighedstog impulsbreddemodulation eller delta-sigma-modulation frembringer udgangssignaler, der kun antage to tilstande, men de effektive output svinger gennem en løbende bevægelsesområde. Disse komplikationer kan undgås ved at bruge en anden ikke -lineær kontroldesignmetode , der producerer en kontinuerlig controller. I nogle tilfælde kan kontrolledesign i glidefunktion tilnærmes med andre kontinuerlige kontroldesign. ${\ displaystyle \ sigma (\ mathbf {x}) = \ mathbf {0}}$ ${\ displaystyle {\ dot {\ sigma}} (\ mathbf {x}) = \ mathbf {0};}$

Teoretisk fundament

De følgende sætninger danner grundlaget for variabel strukturstyring.

Sætning 1: Eksistens af glidende tilstand

Overvej en Lyapunov-funktion kandidat

hvor er den euklidiske norm (dvs. afstanden fra det glidende manifold hvor ). For systemet givet af ligning ( 1 ) og glidefladen givet af ligning ( 2 ) er en tilstrækkelig betingelse for eksistensen af ​​en glidemåde, at ${\ displaystyle \ | {\ mathord {\ cdot}} \ |}$${\ displaystyle \ | \ sigma (\ mathbf {x}) \ | _ {2}}$${\ displaystyle \ sigma (\ mathbf {x}) = \ mathbf {0}}$

${\ displaystyle \ underbrace {\ overbrace {\ sigma ^{\ intercal}} ^{\ tfrac {\ delvis V} {\ delvis \ sigma}} \ overbrace {\ dot {\ sigma}} ^{\ tfrac {\ operatorname {d} \ sigma} {\ operatorname {d} t}}} _ {\ tfrac {\ operatorname {d} V} {\ operatorname {d} t}} <0 \ qquad {\ text {(dvs.}} {\ tfrac {\ operatorname {d} V} {\ operatorname {d} t}} <0 {\ text {)}}}}$

i et kvarter af overfladen givet af . ${\ displaystyle \ sigma (\ mathbf {x}) = 0}$

Groft sagt (dvs. for skalarkontrollen , når ), for at opnå , er feedbackkontrolloven valgt, så og har modsatte tegn. Det er, ${\ displaystyle m = 1}$${\ displaystyle \ sigma ^{\ intercal} {\ dot {\ sigma}} <0}$${\ displaystyle u (\ mathbf {x})}$${\ displaystyle \ sigma}$${\ displaystyle {\ dot {\ sigma}}}$

• ${\ displaystyle u (\ mathbf {x})}$gør negativt når det er positivt.${\ displaystyle {\ dot {\ sigma}} (\ mathbf {x})}$${\ displaystyle \ sigma (\ mathbf {x})}$
• ${\ displaystyle u (\ mathbf {x})}$gør positivt, når det er negativt.${\ displaystyle {\ dot {\ sigma}} (\ mathbf {x})}$${\ displaystyle \ sigma (\ mathbf {x})}$

Noter det

${\ displaystyle {\ dot {\ sigma}} = {\ frac {\ partial \ sigma} {\ partial \ mathbf {x}}} \ overbrace {\ dot {\ mathbf {x}}} ^{\ tfrac {\ operatorname {d} \ mathbf {x}} {\ operatorname {d} t}} = {\ frac {\ partial \ sigma} {\ partial \ mathbf {x}}} \ overbrace {\ left (f (\ mathbf { x}, t)+B (\ mathbf {x}, t) \ mathbf {u} \ right)} ^{\ dot {\ mathbf {x}}}}$

og så har feedbackkontrolloven en direkte indvirkning på . ${\ displaystyle \ mathbf {u} (\ mathbf {x})}$${\ displaystyle {\ dot {\ sigma}}}$

Nåbarhed: Opnåelse af glidende manifold i endelig tid

For at sikre, at glidefunktionen opnås i endelig tid, skal den være stærkere afgrænset fra nul. Det vil sige, at hvis den forsvinder for hurtigt, vil tiltrækningen til glidefunktionen kun være asymptotisk. For at sikre, at glidefunktionen indtastes i endelig tid, ${\ displaystyle \ sigma (\ mathbf {x}) = \ mathbf {0}}$${\ displaystyle \ operatorname {d} V/{\ operatorname {d} t}}$

${\ displaystyle {\ frac {\ operatorname {d} V} {\ operatorname {d} t}} \ leq -\ mu ({\ sqrt {V}})^{\ alpha}}$

hvor og er konstanter. ${\ displaystyle \ mu> 0}$${\ displaystyle 0 <\ alpha \ leq 1}$

Forklaring ved sammenligningslemma

Denne betingelse sikrer, at i nærheden af ​​glidemåden , ${\ displaystyle V \ i [0,1]}$

${\ displaystyle {\ frac {\ operatorname {d} V} {\ operatorname {d} t}} \ leq -\ mu ({\ sqrt {V}})^{\ alpha} \ leq -\ mu {\ sqrt {V}}.}$

Så for , ${\ displaystyle V \ in (0,1]}$

${\ displaystyle {\ frac {1} {\ sqrt {V}}} {\ frac {\ operatorname {d} V} {\ operatorname {d} t}} \ leq -\ mu,}$

hvilket ved kædereglen (dvs. med ) betyder ${\ displaystyle \ operatorname {d} W/{\ operatorname {d} t}}$${\ displaystyle W \ triangleq 2 {\ sqrt {V}}}$

${\ displaystyle {\ mathord {\ underbrace {D ^{+} {\ Bigl (} {\ mathord {\ underbrace {2 {\ mathord {\ overbrace {\ sqrt {V}} ^{{} \ propto \ | \ sigma \ | _ {2}}}}} _ {W}}} {\ Bigr)}} _ {D^{+} W \, \ triangleq \, {\ mathord {{\ text {Øverst til højre} } {\ dot {W}}}}}}} = {\ frac {1} {\ sqrt {V}}} {\ frac {\ operatorname {d} V} {\ operatorname {d} t}} \ leq -\ mu}$

hvor er den øverste højre afledte af og symbolet betegner proportionalitet . Så i sammenligning med kurven, der er repræsenteret ved differentialligning med udgangsbetingelse , må det være sådan, at for alle t . Desuden fordi , skal nå i endelig tid, hvilket betyder, at V skal nå (dvs. systemet går ind i glidemåden) i endelig tid. Fordi det er proportionalt med den euklidiske norm for switchfunktionen , indebærer dette resultat, at tilgangshastigheden til glidefunktionen skal være fast afgrænset fra nul. ${\ displaystyle D^{+}}$${\ displaystyle 2 {\ sqrt {V}}}$${\ displaystyle \ propto}$${\ displaystyle z (t) = z_ {0}-\ mu t}$${\ displaystyle {\ dot {z}} =-\ mu}$${\ displaystyle z (0) = z_ {0}}$${\ displaystyle 2 {\ sqrt {V (t)}} \ leq V_ {0}-\ mu t}$${\ displaystyle {\ sqrt {V}} \ geq 0}$${\ displaystyle {\ sqrt {V}}}$${\ displaystyle {\ sqrt {V}} = 0}$${\ displaystyle V = 0}$${\ displaystyle {\ sqrt {V}}}$ ${\ displaystyle \ | {\ mathord {\ cdot}} \ | _ {2}}$${\ displaystyle \ sigma}$

Konsekvenser for kontrol af glidefunktion

I forbindelse med kontrol af glidefunktion betyder denne betingelse, at

${\ displaystyle \ underbrace {\ overbrace {\ sigma ^{\ intercal}} ^{\ tfrac {\ delvis V} {\ delvis \ sigma}} \ overbrace {\ dot {\ sigma}} ^{\ tfrac {\ operatorname {d} \ sigma} {\ operatorname {d} t}}} _ {\ tfrac {\ operatorname {d} V} {\ operatorname {d} t}} \ leq -\ mu ({\ mathord {\ overbrace { \ | \ sigma \ | _ {2}} ^{\ sqrt {V}}}}) ^{\ alpha}}$

hvor er den euklidiske norm . I tilfælde, hvor omskifterfunktionen skaleres, bliver den tilstrækkelige tilstand ${\ displaystyle \ | {\ mathord {\ cdot}} \ |}$${\ displaystyle \ sigma}$

${\ displaystyle \ sigma {\ dot {\ sigma}} \ leq -\ mu | \ sigma |^{\ alpha}}$.

Tager , skalaren tilstrækkelig tilstand bliver ${\ displaystyle \ alpha = 1}$

${\ displaystyle \ operatorname {sgn} (\ sigma) {\ dot {\ sigma}} \ leq -\ mu}$

hvilket svarer til betingelsen om, at

${\ displaystyle \ operatorname {sgn} (\ sigma) \ neq \ operatorname {sgn} ({\ dot {\ sigma}}) \ qquad {\ text {og}} \ qquad | {\ dot {\ sigma}} | \ geq \ mu> 0}$.

Det vil sige, at systemet altid skal bevæge sig mod koblingsoverfladen , og dets hastighed mod koblingsoverfladen skal have en ikke-nul nedre grænse. Så selvom det kan blive forsvindende lille, når det nærmer sig overfladen, skal det altid være begrænset fast væk fra nul. For at sikre denne tilstand er glidemodus -controllere diskontinuerlige på tværs af manifolden; de skifter fra en ikke-nul værdi til en anden, når baner krydser manifolden. ${\ displaystyle \ sigma = 0}$${\ displaystyle | {\ dot {\ sigma}} |}$${\ displaystyle \ sigma}$${\ displaystyle \ mathbf {x}}$${\ displaystyle \ sigma (\ mathbf {x}) = \ mathbf {0}}$${\ displaystyle {\ dot {\ sigma}}}$${\ displaystyle \ sigma = 0}$

Sætning 2: Attraktionsregion

For systemet givet ved ligning ( 1 ) og glidefladen givet ved ligning ( 2 ) er underrummet, som overfladen kan nås til, givet af ${\ displaystyle \ {\ mathbf {x} \ in \ mathbb {R} ^{n}: \ sigma (\ mathbf {x}) = \ mathbf {0} \}}$

${\ displaystyle \ {\ mathbf {x} \ in \ mathbb {R} ^{n}: \ sigma ^{\ intercal} (\ mathbf {x}) {\ dot {\ sigma}} (\ mathbf {x} ) <0 \}}$

Det vil sige, at når de indledende betingelser helt kommer fra dette rum, er Lyapunov -funktionskandidaten en Lyapunov -funktion, og baner bevæger sig sikkert mod glidefunktionens overflade, hvor . Hvis tilgængelighedsbetingelserne fra sætning 1 er opfyldt, vil glidefunktionen desuden komme ind i det område, hvor det er stærkere afgrænset fra nul i den endelige tid. Derfor vil glidefunktionen opnås på en endelig tid. ${\ displaystyle V (\ sigma)}$${\ displaystyle \ mathbf {x}}$${\ displaystyle \ sigma (\ mathbf {x}) = \ mathbf {0}}$${\ displaystyle {\ dot {V}}}$${\ displaystyle \ sigma = 0}$

Sætning 3: Glidende bevægelse

Lade

${\ displaystyle {\ frac {\ partiel \ sigma} {\ delvis {\ mathbf {x}}}} B (\ mathbf {x}, t)}$

være uproblematisk . Det vil sige, at systemet har en slags styrbarhed, der sikrer, at der altid er en kontrol, der kan flytte en bane for at bevæge sig tættere på glidefunktionen. Derefter, når glidefunktionen er opnået, forbliver systemet på den glidende tilstand. Langs glidemodusbaner er den konstant, og derfor beskrives baner i glidemode ved hjælp af differentialligningen ${\ displaystyle \ sigma (\ mathbf {x}) = \ mathbf {0}}$${\ displaystyle \ sigma (\ mathbf {x})}$

${\ displaystyle {\ dot {\ sigma}} = \ mathbf {0}}$.

Hvis en - ligevægt er stabil i forhold til denne differentialligning, vil systemet glide langs glidemodusoverfladen mod ligevægten. ${\ displaystyle \ mathbf {x}}$

Den tilsvarende kontrollov for glidefunktionen kan findes ved at løse

${\ displaystyle {\ dot {\ sigma}} (\ mathbf {x}) = 0}$

for den tilsvarende kontrollov . Det er, ${\ displaystyle \ mathbf {u} (\ mathbf {x})}$

${\ displaystyle {\ frac {\ partial \ sigma} {\ partial \ mathbf {x}}} \ overbrace {\ left (f (\ mathbf {x}, t)+B (\ mathbf {x}, t) \ mathbf {u} \ right)} ^{\ dot {\ mathbf {x}}} = \ mathbf {0}}$

og så den tilsvarende kontrol

${\ displaystyle \ mathbf {u} =-\ left ({\ frac {\ partial \ sigma} {\ partial \ mathbf {x}}} B (\ mathbf {x}, t) \ right)^{-1} {\ frac {\ delvis \ sigma} {\ delvis \ mathbf {x}}} f (\ mathbf {x}, t)}$

Det vil sige, selvom den faktiske styring ikke er kontinuerlig , den hurtige skift over glidefunktionen, hvor tvinger systemet til at virke som om det blev drevet af denne kontinuerlige kontrol. ${\ displaystyle \ mathbf {u}}$${\ displaystyle \ sigma (\ mathbf {x}) = \ mathbf {0}}$

På samme måde opfører systembanerne på glidefunktionen sig som om

${\ displaystyle {\ dot {\ mathbf {x}}} = \ overbrace {f (\ mathbf {x}, t) -B (\ mathbf {x}, t) \ left ({\ frac {\ partial \ sigma } {\ delvis \ mathbf {x}}} B (\ mathbf {x}, t) \ højre)^{-1} {\ frac {\ partiel \ sigma} {\ delvis \ mathbf {x}}} f ( \ mathbf {x}, t)} ^{f (\ mathbf {x}, t)+B (\ mathbf {x}, t) u} = f (\ mathbf {x}, t) \ left (\ mathbf {I} -B (\ mathbf {x}, t) \ left ({\ frac {\ partiell \ sigma} {\ delvis \ mathbf {x}}} B (\ mathbf {x}, t) \ højre)^ {-1} {\ frac {\ partiel \ sigma} {\ delvis \ mathbf {x}}} \ højre)}$

Det resulterende system matcher differentialligningen for glidefunktion

${\ displaystyle {\ dot {\ sigma}} (\ mathbf {x}) = \ mathbf {0}}$

, glidefunktionens overflade og baneforholdene fra nåfasen reduceres nu til den ovennævnte afledte enklere tilstand. Derfor kan systemet antages at følge den enklere tilstand efter en indledende transient i perioden, mens systemet finder glidefunktionen. Den samme bevægelse opretholdes tilnærmelsesvis, når ligestillingen kun omtrent holder. ${\ displaystyle \ sigma (\ mathbf {x}) = \ mathbf {0}}$${\ displaystyle {\ dot {\ sigma}} = 0}$${\ displaystyle \ sigma (\ mathbf {x}) = \ mathbf {0}}$

Det følger af disse sætninger, at glidebevægelsen er invariant (dvs. ufølsom) for tilstrækkeligt små forstyrrelser, der kommer ind i systemet gennem kontrolkanalen. Det vil sige, så længe kontrol er stor nok til at sikre, at og er ensartet afgrænset væk fra nul, vil den glidende tilstand opretholdes som hvis der var ingen forstyrrelse. Den uoverensstemmende egenskab ved kontrol af glidende tilstand til visse forstyrrelser og modelusikkerheder er dens mest attraktive funktion; den er stærkt robust . ${\ displaystyle \ sigma ^{\ intercal} {\ dot {\ sigma}} <0}$${\ displaystyle {\ dot {\ sigma}}}$

Som diskuteret i et eksempel nedenfor, kan en lov om glidende tilstand kontrollere begrænsningen

${\ displaystyle {\ dot {x}}+x = 0}$

for at asymptotisk stabilisere ethvert system i formen

${\ displaystyle {\ ddot {x}} = a (t, x, {\ dot {x}})+u}$

når har en endelig øvre grænse. I dette tilfælde er glidefunktionen hvor ${\ displaystyle a (\ cdot)}$

${\ displaystyle {\ dot {x}} =-x}$

(dvs. hvor ). Det vil sige, når systemet er begrænset på denne måde, opfører det sig som et simpelt stabilt lineært system , og det har derfor en globalt eksponentielt stabil ligevægt ved oprindelsen. ${\ displaystyle {\ dot {x}}+x = 0}$ ${\ displaystyle (x, {\ dot {x}}) = (0,0)}$

Kontroldesigneksempler

• Overvej et anlæg beskrevet af ligning ( 1 ) med enkelt input u (dvs., ). Skiftfunktionen vælges til at være den lineære kombination${\ displaystyle m = 1}$

hvor vægten for alle . Glidefladen er simplex hvor . Når baner tvinges til at glide langs denne overflade, ${\ displaystyle s_ {i}> 0}$${\ displaystyle 1 \ leq i \ leq n}$${\ displaystyle \ sigma (\ mathbf {x}) = 0}$

${\ displaystyle {\ dot {\ sigma}} (\ mathbf {x}) = 0}$

også

${\ displaystyle s_ {1} {\ dot {x}} _ {1}+s_ {2} {\ dot {x}} _ {2}+\ cdots+s_ {n-1} {\ dot {x} } _ {n-1}+s_ {n} {\ dot {x}} _ {n} = 0}$

som er et system med reduceret orden (dvs. det nye system er af orden, fordi systemet er begrænset til denne -dimensionale glidefunktion simplex). Denne overflade kan have gunstige egenskaber (f.eks. Når plantedynamikken tvinges til at glide langs denne overflade, bevæger den sig mod oprindelsen ). Når vi tager derivatet af Lyapunov -funktionen i ligning ( 3 ), har vi ${\ displaystyle n-1}$${\ displaystyle (n-1)}$${\ displaystyle \ mathbf {x} = \ mathbf {0}}$

${\ displaystyle {\ dot {V}} (\ sigma (\ mathbf {x})) = \ overbrace {\ sigma (\ mathbf {x}) ^{\ text {T}}} ^{\ tfrac {\ partial V} {\ partial \ mathbf {x}}} \ overbrace {{\ dot {\ sigma}} (\ mathbf {x})} ^{\ tfrac {\ operatorname {d} \ sigma} {\ operatorname {d} t}}}$

For at sikre , skal feedbackkontrolloven vælges således, at ${\ displaystyle {\ dot {V}} <0}$${\ displaystyle u (\ mathbf {x})}$

${\ displaystyle {\ begin {cases} {\ dot {\ sigma}} <0 & {\ text {if}} \ sigma> 0 \\ {\ dot {\ sigma}}> 0 & {\ text {if}} \ sigma <0 \ end {cases}}}$

Derfor produktet, fordi det er produktet af et negativt og et positivt tal. Noter det${\ displaystyle \ sigma {\ dot {\ sigma}} <0}$

Kontrolloven vælges således, at ${\ displaystyle u (\ mathbf {x})}$

${\ displaystyle u (\ mathbf {x}) = {\ begin {cases} u^{+} (\ mathbf {x}) & {\ text {if}} \ sigma (\ mathbf {x})> 0 \ \ u^{-} (\ mathbf {x}) og {\ text {if}} \ sigma (\ mathbf {x}) <0 \ end {cases}}}$

hvor

• ${\ displaystyle u^{+} (\ mathbf {x})}$er en vis kontrol (f.eks. muligvis ekstrem, f.eks. "til" eller "fremad"), der sikrer, at ligning ( 5 ) (dvs. ) er negativ ved${\ displaystyle {\ dot {\ sigma}}}$${\ displaystyle \ mathbf {x}}$
• ${\ displaystyle u^{-} (\ mathbf {x})}$er en vis kontrol (f.eks. muligvis ekstrem, f.eks. "off" eller "reverse"), der sikrer, at ligning ( 5 ) (dvs. ) er positiv ved${\ displaystyle {\ dot {\ sigma}}}$${\ displaystyle \ mathbf {x}}$

Den resulterende bane skal bevæge sig mod glidefladen, hvor . Fordi virkelige systemer har forsinkelse, chatter glidefunktionsbaner ofte frem og tilbage langs denne glidende overflade (dvs. den sande bane følger muligvis ikke problemfrit , men den vender altid tilbage til glidefunktionen efter at have forladt den).${\ displaystyle \ sigma (\ mathbf {x}) = 0}$${\ displaystyle \ sigma (\ mathbf {x}) = 0}$

• Overvej det dynamiske system

${\ displaystyle {\ ddot {x}} = a (t, x, {\ dot {x}})+u}$

som kan udtrykkes i et 2-dimensionelt tilstandsrum (med og ) som ${\ displaystyle x_ {1} = x}$${\ displaystyle x_ {2} = {\ dot {x}}}$

${\ displaystyle {\ begin {cases} {\ dot {x}} _ {1} = x_ {2} \\ {\ dot {x}} _ {2} = a (t, x_ {1}, x_ { 2})+u \ end {cases}}}$

Antag også at (dvs. har en begrænset øvre grænse k, der er kendt). Vælg dette skiftefunktion for dette system ${\ displaystyle \ sup \ {| a (\ cdot) | \} \ leq k}$${\ displaystyle | a |}$

${\ displaystyle \ sigma (x_ {1}, x_ {2}) = x_ {1}+x_ {2} = x+{\ dot {x}}}$

I det foregående eksempel skal vi vælge lovgivningen om feedbackkontrol, så . Her, ${\ displaystyle u (x, {\ dot {x}})}}$${\ displaystyle \ sigma {\ dot {\ sigma}} <0}$

${\ displaystyle {\ dot {\ sigma}} = {\ dot {x}} _ {1}+{\ dot {x}} _ {2} = {\ dot {x}}+{\ ddot {x} } = {\ dot {x}} \,+\, \ overbrace {a (t, x, {\ dot {x}})+u} ^{\ ddot {x}}}$

• Når (dvs. hvornår ), der skal foretages , skal kontrolloven vælges, så${\ displaystyle x+{\ dot {x}} <0}$${\ displaystyle \ sigma <0}$${\ displaystyle {\ dot {\ sigma}}> 0}$${\ displaystyle u> | {\ dot {x}}+a (t, x, {\ dot {x}}) |}$
• Når (dvs. hvornår ), der skal foretages , skal kontrolloven vælges, så${\ displaystyle x+{\ dot {x}}> 0}$${\ displaystyle \ sigma> 0}$${\ displaystyle {\ dot {\ sigma}} <0}$${\ displaystyle u <-| {\ dot {x}}+a (t, x, {\ dot {x}}) |}$

Men ved trekanten ulighed ,

${\ displaystyle | {\ dot {x}} |+| a (t, x, {\ dot {x}}) | \ geq | {\ dot {x}}+a (t, x, {\ dot { x}}) |}$

og ved antagelsen om , ${\ displaystyle | a |}$

${\ displaystyle | {\ dot {x}} |+k+1> | {\ dot {x}} |+| a (t, x, {\ dot {x}}) |}}$

Så systemet kan feedbackstabiliseres (for at vende tilbage til glidefunktionen) ved hjælp af kontrolloven

${\ displaystyle u (x, {\ dot {x}}) = {\ begin {cases} | {\ dot {x}} |+k+1 & {\ text {if}} \ underbrace {x+{\ dot { x}}} <0, \\-\ left (| {\ dot {x}} |+k+1 \ højre) & {\ text {if}} \ overbrace {x+{\ dot {x}}} ^ {\ sigma}> 0 \ end {cases}}}$

som kan udtrykkes i lukket form som

${\ displaystyle u (x, {\ dot {x}}) =-(| {\ dot {x}} |+k+1) \ underbrace {\ operatorname {sgn} (\ overbrace {{\ dot {x}) }+x} ^{\ sigma})} _ {{\ tekst {(dvs. tests}} \ sigma> 0 {\ tekst {)}}}}}$

Forudsat at systembanerne er tvunget til at bevæge sig, så at så ${\ displaystyle \ sigma (\ mathbf {x}) = 0}$

${\ displaystyle {\ dot {x}} =-x \ qquad {\ text {(dvs.}} \ sigma (x, {\ dot {x}}) = x+{\ dot {x}} = 0 {\ tekst{)}}}$

Så når systemet når glidemåden, opfører systemets 2-dimensionelle dynamik sig som dette 1-dimensionelle system, som har en globalt eksponentielt stabil ligevægt ved .${\ displaystyle (x, {\ dot {x}}) = (0,0)}$

Automatiserede designløsninger

Selvom der findes forskellige teorier om design af styresystem til glidemåde, mangler der en yderst effektiv designmetode på grund af praktiske vanskeligheder ved analytiske og numeriske metoder. Et genanvendeligt computerparadigme, såsom en genetisk algoritme, kan imidlertid bruges til at omdanne et 'uløseligt problem' med optimalt design til et praktisk opløseligt 'ikke-deterministisk polynomproblem'. Dette resulterer i computer-automatiserede designs til glidende modelstyring.

Glidefunktionsobservatør

Glidefunktionskontrol kan bruges til design af statsobservatører . Disse ikke-lineære højforstærkerobservatører har evnen til at bringe koordinaterne for estimatorfejldynamikken til nul i endelig tid. Derudover har observatører i switch-mode attraktiv måling af støjmodstandsdygtighed, der ligner et Kalman-filter . For enkeltheden bruger eksemplet her en traditionel glidemodifikation af en Luenberger -observatør til et LTI -system . I disse glidemodusobservatører reduceres observatørdynamikkens rækkefølge med en, når systemet går ind i glidefunktionen. I dette særlige eksempel bringes estimatorfejlen for en enkelt estimeret tilstand til nul i begrænset tid, og efter dette tidspunkt henfalder de andre estimatorfejl eksponentielt til nul. Som først beskrevet af Drakunov kan der imidlertid bygges en observatør med glidende tilstand for ikke-lineære systemer, der bringer estimationsfejlen for alle estimerede tilstande til nul i en endelig (og vilkårlig lille) tid.

Overvej her LTI -systemet

${\ displaystyle {\ begin {cases} {\ dot {\ mathbf {x}}} = A \ mathbf {x} +B \ mathbf {u} \\ y = {\ begin {bmatrix} 1 & 0 & 0 & \ cdots & \ end {bmatrix}} \ mathbf {x} = x_ {1} \ end {cases}}}$

hvor tilstandsvektor , er en vektor af input, og output y er en skalar lig med den første tilstand af tilstandsvektoren. Lade ${\ displaystyle \ mathbf {x} \ triangleq (x_ {1}, x_ {2}, \ dots, x_ {n}) \ in \ mathbb {R} ^{n}}$${\ displaystyle \ mathbf {u} \ triangleq (u_ {1}, u_ {2}, \ dots, u_ {r}) \ in \ mathbb {R} ^{r}}$${\ displaystyle \ mathbf {x}}$

${\ displaystyle A \ triangleq {\ begin {bmatrix} a_ {11} & A_ {12} \\ A_ {21} & A_ {22} \ end {bmatrix}}}$

hvor

• ${\ displaystyle a_ {11}}$er en skalar, der repræsenterer den første stats indflydelse på sig selv,${\ displaystyle x_ {1}}$
• ${\ displaystyle A_ {21} \ in \ mathbb {R} ^{(n-1)}}$ er en rækkevektor, der svarer til indflydelsen fra den første tilstand på de andre tilstande,
• ${\ displaystyle A_ {22} \ in \ mathbb {R} ^{(n-1) \ times (n-1)}}$ er en matrix, der repræsenterer de andre staters indflydelse på sig selv, og
• ${\ displaystyle A_ {12} \ in \ mathbb {R} ^{1 \ times (n-1)}}$ er en søjlevektor, der repræsenterer de andre staters indflydelse på den første tilstand.

Målet er at designe en high-gain statsobservatør, der estimerer tilstandsvektoren kun ved hjælp af oplysninger fra målingen . Lad derfor vektoren være estimaterne for n -staterne. Observatøren tager formen ${\ displaystyle \ mathbf {x}}$${\ displaystyle y = x_ {1}}$${\ displaystyle {\ hat {\ mathbf {x}}} = ({\ hat {x}} _ {1}, {\ hat {x}} _ {2}, \ prikker, {\ hat {x}} _ {n}) \ in \ mathbb {R} ^{n}}$

${\ displaystyle {\ dot {\ hat {\ mathbf {x}}}} = A {\ hat {\ mathbf {x}}} +B \ mathbf {u} +Lv ({\ hat {x}} _ { 1} -x_ {1})}$

hvor er en ikke -lineær funktion af fejlen mellem estimeret tilstand og output , og er en observatørforstærkningsvektor, der tjener et lignende formål som i den typiske lineære Luenberger -observatør . Ligeledes lad ${\ displaystyle v: \ mathbb {R} \ to \ mathbb {R}}$${\ displaystyle {\ hat {x}} _ {1}}$${\ displaystyle y = x_ {1}}$${\ displaystyle L \ in \ mathbb {R} ^{n}}$

${\ displaystyle L = {\ begin {bmatrix} -1 \\ L_ {2} \ end {bmatrix}}}$

hvor er en søjlevektor. Lad os desuden være statens estimatorfejl. Det vil sige ,. Fejldynamikken er derefter ${\ displaystyle L_ {2} \ in \ mathbb {R} ^{(n-1)}}$${\ displaystyle \ mathbf {e} = (e_ {1}, e_ {2}, \ dots, e_ {n}) \ in \ mathbb {R} ^{n}}$${\ displaystyle \ mathbf {e} = {\ hat {\ mathbf {x}}}-\ mathbf {x}}$

${\ displaystyle {\ begin {align} {\ dot {\ mathbf {e}}} & = {\ dot {\ hat {\ mathbf {x}}}}-{\ dot {\ mathbf {x}}} \ \ & = A {\ hat {\ mathbf {x}}} +B \ mathbf {u} +Lv ({\ hat {x}} _ {1} -x_ {1})-A \ mathbf {x}- B \ mathbf {u} \\ & = A ({\ hat {\ mathbf {x}}}-\ mathbf {x})+Lv ({\ hat {x}} _ {1} -x_ {1}) \\ & = A \ mathbf {e} +Lv (e_ {1}) \ end {align}}}$

hvor er estimatorfejlen for det første tilstandsestimat. Den ikke -lineære kontrollov v kan være designet til at håndhæve den glidende manifold ${\ displaystyle e_ {1} = {\ hat {x}} _ {1} -x_ {1}}$

${\ displaystyle 0 = {\ hat {x}} _ {1} -x_ {1}}$

så det estimat sporer den virkelige tilstand efter en endelig tid (dvs. ). Derfor er glidefunktionens kontrolomskifterfunktion ${\ displaystyle {\ hat {x}} _ {1}}$${\ displaystyle x_ {1}}$${\ displaystyle {\ hat {x}} _ {1} = x_ {1}}$

${\ displaystyle \ sigma ({\ hat {x}} _ {1}, {\ hat {x}}) \ triangleq e_ {1} = {\ hat {x}} _ {1} -x_ {1}. }$

For at opnå den glidende manifold, og skal altid have modsatte tegn (dvs. for stort set alle ). Imidlertid, ${\ displaystyle {\ dot {\ sigma}}}$${\ displaystyle \ sigma}$${\ displaystyle \ sigma {\ dot {\ sigma}} <0}$${\ displaystyle \ mathbf {x}}$

${\ displaystyle {\ dot {\ sigma}} = {\ dot {e}} _ {1} = a_ {11} e_ {1}+A_ {12} \ mathbf {e} _ {2} -v (e_ {1}) = a_ {11} e_ {1}+A_ {12} \ mathbf {e} _ {2} -v (\ sigma)}$

hvor er indsamlingen af ​​estimatorfejlene for alle de ikke -målte tilstande. For at sikre det , lad ${\ displaystyle \ mathbf {e} _ {2} \ triangleq (e_ {2}, e_ {3}, \ ldots, e_ {n}) \ in \ mathbb {R} ^{(n-1)}}$${\ displaystyle \ sigma {\ dot {\ sigma}} <0}$

${\ displaystyle v (\ sigma) = M \ operatorname {sgn} (\ sigma)}$

hvor

${\ displaystyle M> \ max \ {| a_ {11} e_ {1}+A_ {12} \ mathbf {e} _ {2} | \}.}$

Det vil sige, at positiv konstant M skal være større end en skaleret version af de maksimalt mulige estimatorfejl for systemet (dvs. de indledende fejl, der antages at være afgrænsede, så M kan vælges stort nok; al). Hvis M er tilstrækkelig stor, kan det antages, at systemet opnår (dvs., ). Fordi den også er konstant (dvs. 0) langs denne manifold . Derfor kan den diskontinuerlige kontrol erstattes med den tilsvarende kontinuerlige kontrol hvor ${\ displaystyle e_ {1} = 0}$${\ displaystyle {\ hat {x}} _ {1} = x_ {1}}$${\ displaystyle e_ {1}}$${\ displaystyle {\ dot {e}} _ {1} = 0}$${\ displaystyle v (\ sigma)}$${\ displaystyle v _ {\ tekst {eq}}}$

${\ displaystyle 0 = {\ dot {\ sigma}} = a_ {11} {\ mathord {\ overbrace {e_ {1}} ^{{} = 0}}}+A_ {12} \ mathbf {e} _ {2}-{\ mathord {\ overbrace {v _ {\ text {eq}}} ^{v (\ sigma)}}} = A_ {12} \ mathbf {e} _ {2} -v _ {\ text { eq}}.}$

Så

${\ displaystyle {\ mathord {\ underbrace {v _ {\ text {eq}}} _ {\ text {scalar}}}} = {\ mathord {\ underbrace {A_ {12}} _ {1 \ times (n- 1) \ atop {\ text {vector}}}}} {\ mathord {\ underbrace {\ mathbf {e} _ {2}} _ {(n-1) \ times 1 \ atop {\ text {vector}} }}}.}$

Denne ækvivalente kontrol repræsenterer bidraget fra de andre stater til udgangstilstandens bane . Især fungerer rækken som en outputvektor for fejlundersystemet ${\ displaystyle v _ {\ tekst {eq}}}$${\ displaystyle (n-1)}$${\ displaystyle x_ {1}}$${\ displaystyle A_ {12}}$

${\ displaystyle {\ mathord {\ overbrace {\ begin {bmatrix} {\ dot {e}} _ {2} \\ {\ dot {e}} _ {3} \\\ vdots \\ {\ dot {e }} _ {n} \ end {bmatrix}} ^{{\ dot {\ mathbf {e}}} _ {2}}}} = A_ {2} {\ mathord {\ overbrace {\ begin {bmatrix} e_ {2} \\ e_ {3} \\\ vdots \\ e_ {n} \ end {bmatrix}} ^{\ mathbf {e} _ {2}}}}+L_ {2} v (e_ {1} ) = A_ {2} \ mathbf {e} _ {2}+L_ {2} v _ {\ tekst {eq}} = A_ {2} \ mathbf {e} _ {2}+L_ {2} A_ {12 } \ mathbf {e} _ {2} = (A_ {2}+L_ {2} A_ {12}) \ mathbf {e} _ {2}.}$

For at sikre, at estimatorfejlen for de ikke -målte tilstande konvergerer til nul, skal vektoren vælges således, at matrixen er Hurwitz (dvs. den reelle del af hver af dens egenværdier skal være negativ). Forudsat at det er observerbart , kan dette system derfor stabiliseres på nøjagtig samme måde som en typisk lineær tilstandsobservatør, når det ses som outputmatrix (dvs. " C "). Det vil sige, at den tilsvarende kontrol giver måleinformation om de umålede stater, der løbende kan flytte deres estimater asymptotisk tættere på dem. I mellemtiden tvinger den diskontinuerlige kontrol skønnet over den målte tilstand til at have nul fejl i endelig tid. Derudover påvirker hvid nul-middelværdi symmetrisk målestøj (f.eks. Gaussisk støj ) kun koblingsfrekvensen for kontrollen v , og derfor vil støjen have ringe effekt på den tilsvarende glidemodustyring . Derfor har observatøren i glidefunktion Kalman -filterlignende funktioner. ${\ displaystyle \ mathbf {e} _ {2}}$${\ displaystyle (n-1) \ gange 1}$${\ displaystyle L_ {2}}$${\ displaystyle (n-1) \ times (n-1)}$${\ displaystyle (A_ {2}+L_ {2} A_ {12})}$${\ displaystyle \ mathbf {e} _ {2}}$${\ displaystyle A_ {12}}$${\ displaystyle v _ {\ tekst {eq}}}$${\ displaystyle v = M \ operatorname {sgn} ({\ hat {x}} _ {1} -x)}$${\ displaystyle v _ {\ tekst {eq}}}$

Den endelige version af observatøren er således

${\ displaystyle {\ begin {align} {\ dot {\ hat {\ mathbf {x}}}} & = A {\ hat {\ mathbf {x}}} +B \ mathbf {u} +LM \ operatorname { sgn} ({\ hat {x}} _ {1} -x_ {1}) \\ & = A {\ hat {\ mathbf {x}}} +B \ mathbf {u} +{\ begin {bmatrix} -1 \\ L_ {2} \ end {bmatrix}} M \ operatorname {sgn} ({\ hat {x}} _ {1} -x_ {1}) \\ & = A {\ hat {\ mathbf { x}}} +B \ mathbf {u} +{\ begin {bmatrix} -M \\ L_ {2} M \ end {bmatrix}} \ operatorname {sgn} ({\ hat {x}} _ {1} -x_ {1}) \\ & = A {\ hat {\ mathbf {x}}}+{\ begin {bmatrix} B & {\ begin {bmatrix} -M \\ L_ {2} M \ end {bmatrix} } \ end {bmatrix}} {\ begin {bmatrix} \ mathbf {u} \\\ operatorname {sgn} ({\ hat {x}} _ {1} -x_ {1}) \ end {bmatrix}} \ \ & = A _ {\ tekst {obs}} {\ hat {\ mathbf {x}}}+B _ {\ tekst {obs}} \ mathbf {u} _ {\ tekst {obs}} \ end {justeret}} }$

hvor

• ${\ displaystyle A _ {\ text {obs}} \ triangleq A,}$
• ${\ displaystyle B _ {\ text {obs}} \ triangleq {\ begin {bmatrix} B & {\ begin {bmatrix} -M \\ L_ {2} M \ end {bmatrix}} \ end {bmatrix}},}$ og
• ${\ displaystyle u _ {\ text {obs}} \ triangleq {\ begin {bmatrix} \ mathbf {u} \\\ operatorname {sgn} ({\ hat {x}} _ {1} -x_ {1}) \ slut {bmatrix}}.}$

Det vil sige, ved at forstørre kontrolvektoren med koblingsfunktionen , kan glidemodusobservatoren implementeres som et LTI -system. Det vil sige, den diskontinuerlige signal ses som en kontrol indgang til 2-input LTI system. ${\ displaystyle \ mathbf {u}}$${\ displaystyle \ operatorname {sgn} ({\ hat {x}} _ {1} -x_ {1})}$${\ displaystyle \ operatorname {sgn} ({\ hat {x}} _ {1} -x_ {1})}$

For enkeltheden antager dette eksempel, at observatøren i glidende tilstand har adgang til en måling af en enkelt tilstand (dvs. output ). Imidlertid kan en lignende procedure bruges til at designe en glidemodusobservator for en vektor med vægtede kombinationer af tilstande (dvs. når output bruger en generisk matrix C ). I hvert tilfælde vil glidefunktionen være manifolden, hvor det estimerede output følger det målte output med nul fejl (dvs. manifolden hvor ). ${\ displaystyle y = x_ {1}}$${\ displaystyle \ mathbf {y} = C \ mathbf {x}}$${\ displaystyle {\ hat {\ mathbf {y}}}}$${\ displaystyle \ mathbf {y}}$${\ displaystyle \ sigma (\ mathbf {x}) \ triangleq {\ hat {\ mathbf {y}}}-\ mathbf {y} = \ mathbf {0}}$

Se også

• Variabel struktur kontrol
• System med variabel struktur
• Hybrid system
• Ikke -lineær kontrol
• Robust kontrol
• Optimal kontrol
• Bang -bang -kontrol  - Kontrol af glidefunktioner implementeres ofte som en bang -bang -kontrol. I nogle tilfælde er en sådan kontrol nødvendig for optimalitet .
• H-bro  -En topologi, der kombinerer fire kontakter, der danner de fire ben på et "H". Kan bruges til at drive en motor (eller anden elektrisk enhed) frem eller tilbage, når der kun er en enkelt forsyning tilgængelig. Ofte brugt i aktuator i glidemodusstyrede systemer.
• Skiftforstærker  -Bruger switch-mode kontrol til at drive kontinuerlige output
• Delta-sigma-modulering  -En anden (feedback) metode til kodning af et kontinuerligt værdiområde i et signal, der hurtigt skifter mellem to tilstande (dvs. en slags specialiseret glidemodusstyring)
• Pulsdensitetsmodulation-  En generaliseret form for delta-sigma-modulering.
• Pulsbreddemodulation-  Et andet moduleringsskema, der producerer kontinuerlig bevægelse gennem diskontinuerlig omskiftning.

Noter

Referencer

• Utkin, VI (1992). Glidende tilstande i kontrol og optimering . Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-53516-6.
• Edwards, C .; Spurgeon, S. (1998). Sliding Mode Control: Teori og applikationer . London: Taylor og Francis. ISBN 978-0-7484-0601-2.

• Shtessel, Y .; Edwards, C .; Fridman, L .; Levant, A. (2014). Glidefunktionskontrol og observation . Basel: Birkhauser. ISBN 978-0-81764-8923.

• Fridman, L .; Moreno, J .; Bandyopadhyay, B .; Kamal Asif Chalanga, S .; Chalanga, S. (2020). Kontinuerlige indlejrede algoritmer: Femte generation af sliding mode controllere. I: Nylige fremskridt i Sliding Modes:. Fra Kontrol til Intelligent Mekatronik, X. Yu, O. Efe (. Red), s 5-35, . Studier i systemer, beslutning og kontrol. 24 . London: Springer-Verlag. doi : 10.1007/978-3-319-18290-2_2 . ISBN 978-3-319-18289-6.

• Ferrara, A .; Incremona, GP; Cucuzzella, M. (2019). Avanceret og optimeringsbaseret glidefunktionskontrol . SIAM. doi : 10.1137/1.9781611975840 . ISBN 978-1611975833.

Yderligere læsning

• Drakunov SV, Utkin VI. (1992). "Glidefunktionskontrol i dynamiske systemer". International Journal of Control . 55 (4): 1029–1037. doi : 10.1080/00207179208934270 . HDL : 10338.dmlcz / 135.339 .
• Zinober, Alan SI, red. (1994). Variabel struktur og Lyapunov -kontrol . Forelæsningsnotater i kontrol- og informationsvidenskab. 193 . London: Springer-Verlag. doi : 10.1007/BFb0033675 . ISBN 978-3-540-19869-7.

• Steinberger, M .; Horn, M .; Fridman, L., red. (2020). Systemer med variabel struktur og kontrol med glidende tilstand . Studier i systemer, beslutning og kontrol. 271 . London: Springer-Verlag. doi : 10.1007/BFb0033675 . ISBN 978-3-030-36620-9.