Glat ordning - Smooth scheme

I algebraisk geometri er et glat skema over et felt et skema, som godt tilnærmes af affinalt rum nær ethvert punkt. Glathed er en måde at præcisere forestillingen om en ordning uden entydige punkter. Et specielt tilfælde er forestillingen om en glat sort over et felt. Glatte ordninger spiller rollen i algebraisk geometri af manifolder i topologi.

Definition

Lad først X være et affinisk skema af begrænset type over et felt k . Ækvivalent, X har en lukket nedsænkning i affine rum A n i k for nogle naturligt tal n . Derefter X er den lukkede underordning defineret af nogle ligninger g 1 = 0, ..., g r = 0, hvor hvert g jeg er i polynomiet ring k [ x 1 , ..., x n ]. Den affine skema X er glat med dimension m løbet k hvis X har dimension mindst m i et kvarter af hvert punkt, og matrixen af derivater (∂ g jeg / ∂ x j ) har rang mindst n - m overalt på X . (Det følger heraf, at X har dimension lig med m i et kvarter af hvert punkt.) Glathed er uafhængig af valget af nedsænkning af X i affinalt rum.

Betingelsen på matrixen med derivater forstås at betyde, at den lukkede delmængde af X, hvor alle ( n - m ) × ( n - m ) mindreårige af matrixen med derivater er nul, er det tomme sæt. Ækvivalent, den ideelle i polynomiet ring genereres af alle g i og alle disse mindreårige er hele polynomium ring.

I geometriske termer giver matricen af ​​derivater (∂ g i / ∂ x j ) ved et punkt p i X et lineært kort F n → F r , hvor F er restfeltet for p . Kernen af dette kort kaldes Zariski tangentrum af X på s . Glathed af X betyder, at dimensionen af ​​Zariski-tangentrummet er lig med dimensionen af X nær hvert punkt; på et entydigt punkt ville Zariski-tangentrummet være større.

Mere generelt en ordning X over et felt k er glat i løbet af k , hvis hvert punkt i X har en åben kvarter, som er en glat affin arrangement med nogle dimension i k . Især en glat ordning i løbet af k er lokalt for finite form .

Der er en mere generel forestilling om en glat morfisme af ordninger, som omtrent er en morfisme med glatte fibre. Især er et skema X glat over et felt k, hvis og kun hvis morfismen X → Spec k er glat.

Ejendomme

En jævn ordning over et felt er regelmæssig og dermed normal . Især reduceres en jævn plan over et felt .

Definer en variation over et felt k for at være et integreret adskilt skema af endelig type over k . Derefter er enhver glat adskilt ordning af endelig type over k en endelig uensartet forening af glatte sorter over k .

For en jævn variation X over de komplekse tal er rummet X ( C ) af komplekse punkter i X en kompleks manifold ved hjælp af den klassiske (euklidiske) topologi. Ligeledes er pladsen X ( R ) for reelle punkter for en jævn variation X over de reelle tal en reel manifold , muligvis tom.

For enhver ordning X , der er lokalt for finite form over et felt k , er der en sammenhængende bundt Ω 1 af differentialer på X . Skemaet X er glat over k, hvis og kun hvis Ω 1 er et vektorbundt af rang svarende til dimensionen X nær hvert punkt. I så fald Ω 1 kaldes cotangens bundt af X . Den tangent bundt af en glat ordning løbet k kan defineres som den dobbelte bundt, TX = (Ω 1 ) * .

Glathed er en geometrisk egenskab , hvilket betyder, at der for ethvert område forlængelse E af k , en ordning X er glatte over k hvis og kun hvis ordningen X E  : = X × Spec k Spec E er glatte over E . For et perfekt felt k er et skema X glat over k, hvis og kun hvis X er lokalt af endelig type over k og X er regelmæssig .

Generisk glathed

Et skema X siges at være generisk glat for dimension n over k, hvis X indeholder en åben tæt delmængde, der er glat for dimension n over k . Hver sort over et perfekt felt (især et algebraisk lukket felt) er generisk glat.

Eksempler

  • Affine space og projective space er glatte ordninger over et felt k .
  • Et eksempel på en glat hyperoverflade i projektiv rum P n løbet k er Fermat hyperoverflade x 0 d + ... + x n d = 0, for ethvert positivt heltal d , der er invertibel i k .
  • Et eksempel på en ental (ikke-glat) ordning over et felt k er den lukkede underordning x 2 = 0 i affine linje A 1 løbet k .
  • Et eksempel på en ental (ikke-glat) sort over k er den cuspidal kubisk kurve x 2 = y 3 i affine plan A 2 , som er glatte uden oprindelse ( x , y ) = (0,0).
  • En 0-dimensionel sort X over et felt k har formen X = Spec E , hvor E er et endeligt udvidelsesfelt på k . Sorten X er glat over k, hvis og kun hvis E er en udskillelig forlængelse af k . Således, hvis E ikke kan adskilles over k , er X et almindeligt skema, men er ikke glat over k . For eksempel, lad k være inden for rationelle funktioner F p ( t ) for et primtal p , og lad E = F p ( t 1 / p ); så er Spec E en række dimensioner 0 over k, som er et almindeligt skema, men ikke glat over k .
  • Schubert-sorter er generelt ikke glatte.

Bemærkninger

Referencer

  • D. Gaitsgory 's noter om fladhed og glathed på http://www.math.harvard.edu/~gaitsgde/Schemes_2009/BR/SmoothMaps.pdf
  • Hartshorne, Robin (1977), Algebraic Geometry , Graduate Texts in Mathematics , 52 , New York: Springer-Verlag, ISBN   978-0-387-90244-9 , MR   0463157
  • Matsumura, Hideyuki (1989), Commutative Ring Theory , Cambridge Studies in Advanced Mathematics (2. udgave), Cambridge University Press , ISBN   978-0-521-36764-6 , MR   1011461

Se også