Funktionel determinant - Functional determinant

I funktionel analyse , en gren af matematik , er det undertiden muligt at generalisere forestillingen om determinanten af en kvadratmatrix af endelig orden (som repræsenterer en lineær transformation fra et endeligt-dimensionelt vektorrum til sig selv) til det uendelige-dimensionelle tilfælde af en lineær operator S kortlægger et funktionsrum V til sig selv. Den tilsvarende mængde det ( S ) kaldes funktionelle determinant af S .

Der er flere formler for den funktionelle determinant. De er alle baseret på det faktum, at determinanten for en endelig matrix er lig med produktet af matrixens egenværdier . En matematisk streng definition er via operatørens zeta-funktion ,

${\ displaystyle \ zeta _ {S} (a) = \ operatorname {tr} \, S ^ {- a} \ ,,}$

hvor tr står for det funktionelle spor : determinanten defineres derefter ved

${\ displaystyle \ det S = e ^ {- \ zeta _ {S} '(0)} \ ,,}$

hvor zeta-funktionen i punktet s = 0 defineres ved analytisk fortsættelse . En anden mulig generalisering, der ofte bruges af fysikere, når de bruger Feynman-stien integral formalisme i kvantefeltteori (QFT), bruger en funktionel integration :

${\ displaystyle \ det S \ propto \ left (\ int _ {V} {\ mathcal {D}} \ phi \; e ^ {- \ langle \ phi, S \ phi \ rangle} \ right) ^ {- 2 } \.}$

Denne stiintegral er kun veldefineret op til en eller anden divergent multiplikativ konstant. For at give det en streng betydning, skal den deles med en anden funktionel determinant, hvorved de problematiske 'konstanter' effektivt annulleres.

Disse er nu tilsyneladende to forskellige definitioner for den funktionelle determinant, en kommer fra kvantefeltteori og en kommer fra spektral teori . Hver involverer en eller anden form for regulering : i definitionen populær i fysik kan to determinanter kun sammenlignes med hinanden; i matematik blev zeta-funktionen brugt. Osgood, Phillips & Sarnak (1988) har vist, at resultaterne opnået ved sammenligning af to funktionelle determinanter i QFT-formalismen stemmer overens med resultaterne opnået af den zeta-funktionelle determinant.

Definition af formler

Sti integreret version

For en positiv selvtilstødende operatør S på et endelig-dimensionelt euklidisk rum V , formlen

${\ displaystyle {\ frac {1} {\ sqrt {\ det S}}} = \ int _ {V} e ^ {- \ pi \ langle x, Sx \ rangle} \, dx}$

holder.

Problemet er at finde en måde at give mening om determinanten for en operator S på et uendeligt dimensionelt funktionsrum. En tilgang, begunstiget i kvantefeltteori, hvor funktionsrummet består af kontinuerlige stier på et lukket interval, er at formelt forsøge at beregne integralet

${\ displaystyle \ int _ {V} e ^ {- \ pi \ langle \ phi, S \ phi \ rangle} \, {\ mathcal {D}} \ phi}$

hvor V er den funktion rum og den L ² indre produkt og den Wiener foranstaltning . Den grundlæggende antagelse på S er, at den skal være selvtilstødende og have et diskret spektrum λ ₁ , λ ₂ , λ ₃ , ... med et tilsvarende sæt egenfunktioner f ₁ , f ₂ , f ₃ , ... som er komplette i L ² (som for eksempel ville være tilfældet for den anden afledte operator i et kompakt interval Ω). Dette betyder stort set, at alle funktioner φ kan skrives som lineære kombinationer af funktionerne f _i : ${\ displaystyle \ langle \ cdot, \ cdot \ rangle}$${\ displaystyle {\ mathcal {D}} \ phi}$

${\ displaystyle | \ phi \ rangle = \ sum _ {i} c_ {i} | f_ {i} \ rangle \ quad {\ text {with}} c_ {i} = \ langle f_ {i} | \ phi \ rangle.}$

Derfor kan det indre produkt i det eksponentielle skrives som

${\ displaystyle \ langle \ phi | S | \ phi \ rangle = \ sum _ {i, j} c_ {i} ^ {*} c_ {j} \ langle f_ {i} | S | f_ {j} \ rangle = \ sum _ {i, j} c_ {i} ^ {*} c_ {j} \ delta _ {ij} \ lambda _ {i} = \ sum _ {i} | c_ {i} | ^ {2} \ lambda _ {i}.}$

I grundlaget for funktionerne f _i den funktionelle integration reducerer til en integration i alle basisfunktioner. Formelt set under forudsætning af, at vores intuition fra det endelige dimensionelle tilfælde overføres til den uendelige dimensionelle indstilling, skal målingen derefter være lig med

${\ displaystyle {\ mathcal {D}} \ phi = \ prod _ {i} {\ frac {dc_ {i}} {2 \ pi}}.}$

Dette gør det funktionelle integreret til et produkt af Gaussiske integraler :

${\ displaystyle \ int _ {V} {\ mathcal {D}} \ phi \; e ^ {- \ langle \ phi | S | \ phi \ rangle} = \ prod _ {i} \ int _ {- \ infty } ^ {+ \ infty} {\ frac {dc_ {i}} {2 \ pi}} e ^ {- \ lambda _ {i} c_ {i} ^ {2}}.}$

Integralerne kan derefter evalueres ved at give

${\ displaystyle \ int _ {V} {\ mathcal {D}} \ phi \; e ^ {- \ langle \ phi | S | \ phi \ rangle} = \ prod _ {i} {\ frac {1} { 2 {\ sqrt {\ pi \ lambda _ {i}}}}} = {\ frac {N} {\ sqrt {\ prod _ {i} \ lambda _ {i}}}}}$

hvor N er en uendelig konstant, der skal håndteres af en eller anden reguleringsprocedure. Produktet af alle egenværdier er lig med determinanten for endelige dimensionelle rum, og vi definerer formelt, at dette også skal være tilfældet i vores uendelige dimensionelle tilfælde. Dette resulterer i formlen

${\ displaystyle \ int _ {V} {\ mathcal {D}} \ phi \; e ^ {- \ langle \ phi | S | \ phi \ rangle} \ propto {\ frac {1} {\ sqrt {\ det S}}}.}$

Hvis alle størrelser konvergerer i en passende forstand, kan den funktionelle determinant beskrives som en klassisk grænse (Watson og Whittaker). Ellers er det nødvendigt at udføre en slags regulering . Den mest populære af dem til beregning af funktionelle determinanter er zeta-funktionens regulering . For eksempel tillader dette beregning af determinanten for Laplace- og Dirac-operatorerne på en Riemannian-manifold ved hjælp af funktionen Minakshisundaram – Pleijel zeta . Ellers er det også muligt at overveje kvotienten af ​​to determinanter, hvilket får de divergerende konstanter til at annullere.

Zeta-funktion version

Lad S være en elliptisk differentiel operator med glatte koefficienter, hvilket er positivt på kompakt understøttelsesfunktioner . Det vil sige, der findes en konstant c > 0 sådan, at

${\ displaystyle \ langle \ phi, S \ phi \ rangle \ geq c \ langle \ phi, \ phi \ rangle}$

til alle kompakte understøttede glatte funktioner φ. Derefter har S en selvtilhængende udvidelse til en operatør på L ² med nedre grænse c . Egenværdierne for S kan arrangeres i en sekvens

${\ displaystyle 0 <\ lambda _ {1} \ leq \ lambda _ {2} \ leq \ cdots, \ qquad \ lambda _ {n} \ to \ infty.}$

Derefter er zeta-funktionen af S defineret af serien:

${\ displaystyle \ zeta _ {S} (s) = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {1} {\ lambda _ {n} ^ {s}}}.}$

Det vides, at ζ _S har en meromorf forlængelse af hele planet. Desuden, selvom man kan definere zeta-funktionen i mere generelle situationer, er zeta-funktionen hos en elliptisk differentiel operator (eller pseudodifferentiel operator) regelmæssig ved .${\ displaystyle s = 0}$

Formelt giver differentiering af denne serie hver for sig

${\ displaystyle \ zeta _ {S} '(s) = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {- \ ln \ lambda _ {n}} {\ lambda _ {n} ^ { s}}},}$

og så hvis den funktionelle determinant er veldefineret, skal den gives af

${\ displaystyle \ det S = \ exp \ left (- \ zeta _ {S} '(0) \ right).}$

Da den analytiske fortsættelse af zeta-funktionen er regelmæssig på nul, kan dette strengt vedtages som en definition af determinanten.

Denne form for Zeta-reguleret funktionel determinant vises også ved evaluering af formens summer , integration over a giver, som det bare kan betragtes som logaritmen til determinanten for en harmonisk oscillator, denne sidste værdi er lig med , hvor er Hurwitz zeta funktion . ${\ textstyle \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {1} {(n + a)}}}$${\ textstyle \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} \ ln (n + a)}$${\ displaystyle - \ partial _ {s} \ zeta _ {H} (0, a)}$${\ displaystyle \ zeta _ {H} (s, a)}$

Praktisk eksempel

Det uendelige potentiale godt

Vi beregner determinanten for følgende operatør, der beskriver bevægelsen af ​​en kvantemekanisk partikel i et uendeligt potentiale :

${\ displaystyle \ det \ left (- {\ frac {d ^ {2}} {dx ^ {2}}} + A \ right) \ qquad (x \ i [0, L]),}$

hvor A er dybden af ​​potentialet og L er længden af ​​brønden. Vi beregner denne determinant ved at diagonalisere operatøren og multiplicere egenværdierne . For ikke at skulle bekymre os om den uinteressante divergerende konstant, beregner vi kvotienten mellem determinanterne for operatoren med dybden A og operatoren med dybden A = 0. Egenværdierne for dette potentiale er lig med

${\ displaystyle \ lambda _ {n} = {\ frac {n ^ {2} \ pi ^ {2}} {L ^ {2}}} + A \ qquad (n \ i \ mathbb {N} \ setminus \ {0 \}).}$

Det betyder at

${\ displaystyle {\ frac {\ det \ left (- {\ frac {d ^ {2}} {dx ^ {2}}} + A \ right)} {\ det \ left (- {\ frac {d ^ {2}} {dx ^ {2}}} \ right)}} = \ prod _ {n = 1} ^ {+ \ infty} {\ frac {{\ frac {n ^ {2} \ pi ^ {2 }} {L ^ {2}}} + A} {\ frac {n ^ {2} \ pi ^ {2}} {L ^ {2}}}} = \ prod _ {n = 1} ^ {+ \ infty} \ left (1 + {\ frac {L ^ {2} A} {n ^ {2} \ pi ^ {2}}} \ højre).}$

Nu kan vi bruge Euler 's uendelige produkt repræsentation for sinus funktion :

${\ displaystyle \ sin z = z \ prod _ {n = 1} ^ {\ infty} \ left (1 - {\ frac {z ^ {2}} {n ^ {2} \ pi ^ {2}}} \ret)}$

hvorfra en lignende formel for den hyperbolske sinusfunktion kan udledes:

${\ displaystyle \ sinh z = -i \ sin iz = z \ prod _ {n = 1} ^ {\ infty} \ left (1 + {\ frac {z ^ {2}} {n ^ {2} \ pi ^ {2}}} \ højre).}$

Ved at anvende dette finder vi det

${\ displaystyle {\ frac {\ det \ left (- {\ frac {d ^ {2}} {dx ^ {2}}} + A \ right)} {\ det \ left (- {\ frac {d ^ {2}} {dx ^ {2}}} \ højre)}} = \ prod _ {n = 1} ^ {+ \ infty} \ left (1 + {\ frac {L ^ {2} A} {n ^ {2} \ pi ^ {2}}} \ right) = {\ frac {\ sinh L {\ sqrt {A}}} {L {\ sqrt {A}}}}.}$

En anden måde at beregne den funktionelle determinant på

For endimensionelle potentialer findes der en genvej, der giver den funktionelle determinant. Det er baseret på overvejelse af følgende udtryk:

${\ displaystyle {\ frac {\ det \ left (- {\ frac {d ^ {2}} {dx ^ {2}}} + V_ {1} (x) -m \ right)} {\ det \ left (- {\ frac {d ^ {2}} {dx ^ {2}}} + V_ {2} (x) -m \ right)}}}$

hvor m er en kompleks konstant. Dette udtryk er en meromorf funktion af m , har nuller når m er lig en egenværdi af operatøren med potentielle V ₁ ( x ) og en pol når m er en egenværdi af operatøren med potentielle V ₂ ( x ). Vi overvejer nu funktionerne ψ^m
₁og ψ^m
₂ med

${\ displaystyle \ left (- {\ frac {d ^ {2}} {dx ^ {2}}} + V_ {i} (x) -m \ right) \ psi _ {i} ^ {m} (x ) = 0}$

overholdelse af randbetingelserne

${\ displaystyle \ psi _ {i} ^ {m} (0) = 0, \ quad \ qquad {\ frac {d \ psi _ {i} ^ {m}} {dx}} (0) = 1.}$

Hvis vi konstruerer funktionen

${\ displaystyle \ Delta (m) = {\ frac {\ psi _ {1} ^ {m} (L)} {\ psi _ {2} ^ {m} (L)}},}$

som også er en meromorf funktion af m , ser vi, at den har nøjagtigt de samme poler og nuller som kvotienten af ​​determinanter, vi prøver at beregne: hvis m er en egenværdi af operator nummer 1, så ψ^m
₁( x ) vil være en egenfunktion deraf, hvilket betyder ψ^m
₁( L ) = 0 ; og analogt for nævneren. Ved Liouville's sætning skal to meromorfe funktioner med de samme nuller og poler være proportionale med hinanden. I vores tilfælde viser proportionalitetskonstanten sig at være en, og vi får

${\ displaystyle {\ frac {\ det \ left (- {\ frac {d ^ {2}} {dx ^ {2}}} + V_ {1} (x) -m \ right)} {\ det \ left (- {\ frac {d ^ {2}} {dx ^ {2}}} + V_ {2} (x) -m \ right)}} = {\ frac {\ psi _ {1} ^ {m} (L)} {\ psi _ {2} ^ {m} (L)}}}$

for alle værdier på m . For m = 0 får vi

${\ displaystyle {\ frac {\ det \ left (- {\ frac {d ^ {2}} {dx ^ {2}}} + V_ {1} (x) \ right)} {\ det \ left (- {\ frac {d ^ {2}} {dx ^ {2}}} + V_ {2} (x) \ right)}} = {\ frac {\ psi _ {1} ^ {0} (L)} {\ psi _ {2} ^ {0} (L)}}.}$

Det uendelige potentiale godt revideret

Problemet i det foregående afsnit kan lettere løses med denne formalisme. Funktionerne ψ⁰
_i( x ) adlyde

${\ displaystyle {\ begin {align} & \ left (- {\ frac {d ^ {2}} {dx ^ {2}}} + A \ right) \ psi _ {1} ^ {0} = 0, \ qquad \ psi _ {1} ^ {0} (0) = 0 \ quad, \ qquad {\ frac {d \ psi _ {1} ^ {0}} {dx}} (0) = 1, \\ & - {\ frac {d ^ {2}} {dx ^ {2}}} \ psi _ {2} ^ {0} = 0, \ qquad \ psi _ {2} ^ {0} (0) = 0 , \ qquad {\ frac {d \ psi _ {2} ^ {0}} {dx}} (0) = 1, \ end {justeret}}}$

giver følgende løsninger:

${\ displaystyle {\ begin {align} & \ psi _ {1} ^ {0} (x) = {\ frac {1} {\ sqrt {A}}} \ sinh x {\ sqrt {A}}, \ \ & \ psi _ {2} ^ {0} (x) = x. \ slut {justeret}}}$

Dette giver det endelige udtryk

${\ displaystyle {\ frac {\ det \ left (- {\ frac {d ^ {2}} {dx ^ {2}}} + A \ right)} {\ det \ left (- {\ frac {d ^ {2}} {dx ^ {2}}} \ right)}} = {\ frac {\ sinh L {\ sqrt {A}}} {L {\ sqrt {A}}}}.}$

Se også

• Fredholm determinant
• Fujikawa metode
• Faddeev – Popov-spøgelse

Bemærkninger

Referencer

• Berline, Nicole; Getzler, Ezra; Vergne, Michèle (2004), Heat Kernels and Dirac Operators , ISBN 978-3-540-20062-8
• Branson, Thomas P. (2007), "Q-krumning, spektrale invarianter og repræsentationsteori", Symmetri, integrerbarhed og geometri: Metoder og applikationer , 3 : Paper 090, 31, arXiv : 0709.2471 , Bibcode : 2007SIGMA ... 3 ..090B , doi : 10.3842 / SIGMA.2007.090 , ISSN  1815-0659 , MR  2366932 , S2CID  14629173
• Branson, Thomas P. (1993), The functional determinant , Lecture Notes Series, 4 , Seoul: Seoul National University Research Institute of Mathematics Global Analysis Research Center, MR  1325463
• Hörmander, Lars (1968), "Den elliptiske operatores spektrale funktion", Acta Mathematica , 121 : 193–218, doi : 10.1007 / BF02391913 , ISSN  0001-5962 , MR  0609014
• Osgood, B .; Phillips, R .; Sarnak, Peter (1988), "Extremals of determinants of Laplacians", Journal of Functional Analysis , 80 (1): 148–211, doi : 10.1016 / 0022-1236 (88) 90070-5 , ISSN  0022-1236 , MR  0960228
• Ray, DB; Singer, IM (1971), " R -torion and the Laplacian on Riemannian manifolds", Advances in Mathematics , 7 (2): 145-210, doi : 10.1016 / 0001-8708 (71) 90045-4 , MR  0295381
• Seeley, RT (1967), "Complex powers of an elliptic operator", Singular Integrals (Proc. Sympos. Pure Math., Chicago, Ill., 1966) , Providence, RI: American Mathematical Society , s. 288–307, MR  0237943
• Shubin, MA (1987), Pseudodifferentielle operatorer og spektral teori , Springer Series in Soviet Mathematics, Berlin, New York: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-13621-7, MR  0883081