Ising model - Ising model

Statistisk mekanik
Termodynamik Kinetisk teori
Partikelstatistik Spin -statistik sætning Identiske partikler Maxwell – Boltzmann Bose -Einstein Fermi – Dirac Parastatistik Anyonic statistik Fletningsstatistik
Termodynamiske ensembler NVE mikrokanonisk NVT Canonical µVT Grand canonical NPH isoenthalpisk -isobarisk NPT isotermisk -isobarisk
Modeller Debye Einstein Jeg synger Potts
Potentialer Intern energi Enthalpy Helmholtz fri energi Gibbs gratis energi Stort potentiale / Landau fri energi
Forskere Maxwell Boltzmann Gibbs Einstein Ehrenfest von Neumann Tolman Debye Fermi Bose
v t e

Den Ising-modellen ( / aɪ s ɪ ŋ / ; tysk: [iːzɪŋ] ), (eller Lenz-Ising model eller Ising-Lenz model ), opkaldt efter fysikerne Ernst Ising og Wilhelm Lenz (der udviklede det i løbet af deres tid på Hamborg University ), er en matematisk model for ferromagnetisme i statistisk mekanik . Modellen består af diskrete variabler, der repræsenterer magnetiske dipolmomenter for atomiske "spins", der kan være i en af ​​to tilstande (+1 eller −1). Spins er arrangeret i en graf, normalt et gitter (hvor den lokale struktur gentages med jævne mellemrum i alle retninger), så hvert spin kan interagere med sine naboer. Nabo -spins, der er enige, har en lavere energi end dem, der er uenige; systemet har tendens til den laveste energi, men varme forstyrrer denne tendens og skaber dermed mulighed for forskellige strukturelle faser. Modellen gør det muligt at identificere faseovergange som en forenklet model af virkeligheden. Den todimensionale kvadratgitter Ising-model er en af ​​de enkleste statistiske modeller, der viser en faseovergang .

Ising -modellen blev opfundet af fysikeren Wilhelm Lenz  ( 1920 ), som gav den som et problem til sin elev Ernst Ising. Den endimensionelle Ising-model blev løst af Ising (1925) selv i sit speciale fra 1924; den har ingen faseovergang. Den todimensionale Ising-model med firkantet gitter er meget hårdere og fik først en analytisk beskrivelse meget senere af Lars Onsager  ( 1944 ). Det løses normalt ved en overførselsmatrixmetode , selvom der findes forskellige tilgange, mere relateret til kvantefeltteori .

I dimensioner større end fire beskrives faseovergangen af ​​Ising-modellen ved middel-feltteori .

Ising-problemet uden et eksternt felt kan ækvivalent formuleres som en graf med maksimal cut (Max-Cut) problem, der kan løses via kombinatorisk optimering .

Definition

Overvej et sæt Λ gittersteder, hver med et sæt tilstødende steder (f.eks. En graf ), der danner et d -dimensionelt gitter. For hvert gittersted k  ∈ Λ er der en diskret variabel σ _k således, at σ _k  ∈ {+1, −1}, der repræsenterer stedets spin. En spin -konfiguration , σ = (σ _k ) _{k  ∈ Λ} er en tildeling af centrifugeringsværdi til hvert gittersted.

For to tilstødende steder i ,  j  ∈ Λ er der en interaktion J _ij . Også et websted j  ∈ Λ har et eksternt magnetfelt h _{j, der} interagerer med det. Den energi af en konfiguration σ er givet ved Hamiltonian funktion

${\ displaystyle H (\ sigma) =-\ sum _ {\ langle i ~ j \ rangle} J_ {ij} \ sigma _ {i} \ sigma _ {j}-\ mu \ sum _ {j} h_ {j } \ sigma _ {j},}$

hvor den første sum er over par tilstødende spins (hvert par tælles én gang). Notationen ⟨ ij ⟩ indikerer, at hjemmesider i og j er nærmeste naboer. Det magnetiske moment er givet ved µ. Bemærk, at tegnet i det andet udtryk i Hamiltonian ovenfor faktisk burde være positivt, fordi elektronens magnetiske moment er parallelt med dets spin, men det negative udtryk bruges konventionelt. Den konfiguration sandsynlighed er givet ved Boltzmann fordeling med invers temperatur β ≥ 0:

${\ displaystyle P _ {\ beta} (\ sigma) = {\ frac {e^{-\ beta H (\ sigma)}} {Z _ {\ beta}}},}$

hvor β = ( k _B T ) ⁻¹ , og normaliseringskonstanten

${\ displaystyle Z _ {\ beta} = \ sum _ {\ sigma} e^{-\ beta H (\ sigma)}}$

er partitionsfunktionen . For en funktion f af spins ("observerbar") betegner man med

${\ displaystyle \ langle f \ rangle _ {\ beta} = \ sum _ {\ sigma} f (\ sigma) P _ {\ beta} (\ sigma)}$

forventningsværdien (middelværdien) af f .

Konfigurationssandsynlighederne P _β (σ) repræsenterer sandsynligheden for, at (i ligevægt) systemet er i en tilstand med konfiguration σ.

Diskussion

Minustegnet på hvert udtryk i den hamiltonske funktion H (σ) er konventionelt. Ved hjælp af denne skiltkonvention kan Ising -modeller klassificeres i henhold til tegnet på interaktionen: hvis, for et par i ,  j

${\ displaystyle J_ {ij}> 0}$, interaktionen kaldes ferromagnetisk ,

${\ displaystyle J_ {ij} <0}$, interaktionen kaldes antiferromagnetisk ,

${\ displaystyle J_ {ij} = 0}$, spins er ikke -interagerende .

Systemet kaldes ferromagnetisk eller antiferromagnetisk, hvis alle interaktioner er ferromagnetiske eller alle er antiferromagnetiske. De originale Ising -modeller var ferromagnetiske, og det antages stadig ofte, at "Ising -model" betyder en ferromagnetisk Ising -model.

I en ferromagnetisk Ising -model ønsker spins at blive justeret: De konfigurationer, hvor tilstødende spins er af samme tegn, har større sandsynlighed. I en antiferromagnetisk model har tilstødende spins tendens til at have modsatte tegn.

Tegnkonventionen af H (σ) forklarer også, hvordan et spin -site j interagerer med det eksterne felt. Spin -stedet ønsker nemlig at stille op med det eksterne felt. Hvis:

${\ displaystyle h_ {j}> 0}$, spin -stedet j ønsker at stille sig i positiv retning,

${\ displaystyle h_ {j} <0}$, spin -stedet j ønsker at stille sig op i den negative retning,

${\ displaystyle h_ {j} = 0}$, der er ingen ekstern indflydelse på spin -stedet.

Forenklinger

Ising -modeller undersøges ofte uden at et eksternt felt interagerer med gitteret, det vil sige h  = 0 for alle j i gitteret Λ. Ved hjælp af denne forenkling bliver Hamiltonian

${\ displaystyle H (\ sigma) =-\ sum _ {\ langle i ~ j \ rangle} J_ {ij} \ sigma _ {i} \ sigma _ {j}.}$

Når det eksterne felt er overalt nul, h  = 0, er Ising -modellen symmetrisk under skift af værdien af ​​centrifugeringen i alle gitterstederne; et nul -felt bryder denne symmetri.

En anden almindelig forenkling er at antage, at alle de nærmeste naboer ⟨ ij ⟩ have den samme interaktion styrke. Så kan vi indstille J _ij = J for alle par i ,  j i Λ. I dette tilfælde er Hamiltonian yderligere forenklet til

${\ displaystyle H (\ sigma) =-J \ sum _ {\ langle i ~ j \ rangle} \ sigma _ {i} \ sigma _ {j}.}$

Forbindelse til grafens maksimale snit

En delmængde S af toppunktssættet V (G) af en vægtet, ikke -orienteret graf G bestemmer et snit af grafen G i S og dens komplementære delmængde G \ S. Snittets størrelse er summen af ​​kanternes vægte mellem S og G \ S. En maksimal snitstørrelse er mindst størrelsen på ethvert andet snit, varierende S.

For Ising -modellen uden et eksternt felt på en graf G, bliver Hamiltonian følgende sum over grafens kanter E (G)

${\ displaystyle H (\ sigma) =-\ sum _ {ij \ i E (G)} J_ {ij} \ sigma _ {i} \ sigma _ {j}}$.

Her er hvert toppunkt i i grafen et spin -sted, der tager en spin -værdi . En given spin -konfiguration opdeler sæt af hjørner i to -afhængige undersæt, dem med spin up og dem med spin down . Vi betegner det -afhængige sæt kanter, der forbinder de to komplementære toppunktsundergrupper og . Den størrelse af snittet til todelte den vejede ikke-orienteret graf G kan defineres som ${\ displaystyle \ sigma _ {i} = \ pm 1}$${\ displaystyle \ sigma}$${\ displaystyle V (G)}$${\ displaystyle \ sigma}$${\ displaystyle V^{+}}$${\ displaystyle V^{-}}$${\ displaystyle \ delta (V^{+})}$${\ displaystyle \ sigma}$${\ displaystyle V^{+}}$${\ displaystyle V^{-}}$ ${\ displaystyle \ venstre | \ delta (V^{+}) \ højre |}$${\ displaystyle \ delta (V^{+})}$

${\ displaystyle \ left | \ delta (V^{+}) \ right | = {\ frac {1} {2}} \ sum _ {ij \ in \ delta (V^{+})} W_ {ij} }$,

hvor betegner en vægt af kanten og skaleringen 1/2 indføres for at kompensere for dobbelt tælling af de samme vægte . ${\ displaystyle W_ {ij}}$${\ displaystyle ij}$${\ displaystyle W_ {ij} = W_ {ji}}$

Identiteterne

${\ displaystyle {\ begin {align} H (\ sigma) & =-\ sum _ {ij \ in E (V^{+})} J_ {ij}-\ sum _ {ij \ in E (V^{ -})} J_ {ij}+\ sum _ {ij \ in \ delta (V^{+})} J_ {ij} \\ & =-\ sum _ {ij \ i E (G)} J_ {ij } +2 \ sum _ {ij \ in \ delta (V^{+})} J_ {ij}, \ slut {justeret}}}$

hvor den samlede sum i det første udtryk ikke afhænger af , indebærer, at minimering i svarer til minimering . Ved at definere kantvægten gøres Ising-problemet uden et eksternt felt til en graf Max-Cut-problem, der maksimerer snittstørrelsen , som er relateret til Ising Hamiltonian som følger, ${\ displaystyle \ sigma}$${\ displaystyle H (\ sigma)}$${\ displaystyle \ sigma}$${\ displaystyle \ sum _ {ij \ in \ delta (V^{+})} J_ {ij}}$${\ displaystyle W_ {ij} =-J_ {ij}}$${\ displaystyle \ venstre | \ delta (V^{+}) \ højre |}$

${\ displaystyle H (\ sigma) = \ sum _ {ij \ i E (G)} W_ {ij} -4 \ venstre | \ delta (V^{+}) \ højre |.}$

Spørgsmål

Et betydeligt antal statistiske spørgsmål at stille om denne model er i grænsen for et stort antal spins:

• I en typisk konfiguration, er de fleste af spins +1 eller −1, eller er de delt ligeligt?
• Hvis et spin i en given position i er 1, hvad er sandsynligheden for, at spinet i position j også er 1?
• Hvis β ændres, er der en faseovergang?
• På et gitter Λ, hvad er fraktaldimensionen af ​​formen på en stor klynge på +1 spins?

Grundlæggende egenskaber og historie

Det mest studerede tilfælde af Ising-modellen er den translation-invariante ferromagnetiske nulfeltmodel på et d -dimensionelt gitter, nemlig Λ =  Z ^d , J _ij  = 1, h  = 0.

I sin ph.d. -afhandling fra 1924 løste Ising modellen for d  = 1 -sagen, der kan opfattes som en lineær horisontal gitter, hvor hvert sted kun interagerer med sin venstre og højre nabo. I en dimension indrømmer løsningen ingen faseovergang . Nemlig for enhver positiv β, korrelationerne ⟨σ _jeg σ _j ⟩ henfald eksponentielt i | i  -  j |:

${\ displaystyle \ langle \ sigma _ {i} \ sigma _ {j} \ rangle _ {\ beta} \ leq C \ exp {\ big (} -c (\ beta) | ij | {\ big)},}$

og systemet er uordentligt. På grundlag af dette resultat konkluderede han forkert, at denne model ikke udviser faseadfærd i nogen dimension.

Ising -modellen gennemgår en faseovergang mellem en ordnet og en uordnet fase i 2 dimensioner eller mere. Systemet er nemlig uordentligt for små β, mens systemet for stor β udviser ferromagnetisk orden:

${\ displaystyle \ langle \ sigma _ {i} \ sigma _ {j} \ rangle _ {\ beta} \ geq c (\ beta)> 0.}$

Dette blev først bevist af Rudolf Peierls i 1936 ved hjælp af det, der nu kaldes et Peierls -argument .

Ising-modellen på et todimensionalt firkantet gitter uden magnetfelt blev analytisk løst af Lars Onsager  ( 1944 ). Onsager viste, at korrelationsfunktionerne og den frie energi i Ising -modellen bestemmes af en ikke -interagerende gitter fermion. Onsager annoncerede formlen for den spontane magnetisering for den 2-dimensionelle model i 1949, men gav ikke en afledning. Yang (1952) gav den første offentliggjorte bevis for denne formel under anvendelse af en grænse formel for Fredholm determinanter , viste sig i 1951 af Szego som direkte reaktion på Onsager arbejde.

Historisk betydning

Et af Democritus 'argumenter til støtte for atomisme var, at atomer naturligvis forklarer de skarpe fasegrænser, der observeres i materialer, som når is smelter til vand eller vand bliver til damp. Hans idé var, at små ændringer i atomskalaegenskaber ville føre til store ændringer i den samlede adfærd. Andre mente, at stof i sig selv er kontinuerligt, ikke atomisk, og at de store egenskaber ved stof ikke kan reduceres til grundlæggende atomære egenskaber.

Mens lovene om kemisk binding gjorde det klart for kemikerne fra 1800 -tallet, at atomer var virkelige, fortsatte debatten blandt fysikere langt ind i begyndelsen af ​​det tyvende århundrede. Atomister, især James Clerk Maxwell og Ludwig Boltzmann , anvendte Hamiltons formulering af Newtons love på store systemer og fandt ud af, at atomernes statistiske adfærd korrekt beskriver rumtemperaturgasser. Men den klassiske statistiske mekanik tog ikke højde for alle egenskaber ved væsker og faste stoffer, og heller ikke ved gasser ved lav temperatur.

Når moderne kvantemekanik var formuleret, var atomisme ikke længere i konflikt med eksperiment, men dette førte ikke til en universel accept af statistisk mekanik, som gik ud over atomisme. Josiah Willard Gibbs havde givet en fuldstændig formalisme til at gengive termodynamikkens love fra mekanikkens love. Men mange fejlbehæftede argumenter overlevede fra 1800 -tallet, hvor statistisk mekanik blev betragtet som tvivlsom. Intuitionens bortfald stammede for det meste fra det faktum, at grænsen for et uendeligt statistisk system har mange nul-en love, der er fraværende i endelige systemer: en uendelig lille ændring i en parameter kan føre til store forskelle i den samlede, aggregerede adfærd, som Democritus forventet.

Ingen faseovergange i begrænset volumen

I begyndelsen af ​​det tyvende århundrede troede nogle, at opdelingsfunktionen aldrig kunne beskrive en faseovergang baseret på følgende argument:

1. Opdelingsfunktionen er en sum af e ^{−β E} over alle konfigurationer.
2. Den eksponentielle funktion er overalt analytisk som en funktion af β.
3. Summen af ​​analytiske funktioner er en analytisk funktion.

Dette argument virker for en begrænset sum af eksponentialer og fastslår korrekt, at der ikke er nogen singulariteter i den frie energi i et system med en endelig størrelse. For systemer, der ligger i den termodynamiske grænse (det vil sige for uendelige systemer) kan den uendelige sum føre til singulariteter. Konvergensen til den termodynamiske grænse er hurtig, så faseadfærden er synlig allerede på et relativt lille gitter, selvom singulariteterne udjævnes af systemets begrænsede størrelse.

Dette blev først etableret af Rudolf Peierls i Ising -modellen.

Peierls dråber

Kort efter at Lenz og Ising konstruerede Ising -modellen, kunne Peierls eksplicit vise, at der sker en faseovergang i to dimensioner.

For at gøre dette sammenlignede han grænserne for høj temperatur og lav temperatur. Ved uendelig temperatur (β = 0) har alle konfigurationer lige stor sandsynlighed. Hvert spin er fuldstændigt uafhængigt af alle andre, og hvis typiske konfigurationer ved uendelig temperatur er afbildet, så plus/minus er repræsenteret med sort og hvid, ligner de fjernsyns sne . For høj, men ikke uendelig temperatur, er der små sammenhænge mellem nabopositioner, sneen har en tendens til at klumpe lidt, men skærmen forbliver tilfældigt og der er ikke et nettooverskud af sort eller hvid.

Et kvantitativt mål for overskuddet er magnetiseringen , som er gennemsnitsværdien af ​​centrifugeringen:

${\ displaystyle M = {\ frac {1} {N}} \ sum _ {i = 1}^{N} \ sigma _ {i}.}$

Et falsk argument analogt med argumentet i det sidste afsnit fastslår nu, at magnetiseringen i Ising -modellen altid er nul.

1. Hver konfiguration af spins har samme energi som konfigurationen med alle spins vendt.
2. Så for hver konfiguration med magnetisering M er der en konfiguration med magnetisering - M med lige stor sandsynlighed.
3. Systemet skal derfor bruge lige store mængder af tid i konfigurationen med magnetisering M som med magnetisering - M .
4. Så den gennemsnitlige magnetisering (overalt) er nul.

Som før beviser dette kun, at den gennemsnitlige magnetisering er nul ved et endeligt volumen. For et uendeligt system kan udsving muligvis ikke skubbe systemet fra en for det meste plus -tilstand til et for det meste minus med en nul -sandsynlighed.

Ved meget høje temperaturer er magnetiseringen nul, som den er ved uendelig temperatur. For at se dette skal du bemærke, at hvis spin A kun har en lille korrelation ε med spin B, og B kun er svagt korreleret med C, men C ellers er uafhængig af A, går størrelsen af ​​korrelation for A og C til ε ² . For to spins adskilt af afstand L går mængden af ​​korrelation som ε ^L , men hvis der er mere end én vej, som korrelationerne kan bevæge sig på, forstærkes denne mængde med antallet af stier.

Antallet af stier med længde L på et firkantet gitter i d dimensioner er

${\ displaystyle N (L) = (2d)^{L},}$

da der er 2 d valgmuligheder for hvor man skal gå i hvert trin.

En grænse for den samlede korrelation er givet af bidraget til korrelationen ved at summere over alle stier, der forbinder to punkter, som er afgrænset ovenfor af summen over alle stier med længde L divideret med

${\ displaystyle \ sum _ {L} (2d) ^{L} \ varepsilon ^{L},}$

som går til nul når ε er lille.

Ved lave temperaturer (β ≫ 1) er konfigurationerne nær den laveste energikonfiguration, den hvor alle spins er plus eller alle spins er minus. Peierls spurgte, om det er statistisk muligt ved lav temperatur, startende med alle spins minus, at svinge til en tilstand, hvor de fleste spins er plus. For at dette kan ske, skal dråber med plus -spin være i stand til at størkne for at få plus -tilstanden til at lyde.

Energien af ​​en dråbe plus -spins i en minusbaggrund er proportional med omkredsen af ​​dråben L, hvor plus -spin og minus -spins nabo hinanden. For en dråbe med omkreds L er området et sted mellem ( L  - 2) /2 (den lige linje) og ( L /4) ² (den firkantede boks). Sandsynlighedsomkostningerne for at indføre en dråbe har faktoren e ^{−β L} , men dette bidrager til fordelingsfunktionen ganget med det samlede antal dråber med omkreds L , hvilket er mindre end det samlede antal stier med længde L :

${\ displaystyle N (L) <4^{2L}.}$

Således at det samlede spin -bidrag fra dråber, selv overregning ved at lade hvert sted have en separat dråbe, er afgrænset ovenfor af

${\ displaystyle \ sum _ {L} L^{2} 4^{2L} e^{-4 \ beta L},}$

som går til nul ved stort β. For β tilstrækkeligt stor undertrykker dette eksponentielt lange sløjfer, så de ikke kan forekomme, og magnetiseringen svinger aldrig for langt fra -1.

Så Peierls fastslog, at magnetiseringen i Ising -modellen til sidst definerer sektorer for superselektion , adskilte domæner, der ikke er forbundet med begrænsede udsving.

Kramers – Wannier dualitet

Kramers og Wannier kunne vise, at højtemperaturudvidelsen og lavtemperaturudvidelsen af ​​modellen er lig med en samlet ændring af den frie energi. Dette tillod faseovergangspunktet i den todimensionelle model at blive bestemt nøjagtigt (under antagelse af, at der er et unikt kritisk punkt).

Yang – Lee nuller

Efter Onsagers løsning undersøgte Yang og Lee måden, hvorpå partitionsfunktionen bliver unik, når temperaturen nærmer sig den kritiske temperatur.

Monte Carlo metoder til numerisk simulering

Definitioner

Ising -modellen kan ofte være vanskelig at vurdere numerisk, hvis der er mange tilstande i systemet. Overvej en Ising -model med

L = | Λ |: det samlede antal websteder på gitteret,

σ _j ∈ {−1, +1}: et individuelt spin -sted på gitteret, j  = 1, ..., L ,

S ∈ {−1, +1} ^L : systemets tilstand.

Da hvert spin -site har ± 1 spin, er der 2 ^L forskellige tilstande, der er mulige. Dette motiverer årsagen til, at Ising -modellen simuleres ved hjælp af Monte Carlo -metoder .

Den Hamiltonian , der almindeligvis bruges til at repræsentere modellens energi, når man bruger Monte Carlo -metoder, er

${\ displaystyle H (\ sigma) =-J \ sum _ {\ langle i ~ j \ rangle} \ sigma _ {i} \ sigma _ {j} -h \ sum _ {j} \ sigma _ {j}. }$

Endvidere forenkles Hamiltonian yderligere ved at antage nul eksternt felt h , da mange spørgsmål, der stilles til at blive løst ved hjælp af modellen, kan besvares uden et eksternt felt. Dette fører os til følgende energiligning for tilstand σ:

${\ displaystyle H (\ sigma) =-J \ sum _ {\ langle i ~ j \ rangle} \ sigma _ {i} \ sigma _ {j}.}$

I betragtning af denne hamiltonske kan mængder af interesse, såsom den specifikke varme eller magnetiseringen af ​​magneten ved en given temperatur, beregnes.

Metropolis algoritme

Oversigt

Det Metropolis-Hastings algoritmen er den mest almindeligt brugte Monte Carlo algoritme til at beregne Ising model skøn. Algoritmen vælger først selektionssandsynligheder g (μ, ν), som repræsenterer sandsynligheden for, at tilstand ν er valgt af algoritmen ud af alle tilstande, da man er i tilstanden μ. Det bruger derefter accept sandsynligheder A (μ, ν), så detaljeret balance er opfyldt. Hvis den nye tilstand v accepteres, flytter vi til den tilstand og gentager med at vælge en ny tilstand og beslutter at acceptere den. Hvis ν ikke accepteres, bliver vi i μ. Denne proces gentages, indtil et eller andet stopkriterium er opfyldt, hvilket for Ising -modellen ofte er, når gitteret bliver ferromagnetisk , hvilket betyder, at alle steder peger i samme retning.

Ved implementering af algoritmen skal man sikre, at g (μ, ν) vælges således, at ergodiciteten opfyldes. I termisk ligevægt svinger et systems energi kun inden for et lille område. Dette er motivationen bag begrebet single-spin-flip dynamik , som siger, at vi i hver overgang kun vil ændre et af spin-stederne på gitteret. Desuden kan man ved hjælp af single-spin-flip-dynamik komme fra enhver tilstand til en anden tilstand ved at vende hvert sted, der adskiller sig mellem de to tilstande, en ad gangen.

Den maksimale ændringsmængde mellem energien i den nuværende tilstand, H _μ og enhver mulig ny stats energi H _ν (ved hjælp af single-spin-flip dynamics) er 2 J mellem det spin, vi vælger at "vende" for at flytte til den nye tilstand og den spins nabo. Således i et 1D Ising model, hvor hver lokalitet har to naboer (venstre og højre), vil den maksimale forskel i energi være 4 J .

Lad c repræsentere gitterets koordinationsnummer ; antallet af nærmeste naboer, som ethvert gittersted har. Vi antager, at alle websteder har samme antal naboer på grund af periodiske grænseforhold . Det er vigtigt at bemærke, at Metropolis – Hastings -algoritmen ikke fungerer godt omkring det kritiske punkt på grund af kritisk afmatning. Andre teknikker såsom multigrid -metoder, Niedermayer's algoritme, Swendsen – Wang -algoritme eller Wolff -algoritmen er nødvendige for at løse modellen nær det kritiske punkt; et krav til bestemmelse af systemets kritiske eksponenter.

Specifikation

Specielt for Ising-modellen og ved hjælp af single-spin-flip-dynamik kan man fastslå følgende.

Da der er L- totalsteder på gitteret, der bruger single-spin-flip som den eneste måde, vi overgår til en anden tilstand, kan vi se, at der er i alt L nye tilstande ν fra vores nuværende tilstand μ. Algoritmen antager, at udvælgelsessandsynligheder er lig med L stater: g (μ, ν) = 1 / L . Detaljeret balance fortæller os, at følgende ligning skal holde:

${\ displaystyle {\ frac {P (\ mu, \ nu)} {P (\ nu, \ mu)}} = {\ frac {g (\ mu, \ nu) A (\ mu, \ nu)} { g (\ nu, \ mu) A (\ nu, \ mu)}} = {\ frac {A (\ mu, \ nu)} {A (\ nu, \ mu)}} = {\ frac {P_ { \ beta} (\ nu)} {P _ {\ beta} (\ mu)}} = {\ frac {{\ frac {1} {Z}} e^{-\ beta (H _ {\ nu})}}} {{\ frac {1} {Z}} e^{-\ beta (H _ {\ mu})}}} = e^{-\ beta (H _ {\ nu} -H _ {\ mu})}.}$

Således ønsker vi at vælge accept sandsynligheden for vores algoritme at tilfredsstille

${\ displaystyle {\ frac {A (\ mu, \ nu)} {A (\ nu, \ mu)}} = e^{-\ beta (H _ {\ nu} -H _ {\ mu})}.}$

Hvis H _ν > H _μ , så A (ν, μ)> A (μ, ν). Metropolis sætter den største af A (μ, ν) eller A (ν, μ) til 1. Ved denne begrundelse er acceptalgoritmen:

${\ displaystyle A (\ mu, \ nu) = {\ begin {cases} e^{-\ beta (H _ {\ nu} -H _ {\ mu})} og {\ text {if}} H _ {\ nu} -H _ {\ mu}> 0, \\ 1 og {\ tekst {ellers}}. \ slut {sager}}}$

Den grundlæggende form for algoritmen er som følger:

1. Vælg et spin -sted ved hjælp af selektionssandsynlighed g (μ, ν) og beregne bidraget til energien, der involverer dette spin.
2. Vend spin -værdien, og bereg det nye bidrag.
3. Hvis den nye energi er mindre, skal du beholde den vendte værdi.
4. Hvis den nye energi er mere, skal du kun beholde sandsynligheden ${\ displaystyle e^{-\ beta (H _ {\ nu} -H _ {\ mu})}.}$
5. Gentage.

Ændringen i energi H _ν  -  H _μ afhænger kun af værdien af ​​centrifugeringen og dens nærmeste graf naboer. Så hvis grafen ikke er for forbundet, er algoritmen hurtig. Denne proces vil i sidste ende producere et valg fra distributionen.

Ser Ising -modellen som en Markov -kæde

Det er muligt at se Ising -modellen som en Markov -kæde , da den umiddelbare sandsynlighed P _β (ν) for overgang til en fremtidig tilstand ν kun afhænger af den nuværende tilstand μ. Metropolis-algoritmen er faktisk en version af en Markov-kæde Monte Carlo- simulering, og da vi bruger single-spin-flip-dynamik i Metropolis-algoritmen, kan hver stat ses som at have links til præcis L andre stater, hvor hver overgang svarer til at vende et enkelt spin -sted til den modsatte værdi. Da energiligningen H _σ ændring endvidere kun afhænger af den nærmeste nabos interaktionsstyrke J , kan Ising-modellen og dens varianter ses som en Sznajd-model som en form for en vælgermodel for meningsdynamik.

En dimension

Den termodynamiske grænse eksisterer, så længe interaktionsforfaldet er med α> 1. ${\ displaystyle J_ {ij} \ sim | ij |^{-\ alpha}}$

• I tilfælde af ferromagnetisk interaktion med 1 <α <2 beviste Dyson, sammenlignet med det hierarkiske tilfælde, at der er faseovergang ved lav nok temperatur.${\ displaystyle J_ {ij} \ sim | ij |^{-\ alpha}}$
• I tilfælde af ferromagnetisk interaktion beviste Fröhlich og Spencer, at der er faseovergang ved lille nok temperatur (i modsætning til det hierarkiske tilfælde).${\ displaystyle J_ {ij} \ sim | ij |^{-2}}$
• I tilfælde af interaktion med α> 2 (som inkluderer tilfælde af begrænsede interaktioner), er der ingen faseovergang ved nogen positiv temperatur (dvs. endelig β), da den frie energi er analytisk i de termodynamiske parametre.${\ displaystyle J_ {ij} \ sim | ij |^{-\ alpha}}$
• I tilfælde af nærmeste nabointeraktioner leverede E. Ising en nøjagtig løsning af modellen. Ved enhver positiv temperatur (dvs. endelig β) er den frie energi analytisk i termodynamiske parametre, og den afkortede to-punkts spin-korrelation henfalder eksponentielt hurtigt. Ved nul temperatur (dvs. uendelig β) er der en andenordens faseovergang: den frie energi er uendelig, og den afkortede to-punkts spin-korrelation forfalder ikke (forbliver konstant). Derfor er T = 0 den kritiske temperatur i denne sag. Skaleringsformler er tilfredse.

Isings nøjagtige løsning

I det nærmeste nabosag (med periodiske eller frie randbetingelser) er en nøjagtig løsning tilgængelig. Hamiltonian af den endimensionelle Ising-model på et gitter af L- steder med periodiske randbetingelser er

${\ displaystyle H (\ sigma) =-J \ sum _ {i = 1, \ ldots, L-1} \ sigma _ {i} \ sigma _ {i+1} -h \ sum _ {i} \ sigma _{jeg},}$

hvor J og h kan være et hvilket som helst tal, da J i dette forenklede tilfælde er en konstant, der repræsenterer vekselvirkningsstyrken mellem de nærmeste naboer, og h er det konstante eksterne magnetfelt, der påføres gittersteder. Så den fri energi er

${\ displaystyle f (\ beta, h) =-\ lim _ {L \ to \ infty} {\ frac {1} {\ beta L}} \ ln Z (\ beta) =-{\ frac {1} { \ beta}} \ ln \ venstre (e^{\ beta J} \ cosh \ beta h+{\ sqrt {e^{2 \ beta J} (\ sinh \ beta h)^{2}+e^{-2 \ beta J}}} \ right),}$

og spin-spin-korrelationen (dvs. kovariansen) er

${\ displaystyle \ langle \ sigma _ {i} \ sigma _ {j} \ rangle -\ langle \ sigma _ {i} \ rangle \ langle \ sigma _ {j} \ rangle = C (\ beta) e^{ - c (\ beta) | ij |},}$

hvor C (β) og c (β) er positive funktioner for T > 0. For T → 0 forsvinder den inverse korrelationslængde c (β) dog.

Bevis

Beviset for dette resultat er en simpel beregning.

Hvis h = 0, er det meget let at opnå den frie energi i tilfælde af fri grænsetilstand, dvs. når

${\ displaystyle H (\ sigma) =-J (\ sigma _ {1} \ sigma _ {2} +\ cdots +\ sigma _ {L-1} \ sigma _ {L}).}$

Derefter faktoriserer modellen under ændringen af ​​variabler

${\ displaystyle \ sigma '_ {j} = \ sigma _ {j} \ sigma _ {j-1}, \ quad j \ geq 2.}$

Dette giver

${\ displaystyle Z (\ beta) = \ sum _ {\ sigma _ {1}, \ ldots, \ sigma _ {L}} e^{\ beta J \ sigma _ {1} \ sigma _ {2}} e ^{\ beta J \ sigma _ {2} \ sigma _ {3}} \ cdots e^{\ beta J \ sigma _ {L-1} \ sigma _ {L}} = 2 \ prod _ {j = 2 }^{L} \ sum _ {\ sigma '_ {j}} e^{\ beta J \ sigma' _ {j}} = 2 \ venstre [e^{\ beta J}+e^{-\ beta J} \ højre]^{L-1}.}$

Derfor er den frie energi

${\ displaystyle f (\ beta, 0) =-{\ frac {1} {\ beta}} \ ln \ venstre [e^{\ beta J}+e^{-\ beta J} \ højre].}$

Med den samme ændring af variabler

${\ displaystyle \ langle \ sigma _ {j} \ sigma _ {j+N} \ rangle = \ left [{\ frac {e^{\ beta J} -e^{-\ beta J}} {e^{ \ beta J}+e^{-\ beta J}}} \ right]^{N},}$

derfor falder det eksponentielt, så snart T ≠ 0; men for T = 0, dvs. i grænsen β → ∞ er der ingen henfald.

Hvis h ≠ 0 har vi brug for overførselsmatrixmetoden. For de periodiske randbetingelser er sagen følgende. Opdelingsfunktionen er

${\ displaystyle Z (\ beta) = \ sum _ {\ sigma _ {1}, \ ldots, \ sigma _ {L}} e^{\ beta h \ sigma _ {1}} e^{\ beta J \ sigma _ {1} \ sigma _ {2}} e^{\ beta h \ sigma _ {2}} e^{\ beta J \ sigma _ {2} \ sigma _ {3}} \ cdots e^{\ beta h \ sigma _ {L}} e^{\ beta J \ sigma _ {L} \ sigma _ {1}} = \ sum _ {\ sigma _ {1}, \ ldots, \ sigma _ {L}} V _ {\ sigma _ {1}, \ sigma _ {2}} V _ {\ sigma _ {2}, \ sigma _ {3}} \ cdots V _ {\ sigma _ {L}, \ sigma _ {1}} .}$

Koefficienterne kan ses som poster i en matrix. Der er forskellige mulige valg: en praktisk (fordi matrixen er symmetrisk) er ${\ displaystyle V _ {\ sigma, \ sigma '}}$

${\ displaystyle V _ {\ sigma, \ sigma '} = e^{{\ frac {\ beta h} {2}} \ sigma} e^{\ beta J \ sigma \ sigma'} e^{{\ frac { \ beta h} {2}} \ sigma '}}$

eller

${\ displaystyle V = {\ begin {bmatrix} e^{\ beta (h+J)} & e^{-\ beta J} \\ e^{-\ beta J} & e^{-\ beta (hJ)} \ end {bmatrix}}.}$

I matrixformalisme

${\ displaystyle Z (\ beta) = \ operatorname {Tr} \ left (V^{L} \ right) = \ lambda _ {1}^{L}+\ lambda _ {2}^{L} = \ lambda _ {1}^{L} \ venstre [1+ \ venstre ({\ frac {\ lambda _ {2}} {\ lambda _ {1}}} \ højre)^{L} \ højre],}$

hvor λ ₁ er den højeste egenværdi af V , mens λ ₂ er den anden egenværdi:

${\ displaystyle \ lambda _ {1} = e^{\ beta J} \ cosh \ beta h+{\ sqrt {e^{2 \ beta J} (\ sinh \ beta h)^{2}+e^{- 2 \ beta J}}},}$

og | λ ₂ | <λ ₁ . Dette giver formlen for den frie energi.

Kommentarer

Energien i den laveste tilstand er - JL , når alle spins er ens. For enhver anden konfiguration er den ekstra energi lig med 2 J gange antallet af tegnændringer, der opstår, når konfigurationen scannes fra venstre mod højre.

Hvis vi angiver antallet af tegnændringer i en konfiguration som k , er forskellen i energi fra den laveste energitilstand 2 k . Da energien er additiv i antallet af flips, er sandsynligheden p for at have en spin-flip i hver position uafhængig. Forholdet mellem sandsynligheden for at finde en flip og sandsynligheden for ikke at finde en er Boltzmann -faktoren:

${\ displaystyle {\ frac {p} {1-p}} = e^{-2 \ beta J}.}$

Problemet reduceres til uafhængige forspændte møntkast . Dette fuldender i det væsentlige den matematiske beskrivelse.

Ud fra beskrivelsen med hensyn til uafhængige kast kan statistikken over modellen for lange linjer forstås. Linjen opdeles i domæner. Hvert domæne har en gennemsnitlig længde eksp (2β). Længden af ​​et domæne fordeles eksponentielt, da der er en konstant sandsynlighed på ethvert trin for at støde på en flip. Domænerne bliver aldrig uendelige, så et langt system bliver aldrig magnetiseret. Hvert trin reducerer korrelationen mellem et spin og dets nabo med en mængde, der er proportional med p , så korrelationerne falder eksponentielt.

${\ displaystyle \ langle S_ {i} S_ {j} \ rangle \ propto e^{-p | ij |}.}$

Den partition funktion er mængden af konfigurationer, hver konfiguration vægtet med dets Boltzmann vægt. Da hver konfiguration beskrives ved tegnændringerne, faktoriserer partitionsfunktionen:

${\ displaystyle Z = \ sum _ {\ text {configs}} e^{\ sum _ {k} S_ {k}} = \ prod _ {k} (1+p) = (1+p)^{L }.}$

Logaritmen divideret med L er den frie energitæthed:

${\ displaystyle \ beta f = \ log (1+p) = \ log \ left (1+{\ frac {e^{-2 \ beta J}} {1+e^{-2 \ beta J}}} \ret),}$

som er analytisk væk fra β = ∞. Et tegn på en faseovergang er en ikke-analytisk fri energi, så den endimensionelle model ikke har en faseovergang.

Endimensionel løsning med tværgående felt

For at udtrykke Ising Hamiltonian ved hjælp af en kvantemekanisk beskrivelse af spins, erstatter vi spin -variablerne med deres respektive Pauli -matricer. Afhængig af magnetfeltets retning kan vi imidlertid oprette et tværgående eller langsgående felt Hamiltonian. Det tværgående felt Hamiltonian er givet af

${\ displaystyle H (\ sigma) =-J \ sum _ {i = 1, \ ldots, L} \ sigma _ {i}^{z} \ sigma _ {i+1}^{z} -h \ sum _ {i} \ sigma _ {i}^{x}.}$

Tværfeltmodellen oplever en faseovergang mellem et ordnet og uordentligt regime ved J  ~  h . Dette kan vises ved en kortlægning af Pauli -matricer

${\ displaystyle \ sigma _ {n}^{z} = \ prod _ {i = 1}^{n} T_ {i}^{x},}$

${\ displaystyle \ sigma _ {n}^{x} = T_ {n}^{z} T_ {n+1}^{z}.}$

Ved omskrivning af Hamiltonian i form af denne ændring af basismatricer opnår vi

${\ displaystyle H (\ sigma) =-h \ sum _ {i = 1, \ ldots, L} T_ {i}^{z} T_ {i+1}^{z} -J \ sum _ {i} T_ {i}^{x}.}$

Da rollerne som h og J skiftes, undergår Hamiltonian en overgang ved J = h .

To dimensioner

• I det ferromagnetiske tilfælde er der en faseovergang. Ved lav temperatur beviser Peierls -argumentet positiv magnetisering for den nærmeste nabosag og derefter, ved Griffiths ulighed , også når interaktioner med længere rækkevidde tilføjes. I mellemtiden, ved høj temperatur, giver klyngeudvidelsen analyse af de termodynamiske funktioner.
• I tilfælde af nærmeste nabo blev den frie energi nøjagtigt beregnet af Onsager gennem modellen ækvivalens med gratis fermioner på gitter. Spin-spin-korrelationsfunktionerne blev beregnet af McCoy og Wu.

Onsagers nøjagtige løsning

Onsager (1944) opnåede følgende analytiske udtryk for Ising -modellens frie energi på det anisotropiske firkantede gitter, når magnetfeltet i den termodynamiske grænse som funktion af temperatur og de vandrette og vertikale interaktionsenergier og hhv. ${\ displaystyle h = 0}$${\ displaystyle J_ {1}}$${\displaystyle J_{2}}$

${\ displaystyle -\ beta f = \ ln 2+{\ frac {1} {8 \ pi ^{2}}} \ int _ {0} ^{2 \ pi} d \ theta _ {1} \ int _ {0}^{2 \ pi} d \ theta _ {2} \ ln [\ cosh (2 \ beta J_ {1}) \ cosh (2 \ beta J_ {2})-\ sinh (2 \ beta J_ { 1}) \ cos (\ theta _ {1})-\ sinh (2 \ beta J_ {2}) \ cos (\ theta _ {2})].}$

Fra dette udtryk for den frie energi kan alle termodynamiske funktioner i modellen beregnes ved hjælp af et passende derivat. 2D Ising -modellen var den første model, der udviste en kontinuerlig faseovergang ved en positiv temperatur. Det forekommer ved den temperatur, der løser ligningen ${\ displaystyle T_ {c}}$

${\ displaystyle \ sinh \ left ({\ frac {2J_ {1}} {kT_ {c}}} \ right) \ sinh \ left ({\ frac {2J_ {2}} {kT_ {c}}} \ right ) = 1.}$

I det isotropiske tilfælde, når de vandrette og vertikale interaktionsenergier er ens , sker den kritiske temperatur på det følgende punkt ${\ displaystyle J_ {1} = J_ {2} = J}$${\ displaystyle T_ {c}}$

${\ displaystyle T_ {c} = {\ frac {2J} {k \ ln (1+{\ sqrt {2}})}}}}$

Når interaktion energier , er både negativ, Ising-modellen bliver en antiferromagnet. Da kvadratgitteret er topartit, er det invariant under denne ændring, når magnetfeltet , så den frie energi og kritiske temperatur er den samme for det antiferromagnetiske tilfælde. For det trekantede gitter, der ikke er topartit, opfører den ferromagnetiske og antiferromagnetiske Ising-model sig særligt anderledes. ${\ displaystyle J_ {1}}$${\ displaystyle J_ {2}}$${\ displaystyle h = 0}$

Overførselsmatrix

Start med en analogi med kvantemekanik. Ising -modellen på et langt periodisk gitter har en skillefunktion

${\ displaystyle \ sum _ {\ {S \}} \ exp {\ biggl (} \ sum _ {ij} S_ {i, j} \ venstre (S_ {i, j+1}+S_ {i+1, j} \ right) {\ biggr)}.}$

Tænk på i -retningen som rum , og j -retningen som tid . Dette er en uafhængig sum over alle de værdier, spins kan tage på hver gang skive. Dette er en type stiintegral , det er summen over alle spinhistorier.

En stiintegral kan omskrives som en Hamiltonsk evolution. Hamiltonian træder gennem tiden ved at udføre en enhedsrotation mellem tid t og tid t + Δ t :

${\ displaystyle U = e^{iH \ Delta t}}$

Produktet af U -matricerne, den ene efter den anden, er den samlede tidsudviklingsoperator, som er den vejintegral, vi startede med.

${\ displaystyle U^{N} = (e^{iH \ Delta t})^{N} = \ int DXe^{iL}}$

hvor N er antallet af tidsskiver. Summen over alle stier er givet af et produkt af matricer, hvert matrixelement er overgangssandsynligheden fra den ene skive til den næste.

På samme måde kan man opdele summen over alle partitionsfunktionskonfigurationer i skiver, hvor hver skive er den endimensionelle konfiguration på tidspunkt 1. Dette definerer overførselsmatrixen :

${\ displaystyle T_ {C_ {1} C_ {2}}.}$

Konfigurationen i hvert udsnit er en endimensionel samling af spins. Ved hver udsnit har T matrixelementer mellem to konfigurationer af spins, en i den nærmeste fremtid og en i den umiddelbare fortid. Disse to konfigurationer er C ₁ og C ₂ , og de er alle én-dimensional spin-konfigurationer. Vi kan tænke på det vektorrum, som T virker på som alle komplekse lineære kombinationer af disse. Brug af kvantemekanisk notation:

${\ displaystyle | A \ rangle = \ sum _ {S} A (S) | S \ rangle}$

hvor hver basisvektor er en spin-konfiguration af en endimensionel Ising-model. ${\ displaystyle | S \ rangle}$

Som Hamiltonian virker overførselsmatrixen på alle lineære kombinationer af tilstande. Partitionsfunktionen er en matrixfunktion af T, som defineres af summen over alle historier, der vender tilbage til den oprindelige konfiguration efter N -trin:

${\ displaystyle Z = \ mathrm {tr} (T^{N}).}$

Da dette er en matrixligning, kan den evalueres på ethvert grundlag. Så hvis vi kan diagonalize matricen T , kan vi finde Z .

T med hensyn til Pauli -matricer

Bidraget til partitionsfunktionen for hvert tidligere/fremtidige par konfigurationer på et udsnit er summen af ​​to termer. Der er antallet af spin -flips i det tidligere stykke, og der er antallet af spin -flip mellem det tidligere og det fremtidige stykke. Definer en operatør på konfigurationer, der vender centrifugeringen på stedet i:

${\ displaystyle \ sigma _ {i}^{x}.}$

På det sædvanlige Ising -grundlag, der virker på en hvilken som helst lineær kombination af tidligere konfigurationer, producerer den den samme lineære kombination, men med spinet i position i for hver basisvektor vendt.

Definer en anden operator, der multiplicerer basisvektoren med +1 og −1 i henhold til centrifugeringen i position i :

${\ displaystyle \ sigma _ {i}^{z}.}$

T kan skrives i form af disse:

${\ displaystyle \ sum _ {i} A \ sigma _ {i}^{x}+B \ sigma _ {i}^{z} \ sigma _ {i+1}^{z}}$

hvor A og B er konstanter, der skal bestemmes for at gengive partitionsfunktionen. Fortolkningen er, at den statistiske konfiguration på dette udsnit bidrager i henhold til både antallet af spin -flips i skiven, og om spinet i position i er vendt eller ej .

Operatører til oprettelse og udslettelse af spin -flip

Ligesom i det endimensionelle tilfælde vil vi flytte opmærksomheden fra spins til spin-flips. Σ ^z- udtrykket i T tæller antallet af spin-flips, som vi kan skrive i form af spin-flip-oprettelse og tilintetgørelsesoperatorer:

${\ displaystyle \ sum C \ psi _ {i}^{\ dolk} \ psi _ {i}. \,}$

Det første udtryk vender et spin, så anfør det enten afhængigt af grundlaget:

1. flytter en spin-flip en enhed til højre
2. flytter en spin-flip en enhed til venstre
3. producerer to spin-flips på nabosteder
4. ødelægger to spin-flips på nabosteder.

At skrive dette ud med hensyn til oprettelses- og tilintetgørelsesoperatører:

${\ displaystyle \ sigma _ {i} ^{x} = D {\ psi ^{\ dolk}} _ {i} \ psi _ {i+1}+D ^{*} {\ psi ^{\ dolk} } _ {i} \ psi _ {i-1}+C \ psi _ {i} \ psi _ {i+1}+C ^{*} {\ psi ^{\ dolk}} _ {i} {\ psi ^{\ dolk}} _ {i+1}.}$

Ignorer de konstante koefficienter, og fokuser opmærksomheden på formen. De er alle kvadratiske. Da koefficienterne er konstante, betyder det, at T -matricen kan diagonaliseres af Fourier -transformationer.

Ved at udføre diagonaliseringen produceres Onsager gratis energi.

Onsagers formel for spontan magnetisering

Onsager annoncerede berømt følgende udtryk for den spontane magnetisering M af en todimensionel Ising ferromagnet på firkantet gitter ved to forskellige konferencer i 1948, dog uden bevis

${\ displaystyle M = \ venstre (1- \ venstre [\ sinh 2 \ beta J_ {1} \ sinh 2 \ beta J_ {2} \ højre]^{-2} \ højre)^{\ frac {1} { 8}}}$

hvor og er vandrette og vertikale interaktionsenergier. ${\ displaystyle J_ {1}}$${\ displaystyle J_ {2}}$

En komplet afledning blev først givet i 1951 af Yang (1952) ved hjælp af en begrænsende proces med overførselsmatrix -egenværdier. Beviset blev efterfølgende stærkt forenklet i 1963 af Montroll, Potts, og Ward anvendelse Szego 's grænse formel for Toeplitz determinanter ved at behandle magnetiseringen som grænse for korrelationsfunktioner.

Minimal model

På det kritiske punkt er den todimensionale Ising-model en todimensionel konform feltteori . Spin- og energikorrelationsfunktionerne er beskrevet af en minimal model , som er præcist blevet løst.

Tre dimensioner

I tre som i to dimensioner er det mest undersøgte tilfælde af Ising-modellen den translation-invariante model på et kubisk gitter med kobling til nærmeste nabo i det nulmagnetiske felt. Topteoretikere søgte i mange årtier efter en analytisk tredimensionel løsning, som ville være analog med Onsagers løsning i det todimensionale tilfælde. På nuværende tidspunkt menes det, at en sådan løsning ikke findes, selvom der ikke er noget bevis.

I tre dimensioner blev Ising-modellen vist at have en repræsentation med hensyn til ikke-interagerende fermioniske strenge af Alexander Polyakov og Vladimir Dotsenko . Denne konstruktion er blevet båret på gitteret, og kontinuumgrænsen, der formodentlig beskriver det kritiske punkt, er ukendt.

Istrails NP-fuldstændighedsresultat for den generelle spindglasmodel

I 2000 beviste Sorin Istrail fra Sandia National Laboratories , at den ikke-plane Ising-model er NP-komplet . Det vil sige, under forudsætning af P ≠ NP, er den generelle spindglas Ising -model nøjagtigt kun opløselig i plane tilfælde, så løsninger til dimensioner højere, at to også er umulige. Istrails resultat vedrører kun spindglasmodellen med rumligt varierende koblinger og fortæller intet om Isings originale ferromagnetiske model med lige koblinger.

Faseovergang

I tre som i to dimensioner viser Peierls argument, at der er en faseovergang. Denne faseovergang er strengt kendt for at være kontinuerlig (i den forstand, at korrelationslængden afviger, og magnetiseringen går til nul), og kaldes det kritiske punkt . Det menes, at det kritiske punkt kan beskrives ved en renormaliseringsgruppes faste punkt i Wilson-Kadanoff-renormaliseringsgruppens transformation. Det menes også, at faseovergangen kan beskrives ved en tredimensionel unitary conformal field theory, hvilket fremgår af Monte Carlo- simuleringer og teoretiske argumenter. Selvom det er et åbent problem at grundigt fastlægge renormaliseringsgruppebilledet eller det konforme feltteoribillede, har teoretiske fysikere brugt disse to metoder til at beregne de kritiske eksponenter for faseovergangen, som er i overensstemmelse med eksperimenterne og med Monte Carlo -simuleringerne.

Denne konformfeltteori, der beskriver det tredimensionale Ising-kritiske punkt, er under aktiv undersøgelse ved hjælp af metoden til den konforme bootstrap . Denne metode giver i øjeblikket de mest præcise oplysninger om strukturen i den kritiske teori (se Ising critical exponents ).

Fire dimensioner og derover

I enhver dimension kan Ising -modellen produktivt beskrives af et lokalt varierende middelfelt. Feltet er defineret som den gennemsnitlige centrifugeringsværdi over et stort område, men ikke så stort, at det omfatter hele systemet. Feltet har stadig langsomme variationer fra punkt til punkt, når den gennemsnitlige lydstyrke bevæger sig. Disse udsving i feltet er beskrevet af en kontinuumfeltteori i den uendelige systemgrænse.

Lokalt felt

Feltet H er defineret som de lange bølgelængde Fourier -komponenter i spinvariablen, i den grænse, at bølgelængderne er lange. Der er mange måder at tage det lange bølgelængdegennemsnit på, afhængigt af detaljerne om, hvor høje bølgelængder der afskæres. Detaljerne er ikke for vigtige, da målet er at finde statistikken over H og ikke spins. Når korrelationerne i H er kendte, vil de lange afstande sammenhænge mellem spin være proportionale med de lange afstande korrelationer i H .

For enhver værdi af det langsomt varierende felt H er den frie energi (log-sandsynlighed) en lokal analytisk funktion af H og dets gradienter. Den frie energi F ( H ) er defineret til at være summen over alle Ising -konfigurationer, der er i overensstemmelse med feltet med lang bølgelængde. Da H er en grov beskrivelse, er der mange Ising -konfigurationer i overensstemmelse med hver værdi af H , så længe der ikke kræves for meget præcision til kampen.

Da det tilladte værdiområde for centrifugeringen i en hvilken som helst region kun afhænger af værdierne af H inden for et gennemsnitligt volumen fra dette område, afhænger det frie energibidrag fra hver region kun af værdien af H der og i de nærliggende regioner. Så F er en sum over alle regioner af et lokalt bidrag, som kun afhænger af H og dets derivater.

Ved symmetri i H er det kun lige kræfter der bidrager. Ved refleksionssymmetri på et firkantet gitter bidrager kun jævn gradienter med gradienter. At skrive de første par udtryk i den frie energi:

${\ displaystyle \ beta F = \ int d^{d} x \ venstre [AH^{2}+\ sum _ {i = 1}^{d} Z_ {i} (\ delvis _ {i} H)^ {2}+\ lambda H^{4}+\ cdots \ right].}$

På et firkantet gitter garanterer symmetrier, at koefficienterne Z _i af de afledte termer alle er ens. Men selv for en anisotrop Ising model, hvor Z _I ' s i forskellige retninger er forskellige, udsvingene i H er isotrope i et koordinatsystem, hvor de forskellige retninger af rummet er omskaleret.

På ethvert gitter, det afledte udtryk

${\ displaystyle Z_ {ij} \, \ delvis _ {i} H \, \ delvis _ {j} H}$

er en positiv bestemt kvadratisk form og kan bruges til at definere metrik for rum. Så enhver translationel invariant Ising -model er rotationsmæssigt invariant på lange afstande i koordinater, der gør Z _ij = δ _ij . Rotationssymmetri dukker spontant op på store afstande, bare fordi der ikke er særlig mange lave ordensbetingelser. Ved multikritiske punkter i højere orden går denne utilsigtede symmetri tabt.

Da β F er en funktion af et langsomt rumligt varierende felt, er sandsynligheden for enhver feltkonfiguration:

${\ displaystyle P (H) \ propto e^{-\ int d^{d} x \ venstre [AH^{2}+Z | \ nabla H |^{2}+\ lambda H^{4} \ højre ]}.}$

Det statistiske gennemsnit af ethvert produkt af H -udtryk er lig med:

${\ displaystyle \ langle H (x_ {1}) H (x_ {2}) \ cdots H (x_ {n}) \ rangle = {\ int DH \, P (H) H (x_ {1}) H ( x_ {2}) \ cdots H (x_ {n}) \ over \ int DH \, P (H)}.}$

Nævneren i dette udtryk kaldes partitionsfunktionen , og integralet over alle mulige værdier af H er et statistisk stiintegral. Det integrerer exp (β F ) over alle værdier af H , over alle de lange bølgelængde fourier -komponenter i spinnene. F er en euklidisk lagrangian for feltet H , den eneste forskel mellem dette og kvantefeltteorien for et skalarfelt er, at alle de afledte udtryk indtastes med et positivt tegn, og der er ingen samlet faktor i .

${\ displaystyle Z = \ int DH \, e^{-\ int d^{d} x \ venstre [AH^{2}+Z | \ nabla H |^{2}+\ lambda H^{4} \ ret]}}$

Dimensionsanalyse

Formen F kan bruges til at forudsige, hvilke termer der er vigtigst ved dimensionel analyse. Dimensionsanalyse er ikke helt ligetil, fordi skaleringen af H skal bestemmes.

I det generelle tilfælde er det let at vælge skaleringsloven for H , da det eneste udtryk, der bidrager, er det første,

${\ displaystyle F = \ int d^{d} x \, AH^{2}.}$

Dette udtryk er det mest betydningsfulde, men det giver triviel adfærd. Denne form for den frie energi er ultralokal, hvilket betyder, at det er en sum af et uafhængigt bidrag fra hvert punkt. Dette er ligesom spin-flips i den endimensionelle Ising-model. Hver værdi af H på et hvilket som helst tidspunkt svinger fuldstændigt uafhængigt af værdien på et andet tidspunkt.

Feltets skala kan redefineres for at absorbere koefficienten A , og så er det klart, at A kun bestemmer den samlede svingningsskala. Den ultralokale model beskriver Ising -modellens lange bølgelængdehøjtemperaturadfærd, da fluktuationsgennemsnittene i denne grænse er uafhængige fra punkt til punkt.

For at finde det kritiske punkt, sænk temperaturen. Når temperaturen falder, stiger udsvingene i H , fordi udsvingene er mere korrelerede. Det betyder, at gennemsnittet af et stort antal spins ikke bliver lille så hurtigt, som hvis de var ukorrelerede, fordi de plejer at være de samme. Dette svarer til faldende A i systemet af enheder, hvor H ikke absorberer A . Faseovergangen kan kun ske, når de subleadende termer i F kan bidrage, men da det første udtryk dominerer på lange afstande, skal koefficienten A være indstillet til nul. Dette er placeringen af ​​det kritiske punkt:

${\ displaystyle F = \ int d^{d} x \ venstre [tH^{2}+\ lambda H^{4}+Z (\ nabla H)^{2} \ right],}$

hvor t er en parameter, der går gennem nul ved overgangen.

Da t forsvinder, får de andre udtryk til at sprænge ved at fastsætte feltets skala ved hjælp af dette udtryk. Når t er lille, kan feltets skala enten indstilles til at fastsætte koefficienten for H ⁴ -termen eller (∇ H ) ² -termen til 1.

Magnetisering

For at finde magnetiseringen skal du rette skaleringen af H, så λ er en. Nu har feltet H dimension - d /4, så H ⁴ d ^d x er dimensionsløs, og Z har dimension 2 -  d /2. I denne skalering er gradientudtrykket kun vigtigt på lange afstande for d ≤ 4. Over fire dimensioner, ved lange bølgelængder, påvirkes den samlede magnetisering kun af de ultralokale termer.

Der er et subtilt punkt. Feltet H svinger statistisk, og udsvingene kan forskyde nulpunktet for t . For at se hvordan, overveje H ⁴ split på følgende måde:

${\ displaystyle H (x)^{4} =-\ langle H (x)^{2} \ rangle^{2} +2 \ langle H (x)^{2} \ rangle H (x)^{2 }+\ venstre (H (x)^{2}-\ langle H (x)^{2} \ rangle \ højre)^{2}}$

Det første udtryk er et konstant bidrag til den frie energi og kan ignoreres. Det andet udtryk er et begrænset skift i t . Det tredje udtryk er en mængde, der skaleres til nul på lange afstande. Det betyder, at når man skal analysere skalering af t ved hjælp af dimensionsanalyse, er det forskudt t, der er vigtigt. Dette var historisk meget forvirrende, fordi skiftet i t ved enhver endelig λ er begrænset, men nær overgangen er t meget lille. Fraktionel ændring i t er meget stor, og i enheder, hvor t er fikseret, ser skiftet uendeligt ud.

Magnetiseringen er på minimum af den frie energi, og dette er en analytisk ligning. Med hensyn til den forskudte t ,

${\ displaystyle {\ delvis \ over \ delvis H} \ venstre (tH^{2}+\ lambda H^{4} \ højre) = 2tH+4 \ lambda H^{3} = 0}$

For t <0 er minima ved H proportional med kvadratroden af t . Så Landaus katastrofeargument er korrekt i dimensioner større end 5. Magnetiseringseksponenten i dimensioner højere end 5 er lig med middelfeltværdien.

Når t er negativ, beskrives udsvingene omkring det nye minimum med en ny positiv kvadratisk koefficient. Da dette udtryk altid dominerer, bliver udsvingene igen ved ultralokale temperaturer under lange afstande ved temperaturer under overgangen.

Udsving

Hvis du vil finde udsvingets opførsel, skaleres feltet igen for at rette gradientudtrykket. Derefter er feltets længdeskaleringsdimension 1 -  d /2. Nu har feltet konstante kvadratiske rumlige udsving ved alle temperaturer. Skaldimensionen af H ² -udtrykket er 2, mens skala -dimensionen af H ⁴ -udtrykket er 4 -  d . For d <4 har H ⁴ -udtrykket en positiv skalaldimension. I dimensioner højere end 4 har den negative målestørrelser.

Dette er en væsentlig forskel. I dimensioner højere end 4 betyder fastsættelse af skalaen for gradientbetegnelsen, at koefficienten for H ⁴ -termen er mindre og mindre vigtig ved længere og længere bølgelængder. Den dimension, ved hvilken ikke -kvadratiske bidrag begynder at bidrage, er kendt som den kritiske dimension. I Ising -modellen er den kritiske dimension 4.

I dimensioner over 4 beskrives de kritiske udsving ved en rent kvadratisk fri energi ved lange bølgelængder. Det betyder, at korrelationsfunktionerne alle kan beregnes ud fra Gaussiske gennemsnit:

${\ displaystyle \ langle S (x) S (y) \ rangle \ propto \ langle H (x) H (y) \ rangle = G (xy) = \ int {dk \ over (2 \ pi)^{d} } {e^{ik (xy)} \ over k^{2}+t}}$

gyldig, når x  -  y er stort. Funktionen G ( x  -  y ) er den analytiske fortsættelse til imaginær tid for Feynman -propagatoren , da den frie energi er den analytiske fortsættelse af kvantefeltaktionen for et frit skalarfelt. For dimensioner 5 og højere bestemmes alle de andre korrelationsfunktioner på lange afstande derefter af Wicks sætning . Alle de ulige øjeblikke er nul, ved ± symmetri. De lige øjeblikke er summen over alle partitioner i par af produktet af G ( x  -  y ) for hvert par.

${\ displaystyle \ langle S (x_ {1}) S (x_ {2}) \ cdots S (x_ {2n}) \ rangle = C^{n} \ sum G (x_ {i1}, x_ {j1}) G (x_ {i2}, x_ {j2}) \ ldots G (x_ {in}, x_ {jn})}$

hvor C er proportionalitetskonstanten. Så at kende G er nok. Det bestemmer alle flerpunktskorrelationer i feltet.

Den kritiske topunktsfunktion

For at bestemme G -formen skal du overveje, at felterne i en stiintegral adlyder de klassiske bevægelsesligninger, der er afledt ved at variere den frie energi:

${\ displaystyle {\ begin {align} && \ left (-\ nabla _ {x}^{2}+t \ right) \ langle H (x) H (y) \ rangle & = 0 \\\ højre pil {} && \ nabla ^{2} G (x)+tG (x) & = 0 \ end {align}}}$

Dette er kun gyldigt på ikke -sammenfaldende punkter, da korrelationerne af H er ental, når punkterne kolliderer. H adlyder klassiske bevægelsesligninger af samme grund som kvantemekaniske operatører adlyder dem - dens udsving er defineret af en stiintegral.

På det kritiske punkt t = 0 er dette Laplaces ligning , som kan løses ved hjælp af Gauss metode fra elektrostatik. Definer en elektrisk feltanalog ved

${\ displaystyle E = \ nabla G}$

Væk fra oprindelsen:

${\ displaystyle \ nabla \ cdot E = 0}$

idet G er sfærisk symmetrisk i d dimensioner, og E er den radiale gradient af G . Integrering over en stor d  - 1 dimensionel kugle,

${\ displaystyle \ int d^{d-1} SE_ {r} = \ mathrm {konstant}}$

Dette giver:

${\ displaystyle E = {C \ over r^{d-1}}}$

og G kan findes ved at integrere med hensyn til r .

${\ displaystyle G (r) = {C \ over r^{d-2}}}$

Den konstante C løser den overordnede normalisering af feltet.

G ( r ) væk fra det kritiske punkt

Når t ikke svarer til nul, så H svinger ved en temperatur lidt væk fra kritisk, henfalder topunktsfunktionen på lange afstande. Ligningen den adlyder er ændret:

${\ displaystyle \ nabla^{2} G+tG = 0 \ til {1 \ over r^{d-1}} {d \ over dr} \ venstre (r^{d-1} {dG \ over dr} \ højre)+tG (r) = 0}$

For r lille sammenlignet med afviger løsningen nøjagtigt på samme måde som i det kritiske tilfælde, men adfærden på langdistance ændres. ${\ displaystyle {\ sqrt {t}}}$

For at se hvordan er det praktisk at repræsentere topunktsfunktionen som en integral, introduceret af Schwinger i kvantefeltteoriens kontekst:

${\ displaystyle G (x) = \ int d \ tau {1 \ over \ left ({\ sqrt {2 \ pi \ tau}} \ right)^{d}} e^{-{x^{2} \ over 4 \ tau} -t \ tau}}$

Dette er G , da Fourier -transformationen af ​​dette integral er let. Hvert fast τ -bidrag er en gaussisk i x , hvis Fouriertransform er en anden gaussisk med gensidig bredde i k .

${\ displaystyle G (k) = \ int d \ tau e^{-(k^{2} -t) \ tau} = {1 \ over k^{2} -t}}$

Dette er det omvendte af operatøren ∇ ²  -  t i k -space, der virker på apparatet funktion i k -space, som er Fourier-transformationen af en delta-funktion kilde lokaliseret på oprindelsen. Så den opfylder den samme ligning som G med de samme randbetingelser, der bestemmer styrken af ​​divergensen ved 0.

Fortolkningen af ​​den integrerede repræsentation over den korrekte tid τ er, at topunktsfunktionen er summen over alle tilfældige gangstier, der forbinder position 0 til position x over tid τ. Tætheden af ​​disse stier på tidspunktet τ ved position x er Gaussisk, men tilfældige vandrere forsvinder med en jævn hastighed, der er proportional med t, så gausseren på tidspunktet τ formindskes i højden med en faktor, der falder konstant eksponentielt. I kvantefeltteori -konteksten er dette relativistiske lokaliserede kvantas veje i en formalisme, der følger individuelle partiklers veje. I den rene statistiske kontekst vises disse veje stadig ved den matematiske korrespondance med kvantefelter, men deres fortolkning er mindre direkte fysisk.

Den integrerede repræsentation viser umiddelbart, at G ( r ) er positiv, da den er repræsenteret som en vægtet sum af positive gaussere. Det giver også forfaldshastigheden ved store r, da det korrekte tidspunkt for en tilfældig gåtur for at nå position τ er r ^2, og i denne tid er den gaussiske højde faldet med . Forfaldsfaktoren passende til position r er derfor . ${\ displaystyle e^{-t \ tau} = e^{-tr^{2}}}$${\ displaystyle e^{-{\ sqrt {t}} r}}$

En heuristisk tilnærmelse til G ( r ) er:

${\ displaystyle G (r) \ approx {e^{-{\ sqrt {t}} r} \ over r^{d-2}}}$

Dette er ikke en eksakt form, undtagen i tre dimensioner, hvor interaktioner mellem stier bliver vigtige. De nøjagtige former i høje dimensioner er varianter af Bessel -funktioner .

Symanzik polymer fortolkning

Fortolkningen af ​​sammenhængene som kvantiteter med fast størrelse, der bevæger sig langs tilfældige gåture, giver en måde at forstå, hvorfor den kritiske dimension af H ⁴ -interaktionen er 4. Udtrykket H ⁴ kan betragtes som kvadratet af tilfældighedsvandrernes tæthed ved enhver punkt. For at et sådant udtryk kan ændre de endelige ordenskorrelationsfunktioner, som kun introducerer et par nye tilfældige gange i det svingende miljø, skal de nye veje krydse hinanden. Ellers kvadratet af densiteten er lige proportional med tætheden og kun forskyder H ² koefficient med en konstant. Men skæringssandsynligheden for tilfældige gåture afhænger af dimensionen, og tilfældige gåture i dimension højere end 4 skærer ikke.

Den fraktale dimension af en almindelig random walk er 2. Antallet af kugler af størrelse ε til at dække sti stigning som ε ^-2 . To objekter af fraktal dimension 2 skærer med rimelig sandsynlighed kun i et rum af dimension 4 eller mindre, den samme tilstand som for et generisk par fly. Kurt Symanzik hævdede, at dette indebærer, at de kritiske Ising -udsving i dimensioner højere end 4 skal beskrives ved et frit felt. Dette argument blev til sidst et matematisk bevis.

4 -  ε dimensioner - renormaliseringsgruppe

Ising -modellen i fire dimensioner er beskrevet af et fluktuerende felt, men nu interagerer udsvingene. I polymerrepræsentationen er skæringer mellem tilfældige gåture marginalt mulige. I kvantefeltets fortsættelse interagerer kvanta.

Den negative logaritme af sandsynligheden for enhver feltkonfiguration H er den fri energi -funktion

${\ displaystyle F = \ int d^{4} x \ venstre [{Z \ over 2} | \ nabla H |^{2}+{t \ over 2} H^{2}+{\ lambda \ over 4 !} H^{4} \ højre] \,}$

De numeriske faktorer er der for at forenkle bevægelsesligningerne. Målet er at forstå de statistiske udsving. Ligesom enhver anden ikke-kvadratisk stiintegral har korrelationsfunktionerne en Feynman-ekspansion som partikler, der bevæger sig langs tilfældige gåture, deler sig og slutter sig til hjørner. Interaktionsstyrken parametriseres af den klassisk dimensionsløse mængde λ.

Selvom dimensionsanalyse viser, at både λ og Z er dimensionsløse, er dette vildledende. De lange bølgelængde statistiske udsving er ikke ligefrem skala invariant og bliver først skala invariant når interaktionsstyrken forsvinder.

Årsagen er, at der er en cutoff, der bruges til at definere H , og cutoff definerer den korteste bølgelængde. Svingninger af H ved bølgelængder nær afskæringen kan påvirke udsvingene med længere bølgelængde. Hvis systemet skaleres sammen med afskærmningen, skaleres parametrene ved hjælp af dimensionsanalyse, men sammenligning af parametre sammenligner ikke adfærd, fordi det omskalerede system har flere tilstande. Hvis systemet skaleres på en sådan måde, at den korte bølgelængdeafbrydelse forbliver fast, ændres udsvingene i langbølgelængden.

Wilson renormalisering

En hurtig heuristisk måde at studere skaleringen på er at afskære H -bølgetallene på et punkt λ. Fourier -former for H med bølgetal større end λ må ikke svinge. En ændring af længden, der gør hele systemet mindre, øger alle bølgetal og flytter nogle udsving over afskæringen.

For at gendanne den gamle afbrydelse skal du udføre en delvis integration over alle de bølgenumre, der tidligere var forbudt, men nu svinger. I Feynman -diagrammer forbinder integration over en fluktuerende tilstand ved bølgetal k linjer, der bærer momentum k i en korrelationsfunktion i par, med en faktor for den inverse propagator.

Under skalering, når systemet krymper med en faktor (1+ b ), skaleres t -koefficienten med en faktor (1+ b ) ² ved hjælp af dimensionsanalyse. Ændringen i t for uendelig b er 2 bt . De to andre koefficienter er dimensionsløse og ændres slet ikke.

Den laveste ordenseffekt ved at integrere ud kan beregnes ud fra bevægelsesligningerne:

${\ displaystyle \ nabla ^{2} H+tH =-{\ lambda \ over 6} H ^{3}.}$

Denne ligning er en identitet inde i enhver korrelationsfunktion væk fra andre insertioner. Efter at have integreret tilstande med Λ < k <(1+ b ) Λ, vil det være en lidt anden identitet.

Da ligningens form bevares, er det tilstrækkeligt at analysere ændringen i H ³ -termen for at finde ændringen i koefficienter . I en Feynman -diagramudvidelse har H ³ -udtrykket i en korrelationsfunktion inde i en korrelation tre dinglende linjer. Sammenføjning af to af dem i stort bølgetal k giver en ændring H ³ med en dinglende linje, så proportional med H :

${\ displaystyle \ delta H^{3} = 3H \ int _ {\ Lambda <| k | <(1+b) \ Lambda} {d^{4} k \ over (2 \ pi)^{4}} {1 \ over (k^{2}+t)}}$

Faktoren 3 kommer fra, at sløjfen kan lukkes på tre forskellige måder.

Integralet skal opdeles i to dele:

${\ displaystyle \ int dk {1 \ over k^{2}}-t \ int dk {1 \ over k^{2} (k^{2}+t)} = A \ Lambda^{2} b+ BBT}$

Den første del er ikke proportional med t , og i bevægelsesligningen kan den absorberes af et konstant skift i t . Det skyldes, at H ³ -udtrykket har en lineær del. Kun det andet udtryk, som varierer fra t til t , bidrager til den kritiske skalering.

Dette nye lineære udtryk tilføjer det første udtryk på venstre side og ændrer t med en mængde, der er proportional med t . Den samlede ændring i t er summen af ​​udtrykket fra dimensionsanalyse og dette andet udtryk fra operatørprodukter :

${\ displaystyle \ delta t = \ venstre (2- {B \ lambda \ over 2} \ højre) bt}$

Så t omskaleres, men dens dimension er unormal , den ændres med en mængde, der er proportional med værdien af ​​λ.

Men λ ændrer sig også. Ændringen i λ kræver overvejelse af linjerne opdeling og derefter hurtigt igen. Den laveste ordens proces er en, hvor en af ​​de tre linjer fra H ³ deler sig i tre, som hurtigt slutter sig til en af ​​de andre linjer fra det samme toppunkt. Korrektionen til toppunktet er

${\ displaystyle \ delta \ lambda =-{3 \ lambda^{2} \ over 2} \ int _ {k} dk {1 \ over (k^{2}+t)^{2}} =-{3 \ lambda ^{2} \ over 2} b}$

Den numeriske faktor er tre gange større, fordi der er en ekstra faktor på tre ved at vælge, hvilken af ​​de tre nye linjer der skal indgå kontrakt. Så

${\ displaystyle \ delta \ lambda = -3B \ lambda ^{2} b}$

Disse to ligninger definerer tilsammen renormaliseringsgruppens ligninger i fire dimensioner:

${\ displaystyle {\ begin {align} {dt \ over t} & = \ left (2- {B \ lambda \ over 2} \ right) b \\ {d \ lambda \ over \ lambda} & = {-3B \ lambda \ over 2} b \ end {align}}}$

Koefficienten B bestemmes af formlen

${\ displaystyle Bb = \ int _ {\ Lambda <| k | <(1+b) \ Lambda} {d^{4} k \ over (2 \ pi)^{4}} {1 \ over k^{ 4}}}$

og er proportional med arealet af en tredimensionel sfære med radius λ, gange bredden af ​​integrationsområdet b Λ divideret med Λ ⁴ :

${\ displaystyle B = (2 \ pi ^{2} \ Lambda ^{3}) {1 \ over (2 \ pi) ^{4}} {b \ Lambda} {1 \ over b \ Lambda ^{4} } = {1 \ over 8 \ pi ^{2}}}$

I andre dimensioner ændres konstanten B , men den samme konstant vises både i t -strømmen og i koblingsstrømmen. Årsagen er, at derivatet med hensyn til t af den lukkede sløjfe med et enkelt toppunkt er en lukket sløjfe med to hjørner. Dette betyder, at den eneste forskel mellem skalering af koblingen og t er de kombinatoriske faktorer ved sammenføjning og opdeling.

Wilson – Fisher fast punkt

At undersøge tre dimensioner ud fra den fire-dimensionelle teori burde være muligt, fordi skæringssandsynlighederne for tilfældige gåture afhænger kontinuerligt af rummets dimensionalitet. I sproget i Feynman -grafer ændres koblingen ikke særlig meget, når dimensionen ændres.

Processen med at fortsætte væk fra dimension 4 er ikke helt veldefineret uden recept på, hvordan man gør det. Receptet er kun veldefineret på diagrammer. Det erstatter Schwinger -repræsentationen i dimension 4 med Schwinger -repræsentationen i dimension 4 - ε defineret af:

${\ displaystyle G (xy) = \ int d \ tau {1 \ over t^{d \ over 2}} e^{{x^{2} \ over 2 \ tau}+t \ tau}}$

I dimension 4 - ε har koblingen λ en positiv målestørrelse ε, og dette skal føjes til strømmen.

${\ displaystyle {\ begin {align} {d \ lambda \ over \ lambda} & = \ varepsilon -3B \ lambda \\ {dt \ over t} & = 2- \ lambda B \ end {align}}}$

Koefficienten B er dimensionsafhængig, men den annulleres. Fastpunktet for λ er ikke længere nul, men ved:

${\ displaystyle \ lambda = {\ varepsilon \ over 3B}}$

hvor skalaens dimensioner af t ændres med en mængde λ B = ε/3.

Magnetiseringseksponenten ændres proportionalt til:

${\ displaystyle {\ tfrac {1} {2}} \ venstre (1-{\ varepsilon \ over 3} \ højre)}$

som er .333 i 3 dimensioner (ε = 1) og .166 i 2 dimensioner (ε = 2). Dette er ikke så langt væk fra den målte eksponent .308 og Onsager todimensionale eksponent .125.

Uendelige dimensioner - middelfelt

Opførslen af ​​en Ising-model på en fuldt forbundet graf kan forstås fuldstændigt ved middelfeltteori . Denne type beskrivelse er passende til meget højdimensionelle firkantede gitter, for så har hvert sted et meget stort antal naboer.

Ideen er, at hvis hvert spin er forbundet til et stort antal spins, er kun gennemsnitsforholdet på + spins til - spins vigtigt, da udsvingene omkring dette gennemsnit vil være små. Den gennemsnitlige felt H er den gennemsnitlige fraktion af spins, som er + minus den gennemsnitlige fraktion af spins, som er -. Energiomkostningerne ved at vende et enkelt spin i middelfeltet H er ± 2 JNH . Det er praktisk at omdefinere J for at absorbere faktoren N , så grænsen N → ∞ er glat. Med hensyn til det nye J er energiomkostningerne for at vende et spin ± 2 JH .

Denne energiomkostning giver forholdet mellem sandsynlighed p for at spin er + til sandsynligheden 1− p for at spin er -. Dette forhold er Boltzmann -faktoren:

${\ displaystyle {p \ over 1-p} = e^{2 \ beta JH}}$

så det

${\ displaystyle p = {1 \ over 1+e^{-2 \ beta JH}}}$

Middelværdien af spin er givet ved gennemsnit 1 og -1 med vægte p og 1 -  p , så middelværdien er 2 p  - 1. Men dette gennemsnit er den samme for alle spins, og er derfor lig med H .

${\ displaystyle H = 2p-1 = {1-e^{-2 \ beta JH} \ over 1+e^{-2 \ beta JH}} = \ tanh (\ beta JH)}$

Løsningerne til denne ligning er de mulige konsistente middelfelter. For β J <1 er der kun den ene løsning ved H = 0. For større værdier af β er der tre løsninger, og opløsningen ved H = 0 er ustabil.

Ustabiliteten betyder, at en forøgelse af middelfeltet over nul en lille smule giver en statistisk brøkdel af spins, der er +, som er større end værdien af ​​middelfeltet. Så et middelfelt, der svinger over nul, vil producere et endnu større middelfelt og til sidst slå sig ned ved den stabile løsning. Det betyder, at for temperaturer under den kritiske værdi β J = 1 middelværdien-field Ising model gennemgår en faseovergang i grænsen for store N .

Over den kritiske temperatur dæmpes udsving i H , fordi middelfeltet gendanner udsvinget til nulfelt. Under den kritiske temperatur drives middelfeltet til en ny ligevægtsværdi, som enten er den positive H eller negative H -løsning til ligningen.

For β J = 1 + ε, lige under den kritiske temperatur, kan værdien af H beregnes ud fra Taylor -ekspansionen af ​​den hyperbolske tangens:

${\ displaystyle H = \ tanh (\ beta JH) = (1+ \ varepsilon) H-{(1+ \ varepsilon)^{3} H^{3} \ over 3}}$

Delt med H for at kassere den ustabile løsning ved H = 0, de stabile løsninger er:

${\ displaystyle H = {\ sqrt {3 \ varepsilon}}}$

Den spontane magnetisering H vokser nær det kritiske punkt som kvadratroden af ​​temperaturændringen. Dette er sandt, når H kan beregnes ud fra løsningen af ​​en analytisk ligning, som er symmetrisk mellem positive og negative værdier, hvilket fik Landau til at mistanke om, at alle faseovergange af Ising -typen i alle dimensioner skulle følge denne lov.

Middelfelteksponenten er universel, fordi ændringer i karakteren af ​​løsninger af analytiske ligninger altid beskrives af katastrofer i Taylor-serien, som er en polynomligning. Ved symmetri må ligningen for H kun have ulige kræfter for H på højre side. Ændring af β bør kun glidende ændre koefficienterne. Overgangen sker, når H -koefficienten på højre side er 1. Nær overgangen:

${\ displaystyle H = {\ delvis (\ beta F) \ over \ delvis h} = (1+A \ varepsilon) H+BH^{3}+\ cdots}$

Uanset hvad A og B er, så længe ingen af ​​dem er indstillet til nul, vil den spontane magnetisering vokse som kvadratroden af ​​ε. Dette argument kan kun mislykkes, hvis den frie energi β F enten er ikke-analytisk eller ikke-generisk ved den nøjagtige β, hvor overgangen sker.

Men den spontane magnetisering i magnetiske systemer og densiteten i gasser nær det kritiske punkt måles meget præcist. Tætheden og magnetiseringen i tre dimensioner har samme power-law afhængighed af temperaturen nær det kritiske punkt, men adfærden fra eksperimenter er:

${\ displaystyle H \ propto \ varepsilon ^{0.308}}$

Eksponenten er også universel, da den er den samme i Ising-modellen som i den eksperimentelle magnet og gas, men den er ikke lig med middelfeltværdien. Dette var en stor overraskelse.

Dette gælder også i to dimensioner, hvor

${\ displaystyle H \ propto \ varepsilon ^{0.125}}$

Men der var det ikke en overraskelse, for det blev forudsagt af Onsager .

Lave dimensioner - blokspins

I tre dimensioner er den perturbative serie fra feltteorien en ekspansion i en koblingskonstant λ, som ikke er særlig lille. Koblingens effektive størrelse på det faste punkt er en over partikelbanernes forgreningsfaktor, så ekspansionsparameteren er omkring 1/3. I to dimensioner er den perturbative ekspansionsparameter 2/3.

Men renormalisering kan også produktivt anvendes på spins direkte uden at gå over til et gennemsnitligt felt. Historisk set skyldes denne tilgang Leo Kadanoff og var forud for den perturbative ε -ekspansion .

Ideen er at integrere gitterdrejninger iterativt og generere et flow i koblinger. Men nu er koblingerne gitterenergi koefficienter. Den kendsgerning, at der findes en kontinuumbeskrivelse, garanterer, at denne iteration konvergerer til et fast punkt, når temperaturen er indstillet til kritikalitet.

Mormal -Kadanoff renormalisering

Skriv den todimensionale Ising-model med et uendeligt antal mulige højere ordensinteraktioner. For at beholde spin -refleksionssymmetri er det kun jævne kræfter, der bidrager:

${\ displaystyle E = \ sum _ {ij} J_ {ij} S_ {i} S_ {j}+\ sum J_ {ijkl} S_ {i} S_ {j} S_ {k} S_ {l} \ ldots.}$

Ved oversættelse invariance er J _ij kun en funktion af ij. Ved den utilsigtede rotationssymmetri afhænger den store i og j af størrelsen kun af størrelsen af ​​den todimensionelle vektor i  -  j . De højere ordens koefficienter er også på samme måde begrænset.

Renormaliserings iterationen deler gitteret i to dele - endda spins og ulige spins. De ulige spins lever på de ulige skakternes gitterpositioner og de lige på det lige skakbræt. Når spinnene er indekseret af positionen ( i , j ), er de ulige websteder dem med i  +  j ulige og de lige sider dem med i  +  j lige, og lige sider er kun forbundet med ulige websteder.

De to mulige værdier for de ulige spins vil blive integreret ved at opsummere begge mulige værdier. Dette vil producere en ny gratis energifunktion til de resterende lige spins med nye justerede koblinger. De lige spind er igen i et gitter, med akser vippet 45 grader til de gamle. Afrotation af systemet gendanner den gamle konfiguration, men med nye parametre. Disse parametre beskriver samspillet mellem spins på større afstande . ${\ displaystyle \ scriptstyle {\ sqrt {2}}}$

At starte fra Ising -modellen og gentage denne iteration ændrer til sidst alle koblinger. Når temperaturen er højere end den kritiske temperatur, vil koblingerne konvergere til nul, da centrifugeringerne på store afstande ikke er korrelerede. Men når temperaturen er kritisk, vil der være nulkoefficienter, der forbinder spins ved alle ordrer. Flowet kan tilnærmes ved kun at overveje de første par termer. Denne afkortede strøm vil producere bedre og bedre tilnærmelser til de kritiske eksponenter, når flere termer er inkluderet.

Den enkleste tilnærmelse er kun at beholde det sædvanlige J -udtryk og kassere alt andet. Dette vil generere et flow i J , analogt med strømmen i t på det faste punkt for λ i ε -ekspansionen.

For at finde ændringen i J , overvej de fire naboer til et ulige sted. Dette er de eneste spins, der interagerer med det. Det multiplikative bidrag til partitionsfunktionen fra summen over de to værdier af spin på det ulige sted er:

${\ displaystyle e^{J (N _ {+}-N _ {-})}+e^{J (N _ {-}-N _ {+})} = 2 \ cosh (J [N _ {+}-N_ { -}])}}$

hvor N _± er antallet af naboer, der er ±. Ignorerer vi faktor 2, er det gratis energibidrag fra dette ulige sted:

${\ displaystyle F = \ log (\ cosh [J (N _ {+}-N _ {-})]).}$

Dette inkluderer som forventet nærmeste nabo og næst-nærmeste nabointeraktioner, men også en fire-spin-interaktion, der skal kasseres. For at afkorte til nærmeste nabointeraktioner skal du overveje, at forskellen i energi mellem alle spins det samme og lige tal + og - er:

${\ displaystyle \ Delta F = \ ln (\ cosh [4J]).}$

Fra nærmeste nabo koblinger, forskellen i energi mellem alle spin lig og forskudte spin er 8 J . Forskellen i energi mellem alle spin lig og nonstaggered men netto nul spin er 4 J . Ignorerer fire-spin-vekselvirkninger, en rimelig trunkering er gennemsnittet af disse to energier eller 6 J . Da hvert link vil bidrage til to ulige spins, er den rigtige værdi at sammenligne med den forrige halvdelen af ​​det:

${\ displaystyle 3J '= \ ln (\ cosh [4J]).}$

For små J flyder dette hurtigt til nulkobling. Stort J -flow til store koblinger. Magnetiseringseksponenten bestemmes ud fra ligningens hældning på det faste punkt.

Varianter af denne metode giver gode numeriske tilnærmelser til de kritiske eksponenter, når mange udtryk er inkluderet, i både to og tre dimensioner.

Ansøgninger

Magnetisme

Den oprindelige motivation for modellen var fænomenet ferromagnetisme . Jern er magnetisk; når den er magnetiseret, forbliver den magnetiseret i lang tid i forhold til enhver atomtid.

I 1800 -tallet troede man, at magnetiske felter skyldes strømme i stof, og Ampère postulerede, at permanente magneter er forårsaget af permanente atomstrømme. Bevægelsen af ​​klassisk ladede partikler kunne dog ikke forklare permanente strømme, som vist af Larmor . For at have ferromagnetisme skal atomerne have permanente magnetiske momenter, som ikke skyldes bevægelse af klassiske ladninger.

Da elektronens spin blev opdaget, var det klart, at magnetismen skulle skyldes et stort antal elektroner, der drejede i samme retning. Det var naturligt at spørge, hvordan elektronerne alle ved, hvilken retning de skal dreje, fordi elektronerne på den ene side af en magnet ikke direkte interagerer med elektronerne på den anden side. De kan kun påvirke deres naboer. Ising -modellen blev designet til at undersøge, om en stor brøkdel af elektronerne kunne fås til at dreje i samme retning ved kun at bruge lokale kræfter.

Gittergas

Ising -modellen kan genfortolkes som en statistisk model for atomers bevægelse. Da kinetisk energi kun afhænger af momentum og ikke af position, mens statistikken over positionerne kun afhænger af den potentielle energi, afhænger gasens termodynamik kun af den potentielle energi for hver konfiguration af atomer.

En grov model er at gøre rumtid til et gitter og forestille sig, at hver position enten indeholder et atom eller ikke. Rummet af konfiguration er, af uafhængige bit B _i , hvor hver bit er enten 0 eller 1 afhængigt af om positionen er besat eller ej. En attraktiv interaktion reducerer energien fra to nærliggende atomer. Hvis attraktionen kun er mellem nærmeste naboer, reduceres energien med -4 JB _i B _j for hvert besat nabopar.

Atomernes tæthed kan kontrolleres ved at tilføje et kemisk potentiale , hvilket er en multiplikativ sandsynlighedsomkostning for tilsætning af et atom mere. En multiplikativ faktor i sandsynlighed kan genfortolkes som et additivt udtryk i logaritmen - energien. Den ekstra energi i en konfiguration med N -atomer ændres med μN . Sandsynlighedsomkostningerne for endnu et atom er en faktor for eksp ( - βμ ).

Så gitterens energi er:

${\ displaystyle E =-{\ frac {1} {2}} \ sum _ {\ langle i, j \ rangle} 4JB_ {i} B_ {j}+\ sum _ {i} \ mu B_ {i}}$

Omskrivning af bits i form af spins, ${\ displaystyle B_ {i} = (S_ {i} +1)/2.}$

${\ displaystyle E =-{\ frac {1} {2}} \ sum _ {\ langle i, j \ rangle} JS_ {i} S_ {j}-{\ frac {1} {2}} \ sum _ {i} (4J- \ mu) S_ {i}}$

For gitter, hvor hvert sted har et lige antal naboer, er dette Ising -modellen med et magnetfelt h = ( zJ  -  μ )/2, hvor z er antallet af naboer.

I biologiske systemer er modificerede versioner af gittermodellen blevet brugt til at forstå en række bindingsadfærd. Disse omfatter bindingen af ​​ligander til receptorer i celleoverfladen, bindingen af ​​kemotaxiproteiner til flagellmotoren og kondensering af DNA.

Ansøgning til neurovidenskab

Aktiviteten af neuroner i hjernen kan modelleres statistisk. Hver neuron er til enhver tid enten aktiv + eller inaktiv -. De aktive neuroner er dem, der sender et aktionspotentiale ned ad axonen i et givet tidsvindue, og de inaktive er dem, der ikke gør det. Fordi den neurale aktivitet til enhver tid er modelleret af uafhængige bits, foreslog Hopfield , at en dynamisk Ising -model ville give en første tilnærmelse til et neuralt netværk, der er i stand til at lære .

Efter Jaynes 'generelle tilgang er en nylig fortolkning af Schneidman, Berry, Segev og Bialek, at Ising -modellen er nyttig til enhver model for neurale funktioner, fordi en statistisk model for neural aktivitet bør vælges ved hjælp af princippet om maksimal entropi . I betragtning af en samling neuroner introducerer en statistisk model, der kan gengive den gennemsnitlige affyringshastighed for hver neuron, en Lagrange -multiplikator for hver neuron:

${\ displaystyle E =-\ sum _ {i} h_ {i} S_ {i}}$

Men aktiviteten af ​​hver neuron i denne model er statistisk uafhængig. For at muliggøre parkorrelationer, når en neuron har tendens til at fyre (eller ikke at fyre) sammen med en anden, skal du indføre parvis lagrange-multiplikatorer:

${\ displaystyle E =-{\ tfrac {1} {2}} \ sum _ {ij} J_ {ij} S_ {i} S_ {j}-\ sum _ {i} h_ {i} S_ {i}}$

hvor ikke er begrænset til naboer. Bemærk, at denne generalisering af Ising -modellen undertiden kaldes den kvadratiske eksponentielle binære fordeling i statistik. Denne energifunktion introducerer kun sandsynlighedsfordomme for et spin med en værdi og for et par spins med den samme værdi. Højere ordrekorrelationer er ikke begrænset af multiplikatorerne. Et aktivitetsmønster, der er udtaget fra denne distribution, kræver det største antal bits, der skal lagres i en computer, i det mest effektive kodningsskema, man kan forestille sig, sammenlignet med enhver anden distribution med samme gennemsnitlige aktivitet og parvise korrelationer. Det betyder, at Ising -modeller er relevante for ethvert system, der er beskrevet af bits, der er så tilfældige som muligt, med begrænsninger i de parvise korrelationer og det gennemsnitlige antal 1s, som ofte forekommer i både den fysiske og samfundsvidenskab. ${\ displaystyle J_ {ij}}$

Spin briller

Med Ising -modellen kan de såkaldte spin -briller også beskrives ved den sædvanlige Hamiltonian, hvor S -variablerne beskriver Ising -spins, mens J _{i, k} er taget fra en tilfældig fordeling. For spinneglas vælger en typisk fordeling antiferromagnetiske bindinger med sandsynlighed p og ferromagnetiske bindinger med sandsynlighed 1 -  s . Disse bindinger forbliver faste eller "slukkede" selv i nærvær af termiske udsving. Når p  = 0 har vi den originale Ising -model. Dette system fortjener interesse i sit eget; især har man "ikke-ergodiske" egenskaber, der fører til mærkelig afslapningsadfærd. Meget opmærksomhed er også blevet tiltrukket af den relaterede binding og stedfortyndede Ising -model, især i to dimensioner, hvilket fører til spændende kritisk adfærd. ${\ displaystyle {\ hat {H}} =-{\ frac {1} {2}} \, \ sum J_ {i, k} \, S_ {i} \, S_ {k},}$

Havis

2D smeltedam tilnærmelser kan oprettes ved hjælp af Ising -modellen; havis -topografidata bærer temmelig meget på resultaterne. Tilstandsvariablen er binær for en simpel 2D -tilnærmelse, enten vand eller is.

Se også

Fodnoter

Referencer

eksterne links

• Ising model hos The Net Advance of Physics
• Barry Arthur Cipra , "Ising-modellen er NP-komplet ", SIAM News , Vol. 33, nr. 6; online udgave (.pdf)
• Science World -artikel om Ising -modellen
• En dynamisk 2D Ising java -applet fra UCSC
• En dynamisk 2D Ising java -applet
• En større/mere kompliceret 2D Ising java -applet
• Ising Model simulation af Enrique Zeleny, Wolfram Demonstrations Project
• Faseovergange på gitter
• Tredimensionelt bevis for Ising Model umuligt, hævder Sandia-forsker
• Interaktiv Monte Carlo -simulering af Ising-, XY- og Heisenberg -modellerne med 3D -grafik (kræver WebGL -kompatibel browser)
• Ising model kode , billede denoising eksempel med Ising model
• David Tong's Foredragsnotater giver en god introduktion
• Tegneseriebilledet af magneter, der har transformeret videnskab - Quanta Magazine -artikel om Ising -model