Poinsots ellipsoid - Poinsot's ellipsoid

I klassisk mekanik er Poinsots konstruktion (efter Louis Poinsot ) en geometrisk metode til at visualisere den drejningsmomentfrie bevægelse af et roterende stift legeme , det vil sige bevægelsen af ​​et stift legeme, som ingen ydre kræfter virker på. Denne bevægelse har fire konstanter: kroppens kinetiske energi og de tre komponenter i vinkelmomentet , udtrykt med hensyn til en inertiel laboratorieramme. Den vinkelhastighed vektor af den stive rotor er ikke konstant , men tilfredsstiller Eulers ligninger . Uden eksplicit at løse disse ligninger var Louis Poinsot i stand til at visualisere bevægelsen af ​​endepunktet for vinkelhastighedsvektoren. Til dette formål brugte han bevarelsen af ​​kinetisk energi og vinkelmoment som begrænsninger for bevægelsen af ​​vinkelhastighedsvektoren . Hvis den stive rotor er symmetrisk (har to ens inertimomenter ), beskriver vektoren en kegle (og dens endepunkt en cirkel). Dette er den drejningsmomentfrie recession af rotorens rotationsakse. ${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ omega}}}$${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ omega}}}$${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ omega}}}$

Vinklet kinetisk energibegrænsning

Loven om bevarelse af energi indebærer, at i mangel af energispredning eller påførte drejningsmomenter bevares den vinklede kinetiske energi , så . ${\ displaystyle T \}$${\ textstyle {\ frac {dT} {dt}} = 0}$

Vinkel kinetisk energi kan udtrykkes i form af inerti -tensorens moment og vinkelhastighedsvektoren${\ displaystyle \ mathbf {I}}$${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ omega}}}$

${\ displaystyle T = {\ frac {1} {2}} {\ boldsymbol {\ omega}} \ cdot \ mathbf {I} \ cdot {\ boldsymbol {\ omega}} = {\ frac {1} {2} } I_ {1} \ omega _ {1}^{2}+{\ frac {1} {2}} I_ {2} \ omega _ {2}^{2}+{\ frac {1} {2} } I_ {3} \ omega _ {3}^{2}}$

hvor er komponenterne i vinkelhastigheden vektor , og er de væsentligste inertimomenter når begge er i kroppen ramme. , Bevarelse af kinetisk energi pålægger således en begrænsning på det tredimensionale vinkelhastighed vektor ; i hovedaksen ramme, skal den ligge på ellipsoiden defineret af ovenstående ligning, kaldet inerti ellipsoid . ${\ displaystyle \ omega _ {k} \}$${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ omega}}}$${\ displaystyle I_ {k} \}$${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ omega}}}$

Stien spores ud på denne ellipsoide af vinkelhastigheden vektor kaldes polhode (opfundet af Poinsot fra græske rødder for "pole vej"), og er generelt cirkulær eller taco -formet. ${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ omega}}}$

Vinkelmomentbegrænsning

Loven om bevarelse af vinkelmomentet siger, at i fravær af påførte moment er vinkelmomentvektoren bevaret i en inertial referenceramme , så . ${\ displaystyle \ mathbf {L}}$${\ textstyle {\ frac {d \ mathbf {L}} {dt}} = 0}$

Vinkelmomentvektoren kan udtrykkes i termer af inertimens tensor og vinkelhastighedsvektoren${\ displaystyle \ mathbf {L}}$${\ displaystyle \ mathbf {I}}$${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ omega}}}$

${\ displaystyle \ mathbf {L} = \ mathbf {I} \ cdot {\ boldsymbol {\ omega}}}}$

hvilket fører til ligningen

${\ displaystyle T = {\ frac {1} {2}} {\ boldsymbol {\ omega}} \ cdot \ mathbf {L}.}$

Da prikproduktet af og er konstant, og i sig selv er konstant, har vinkelhastighedsvektoren en konstant komponent i vinkelmomentvektorens retning . Dette pålægger en anden begrænsning for vektoren ; i absolut rum skal den ligge på det uforanderlige plan defineret af dets prikprodukt med den bevarede vektor . Den normale vektor til det uforanderlige plan er på linje med . Stien, der blev sporet af vinkelhastighedsvektoren på det uforanderlige plan, kaldes herpolhode (opfundet fra græske rødder for "serpentinpolsti"). ${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ omega}}}$${\ displaystyle \ mathbf {L}}$${\ displaystyle \ mathbf {L}}$${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ omega}}}$${\ displaystyle \ mathbf {L}}$${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ omega}}}$${\ displaystyle \ mathbf {L}}$${\ displaystyle \ mathbf {L}}$${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ omega}}}$

Herpolhoden er generelt en åben kurve, hvilket betyder, at rotationen ikke gentages perfekt, men polhoden er en lukket kurve (se nedenfor).

Tangens tilstand og konstruktion

Disse to begrænsninger fungerer i forskellige referencerammer; den ellipsoide begrænsning holder i den (roterende) hovedakse ramme, hvorimod den uforanderlige plankonstant fungerer i absolutte rum. For at relatere disse begrænsninger bemærker vi, at den kinetiske energis gradientvektor med hensyn til vinkelhastighedsvektoren er lig med vinkelmomentvektoren${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ omega}}}$${\ displaystyle \ mathbf {L}}$

${\ displaystyle {\ frac {dT} {d {\ boldsymbol {\ omega}}}} = \ mathbf {I} \ cdot {\ boldsymbol {\ omega}} = \ mathbf {L}.}$

Derfor er den normale vektor til den kinetiske energi ellipsoid at proportional med , hvilket også er tilfældet for det uforanderlige plan. Da deres normale vektorer peger i samme retning, skærer disse to overflader tangentielt. ${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ omega}}}$${\ displaystyle \ mathbf {L}}$

Tilsammen viser disse resultater, at i en absolut referenceramme er den øjeblikkelige vinkelhastighedsvektor skæringspunktet mellem et fast, uforanderligt plan og en kinetisk energi-ellipsoid, der er tangent til det og ruller rundt på det uden at glide. Dette er Poinsots konstruktion . ${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ omega}}}$

Afledning af polhoderne i karosserirammen

I hovedaksen (som roterer i absolut rum), bevares vinkelmomentvektoren ikke selv i fravær af påførte moment, men varierer som beskrevet af Eulers ligninger . I mangel af påførte drejningsmomenter bevares størrelsen af vinkelmomentet og den kinetiske energi imidlertid begge ${\ displaystyle L \}$${\ displaystyle T \}$

${\ displaystyle {\ begin {align} L^{2} & = L_ {1}^{2}+L_ {2}^{2}+L_ {3}^{2} \\ [2pt] T & = { \ frac {L_ {1}^{2}} {2I_ {1}}}+{\ frac {L_ {2}^{2}} {2I_ {2}}}+{\ frac {L_ {3}^ {2}} {2I_ {3}}} \ end {justeret}}}$

hvor de er komponenterne i vinkelmomentvektoren langs hovedakslerne, og det er de vigtigste inertimomenter. ${\ displaystyle L_ {k} \}$${\ displaystyle I_ {k} \}$

Disse bevaringslove svarer til to begrænsninger for den tredimensionelle vinkelmomentvektor . Den kinetiske energi begrænser til at ligge på en ellipsoid, hvorimod vinkelmomentbegrænsningen begrænser til at ligge på en kugle . Disse to overflader skærer hinanden i to kurver formet som kanten af ​​en taco, der definerer de mulige løsninger for . Dette viser, at og polhoden forbliver på en lukket sløjfe i objektets bevægelige referenceramme. ${\ displaystyle \ mathbf {L}}$${\ displaystyle \ mathbf {L}}$${\ displaystyle \ mathbf {L}}$${\ displaystyle \ mathbf {L}}$${\ displaystyle \ mathbf {L}}$

Kroppens orientering i rummet har således to frihedsgrader. For det første skal et eller andet punkt på "tacokanten" flugte med hvilken der er en konstant vektor i absolut rum. For det andet, når vektoren i kropsrammen, der går igennem dette punkt, er fikset, kan kroppen have en hvilken som helst rotation omkring denne vektor. Så i princippet er kroppens orientering et eller andet punkt på en toroidal 2-manifold inde i 3-manifolden i alle orienteringer. Generelt vil objektet følge en ikke-periodisk vej på denne torus, men det kan følge en periodisk vej. Tiden det tager at fuldføre en cyklus omkring sit spor i kropsrammen er konstant, men efter en cyklus vil kroppen have roteret med en mængde, som ikke er et rationelt antal grader, i hvilket tilfælde orienteringen ikke vil være periodisk, men næsten periodisk . ${\ displaystyle \ mathbf {L},}$ ${\ displaystyle \ mathbf {L}}$

Generelt bestemmes en torus næsten af ​​tre parametre: forholdet mellem det andet og tredje inertimoment til det højeste af de tre inertimomenter og forholdet, der relaterer vinkelmomentet til energitiderne det højeste inertimoment. Men for et sådant sæt parametre er der to tori, fordi der er to "tacos" (svarende til to polhodes). Et sæt 180 ° rotationer fører enhver orientering af den ene torus ind i en orientering af den anden med det modsatte punkt på linje med vinkelmomentvektoren. Hvis vinkelmomentet er nøjagtigt på linje med en hovedakse, degenererer torus til en enkelt sløjfe. Hvis præcis to inertimomenter er lige (et såkaldt symmetrisk legeme), vil der udover tori være et uendeligt antal sløjfer, og hvis alle tre inertimomenter er lige, vil der være sløjfer, men ingen tori. Hvis de tre inertimomenter alle er forskellige, men mellemaksen ikke er på linje med vinkelmomentet, vil orienteringen være et punkt på en topologisk åben ring . ${\ displaystyle L^{2}/(TI_ {3})}$${\ displaystyle L^{2} = TI_ {2}}$

På grund af alt dette, når vinkelhastighedsvektoren (eller vinkelmomentvektoren) ikke er tæt på aksen med højeste eller laveste inerti, "tumler" kroppen. De fleste måner roterer mere eller mindre omkring deres akse med største inerti (på grund af viskøse effekter), men Hyperion (en måne fra Saturn), to måner af Pluto og mange andre små legemer i solsystemet har tumlende rotationer.

Afspil medier

Dzhanibekov effekt demonstration i mikrogravitation , NASA .

Hvis kroppen er indstillet til at dreje på sin mellemliggende hovedakse, er skæringspunktet mellem ellipsoiden og kuglen som to sløjfer, der krydser på to punkter, linet op med den akse. Hvis justeringen med mellemaksen ikke er perfekt, vil den i sidste ende bevæge sig ud af dette punkt langs et af de fire spor, der afgår fra dette punkt, og gå til det modsatte punkt. Dette svarer til at flytte til dens modpode på Poinsot -ellipsoiden. Se videoen til højre og Tennis ketcher sætning . ${\ displaystyle \ mathbf {L}}$${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ omega}}}$

Denne konstruktion adskiller sig fra Poinsots konstruktion, fordi den betragter vinkelmomentvektoren frem for vinkelhastighedsvektoren . Det ser ud til at være udviklet af Jacques Philippe Marie Binet . ${\ displaystyle \ mathbf {L}}$${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ omega}}}$

Særlig situation

I det generelle tilfælde af rotation af et usymmetrisk legeme, som har forskellige værdier for inertimomentet omkring de tre hovedakser, kan rotationsbevægelsen være ret kompleks, medmindre kroppen roterer omkring en hovedakse. Som beskrevet i tennisketcher -sætningen er rotation af et objekt omkring dens første eller tredje hovedakse stabil, mens rotation omkring dens anden hovedakse (eller mellemakse) ikke er. Bevægelsen er forenklet i tilfælde af et aksesymmetrisk legeme, hvor inertimomentet er det samme omkring to af hovedakslerne. Disse tilfælde omfatter rotation af en prolatkugle (formen på en amerikansk fodbold) eller rotation af en oblat kugleform (formen af ​​en flad kugle). I dette tilfælde beskriver vinkelhastigheden en kegle, og polhoden er en cirkel. Denne analyse kan f.eks. Anvendes på den aksiale prækession af rotationen af ​​en planet (tilfældet med en oblat kugleform.)

Ansøgninger

En af applikationerne i Poinsots konstruktion er at visualisere rotation af et rumfartøj i kredsløb.

Se også

Referencer

Kilder

• Poinsot (1834) Theorie Nouvelle de la Rotation des Corps , Bachelier, Paris.
• Landau LD og Lifshitz EM (1976) Mechanics , 3rd. red., Pergamon Press. ISBN  0-08-021022-8 (hardcover) og ISBN  0-08-029141-4 (Softcover).
• Goldstein H. (1980) Klassisk mekanik , 2.. red., Addison-Wesley. ISBN  0-201-02918-9
• Symon KR. (1971) Mekanik , 3.. red., Addison-Wesley. ISBN  0-201-07392-7

eksterne links

• Poinsot -konstruktion i stereo 3D -simulering - online og gratis .