Stiv krop - Rigid body

Placeringen af et stift legeme bestemmes af positionen af dets massecenter og af dets holdning (mindst seks parametre i alt).

I fysikken er et stift legeme (også kendt som et stift objekt ) et fast legeme , hvor deformation er nul eller så lille, at den kan negligeres. Den afstand mellem to givne punkter på en stiv krop forbliver konstant i gang, uanset ydre kræfter eller momenter udøves på det. En stiv krop er normalt betragtes som en kontinuert fordeling af massen .

I studiet af særlig relativitet eksisterer der ikke et perfekt stift legeme; og objekter kan kun antages at være stive, hvis de ikke bevæger sig nær lysets hastighed . I kvantemekanikken betragtes en stiv krop normalt som en samling af punktmasser . For eksempel ses molekyler (bestående af punktmasserne: elektroner og kerner) ofte som stive kroppe (se klassificering af molekyler som stive rotorer ).

Kinematik

Lineær og kantet position

Placeringen af et stift legeme er placeringen af alle partiklerne, som det er sammensat af. For at forenkle beskrivelsen af denne position udnytter vi den egenskab, at kroppen er stiv, nemlig at alle dens partikler holder den samme afstand i forhold til hinanden. Hvis kroppen er stiv, er det tilstrækkeligt at beskrive placeringen af mindst tre ikke- kollinære partikler. Dette gør det muligt at rekonstruere positionen for alle de andre partikler, forudsat at deres tid-invariante position i forhold til de tre udvalgte partikler er kendt. Imidlertid bruges typisk en anden, matematisk mere bekvem, men ækvivalent tilgang. Hele kroppens position repræsenteres af:

den lineære position eller position af kroppen, nemlig positionen af en af partiklerne af kroppen, specifikt valgt som et referencepunkt (typisk falder sammen med centrum af massen eller centroiden af kroppen), sammen med
den vinkelposition (også kendt som orientering , eller holdning ) af legemet.

Placeringen af et stift legeme har således to komponenter: henholdsvis lineær og kantet . Det samme er tilfældet for andre kinematiske og kinetiske mængder beskriver bevægelsen af et stift legeme, såsom lineære og vinkelmæssige hastighed , acceleration , momentum , impuls og kinetisk energi .

Den lineære position kan repræsenteres af en vektor med halen ved et vilkårligt referencepunkt i rummet (oprindelsen af et valgt koordinatsystem ) og dens spids ved et vilkårligt interessepunkt på det stive legeme, der typisk falder sammen med dets massecenter eller centroid . Dette referencepunkt kan definere oprindelsen af et koordinatsystem, der er fastgjort til kroppen.

Der er flere måder at numerisk beskrive orienteringen af et stift legeme, herunder et sæt med tre Euler -vinkler , en kvaternion eller en kosinusmatrix (også omtalt som en rotationsmatrix ). Alle disse metoder definerer faktisk orienteringen af et grundsæt (eller koordinatsystem ), der har en fast orientering i forhold til kroppen (dvs. roterer sammen med kroppen), i forhold til et andet grundsæt (eller koordinatsystem), hvorfra bevægelsen af den stive krop observeres. For eksempel kan et grundsæt med fast orientering i forhold til et fly defineres som et sæt af tre ortogonale enhedsvektorer b ₁ , b ₂ , b ₃ , således at b ₁ er parallel med vingens akkordlinje og rettet fremad, b ₂ er normal for symmetriplanet og rettet mod højre, og b ₃ er givet af krydsproduktet . ${\ displaystyle b_ {3} = b_ {1} \ gange b_ {2}}$

Generelt, når et stift legeme bevæger sig, varierer både dets position og orientering med tiden. I kinematisk forstand betegnes disse ændringer som henholdsvis translation og rotation . Faktisk kan positionen af et stift legeme ses som en hypotetisk translation og rotation (roto-translation) af kroppen, der starter fra en hypotetisk referenceposition (ikke nødvendigvis sammenfaldende med en position, som kroppen faktisk indtog under dets bevægelse).

Lineær og vinkelhastighed

Hastighed (også kaldet lineær hastighed ) og vinkelhastighed måles i forhold til en referenceramme .

Den stive krops lineære hastighed er en vektormængde , der svarer til ændringstiden for dets lineære position. Således er det hastigheden af et referencepunkt fastgjort til kroppen. Under ren translationel bevægelse (bevægelse uden rotation) bevæger alle punkter på et stift legeme sig med den samme hastighed . Men når bevægelse involverer rotation, vil den øjeblikkelige hastighed for to punkter på kroppen generelt ikke være den samme. To punkter i et roterende legeme vil kun have den samme momentane hastighed, hvis de tilfældigvis ligger på en akse parallelt med den øjeblikkelige rotationsakse .

Vinkelhastighed er en vektormængde, der beskriver vinkelhastigheden, ved hvilken orienteringen af det stive legeme ændrer sig, og den øjeblikkelige akse , den roterer om (eksistensen af denne øjeblikkelige akse garanteres af Eulers rotationsteorem ). Alle punkter på en stiv krop oplever hele tiden den samme vinkelhastighed . Under ren rotationsbevægelse ændrer alle punkter på kroppen position undtagen dem, der ligger på den øjeblikkelige rotationsakse . Forholdet mellem orientering og vinkelhastighed er ikke direkte analogt med forholdet mellem position og hastighed. Vinkelhastighed er ikke tidshastigheden for orienteringsændring, fordi der ikke findes et begreb som en orienteringsvektor, der kan differentieres for at opnå vinkelhastigheden.

Kinematiske ligninger

Additions sætning for vinkelhastighed

Vinkelhastigheden for et stift legeme B i en referenceramme N er lig med summen af vinkelhastigheden for et stift legeme D i N og vinkelhastigheden af B med hensyn til D:

{\ displaystyle {}^{\ mathrm {N}} \! {\ boldsymbol {\ omega}}^{\ mathrm {B}} = {}^{\ mathrm {N}} \! {\ boldsymbol {\ omega }}^{\ mathrm {D}}+{}^{\ mathrm {D}} \! {\ boldsymbol {\ omega}}^{\ mathrm {B}}.}

I dette tilfælde kan stive kroppe og referencerammer ikke skelnes og kan udskiftes fuldstændigt.

Tilføjelsessætning for position

For ethvert sæt af tre punkter P, Q og R er positionsvektoren fra P til R summen af positionsvektoren fra P til Q og positionsvektoren fra Q til R:

{\ displaystyle \ mathbf {r} ^{\ mathrm {PR}} = \ mathbf {r} ^{\ mathrm {PQ}}+\ mathbf {r} ^{\ mathrm {QR}}.}

Matematisk definition af hastighed

Hastigheden af punkt P i referenceramme N er defineret som tidsderivatet i N af positionsvektoren fra O til P:

{\ displaystyle {}^{\ mathrm {N}} \ mathbf {v}^{\ mathrm {P}} = {\ frac {{}^{\ mathrm {N}} \ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} (\ mathbf {r} ^{\ mathrm {OP}})}

hvor O er et vilkårligt punkt, der er fastsat i referencerammen N, og N til venstre for d/d t -operatoren angiver, at derivatet er taget i referenceramme N. Resultatet er uafhængigt af valget af O, så længe O er fast i N.

Matematisk definition af acceleration

Accelerationen af punkt P i referenceramme N er defineret som tidsderivatet i N af dets hastighed:

{\ displaystyle {}^{\ mathrm {N}} \ mathbf {a}^{\ mathrm {P}} = {\ frac {^{\ mathrm {N}} \ mathrm {d}} {\ mathrm {d } t}} ({} ^{\ mathrm {N}} \ mathbf {v} ^{\ mathrm {P}}).}

Hastighed på to punkter fastgjort på en stiv krop

For to punkter P og Q, der er fikseret på et stift legeme B, hvor B har en vinkelhastighed i referencerammen N, kan hastigheden af Q i N udtrykkes som en funktion af hastigheden af P i N: ${\ displaystyle \ scriptstyle {^{\ mathrm {N}} {\ boldsymbol {\ omega}}^{\ mathrm {B}}}}$

{\ displaystyle {} ^{\ mathrm {N}} \ mathbf {v} ^{\ mathrm {Q}} = {} ^{\ mathrm {N}} \! \ mathbf {v} ^{\ mathrm {P }}+{}^{\ mathrm {N}} {\ boldsymbol {\ omega}}^{\ mathrm {B}} \ times \ mathbf {r}^{\ mathrm {PQ}}.}

hvor er positionsvektoren fra P til Q. ${\ displaystyle \ mathbf {r} ^{\ mathrm {PQ}}}$

Acceleration af to punkter fastgjort på en stiv krop

Ved at differentiere ligningen for hastigheden af to punkter, der er fastgjort på et stift legeme i N med hensyn til tiden, kan accelerationen i referencerammen N for et punkt Q, der er fastgjort på et stift legeme B, udtrykkes som

{\ displaystyle {} ^{\ mathrm {N}} \ mathbf {a} ^{\ mathrm {Q}} = {} ^{\ mathrm {N}} \ mathbf {a} ^{\ mathrm {P}} +{}^{\ mathrm {N}} {\ boldsymbol {\ omega}}^{\ mathrm {B}} \ times \ left ({}^{\ mathrm {N}} {\ boldsymbol {\ omega}} ^{\ mathrm {B}} \ times \ mathbf {r}^{\ mathrm {PQ}} \ right)+{}^{\ mathrm {N}} {\ boldsymbol {\ alpha}}^{\ mathrm { B}} \ times \ mathbf {r} ^{\ mathrm {PQ}}}

hvor er vinkelacceleration af B i referencerammen N. ${\ displaystyle \ scriptstyle {{}^{\ mathrm {N}} \! {\ boldsymbol {\ alpha}}^{\ mathrm {B}}}}$

Vinkelhastighed og acceleration af to punkter fastgjort på et stift legeme

Som nævnt ovenfor har alle punkter på et stift legeme B samme vinkelhastighed i en fast referenceramme N og dermed samme vinkelacceleration ${\ displaystyle {}^{\ mathrm {N}} {\ boldsymbol {\ omega}}^{\ mathrm {B}}}$ ${\ displaystyle {}^{\ mathrm {N}} {\ boldsymbol {\ alpha}}^{\ mathrm {B}}.}$

Hastighed af et punkt, der bevæger sig på en stiv krop

Hvis punktet R bevæger sig i det stive legeme B, mens B bevæger sig i referencerammen N, er hastigheden af R i N

{\ displaystyle {} ^{\ mathrm {N}} \ mathbf {v} ^{\ mathrm {R}} = {} ^{\ mathrm {N}} \ mathbf {v} ^{\ mathrm {Q}} +{} ^{\ mathrm {B}} \ mathbf {v} ^{\ mathrm {R}}}

hvor Q er det punkt, der er fikseret i B, der øjeblikkeligt er sammenfaldende med R i øjeblikket af interesse. Dette forhold kombineres ofte med forholdet for hastigheden af to punkter fastgjort på et stift legeme .

Acceleration af et punkt, der bevæger sig på en stiv krop

Accelerationen i referencerammen N for punktet R, der bevæger sig i krop B, mens B bevæger sig i rammen N, er givet ved

{\ displaystyle {} ^{\ mathrm {N}} \ mathbf {a} ^{\ mathrm {R}} = {} ^{\ mathrm {N}} \ mathbf {a} ^{\ mathrm {Q}} +{}^{\ mathrm {B}} \ mathbf {a}^{\ mathrm {R}} +2 {}^{\ mathrm {N}} {\ boldsymbol {\ omega}}^{\ mathrm {B }} \ gange {} ^{\ mathrm {B}} \ mathbf {v} ^{\ mathrm {R}}}

hvor Q er det punkt, der er fikseret i B, der øjeblikkeligt falder sammen med R i det øjeblik, der er interessant. Denne ligning kombineres ofte med Acceleration af to punkter fastgjort på et stift legeme .

Andre mængder

Hvis C er oprindelsen til et lokalt koordinatsystem L , knyttet til kroppen,

den rumlige eller twist acceleration af et stift legeme defineres som rumlige acceleration af C (i modsætning til materiale acceleration ovenfor);

{\ displaystyle {\ boldsymbol {\ psi}} (t, \ mathbf {r} _ {0}) = \ mathbf {a} (t, \ mathbf {r} _ {0})-{\ boldsymbol {\ omega }} (t) \ times \ mathbf {v} (t, \ mathbf {r} _ {0}) = {\ boldsymbol {\ psi}} _ {c} (t)+{\ boldsymbol {\ alpha}} (t) \ gange A (t) \ mathbf {r} _ {0}}

hvor

${\ displaystyle \ mathbf {r} _ {0}}$ repræsenterer punktets/partikelens position i forhold til kroppens referencepunkt i forhold til det lokale koordinatsystem L (kroppens stivhed betyder, at dette ikke afhænger af tid)
${\ displaystyle A (t) \,}$ er orienteringen matrix, en ortogonal matrix med determinant 1, der repræsenterer orienteringen (vinkelposition) af det lokale koordinatsystem L , i forhold til den vilkårlige henvisning orienteringen af et andet koordinatsystem G . Tænk på denne matrix som tre ortogonale enhedsvektorer, en i hver kolonne, som definerer orienteringen af akserne for L i forhold til G .
${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ omega}} (t)}$ repræsenterer vinkelhastigheden af det stive legeme
${\ displaystyle \ mathbf {v} (t, \ mathbf {r} _ {0})}$ repræsenterer punktets/partikelens samlede hastighed
${\ displaystyle \ mathbf {a} (t, \ mathbf {r} _ {0})}$ repræsenterer den totale acceleration af punktet/partiklen
${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ alpha}} (t)}$ repræsenterer den stive krops vinkelacceleration
${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ psi}} (t, \ mathbf {r} _ {0})}$ repræsenterer den rumlige acceleration af punktet/partiklen
${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ psi}} _ {c} (t)}$ repræsenterer den rumlige acceleration af det stive legeme (dvs. den rumlige acceleration af oprindelsen af L ).

I 2D er vinkelhastigheden en skalar, og matrix A (t) repræsenterer ganske enkelt en rotation i xy -flyet med en vinkel, der er integralet af vinkelhastigheden over tid.

Køretøjer , vandrende mennesker osv. Roterer normalt i henhold til ændringer i hastighedsretningen: de bevæger sig fremad i forhold til deres egen orientering. Hvis kroppen derefter følger en lukket bane i et plan, er vinkelhastigheden integreret over et tidsinterval, hvor kredsløbet afsluttes en gang, et helt tal på 360 °. Dette heltal er viklingstallet med hensyn til hastighedens oprindelse. Sammenlign mængden af rotation, der er forbundet med hjørnerne i en polygon .

Kinetik

Ethvert punkt, der er stift forbundet til kroppen, kan bruges som referencepunkt (koordinatsystemets oprindelse L ) for at beskrive kroppens lineære bevægelse (den lineære position, hastighed og accelerationsvektorer afhænger af valget).

Afhængigt af applikationen kan et praktisk valg imidlertid være:

den tyngdepunktet af hele systemet, som generelt har den enkleste forslag til organ bevæger sig frit i rummet;
et punkt således, at translationel bevægelse er nul eller forenklet, f.eks. på en aksel eller et hængsel , i midten af en kugle- og sokkelfuge osv.

Når massemidlet bruges som referencepunkt:

Det (lineære) momentum er uafhængigt af rotationsbevægelsen. Til enhver tid er den lig med den totale masse af det stive legeme gange translationshastigheden.
Den impulsmoment med hensyn til midten af massen er den samme som uden oversættelse: når som helst det er lig med de inerti tensor gange vinkelhastigheden. Når vinkelhastigheden udtrykkes i forhold til et koordinatsystem, der falder sammen med kroppens hovedakser , er hver komponent i vinkelmomentet et produkt af et inertimoment (en hovedværdi af inerti -tensoren) gange den tilsvarende komponent i Vinkelhastighed; den moment er inerti tensor gange vinkelacceleration .
Mulige bevægelser i fravær af eksterne kræfter er translation med konstant hastighed, stabil rotation omkring en fast hovedakse og også momentfri precession .
Den ydre nettokraft på det stive legeme er altid lig med den samlede masse gange translationel acceleration (dvs. Newtons anden lov gælder for translationel bevægelse, selv når det eksterne ydre drejningsmoment er nul, og/eller kroppen roterer).
Den samlede kinetiske energi er simpelthen summen af translationel og roterende energi .

Geometri

To stive kroppe siges at være forskellige (ikke kopier), hvis der ikke er en ordentlig rotation fra det ene til det andet. Et stift legeme kaldes chiralt, hvis dets spejlbillede er anderledes i den forstand, dvs. hvis det enten ikke har nogen symmetri, eller dets symmetri -gruppe kun indeholder korrekte rotationer. I det modsatte tilfælde kaldes et objekt achiralt: spejlbilledet er en kopi, ikke et andet objekt. Et sådant objekt kan have et symmetriplan, men ikke nødvendigvis: der kan også være et refleksionsplan, for hvilket objektets billede er en roteret version. Sidstnævnte gælder for S _2n , hvor casen n = 1 er inversionssymmetri.

For et (stift) rektangulært gennemsigtigt ark svarer inversionssymmetri til at have et billede uden rotationssymmetri på den ene side og på den anden side et billede, så det, der skinner igennem, er billedet i oversiden, på hovedet. Vi kan skelne mellem to sager:

arkoverfladen med billedet er ikke symmetrisk - i dette tilfælde er de to sider forskellige, men spejlbilledet af objektet er det samme efter en rotation 180 ° om aksen vinkelret på spejlplanet.
arkoverfladen med billedet har en symmetriakse - i dette tilfælde er de to sider ens, og spejlbilledet af objektet er også det samme, igen efter en rotation med 180 ° omkring aksen vinkelret på spejlplanet.

Et ark med et gennemgående billede er achiralt. Vi kan igen skelne mellem to tilfælde:

arkoverfladen med billedet har ingen symmetriakse - de to sider er forskellige
arkoverfladen med billedet har en symmetriakse - de to sider er ens

Konfigurationsplads

Den konfigurationsrum af et stift legeme med et fast punkt (dvs. en krop med nul translatoriske bevægelse) er givet ved det underliggende manifold af rotation gruppe SO (3) . Konfigurationsrummet for et ikke-fast (med ikke-nul translationel bevægelse) stift legeme er E ⁺ (3) , undergruppen af direkte isometrier i den euklidiske gruppe i tre dimensioner (kombinationer af translationer og rotationer ).

Se også

Noter

Referencer

Roy Featherstone (1987). Robotdynamikalgoritmer . Springer. ISBN 0-89838-230-0.Denne reference effektivt kombinerer skrue teori med stive legemers dynamik for robot applikationer. Forfatteren vælger også at bruge rumlige accelerationer i vid udstrækning i stedet for materialeaccelerationer, da de forenkler ligningerne og muliggør kompakt notation.
JPL DARTS -siden har et afsnit om rumlig operatoralgebra (link: [2] ) samt en omfattende referenceliste (link: [3] ).
Andy Ruina og Rudra Pratap (2015). Introduktion til statistik og dynamik . Oxford University Press.(link: [4] ).

eksterne links

Medier relateret til stive kroppe på Wikimedia Commons

Languages

In other projects