Polært inertimoment - Polar moment of inertia

Den polære øjeblik (of inertia) , også kendt som anden (polær) inertimomentet , er en mængde, der anvendes til at beskrive resistens over for vridnings- deformation ( afbøjning ), i cylindriske genstande (eller segmenter af cylindriske genstand) med et invariant tværsnit og ingen væsentlig fordrejning eller deformation uden for flyet. Det er en bestanddel af det andet arealmoment , der er forbundet gennem den vinkelrette aksesætning . Hvor det plane andet arealmoment beskriver et objekts modstand mod afbøjning ( bøjning ), når det udsættes for en kraft, der påføres et plan parallelt med midteraksen, beskriver det polære andet arealmoment et objekts modstand mod afbøjning, når det udsættes for et øjeblik, der påføres i et plan vinkelret på objektets midterakse (dvs. parallelt med tværsnittet). I lighed med planar andet moment af arealberegninger ( ,, og ) betegnes det polare andet arealmoment ofte som . Mens flere engineering lærebøger og akademiske publikationer også betegne det som eller , bør denne betegnelse omhyggelig opmærksomhed, så det ikke bliver forvekslet med torsion konstant , , anvendes til ikke-cylindriske genstande. ${\ displaystyle I_ {x}}$ ${\ displaystyle I_ {y}}$ ${\ displaystyle I_ {xy}}$ ${\ displaystyle I_ {z}}$ ${\ displaystyle J}$ ${\ displaystyle J_ {z}}$ ${\ displaystyle J_ {t}}$

Kort sagt, det polære inertimoment er en aksel eller bjælkes modstand mod at blive forvrænget af torsion, som en funktion af dens form. Stivheden kommer kun fra objektets tværsnitsareal og afhænger ikke af dets materialesammensætning eller forskydningsmodul . Jo større størrelsen af det polære inertimoment er, desto større er objektets vridningsmodstand.

Definition

En skematisk visning af, hvordan det polære inertimoment er beregnet for en vilkårlig form omkring en akse . Hvor er den radiale afstand til elementet .

{\ displaystyle O}

{\ displaystyle \ rho}

{\ displaystyle dA}

Ligningen, der beskriver det polære inertimoment, er en multipel integral over objektets tværsnitsareal ,,. ${\ displaystyle A}$

{\ displaystyle J = \ iint _ {A} r^{2} \, dA}

hvor er afstanden til elementet .

{\ displaystyle r}

{\ displaystyle dA}

Udskiftning af og -komponenter ved hjælp af Pythagoras sætning : ${\ displaystyle x}$ ${\ displaystyle y}$

{\ displaystyle J = \ iint _ {A} \ venstre (x^{2}+y^{2} \ højre) dx \, dy}

{\ displaystyle J = \ iint _ {A} x^{2} \, dx \, dy+\ iint _ {A} y^{2} \, dx \, dy}

I betragtning af de plane andre øjeblikke af arealligninger, hvor:

{\ displaystyle I_ {x} = \ iint _ {A} y^{2} dx \, dy}

{\ displaystyle I_ {y} = \ iint _ {A} x^{2} dx \, dy}

Det er vist, at det polære inertimoment kan beskrives som summeringen af de og plane inertimomenter, og ${\ displaystyle x}$ ${\ displaystyle y}$ ${\ displaystyle I_ {x}}$ ${\ displaystyle I_ {y}}$

{\ displaystyle \ derfor J = I_ {z} = I_ {x}+I_ {y}}

Dette er også vist i den vinkelrette aksesætning . For objekter, der har rotationssymmetri, såsom en cylinder eller et hult rør, kan ligningen forenkles til:

{\ displaystyle J = 2I_ {x}}

eller

{\ displaystyle J = 2I_ {y}}

For et cirkulært snit med radius : ${\ displaystyle R}$

{\ displaystyle I_ {z} = \ int _ {0}^{2 \ pi} \ int _ {0}^{R} r^{2} (r \, dr \, d \ phi) = {\ frac {\ pi R^{4}} {2}}}

Enhed

Den SI enhed for polære inertimoment , ligesom området inertimoment , er meter til fjerde potens ( m ⁴ ), og inches til fjerde potens ( i ⁴ ) i amerikanske enheder og britiske enheder .

Begrænsninger

Det polære inertimoment er utilstrækkeligt til brug for at analysere bjælker og aksler med ikke-cirkulære tværsnit på grund af deres tendens til at skæve, når de vrides, hvilket forårsager deformationer uden for planet. I sådanne tilfælde bør en torsionskonstant erstattes, hvor en passende deformationskonstant er inkluderet for at kompensere for den skæve effekt. Inden for dette er der artikler, som skelne mellem polære inertimoment , og torsionsstivhed konstante , ikke længere anvender til at beskrive det polære inertimoment. ${\ displaystyle I_ {z}}$ ${\ displaystyle J_ {t}}$ ${\ displaystyle J}$

I objekter med betydelig tværsnitsvariation (langs aksen for det påførte moment), som ikke kan analyseres i segmenter, kan det være nødvendigt at bruge en mere kompleks tilgang. Se 3-D elasticitet .

Ansøgning

Selvom det polære inertimoment oftest bruges til at beregne vinkelforskydningen af et objekt, der udsættes for et moment ( drejningsmoment ) påført parallelt med tværsnittet, skal det bemærkes, at den angivne værdi af stivhed ikke har nogen betydning for vridningsmodstand tilvejebragt til et objekt som en funktion af dets bestanddele. Stivheden tilvejebringes af et objekts materiale er karakteristisk for dens forskydningsmodulet , . Ved at kombinere disse to funktioner med akselens længde, er man i stand til at beregne en aksels vinkelafbøjning på grund af det påførte moment : ${\ displaystyle G}$ ${\ displaystyle L}$ ${\ displaystyle \ theta}$ ${\ displaystyle T}$

{\ displaystyle \ theta = {\ frac {TL} {JG}}}

Som vist, jo større materialets forskydningsmodul og polære arealmoment (dvs. større tværsnitsareal), desto større modstand mod vridningsafbøjning.

Den polære øjeblik af området vises i formlerne, der beskriver torsionsstivhed stress og vinkelforskydning.

Torsionsspændinger:

{\ displaystyle \ tau = {\ frac {T \, r} {J_ {z}}}}

hvor er torsionsforskydningsspændingen, er det påførte moment, afstanden fra midteraksen og er områdets polære moment.

{\ displaystyle \ tau}

{\ displaystyle T}

{\ displaystyle r}

{\ displaystyle J_ {z}}

Bemærk: I en cirkulær aksel er forskydningsspændingen maksimal ved akselens overflade.

Prøveberegning

Rotoren på en moderne dampturbine .

Beregning af dampturbinens akselradius for et turbosæt:

Forudsætninger:

Effekt fra akslen er 1000 MW ; dette er typisk for et stort atomkraftværk .
Flydespænding af det stål, der bruges til fremstilling af akslen ( τ _udbytte ) er: 250 × 10 ⁶ N/m ² .
Elektricitet har en frekvens på 50 Hz ; dette er den typiske frekvens i Europa. I Nordamerika er frekvensen 60 Hz. Dette forudsætter, at der er en 1: 1 korrelation mellem turbinens rotationshastighed og frekvensen af netstrøm.

Den vinkelfrekvensen kan beregnes med følgende formel:

{\ displaystyle \ omega = 2 \ pi f}

Drejningsmomentet båret af akslen er relateret til effekten ved følgende ligning:

{\ displaystyle P = T \ omega}

Vinkelfrekvensen er derfor 314,16 rad / s og drejningsmomentet 3,1831 × 10 ⁶N · m .

Det maksimale drejningsmoment er:

{\ displaystyle T _ {\ max} = {\ frac {\ tau _ {\ max} J_ {z}} {r}}}

Efter substitution af det polære inertimoment opnås følgende udtryk:

{\ displaystyle r = {\ sqrt [{3}] {\ frac {2T _ {\ max}} {\ pi \ tau _ {\ max}}}}}}

Den radius er r = 0,200 m = 200 mm, eller en diameter på 400 mm. Hvis man tilføjer en sikkerhedsfaktor på 5 og genberegner radius med den tilladte spænding lig med τ _adm = τ _udbytte /5, er resultatet en radius på 0,343 m eller en diameter på 690 mm, den omtrentlige størrelse af en turbosetaksel i et atomkraftværk.

Sammenligning af polære og masse inertimomenter

Hul cylinder

Polært inertimoment:

{\ displaystyle I_ {z} = {\ frac {\ pi \ venstre (D^{4} -d^{4} \ højre)} {32}}}

Masse inertimoment:

{\ displaystyle I_ {c} = I_ {z} \ rho l = {\ frac {\ pi \ rho l \ venstre (D^{4} -d^{4} \ højre)} {32}}}

Solid cylinder

Polært inertimoment

{\ displaystyle I_ {z} = {\ frac {\ pi D^{4}} {32}}}

Masse inertimoment

{\ displaystyle I_ {c} = I_ {z} \ rho l = {\ frac {\ pi \ rho lD^{4}} {32}}}

hvor:

${\ displaystyle d}$ er den indre diameter i meter (m)
${\ displaystyle D}$ er den ydre diameter i meter (m)
${\ displaystyle I_ {c}}$ er massetræghedspunktet i kg · m ²
${\ displaystyle I_ {z}}$ er det polære inertimoment i meter til den fjerde effekt (m ⁴ )
${\ displaystyle l}$ er cylinderens længde i meter (m)
${\ displaystyle \ rho}$ er den specifikke masse i kg/m ³

Se også

Referencer

^ Ugural AC, Fenster SK. Avanceret styrke og anvendt elasticitet. 3. udgave. Prentice-Hall Inc. Englewood Cliffs, NJ. 1995. ISBN 0-13-137589-X .
^ "Inertimoment; definition med eksempler" . www.efunda.com .
^ Obregon, Joaquin (2012). Mekanisk simmetri . Forfatterhus. ISBN 978-1-4772-3372-6.
^ galtor. "Hvad er forskellen mellem Polar Inertia Moment, IPIP og torsionskonstanten, JTJT for et tværsnit?" .

eksterne links

Torsion af aksler - engineeringtoolbox.com
Elastiske egenskaber og Young Modulus for nogle materialer - engineeringtoolbox.com
Materialegenskaber Database - matweb.com

[ugural-1] Ugural AC, Fenster SK. Avanceret styrke og anvendt elasticitet. 3. udgave. Prentice-Hall Inc. Englewood Cliffs, NJ. 1995. ISBN 0-13-137589-X .

[2] "Inertimoment; definition med eksempler" . www.efunda.com .

[3] Obregon, Joaquin (2012). Mekanisk simmetri . Forfatterhus. ISBN 978-1-4772-3372-6.

[4] tor. "Hvad er forskellen mellem Polar Inertia Moment, IPIP og torsionskonstanten, JTJT for et tværsnit?" .

Languages

In other projects