Acceleration (differentiel geometri) - Acceleration (differential geometry)

I matematik og fysik er acceleration hastigheden af ​​hastighedsændring af en kurve i forhold til en given lineær forbindelse . Denne operation giver os et mål for "bøjningens" hastighed og retning.

Formel definition

Overvej en differentierbar manifold med en given forbindelse . Lad være en kurve med tangentvektor , dvs. hastighed,, med parameter . ${\ displaystyle M}$${\ displaystyle \ Gamma}$${\ displaystyle \ gamma \ colon \ mathbb {R} \ til M}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle {\ dot {\ gamma}} (\ tau)}$${\ displaystyle \ tau}$

Accelerationsvektoren for er defineret af , hvor betegner det covariantderivat, der er knyttet til . ${\ displaystyle \ gamma}$${\ displaystyle \ nabla _ {\ dot {\ gamma}} {\ dot {\ gamma}}}$${\ displaystyle \ nabla}$${\ displaystyle \ Gamma}$

Det er et kovariant derivat sammen , og det betegnes ofte med ${\ displaystyle \ gamma}$

${\ displaystyle \ nabla _ {\ dot {\ gamma}} {\ dot {\ gamma}} = {\ frac {\ nabla {\ dot {\ gamma}}} {d \ tau}}.}$

Med hensyn til et vilkårligt koordinatsystem og med at være forbindelseskomponenterne (dvs. kovariant derivat ) i forhold til dette koordinatsystem, defineret af ${\ displaystyle (x ^ {\ mu})}$${\ displaystyle (\ Gamma ^ {\ lambda} {} _ {\ mu \ nu})}$${\ displaystyle \ nabla _ {\ mu}: = \ nabla _ {\ partial / \ partial x ^ {\ mu}}}$

${\ displaystyle \ nabla _ {\ partial / \ partial x ^ {\ mu}} {\ frac {\ partial} {\ partial x ^ {\ nu}}} = \ Gamma ^ {\ lambda} {} _ {\ mu \ nu} {\ frac {\ partial} {\ partial x ^ {\ lambda}}},}$

for accelerationsvektorfeltet får man: ${\ displaystyle a ^ {\ mu}: = (\ nabla _ {\ dot {\ gamma}} {\ dot {\ gamma}}) ^ {\ mu}}$

${\ displaystyle a ^ {\ mu} = v ^ {\ rho} \ nabla _ {\ rho} v ^ {\ mu} = {\ frac {dv ^ {\ mu}} {d \ tau}} + \ Gamma ^ {\ mu} {} _ {\ nu \ lambda} v ^ {\ nu} v ^ {\ lambda} = {\ frac {d ^ {2} x ^ {\ mu}} {d \ tau ^ {2 }}} + \ Gamma ^ {\ mu} {} _ {\ nu \ lambda} {\ frac {dx ^ {\ nu}} {d \ tau}} {\ frac {dx ^ {\ lambda}} {d \ tau}},}$

hvor er det lokale udtryk for stien , og . ${\ displaystyle x ^ {\ mu} (\ tau): = \ gamma ^ {\ mu} (\ tau)}$${\ displaystyle \ gamma}$${\ displaystyle v ^ {\ rho}: = ({\ dot {\ gamma}}) ^ {\ rho}}$

Begrebet acceleration er et covariant afledt koncept. Med andre ord, for at definere acceleration skal der gives en ekstra struktur . ${\ displaystyle M}$

Anvendelse abstrakt indeks notation , accelerationen af en given kurve med enhed tangent vektor er givet ved . ${\ displaystyle \ xi ^ {a}}$${\ displaystyle \ xi ^ {b} \ nabla _ {b} \ xi ^ {a}}$

Se også

• Acceleration
• Kovariant derivat

Bemærkninger

Referencer

• Friedman, M. (1983). Grundlaget for rumtidsteorier . Princeton: Princeton University Press. ISBN   0-691-07239-6 .
• Dillen, FJE; Verstraelen, LCA (2000). Håndbog om differentiel geometri . Bind 1. Amsterdam: Nord-Holland. ISBN   0-444-82240-2 .
• Pfister, Herbert; King, Markus (2015). Inerti og tyngdekraft. Den grundlæggende natur og struktur i rumtid . Forelæsningsnoterne i fysik. Bind 897. Heidelberg: Springer. doi : 10.1007 / 978-3-319-15036-9 . ISBN   978-3-319-15035-2 .