Black – Scholes model - Black–Scholes model

Den Black-Scholes / ˌ b l æ k ʃ oʊ l z / eller Black-Scholes-Merton modellen er en matematisk model for dynamikken i et finansielt marked , der indeholder afledte instrumenter. Fra den delvise differentialligning i modellen, kendt som Black-Scholes-ligningen , kan man udlede Black-Scholes-formlen , som giver et teoretisk skøn over prisen på optioner i europæisk stil og viser, at optionen har en unik pris i betragtning af risiko for værdipapiret og dets forventede afkast (i stedet erstatter værdipapirets forventede afkast med den risikoeutrale rente). Ligningen og modellen er opkaldt efter økonomerne Fischer Black og Myron Scholes ; Robert C. Merton , der først skrev en akademisk artikel om emnet, er undertiden også krediteret.

Nøgleidéen bag modellen er at afdække optionen ved at købe og sælge det underliggende aktiv på den helt rigtige måde og som følge heraf eliminere risiko. Denne form for afdækning kaldes "løbende revideret deltasikring " og er grundlaget for mere komplicerede sikringsstrategier, f.eks. Dem, der investeres i investeringsbanker og hedgefonde .

Modellen er meget udbredt, omend ofte med nogle justeringer, af aktiemarkedsdeltagere. Modellens antagelser er blevet lempet og generaliseret i mange retninger, hvilket har ført til en overflod af modeller, der i øjeblikket bruges i afledte priser og risikostyring. Det er modelens indsigt, som eksemplificeret i Black -Scholes -formlen , der ofte bruges af markedsdeltagere, adskilt fra de faktiske priser. Disse indsigter omfatter grænser uden arbitrage og risikoneutral prissætning (takket være løbende revision). Black -Scholes -ligningen, en delvis differentialligning, der styrer optionens pris, muliggør desuden prissætning ved hjælp af numeriske metoder, når en eksplicit formel ikke er mulig.

Black -Scholes -formlen har kun en parameter, der ikke kan observeres direkte på markedet: den gennemsnitlige fremtidige volatilitet for det underliggende aktiv, selvom den kan findes på prisen på andre optioner. Da optionens værdi (hvad enten put eller call) stiger i denne parameter, kan den inverteres for at producere en " volatilitetsoverflade ", der derefter bruges til at kalibrere andre modeller, f.eks. For OTC -derivater .

Historie

Økonomerne Fischer Black og Myron Scholes demonstrerede i 1968, at en dynamisk revision af en portefølje fjerner det forventede afkast af værdipapiret og dermed opfinder det risikoeutrale argument . De baserede deres tankegang på arbejde, der tidligere var udført af markedsforskere og praktikere, herunder Louis Bachelier , Sheen Kassouf og Edward O. Thorp . Black og Scholes forsøgte derefter at anvende formlen på markederne, men pådrog sig økonomiske tab på grund af mangel på risikostyring i deres handler. I 1970 besluttede de at vende tilbage til det akademiske miljø. Efter tre års indsats blev formlen - navngivet til ære for dem for at offentliggøre den - endelig offentliggjort i 1973 i en artikel med titlen "The Pricing of Options and Corporate Liabilities", i Journal of Political Economy . Robert C. Merton var den første til at udgive et papir, der udvidede den matematiske forståelse af optionens prismodel og opfandt udtrykket "Black -Scholes optioner prismodel ".

Formlen førte til et boom i optionshandel og gav matematisk legitimitet til aktiviteterne i Chicago Board Options Exchange og andre optionsmarkeder rundt om i verden.

Merton og Scholes modtog 1997 Nobel Memorial Prize in Economic Sciences for deres arbejde, og udvalget citerede deres opdagelse af den risikoneutrale dynamiske revision som et gennembrud, der adskiller muligheden fra risikoen for den underliggende sikkerhed. Selvom Black ikke var berettiget til prisen på grund af hans død i 1995, blev Black omtalt som bidragsyder af det svenske akademi.

Grundlæggende hypoteser

Black -Scholes -modellen antager, at markedet består af mindst et risikabelt aktiv, normalt kaldet aktien, og et risikoløst aktiv, normalt kaldet pengemarkedet, kontanter eller obligationer.

Nu tager vi antagelser om aktiverne (som forklarer deres navne):

• (Risikoløs rente) Afkastet på det risikoløse aktiv er konstant og kaldes dermed den risikofrie rente .
• (Tilfældig gang) Den øjeblikkelige log returnering af aktiekursen er en uendelig lille tilfældig gåtur med drift; mere præcist følger aktiekursen en geometrisk brunisk bevægelse , og vi vil antage, at dens drift og volatilitet er konstant (hvis de er tidsvarierende, kan vi ganske enkelt udlede en passende modificeret Black-Scholes-formel, så længe volatiliteten ikke er tilfældig).
• Aktien betaler ikke udbytte .

Forudsætningerne på markedet er:

• Ingen arbitrage -mulighed (dvs. at der ikke er nogen måde at opnå en risikofri fortjeneste).
• Evne til at låne og låne ethvert beløb, også brøkdele, af kontanter til den risikoløse rente.
• Evne til at købe og sælge ethvert beløb, også brøkdele, af aktien (Dette inkluderer short selling ).
• Ovenstående transaktioner medfører ingen gebyrer eller omkostninger (dvs. marked uden gnidning ).

Med disse forudsætninger i behold, antag at der også er en derivatpapir, der handler på dette marked. Vi specificerer, at denne sikkerhed vil have en vis gevinst på en bestemt dato i fremtiden, afhængigt af værdierne, som aktien har taget op til denne dato. Det er en overraskende kendsgerning, at derivatets pris er fuldstændig bestemt på nuværende tidspunkt, selvom vi ikke ved, hvilken vej aktiekursen vil tage i fremtiden. I det særlige tilfælde af en europæisk call- eller put -option viste Black and Scholes, at "det er muligt at oprette en sikret position , der består af en lang position i aktien og en kort position i optionen, hvis værdi ikke vil afhænge af aktiens pris ". Deres dynamiske afdækningsstrategi førte til en delvis differentialligning, som styrede prisen på optionen. Dens løsning er givet ved Black -Scholes -formlen.

Flere af disse antagelser om den originale model er blevet fjernet i efterfølgende udvidelser af modellen. Moderne versioner tegner sig for dynamiske renter (Merton, 1976), transaktionsomkostninger og skatter (Ingersoll, 1976) og udbytteudbetaling.

Notation

Notationen, der bruges på hele denne side, vil blive defineret som følger, grupperet efter emne:

Generelt og markedsrelateret:

${\ displaystyle t}$, en tid i år; vi bruger generelt som nu;${\ displaystyle t = 0}$

${\ displaystyle r}$, den årlige risikofrie rente , løbende sammensat Også kendt som interessekraften ;

Aktivrelateret:

${\ displaystyle S (t)}$, prisen på det underliggende aktiv på tidspunktet t , også betegnet som ;${\ displaystyle S_ {t}}$

${\ displaystyle \ mu}$, driftshastigheden for , annualiseret;${\ displaystyle S}$

${\ displaystyle \ sigma}$, standardafvigelsen af ​​aktiens afkast; dette er kvadratroden af ​​den kvadratiske variation af aktiens logprisproces, et mål for dets volatilitet ;

Mulighed relateret:

${\ displaystyle V (S, t)}$, optionens pris som funktion af det underliggende aktiv S , på tidspunktet t ; i særdeleshed

${\ displaystyle C (S, t)}$ er prisen på en europæisk call option og

${\ displaystyle P (S, t)}$ prisen på en europæisk salgsoption

${\ displaystyle T}$, tidspunktet for optionens udløb, er tiden til modenhed;${\ displaystyle \ tau = Tt}$

${\ displaystyle K}$, Den strikekurs af optionen, også kendt som udnyttelseskursen.

Vi vil bruge til at betegne den normale normale kumulative fordelingsfunktion , ${\ displaystyle N (x)}$

${\ displaystyle N (x) = {\ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi}}} \ int _ {-\ infty}^{x} e^{-z^{2}/2} \, dz.}$

bemærkning . ${\ displaystyle N (-x) = 1-N (x)}$

${\ displaystyle N '(x)}$vil betegne standardfunktionen for normal sandsynlighedstæthed ,

${\ displaystyle N '(x) = {\ frac {dN (x)} {dx}} = {\ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi}}} e^{-x^{2}/2 }.}$

Black -Scholes ligning

Som ovenfor er Black -Scholes -ligningen en delvis differentialligning , der beskriver optionens pris over tid. Ligningen er:

${\ displaystyle {\ frac {\ delvis V} {\ delvis t}}+{\ frac {1} {2}} \ sigma ^{2} S ^{2} {\ frac {\ delvis ^{2} V } {\ delvis S^{2}}}+rS {\ frac {\ delvis V} {\ delvis S}}-rV = 0}$

Den centrale finansielle indsigt bag ligningen er, at man perfekt kan afdække optionen ved at købe og sælge det underliggende aktiv og bankkontoaktivet (kontanter) på den helt rigtige måde og følgelig "eliminere risiko". Denne sikring indebærer til gengæld, at der kun er én rigtig pris for optionen, som returneret af Black -Scholes -formlen (se det næste afsnit ).

Black -Scholes formel

Black -Scholes -formlen beregner prisen på europæiske put- og call -muligheder . Denne pris er i overensstemmelse med Black -Scholes -ligningen som ovenfor ; dette følger, da formlen kan opnås ved at løse ligningen for de tilsvarende terminal- og randbetingelser:

${\ displaystyle {\ begin {align} & C (0, t) = 0 {\ text {for alle}} t \\ & C (S, t) \ højre pil S {\ tekst {som}} S \ rightarrow \ infty \ \ & C (S, T) = \ max \ {SK, 0 \} \ end {justeret}}}$

Værdien af ​​en call-option for en ikke-udbyttebetalende underliggende aktie i form af Black-Scholes-parametrene er:

${\ displaystyle {\ begin {align} C (S_ {t}, t) & = N (d_ {1}) S_ {t} -N (d_ {2}) Ke^{-r (Tt)} \\ d_ {1} & = {\ frac {1} {\ sigma {\ sqrt {Tt}}}} \ venstre [\ ln \ venstre ({\ frac {S_ {t}} {K}} \ højre)+\ venstre (r+{\ frac {\ sigma ^{2}} {2}} \ højre) (Tt) \ højre] \\ d_ {2} & = d_ {1}-\ sigma {\ sqrt {Tt}} \ \\ end {align}}}$

Prisen på en tilsvarende put -option baseret på put -call -paritet med rabatfaktor er: ${\ displaystyle e^{-r (Tt)}}$

${\ displaystyle {\ begin {justeret} P (S_ {t}, t) & = Ke^{-r (Tt)}-S_ {t}+C (S_ {t}, t) \\ & = N ( -d_ {2}) Ke^{-r (Tt)}-N (-d_ {1}) S_ {t} \ end {align}} \,}$

Alternativ formulering

Introduktion til nogle hjælpevariabler gør det muligt at forenkle og omformulere formlen i en form, der ofte er mere bekvem (dette er et specielt tilfælde af Black '76 -formlen ):

${\ displaystyle {\ begin {justeret} C (F, \ tau) & = D \ venstre [N (d _ {+}) FN (d _ {-}) K \ højre] \\ d _ {+} & = {\ frac {1} {\ sigma {\ sqrt {\ tau}}}} \ venstre [\ ln \ venstre ({\ frac {F} {K}} \ højre)+{\ frac {1} {2}} \ sigma ^{2} \ tau \ right] \\ d _ {-} & = d _ {+}-\ sigma {\ sqrt {\ tau}} \ end {align}}}$

Hjælpevariablerne er:

• ${\ displaystyle D = e^{-r \ tau}}$er rabatfaktoren
• ${\ displaystyle F = e^{r \ tau} S = {\ frac {S} {D}}}$er terminkursen på det underliggende aktiv, og${\ displaystyle S = DF}$

med d ₊ = d ₁ og d _- = d _{2 for} at tydeliggøre notation.

Givet put -call -paritet, som udtrykkes i disse vilkår som:

${\ displaystyle CP = D (FK) = S-DK}$

prisen på en put option er:

${\ displaystyle P (F, \ tau) = D \ venstre [N (-d _ {-}) KN (-d _ {+}) F \ højre]}$

Fortolkning

Black -Scholes -formlen kan tolkes rimeligt praktisk, med hovedsubtiliteten fortolkningen af (og a fortiori ) udtryk, især og hvorfor der er to forskellige udtryk. ${\ displaystyle N (d _ {\ pm})}}$ ${\ displaystyle d _ {\ pm}}$${\ displaystyle d _ {+}}$

Formlen kan tolkes ved først at dekomponere en call-option i forskellen på to binære optioner : et aktiv-eller-intet opkald minus et kontant-eller-intet opkald (længe et aktiv-eller-intet opkald, kort et kontant-eller- intet opkald). En call option bytter kontanter til et aktiv ved udløb, mens et aktiv-eller-intet opkald bare giver aktivet (uden kontanter i bytte) og et kontant-eller-ingenting opkald giver bare kontanter (uden aktiv i bytte). Black -Scholes -formlen er en forskel på to termer, og disse to udtryk svarer til værdierne for de binære opkaldsmuligheder. Disse binære optioner handles meget sjældnere end vanilleopkaldsmuligheder, men er lettere at analysere.

Således er formlen:

${\ displaystyle C = D \ venstre [N (d _ {+}) FN (d _ {-}) K \ højre]}$

bryder op som:

${\ displaystyle C = DN (d _ {+}) F-DN (d _ {-}) K,}$

hvor er nutidsværdien af ​​et aktiv-eller-intet opkald og er nutidsværdien af ​​et kontant eller ingenting opkald. Den U faktor er til diskontering fordi udløbsdatoen er i fremtiden, og fjerne det ændrer nuværende værdi til fremtidig værdi (værdi ved udløb). Således er den fremtidige værdi af et aktiv-eller-intet opkald og er den fremtidige værdi af et kontant eller ingenting opkald. I risiko-neutrale termer er disse aktivets forventede værdi og den forventede værdi af kontanterne i den risikoneutrale foranstaltning. ${\ displaystyle DN (d _ {+}) F}$${\ displaystyle DN (d _ {-}) K}$${\ displaystyle N (d _ {+}) ~ F}$${\ displaystyle N (d _ {-}) ~ K}$

Den naive, og ikke helt korrekte, fortolkning af disse vilkår er, at det er sandsynligheden for, at optionen udløber i pengene , gange værdien af ​​den underliggende ved udløb F, mens sandsynligheden for, at optionen udløber i penge gange værdien af kontanter ved udløb K. Dette er naturligvis forkert, da enten begge binærfiler udløber i pengene eller begge udløber ud af pengene (enten byttes kontanter til aktiv, eller det er det ikke), men sandsynlighederne og er ikke ens. Faktisk kan det tolkes som målinger af penge (i standardafvigelser) og som sandsynligheder for udløb af ITM ( procent penge ) i det respektive antal , som diskuteret nedenfor. Kort fortalt er fortolkningen af ​​pengemuligheden, korrekt, da værdien af ​​kontanterne er uafhængige af bevægelser i det underliggende aktiv og dermed kan tolkes som et simpelt produkt af "sandsynlighedstidsværdi", mens det er mere kompliceret , da sandsynligheden for at udløbe i pengene og værdien af ​​aktivet ved udløbet ikke er uafhængig. Mere præcist er aktivets værdi ved udløb variabel med hensyn til kontanter, men er konstant med hensyn til selve aktivet (en fast mængde af aktivet), og derfor er disse mængder uafhængige, hvis man ændrer nummer til aktivet frem for kontanter. ${\ displaystyle N (d _ {+}) F}$${\ displaystyle N (d _ {+})}$${\ displaystyle N (d _ {-}) K}$${\ displaystyle N (d _ {-}),}$${\ displaystyle N (d _ {+})}$${\ displaystyle N (d _ {-})}$${\ displaystyle d _ {\ pm}}$${\ displaystyle N (d _ {\ pm})}}$${\ displaystyle N (d _ {-}) K}$${\ displaystyle N (d _ {+}) F}$

Hvis man bruger stedet S i stedet for fremad F, i stedet for udtrykket er der, som kan tolkes som en driftsfaktor (i det risikoeutrale mål for passende nummer). Brugen af d _- til penge snarere end standardiseret penge  -med andre ord årsagen til faktoren-skyldes forskellen mellem medianen og middelværdien af log-normalfordelingen ; det er den samme faktor som i Itos lemma, der anvendes på geometrisk brunisk bevægelse . Derudover er en anden måde at se, at den naive fortolkning er forkert, at udskiftning med i formlen giver en negativ værdi for opkaldsmuligheder uden for pengene. ${\ displaystyle d _ {\ pm}}$${\ textstyle {\ frac {1} {2}} \ sigma ^{2}}$${\ textstyle \ left (r \ pm {\ frac {1} {2}} \ sigma ^{2} \ right) \ tau,}$${\ textstyle m = {\ frac {1} {\ sigma {\ sqrt {\ tau}}}} \ ln \ venstre ({\ frac {F} {K}} \ højre)}$${\ textstyle {\ frac {1} {2}} \ sigma ^{2}}$${\ displaystyle N (d _ {+})}$${\ displaystyle N (d _ {-})}$

I detaljer, vilkårene er de sandsynligheder af optionen udløber in-the-money under tilsvarende eksponentiel martingale sandsynlighedsmål (måleenhed = lager), og den tilsvarende martingale sandsynlighedsmål (måleenhed = risikofrit aktiv), hhv. Den risikoeutrale sandsynlighedstæthed for aktiekursen er ${\ displaystyle N (d_ {1}), N (d_ {2})}$${\ displaystyle S_ {T} \ in (0, \ infty)}$

${\ displaystyle p (S, T) = {\ frac {N^{\ prime} [d_ {2} (S_ {T})]} {S_ {T} \ sigma {\ sqrt {T}}}}}}$

hvor er defineret som ovenfor. ${\ displaystyle d_ {2} = d_ {2} (K)}$

Specifikt er sandsynligheden for, at opkaldet vil blive udført, forudsat at man antager, at aktivdriften er den risikofrie rente. egner sig imidlertid ikke til en simpel sandsynlighedstolkning. fortolkes korrekt som nutidsværdien ved hjælp af den risikofrie rente af den forventede aktivpris ved udløbet, da aktivprisen ved udløbet er over udnyttelseskursen. For relateret diskussion - og grafisk fremstilling - se Datar – Mathews metode til værdiansættelse af reel option . ${\ displaystyle N (d_ {2})}$${\ displaystyle N (d_ {1})}$${\ displaystyle SN (d_ {1})}$

Den ækvivalente martingale sandsynlighedsmåling kaldes også det risikoeutrale sandsynlighedsmål . Bemærk, at begge disse er sandsynligheder i en teoretisk forstand, og ingen af ​​disse er den sande sandsynlighed for at udløbe in-the-money under det reelle sandsynlighedsmål . For at beregne sandsynligheden under den reelle ("fysiske") sandsynlighedsmåling kræves der yderligere oplysninger - driftstiden i det fysiske mål eller tilsvarende markedsprisen for risiko .

Afledninger

En standardafledning til løsning af Black -Scholes PDE er givet i artiklen Black -Scholes -ligning .

The Feynman-Kac formel siger, at løsningen på denne type PDE, når diskonteret passende, er faktisk en martingale . Således er optionsprisen den forventede værdi af den diskonterede udbetaling af optionen. Beregning af optionsprisen via denne forventning er tilgangen til risik Neutralitet og kan gøres uden kendskab til PDE'er. Bemærk, at forventningen om optionens udbetaling ikke sker under den sande sandsynlighedsmåling i den virkelige verden , men en kunstig risikoneutral foranstaltning , der adskiller sig fra den virkelige verden. For den bagvedliggende logik se afsnittet "risikoanetral værdiansættelse" under Rationel prissætning samt afsnit "Derivatprissætning: Q -verden " under Matematisk finansiering ; for detaljer, igen, se Hull .

Grækerne

" Grækerne " måler følsomheden af ​​værdien af ​​et derivat eller en portefølje for ændringer i parameterværdier, mens de andre parametre holdes fast. De er delvise derivater af prisen i forhold til parameterværdierne. En græsk, "gamma" (samt andre, der ikke er angivet her) er en delvis afledning af en anden græsk, "delta" i dette tilfælde.

Grækerne er ikke kun vigtige i den matematiske finansielle teori, men også for dem, der handler aktivt. Finansielle institutioner vil typisk fastsætte (risiko) grænseværdier for hver af grækerne, som deres handlende ikke må overskride. Delta er den vigtigste græker, da dette normalt medfører den største risiko. Mange handlende vil nulstille deres delta i slutningen af ​​dagen, hvis de ikke spekulerer i markedsretningen og følger en delta-neutral afdækningstilgang som defineret af Black-Scholes.

Grækerne for Black -Scholes er angivet i lukket form herunder. De kan opnås ved differentiering af Black -Scholes -formlen.

		Opkald	Sætter
Delta	${\ displaystyle {\ frac {\ delvis V} {\ delvis S}}}$	${\ displaystyle N (d_ {1}) \,}$	${\ displaystyle -N (-d_ {1}) = N (d_ {1})-1 \,}$
Gamma	${\ displaystyle {\ frac {\ delvis ^{2} V} {\ delvis S ^{2}}}}$	${\ displaystyle {\ frac {N '(d_ {1})} {S \ sigma {\ sqrt {Tt}}}}} \,}$
Vega	${\ displaystyle {\ frac {\ delvis V} {\ delvis \ sigma}}}$	${\ displaystyle SN '(d_ {1}) {\ sqrt {Tt}} \,}$
Theta	${\ displaystyle {\ frac {\ delvis V} {\ delvis t}}}$	${\ displaystyle-{\ frac {SN '(d_ {1}) \ sigma} {2 {\ sqrt {Tt}}}}-rKe^{-r (Tt)} N (d_ {2}) \,}$	${\ displaystyle-{\ frac {SN '(d_ {1}) \ sigma} {2 {\ sqrt {Tt}}}}+rKe^{-r (Tt)} N (-d_ {2}) \, }$
Rho	${\ displaystyle {\ frac {\ delvis V} {\ delvis r}}}$	${\ displaystyle K (Tt) e^{-r (Tt)} N (d_ {2}) \,}$	${\ displaystyle -K (Tt) e^{-r (Tt)} N (-d_ {2}) \,}$

Bemærk, at ud fra formlerne er det klart, at gamma er den samme værdi for opkald og putter, og det er vega også den samme værdi for opkald og putmuligheder. Dette kan ses direkte fra put -call -paritet , da forskellen mellem et put og et opkald er en forward, som er lineær i S og uafhængig af σ (så en forward har nul gamma og nul vega). N 'er standardfunktionen for normal sandsynlighedstæthed.

I praksis er nogle følsomheder normalt citeret i nedskalerede termer for at matche omfanget af sandsynlige ændringer i parametrene. For eksempel rapporteres rho ofte divideret med 10.000 (1 basispointændring), vega med 100 (1 vol. Punktændring) og theta med 365 eller 252 (1 dags henfald baseret på enten kalenderdage eller handelsdage om året).

Bemærk, at "vega" ikke er et bogstav i det græske alfabet; navnet stammer fra forkert læsning af det græske bogstav nu (forskelligt gengivet som , ν og ν) som et V. ${\ displaystyle \ nu}$

Udvidelser af modellen

Ovenstående model kan udvides til variable (men deterministiske) rater og volatiliteten. Modellen kan også bruges til at værdsætte europæiske optioner på instrumenter, der betaler udbytte. I dette tilfælde er lukkede løsninger tilgængelige, hvis udbyttet er en kendt andel af aktiekursen. Amerikanske optioner og optioner på aktier, der betaler et kendt kontantudbytte (på kort sigt, mere realistisk end et proportionelt udbytte) er vanskeligere at værdisætte, og der er mulighed for at vælge løsningsteknikker (f.eks. Gitter og gitre ).

Instrumenter, der betaler kontinuerligt udbytte

For optioner på indekser er det rimeligt at gøre den forenklede antagelse, at der udbetales udbytte løbende, og at udbyttebeløbet er proportionelt med indeksets niveau.

Udbyttebetalingen, der betales over tidsperioden, modelleres derefter som ${\ displaystyle [t, t+dt]}$

${\ displaystyle qS_ {t} \, dt}$

for nogle konstante ( udbytteudbyttet ). ${\ displaystyle q}$

Under denne formulering kan den arbitrage-fri pris, som Black-Scholes-modellen antyder, være

${\ displaystyle C (S_ {t}, t) = e^{-r (Tt)} [FN (d_ {1})-KN (d_ {2})] \,}$

og

${\ displaystyle P (S_ {t}, t) = e^{-r (Tt)} [KN (-d_ {2})-FN (-d_ {1})] \,}$

hvor nu

${\ displaystyle F = S_ {t} e^{(rq) (Tt)} \,}$

er den ændrede terminkurs, der forekommer i vilkårene : ${\ displaystyle d_ {1}, d_ {2}}$

${\ displaystyle d_ {1} = {\ frac {1} {\ sigma {\ sqrt {Tt}}}} \ venstre [\ ln \ venstre ({\ frac {S_ {t}} {K}} \ højre) +\ venstre (r-q+{\ frac {1} {2}} \ sigma ^{2} \ højre) (Tt) \ højre]}$

og

${\ displaystyle d_ {2} = d_ {1}-\ sigma {\ sqrt {Tt}} = {\ frac {1} {\ sigma {\ sqrt {Tt}}}} \ venstre [\ ln \ venstre ({ \ frac {S_ {t}} {K}} \ højre)+\ venstre (rq-{\ frac {1} {2}} \ sigma ^{2} \ højre) (Tt) \ højre]}$.

Instrumenter, der betaler diskrete proportionelle udbytter

Det er også muligt at udvide Black -Scholes -rammen til at omfatte optioner på instrumenter, der betaler diskret proportionelt udbytte. Dette er nyttigt, når optionen rammer en enkelt aktie.

En typisk model er at antage, at en andel af aktiekursen udbetales på forud fastsatte tidspunkter . Prisen på aktien modelleres derefter som ${\ displaystyle \ delta}$${\ displaystyle t_ {1}, t_ {2}, \ ldots}$

${\ displaystyle S_ {t} = S_ {0} (1- \ delta)^{n (t)} e^{ut+\ sigma W_ {t}}}$

hvor er antallet af udbytter, der er blevet betalt efter tid . ${\ displaystyle n (t)}$${\ displaystyle t}$

Prisen på en call option på en sådan aktie er igen

${\ displaystyle C (S_ {0}, T) = e^{-rT} [FN (d_ {1})-KN (d_ {2})] \,}$

hvor nu

${\ displaystyle F = S_ {0} (1- \ delta)^{n (T)} e^{rT} \,}$

er terminkursen for udbyttebetalende aktier.

Amerikanske muligheder

Problemet med at finde prisen på en amerikansk option er relateret til det optimale stopproblem med at finde tid til at udføre optionen. Da den amerikanske option kan udnyttes når som helst inden udløbsdatoen, bliver Black -Scholes -ligningen til en variation i uligheden af ​​formen

${\ displaystyle {\ frac {\ delvis V} {\ delvis t}}+{\ frac {1} {2}} \ sigma ^{2} S ^{2} {\ frac {\ delvis ^{2} V } {\ delvis S^{2}}}+rS {\ frac {\ delvis V} {\ delvis S}}-rV \ leq 0}$

sammen med hvor betegner payoff på lager pris og terminalen stand: . ${\ displaystyle V (S, t) \ geq H (S)}$${\ displaystyle H (S)}$${\ displaystyle S}$${\ displaystyle V (S, T) = H (S)}$

Generelt har denne ulighed ikke en lukket form, selvom et amerikansk opkald uden udbytte er lig med et europæisk opkald, og Roll – Geske – Whaley -metoden giver en løsning til et amerikansk opkald med ét udbytte; se også Blacks tilnærmelse .

Barone-Adesi og Whaley er en yderligere tilnærmelsesformel. Her er den stokastiske differentialligning (som er gældende for værdien af ​​ethvert derivat) opdelt i to komponenter: den europæiske optionsværdi og præmien for tidlig udnyttelse. Med nogle antagelser opnås derefter en kvadratisk ligning, der nærmer sig løsningen for sidstnævnte. Denne løsning indebærer at finde den kritiske værdi , sådan at man er ligeglad mellem tidlig træning og holdning til modenhed. ${\ displaystyle s*}$

Bjerksund og Stensland giver en tilnærmelse baseret på en motionsstrategi svarende til en triggerpris. Her, hvis den underliggende aktivpris er større end eller lig udløserprisen, er den optimal at udøve, og værdien skal være lig , ellers optionen "koger ned til: (i) en europæisk opkaldsmulighed op og ud ... og (ii) en rabat, der modtages på knock-out-datoen, hvis optionen er slået ud inden forfaldsdatoen ". Formlen ændres let til værdiansættelse af en put -option ved hjælp af put -call -paritet . Denne tilnærmelse er beregningsmæssigt billig, og metoden er hurtig, med beviser, der indikerer, at tilnærmelsen kan være mere præcis i prissætning af langt daterede muligheder end Barone-Adesi og Whaley. ${\ displaystyle SX}$

Evigt sæt

På trods af manglen på en generel analytisk løsning for amerikanske putoptioner, er det muligt at udlede en sådan formel for tilfælde af en evig mulighed - hvilket betyder, at optionen aldrig udløber (dvs. ). I dette tilfælde er optionens tidsforfald lig med nul, hvilket fører til, at Black -Scholes PDE bliver en ODE:${\ displaystyle T \ rightarrow \ infty}$

Lad betegne den nedre træningsgrænse, hvorunder den er optimal for at udøve optionen. Grænsebetingelserne er:${\ displaystyle S _ {-}}$Løsningerne til ODE er en lineær kombination af to lineært uafhængige løsninger:For , substitution af denne løsning i ODE for udbytter:${\ displaystyle S _ {-} \ leq S}$${\ displaystyle i = {1,2}}$Omarrangering af vilkårene i giver:Ved hjælp af den kvadratiske formel er løsningerne til :${\ displaystyle \ lambda _ {i}}$For at have en endelig løsning på det evige put, da randbetingelserne indebærer øvre og nedre begrænsede grænser for værdien af ​​putten, er det nødvendigt at sætte , hvilket fører til løsningen . Fra den første grænsetilstand ved man, at:${\ displaystyle A_ {1} = 0}$${\ displaystyle V (S) = A_ {2} S^{\ lambda _ {2}}}$Derfor bliver værdien af ​​det evige put:Den anden grænsetilstand giver placeringen af ​​den nedre træningsgrænse:Afslutningsvis er den evige amerikanske put -option værd:${\ textstyle S \ geq S _ {-} = {\ lambda _ {2} K \ over {\ lambda _ {2} -1}}}$

Binære optioner

Ved at løse Black -Scholes -differentialligningen, med for grænsebetingelse Heaviside -funktionen , ender vi med at prissætte optioner, der betaler en enhed over en foruddefineret strejkepris og intet under.

Faktisk kan Black-Scholes-formlen for prisen på en vanille-call-option (eller put-option) fortolkes ved at dekomponere en call-option til en aktiv-eller-intet call-option minus en cash-or-nothing-call-option og lignende for et put - de binære optioner er lettere at analysere og svarer til de to termer i Black -Scholes -formlen.

Kontant-eller-ingenting opkald

Dette udbetaler en kontant enhed, hvis stedet er over strejken ved udløb. Dens værdi er givet ved

${\ displaystyle C = e^{-r (Tt)} N (d_ {2}). \,}$

Penge-eller-ingenting sat

Dette udbetaler en kontant enhed, hvis pladsen er under strejken ved udløb. Dens værdi er givet ved

${\ displaystyle P = e^{-r (Tt)} N (-d_ {2}). \,}$

Aktiv-eller-intet opkald

Dette udbetaler en enhedsenhed, hvis stedet er over strejken ved udløb. Dens værdi er givet ved

${\ displaystyle C = Se^{-q (Tt)} N (d_ {1}). \,}$

Asset-or-nothing sat

Dette udbetaler en enhedsenhed, hvis stedet er under strejken ved udløb. Dens værdi er givet ved

${\ displaystyle P = Se^{-q (Tt)} N (-d_ {1}),}$

Udenlandsk valuta

Hvis vi med S betegner FOR/DOM -valutakursen (dvs. 1 enhed udenlandsk valuta er S -enheder i indenlandsk valuta værd) kan vi konstatere, at udbetaling af 1 enhed af den indenlandske valuta, hvis stedet ved udløb er over eller under strejken er præcis som et kontant-eller ingenting opkald og put hhv. Tilsvarende er udbetaling af 1 enhed af den udenlandske valuta, hvis stedet ved udløb er over eller under strejken, nøjagtigt som et aktiv-eller intet opkald og put. Derfor, hvis vi nu tager den udenlandske rente, den indenlandske rente og resten som ovenfor, får vi følgende resultater. ${\ displaystyle r_ {FOR}}$${\ displaystyle r_ {DOM}}$

I tilfælde af et digitalt opkald (dette er et opkald FOR/put DOM), der udbetaler en enhed af den indenlandske valuta, får vi som nutidsværdi,

${\ displaystyle C = e^{-r_ {DOM} T} N (d_ {2}) \,}$

I tilfælde af et digitalt put (dette er et put FOR/call DOM), der udbetaler en enhed af den indenlandske valuta, får vi som nutidsværdi,

${\ displaystyle P = e^{-r_ {DOM} T} N (-d_ {2}) \,}$

Mens der i tilfælde af et digitalt opkald (dette er et opkald FOR/put DOM), der udbetaler en enhed af den udenlandske valuta, får vi som nutidsværdi,

${\ displaystyle C = Se^{-r_ {FOR} T} N (d_ {1}) \,}$

og i tilfælde af et digitalt put (dette er et put FOR/call DOM), der udbetaler en enhed af den udenlandske valuta, får vi som nutidsværdi,

${\ displaystyle P = Se^{-r_ {FOR} T} N (-d_ {1}) \,}$

Skævt

I standard Black-Scholes-modellen kan man fortolke præmien for den binære option i den risikoneutrale verden som den forventede værdi = sandsynlighed for at være i-pengene * -enheden, diskonteret til nutidsværdien. Black -Scholes -modellen er afhængig af fordelingssymmetri og ignorerer skævheden i fordelingen af ​​aktivet. Markedsskabere justerer for en sådan skævhed ved, i stedet for at bruge en enkelt standardafvigelse for det underliggende aktiv på tværs af alle strejker, at inkorporere en variabel, hvor volatilitet afhænger af strejkepris, og dermed inkorporere volatilitetsskævheden i betragtning. Skævheden er vigtig, fordi den påvirker binæret betydeligt mere end de almindelige optioner. ${\ displaystyle \ sigma}$${\ displaystyle \ sigma (K)}$

En binær opkaldsmulighed ligner ved lange udløb en tæt opkaldsspredning ved hjælp af to vaniljeindstillinger. Man kan modellere værdien af ​​en binær cash-or-nothing-mulighed, C , ved strejke K , som en uendelig stram spredning, hvor er et vanilje-europæisk opkald: ${\ displaystyle C_ {v}}$

${\ displaystyle C = \ lim _ {\ epsilon \ to 0} {\ frac {C_ {v} (K- \ epsilon) -C_ {v} (K)} {\ epsilon}}}$

Således er værdien af ​​et binært opkald det negative af derivatet af prisen på et vaniljeopkald med hensyn til strejkepris:

${\ displaystyle C =-{\ frac {dC_ {v}} {dK}}}$

Når man tager volatilitet skævt i betragtning, er en funktion af : ${\ displaystyle \ sigma}$${\ displaystyle K}$

${\ displaystyle C =-{\ frac {dC_ {v} (K, \ sigma (K))} {dK}} =-{\ frac {\ delvis C_ {v}} {\ delvis K}}-{\ frac {\ delvis C_ {v}} {\ delvis \ sigma}} {\ frac {\ delvis \ sigma} {\ delvis K}}}$

Det første udtryk er lig med præmien for den binære option, der ignorerer skævhed:

${\ displaystyle-{\ frac {\ delvis C_ {v}} {\ delvis K}} =-{\ frac {\ delvis (SN (d_ {1})-Ke^{-r (Tt)} N (d_ {2}))} {\ delvis K}} = e^{-r (Tt)} N (d_ {2}) = C _ {\ tekst {ingen skævhed}}}$

${\ displaystyle {\ frac {\ delvis C_ {v}} {\ delvis \ sigma}}}$er Vega af vanillekaldet; kaldes undertiden "skæv hældning" eller bare "skævhed". Hvis skævheden typisk er negativ, vil værdien af ​​et binært opkald være højere, når der tages hensyn til skævhed. ${\ displaystyle {\ frac {\ delvis \ sigma} {\ delvis K}}}$

${\ displaystyle C = C _ {\ text {ingen skævhed}}-{\ tekst {Vega}} _ {v} \ cdot {\ tekst {Skæv}}}$

Forholdet til vaniljemulighedernes græker

Da et binært opkald er et matematisk derivat af et vaniljeopkald med hensyn til strejke, har prisen på et binært opkald samme form som deltaet i et vaniljeopkald, og deltaet i et binært opkald har samme form som gamma for et vanilleopkald.

Black – Scholes i praksis

Antagelserne i Black -Scholes -modellen er ikke alle empirisk gyldige. Modellen bruges bredt som en nyttig tilnærmelse til virkeligheden, men korrekt anvendelse kræver forståelse af dens begrænsninger - blindt følger modellen udsætter brugeren for uventet risiko. Blandt de væsentligste begrænsninger er:

• undervurderingen af ​​ekstreme bevægelser, der giver hale-risiko , som kan afdækkes med out-of-the-money muligheder
• antagelsen om øjeblikkelig, omkostningseffektiv handel, der giver likviditetsrisiko , som er vanskelig at afdække
• antagelsen om en stationær proces, der giver volatilitetsrisiko , som kan afdækkes med volatilitetssikring
• antagelsen om kontinuerlig tid og kontinuerlig handel, hvilket giver gap -risiko, som kan afdækkes med Gamma -afdækning.

Kort sagt, mens man i Black – Scholes -modellen perfekt kan afdække muligheder ved simpelthen Delta -afdækning , er der i praksis mange andre risikokilder.

Resultater ved hjælp af Black -Scholes -modellen adskiller sig fra de virkelige verdenspriser på grund af forenklede antagelser om modellen. En væsentlig begrænsning er, at sikkerhedspriserne i virkeligheden ikke følger en streng stationær log-normal proces, og den risikofrie interesse er faktisk heller ikke kendt (og er ikke konstant over tid). Variationen er blevet observeret for at være ikke-konstant, hvilket fører til modeller som ændringer i GARCH til model volatilitet. Prisforskelle mellem empirien og Black – Scholes-modellen er længe blevet observeret i optioner, der er langt ude af pengene , svarende til ekstreme prisændringer; sådanne hændelser ville være meget sjældne, hvis afkast blev lognormalt fordelt, men observeres meget oftere i praksis.

Ikke desto mindre er Black – Scholes -priser meget udbredt i praksis, fordi det er:

• let at beregne
• en nyttig tilnærmelse, især når man analyserer i hvilken retning priserne bevæger sig, når man krydser kritiske punkter
• et robust grundlag for mere raffinerede modeller
• reversibel, da modellens originale output, pris, kan bruges som input og en af ​​de andre variabler løses for; den implicitte volatilitet beregnet på denne måde er ofte bruges til citat optionspriser (dvs. som et citere konvention ).

Det første punkt er selvsagt nyttigt. De andre kan diskuteres yderligere:

Nyttig tilnærmelse: selvom volatiliteten ikke er konstant, er resultaterne fra modellen ofte nyttige til at oprette afdækninger i de korrekte proportioner for at minimere risikoen. Selv når resultaterne ikke er helt nøjagtige, fungerer de som en første tilnærmelse til hvilken justeringer kan foretages.

Grundlag for mere raffinerede modeller: Black – Scholes -modellen er robust , idet den kan justeres til at håndtere nogle af dens fejl. I stedet for at betragte nogle parametre (såsom volatilitet eller renter) som konstante, betragter man dem som variabler og dermed tilføjede risikokilder. Dette afspejles i grækerne (ændringen i optionens værdi for en ændring i disse parametre eller tilsvarende partielle derivater med hensyn til disse variabler), og afdækning af disse grækere formindsker risikoen forårsaget af disse parametres ikke-konstante karakter. Andre fejl kan ikke afhjælpes ved at ændre modellen, dog især hale- og likviditetsrisiko, og disse håndteres i stedet uden for modellen, hovedsageligt ved at minimere disse risici og ved stresstest .

Eksplicit modellering: denne funktion betyder, at man i stedet for at antage en volatilitet a priori og beregne priser fra den kan bruge modellen til at løse volatilitet, hvilket giver den implicitte volatilitet af en option til givne priser, varigheder og udnyttelsespriser. Ved at løse volatilitet over et givet sæt varigheder og strejkepriser kan man konstruere en underforstået volatilitetsoverflade . I denne anvendelse af Black -Scholes -modellen opnås en koordinatomdannelse fra prisdomænet til volatilitetsdomænet . I stedet for at angive optioner i form af dollars pr. Enhed (som er svære at sammenligne på tværs af strejker, varigheder og kuponfrekvenser), kan optionspriser således citeres i form af underforstået volatilitet, hvilket fører til handel med volatilitet på optionsmarkeder.

Flygtighedssmilet

Et af de attraktive træk ved Black – Scholes-modellen er, at parametrene i andre modeller end volatiliteten (tid til modenhed, strejken, den risikofrie rente og den nuværende underliggende pris) er entydigt observerbare. Alt andet lige er en options teoretiske værdi en monotonisk stigende funktion af underforstået volatilitet.

Ved at beregne den underforståede volatilitet for handlede optioner med forskellige strejker og løbetider kan Black -Scholes -modellen testes. Hvis Black -Scholes -modellen holdt, ville den underforståede volatilitet for en bestemt aktie være den samme for alle strejker og løbetider. I praksis er volatilitetsoverfladen (3D -grafen for underforstået volatilitet mod strejke og modenhed) ikke flad.

Den implicitte volatilitetskurvens typiske form for en given løbetid afhænger af det underliggende instrument. Aktier har en tendens til at have skæve kurver: i forhold til at-the-money er underforstået volatilitet væsentligt højere for lave strejker og lidt lavere for høje strejker. Valutaer har en tendens til at have mere symmetriske kurver, med underforstået volatilitet lavest ved pengene og højere volatiliteter i begge vinger. Råvarer har ofte den omvendte adfærd i forhold til aktier, med højere underforstået volatilitet for højere strejker.

På trods af eksistensen af ​​volatilitetssmilet (og overtrædelsen af ​​alle de andre antagelser i Black -Scholes -modellen) bruges Black -Scholes PDE og Black -Scholes -formlen stadig i vid udstrækning i praksis. En typisk tilgang er at betragte volatilitetsoverfladen som en kendsgerning om markedet og bruge en underforstået volatilitet fra den i en Black -Scholes -værdiansættelsesmodel. Dette er blevet beskrevet som at bruge "det forkerte nummer i den forkerte formel for at få den rigtige pris". Denne tilgang giver også brugbare værdier for afdækningsforholdene (grækerne). Selv når der bruges mere avancerede modeller, foretrækker handlende at tænke i form af Black -Scholes -implicit volatilitet, da det giver dem mulighed for at evaluere og sammenligne muligheder for forskellige løbetider, strejker og så videre. For en diskussion om de forskellige alternative tilgange, der er udviklet her, se Finansiel økonomi § Udfordringer og kritik .

Værdsætter obligationsmuligheder

Black – Scholes kan ikke anvendes direkte på obligationer på grund af pull-to-par . Da obligationen når sin løbetid, bliver alle de priser, der er involveret i obligationen, kendt, hvilket reducerer dens volatilitet, og den simple Black -Scholes -model afspejler ikke denne proces. Et stort antal udvidelser til Black – Scholes, der begynder med Black -modellen , er blevet brugt til at håndtere dette fænomen. Se Obligationsmulighed § Værdiansættelse .

Rentekurve

I praksis er renterne ikke konstante - de varierer efter tenor (kuponfrekvens), hvilket giver en rentekurve, som kan interpoleres for at vælge en passende rente til brug i Black -Scholes -formlen. En anden overvejelse er, at renten varierer over tid. Denne volatilitet kan yde et væsentligt bidrag til prisen, især for langfristede optioner. Dette er ganske enkelt ligesom rente- og obligationsprisforholdet, som er omvendt relateret.

Kort aktiekurs

At indtage en kort aktieposition , som er forbundet med afledningen, er typisk ikke gratis; tilsvarende er det muligt at låne en lang lagerposition ud for et mindre gebyr . I begge tilfælde kan dette behandles som et kontinuerligt udbytte med henblik på en Black -Scholes -værdiansættelse, forudsat at der ikke er nogen klar asymmetri mellem de korte aktieoptagelsesomkostninger og de lange aktieudlånsindtægter.

Kritik og kommentarer

Espen Gaarder Haug og Nassim Nicholas Taleb hævder, at Black -Scholes -modellen blot omarbejder eksisterende meget udbredte modeller med hensyn til praktisk talt umulig "dynamisk afdækning" frem for "risiko", for at gøre dem mere kompatible med almindelig neoklassisk økonomisk teori. De hævder også, at Boness i 1964 allerede havde offentliggjort en formel, der "faktisk er identisk" med Black -Scholes call option prissætning. Edward Thorp hævder også at have gættet Black -Scholes -formlen i 1967, men holdt det for sig selv at tjene penge til sine investorer. Emanuel Derman og Nassim Taleb har også kritiseret dynamisk afdækning og fastslået, at en række forskere havde fremstillet lignende modeller forud for Black and Scholes. Som svar har Paul Wilmott forsvaret modellen.

I sin 2008 brev til aktionærerne i Berkshire Hathaway , Warren Buffett skrev: "Jeg tror Black-Scholes formel, selvom det er standarden for oprettelse dollaren ansvar for optioner, producerer mærkelige resultater, når den langsigtede udvalg er ved at blive værdsat ... Black -Scholes -formlen har nærmet sig status som helligskrift inden for finansiering ... Hvis formlen anvendes på forlængede tidsperioder, kan den imidlertid frembringe absurde resultater.For ærlig talt forstod Black og Scholes dette punkt godt . Men deres hengivne tilhængere ignorerer muligvis de forbehold, de to mænd lagde fast, da de først afslørede formlen. "

Den britiske matematiker Ian Stewart - forfatter til bogen 2012 In Pursuit of the Unknown: 17 Equations That Changed the World - sagde, at Black -Scholes havde "underbygget massiv økonomisk vækst", og "det internationale finansielle system handlede derivater til en kvadrillion dollar om året "i 2007. Han sagde, at Black -Scholes -ligningen var den" matematiske begrundelse for handlen " - og derfor -" en ingrediens i en rig gryderet af økonomisk uansvarlighed, politisk utømmelighed, perverse incitamenter og slap regulering ", der bidrog til den finansielle krise i 2007-08 . Han præciserede, at "selve ligningen ikke var det virkelige problem", men misbrug i finansbranchen.

Se også

• Binomial option model , en diskret numerisk metode til beregning af optioner priser
• Sort model , en variant af Black -Scholes -prismodellen
• Black Shoals , et finansielt kunstværk
• Brownisk model for finansielle markeder
• Finansiel matematik (indeholder en liste over relaterede artikler)
• Uklar betalingsmetode til værdiansættelse af reel option
• Varme -ligning , hvortil Black -Scholes PDE kan transformeres
• Spring diffusion
• Monte Carlo option model , ved hjælp af simulering i værdiansættelsen af ​​optioner med komplicerede funktioner
• Analyse af reelle muligheder
• Stokastisk volatilitet

Noter

Referencer

Primære referencer

• Sort, Fischer; Myron Scholes (1973). "Prissætning af optioner og virksomhedsforpligtelser". Journal of Political Economy . 81 (3): 637–654. doi : 10.1086/260062 . S2CID  154552078 . [2] (Black and Scholes 'originale papir.)
• Merton, Robert C. (1973). "Theory of Rational Option Pricing". Bell Journal of Economics and Management Science . RAND Corporation. 4 (1): 141–183. doi : 10.2307/3003143 . HDL : 10338.dmlcz / 135.817 . JSTOR  3003143 . [3]
• Hull, John C. (1997). Optioner, futures og andre derivater . Prentice Hall. ISBN 0-13-601589-1.

Historiske og sociologiske aspekter

• Bernstein, Peter (1992). Kapitalideer: Den usandsynlige oprindelse af moderne Wall Street . Den frie presse. ISBN 0-02-903012-9.
• Derman, Emanuel. "Mit liv som en mængde" John Wiley & Sons, Inc. 2004. ISBN  0471394203
• MacKenzie, Donald (2003). "En ligning og dens verdener: Bricolage, eksempler, uenighed og performativitet i finansøkonomi" (PDF) . Samfundsvidenskabelige studier . 33 (6): 831–868. doi : 10.1177/0306312703336002 . HDL : 20.500.11820 / 835ab5da-2504-4152-ae5b-139da39595b8 . S2CID  15524084 . [4]
• MacKenzie, Donald; Yuval Millo (2003). "Konstruktion af et marked, udførelse af teori: Den historiske sociologi for en finansiel derivatudveksling". American Journal of Sociology . 109 (1): 107–145. CiteSeerX  10.1.1.461.4099 . doi : 10.1086/374404 . S2CID  145805302 . [5]
• MacKenzie, Donald (2006). En motor, ikke et kamera: Hvordan finansielle modeller former markeder . MIT Tryk. ISBN 0-262-13460-8.
• Mandelbrot & Hudson, "The (Mis) Behavior of Markets" Basic Books, 2006. ISBN  9780465043552
• Szpiro, George G. , Pricing the Future: Finance, Physics og den 300-årige rejse til Black-Scholes-ligningen; A Story of Genius and Discovery (New York: Basic, 2011) 298 s.
• Taleb, Nassim. "Dynamic Hedging" John Wiley & Sons, Inc. 1997. ISBN  0471152803
• Thorp, Ed. "En mand for alle markeder" Random House, 2017. ISBN  9781400067961

Yderligere læsning

• Haug, E. G (2007). "Alternativprissætning og afdækning fra teori til praksis". Derivater: Modeller på modeller . Wiley. ISBN 978-0-470-01322-9. Bogen indeholder en række historiske referencer, der understøtter teorien om, at optionhandlere bruger meget mere robuste hedging- og prisprincipper end Black, Scholes og Merton -modellen.
• Triana, Pablo (2009). Foredragsfugle om flyvende: Kan matematiske teorier ødelægge finansmarkederne? . Wiley. ISBN 978-0-470-40675-5. Bogen ser kritisk på Black, Scholes og Merton -modellen.

eksterne links

Diskussion af modellen

• Ajay Shah. Black, Merton og Scholes: Deres arbejde og dets konsekvenser. Economic and Political Weekly, XXXII (52): 3337–3342, december 1997
• Den matematiske ligning, der fik bankerne til at gå ned af Ian Stewart i The Observer , 12. februar 2012
• Når du ikke kan hedge kontinuerligt: ​​Rettelserne til Black -Scholes , Emanuel Derman
• The Skinny On Options TastyTrade Show (arkiver)

Afledning og løsning

• Afledning af Black -Scholes -ligningen for optionsværdi , prof. Thayer Watkins
• Løsning af Black -Scholes -ligningen ved hjælp af Green's Function , prof. Dennis Silverman
• Løsning via risikoneutral prissætning eller via PDE -tilgang ved hjælp af Fourier -transformer (inkluderer diskussion af andre optionstyper), Simon Leger
• Trin-for-trin løsning af Black – Scholes PDE , planetmath.org.
• Black -Scholes Equation Expository -artiklen af ​​matematiker Terence Tao .

Computerimplementeringer

• Black – Scholes på flere sprog
• Black – Scholes i Java -flytter til linket herunder-
• Black -Scholes i Java
• Prismodel for Chicago Option (grafisk version)
• Black – Scholes – Merton Implied Volatility Surface Model (Java)
• Online Black – Scholes lommeregner

Historisk

• Trillion Dollar Bet - Ledsagerwebsted til en Nova -episode, der oprindeligt blev sendt den 8. februar 2000. "Filmen fortæller den fascinerende historie om opfindelsen af ​​Black -Scholes Formula, en matematisk hellig gral, der for altid ændrede finansverdenen og tjente sin skabte Nobelprisen i økonomi i 1997. "
• BBC Horizon Et tv-program om den såkaldte Midas-formel og konkurs for Long-Term Capital Management (LTCM)
• BBC News Magazine Black – Scholes: Matematikformlen knyttet til det økonomiske nedbrud (artikel 27. April 2012)