Tæthedsmatrix - Density matrix

Del af en række artikler om
Kvantemekanik
${\ displaystyle i \ hbar {\ frac {\ partial} {\ partiel t}} | \ psi (t) \ rangle = {\ hat {H}} | \ psi (t) \ rangle}$ Schrödinger ligning
Introduktion Ordliste Historie
Baggrund Klassisk mekanik Gammel kvanteteori Bra -ket -notation Hamiltonian Interferens
Grundlæggende Komplementaritet Dekoherens Forvikling Energiniveau Måling Ikke -lokalitet Quantum nummer Stat Superposition Symmetri Tunnel Usikkerhed Wave -funktion  ( skjul )
Eksperimenter Bells ulighed Davisson – Germer Dobbelt spalte Elitzur – Vaidman Franck -Hertz Leggett -Garg ulighed Mach – Zehnder Popper Quantum viskelæder  ( forsinket valg ) Schrödingers kat Stern – Gerlach Wheelers forsinkede valg
Formuleringer Oversigt Heisenberg Interaktion Matrix Fase-rum Schrödinger Sum-over-historier (stiintegral)
Ligninger Dirac Klein – Gordon Pauli Rydberg Schrödinger
Fortolkninger Oversigt Bayesiansk Konsekvente historier København de Broglie – Bohm Ensemble Skjult-variabel Mange verdener Objektiv kollaps Kvantelogik Relationelle Transaktionelt
Avancerede emner Relativistisk kvantemekanik Kvantefeltteori Quantum information science Quantum computing Quantum kaos Tæthedsmatrix Spredende teori Quantum statistisk mekanik Quantum machine learning
Forskere Aharonov klokke Blackett Bloch Bohm Bohr Født Bose de Broglie Candlin Compton Dirac Davisson Debye Ehrenfest Einstein Everett Fock Fermi Feynman Glauber Gutzwiller Heisenberg Hilbert Jordan Kramers Pauli Lam Landau Laue Moseley Millikan Onnes Planck Rabi Raman Rydberg Schrödinger Sommerfeld von Neumann Weyl Wien Wigner Zeeman Zeilinger
v t e

I kvantemekanik er en tæthedsmatrix en matrix, der beskriver kvantetilstanden i et fysisk system. Det giver mulighed for beregning af sandsynlighederne for resultaterne af enhver måling udført på dette system ved hjælp af Born -reglen . Det er en generalisering af de mere sædvanlige tilstandsvektorer eller bølgefunktioner: Selvom disse kun kan repræsentere rene tilstande , kan tæthedsmatricer også repræsentere blandede tilstande . Blandede tilstande opstår i kvantemekanikken i to forskellige situationer: Først når forberedelsen af ​​systemet ikke er fuldt ud kendt, og derfor skal man beskæftige sig med et statistisk ensemble af mulige præparater, og for det andet, når man vil beskrive et fysisk system, der er viklet ind i en anden, da dens tilstand ikke kan beskrives ved en ren tilstand.

Tæthedsmatricer er således afgørende værktøjer inden for områder af kvantemekanik, der omhandler blandede tilstande, såsom kvantestatistisk mekanik , åbne kvantesystemer , kvantedekoherens og kvanteinformation .

Definition og motivation

Tæthedsmatrixen er en repræsentation af en lineær operator kaldet densitetsoperatoren . Tæthedsmatrixen hentes fra densitetsoperatoren ved valg af basis i det underliggende rum. I praksis bruges udtrykkene tæthedsmatrix og densitetsoperator ofte i flæng.

På operatørsprog er en densitetsoperatør for et system en positiv halvdefinit , hermitisk operatør af spor én, der virker på Hilbert-rummet i systemet. Denne definition kan motiveres ved at overveje en situation, hvor en ren tilstand forberedes med sandsynlighed , kendt som et ensemble . Sandsynligheden for at opnå projektiv måling resultat ved brug projektorer er givet ved ${\ displaystyle | \ psi _ {j} \ rangle}$${\ displaystyle p_ {j}}$${\ displaystyle m}$ ${\ displaystyle \ Pi _ {m}}$

${\ displaystyle p (m) = \ sum _ {j} p_ {j} \ langle \ psi _ {j} | \ Pi _ {m} | \ psi _ {j} \ rangle = \ operatorname {tr} \ venstre [\ Pi _ {m} \ venstre (\ sum _ {j} p_ {j} | \ psi _ {j} \ rangle \ langle \ psi _ {j} | \ right) \ right],}$

hvilket gør densitetsoperatoren , defineret som

${\ displaystyle \ rho = \ sum _ {j} p_ {j} | \ psi _ {j} \ rangle \ langle \ psi _ {j} |}$,

en bekvem repræsentation for dette ensembles tilstand. Det er let at kontrollere, at denne operatør er positiv semidefinitiv, hermitisk og har spor én. Omvendt følger det af spektralsætningen, at hver operator med disse egenskaber kan skrives som for nogle tilstande og koefficienter, der er ikke-negative og summerer til en. Denne repræsentation vil imidlertid ikke være unik, som det fremgår af Schrödinger -HJW -sætningen . ${\ displaystyle \ textstyle \ sum _ {j} p_ {j} | \ psi _ {j} \ rangle \ langle \ psi _ {j} |}$${\ displaystyle | \ psi _ {j} \ rangle}$${\ displaystyle p_ {j}}$

En anden motivation for definitionen af ​​tæthedsoperatorer kommer fra at overveje lokale målinger på sammenfiltrede tilstande. Lad være en ren sammenfiltret tilstand i det sammensatte Hilbert -rum . Sandsynligheden for at opnå måleresultat ved måling af projektorer alene på Hilbert -rummet er givet af ${\ displaystyle | \ Psi \ rangle}$${\ displaystyle {\ mathcal {H}} _ {1} \ otimes {\ mathcal {H}} _ {2}}$${\ displaystyle m}$${\ displaystyle \ Pi _ {m}}$${\ displaystyle {\ mathcal {H}} _ {1}}$

${\ displaystyle p (m) = \ langle \ Psi | \ Pi _ {m} \ otimes I | \ Psi \ rangle = \ operatorname {tr} \ left [\ Pi _ {m} \ left (\ operatorname {tr} _ {2} | \ Psi \ rangle \ langle \ Psi | \ right) \ right],}$

hvor betegner det delvise spor over Hilbert -rummet . Dette gør operatøren ${\ displaystyle \ operatorname {tr} _ {2}}$${\ displaystyle {\ mathcal {H}} _ {2}}$

${\ displaystyle \ rho = \ operatorname {tr} _ {2} | \ Psi \ rangle \ langle \ Psi |}$

et praktisk værktøj til at beregne sandsynlighederne for disse lokale målinger. Det er kendt som matricen med reduceret densitet i delsystem 1. Det er let at kontrollere, at denne operatør har alle egenskaber som en densitetsoperatør. Omvendt indebærer Schrödinger -HJW -sætningen, at alle densitetsoperatorer kan skrives som for en tilstand . ${\ displaystyle | \ Psi \ rangle}$${\ displaystyle \ operatorname {tr} _ {2} | \ Psi \ rangle \ langle \ Psi |}$${\ displaystyle | \ Psi \ rangle}$

Ren og blandet tilstand

En ren kvantetilstand er en tilstand, der ikke kan skrives som en probabilistisk blanding eller konveks kombination af andre kvantetilstande. Der er flere tilsvarende karakteriseringer af rene stater på densitetsoperatørernes sprog. En tæthedsoperatør repræsenterer en ren tilstand, hvis og kun hvis:

• det kan skrives som et ydre produkt af en tilstandsvektor med sig selv, det vil sige,${\ displaystyle | \ psi \ rangle}$

${\ displaystyle \ rho = | \ psi \ rangle \ langle \ psi |.}$

• det er en fremskrivning , især af rang et.
• det er idempotent , det vil sige,

${\ displaystyle \ rho = \ rho ^{2}}$.

• den har renhed én, det vil sige

${\ displaystyle \ operatorname {tr} (\ rho ^{2}) = 1}$.

Det er vigtigt at understrege forskellen mellem en probabilistisk blanding af kvantetilstande og deres superposition . Hvis et fysisk system er forberedt på enten at være i tilstand eller med samme sandsynlighed, kan det beskrives ved blandet tilstand ${\ displaystyle | \ psi _ {1} \ rangle}$${\ displaystyle | \ psi _ {2} \ rangle}$

${\ displaystyle \ rho = {\ frac {1} {2}} {\ begin {pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \ end {pmatrix}},}$

hvor og antages ortogonale og af dimension 2, for enkelhedens skyld. På den anden side resulterer en kvanteoverlejring af disse to tilstande med lige sandsynlighedsamplituder i den rene tilstand med densitetsmatrix ${\ displaystyle | \ psi _ {1} \ rangle}$${\ displaystyle | \ psi _ {2} \ rangle}$${\ displaystyle | \ psi \ rangle = (| \ psi _ {1} \ rangle +| \ psi _ {2} \ rangle)/{\ sqrt {2}},}$

${\ displaystyle | \ psi \ rangle \ langle \ psi | = {\ frac {1} {2}} {\ begin {pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \ end {pmatrix}}.}$

I modsætning til den sandsynlige blanding kan denne superposition vise kvanteinterferens .

I Bloch -sfærens repræsentation af en qubit står hvert punkt på enhedssfæren for en ren tilstand. Alle andre tæthedsmatricer svarer til punkter i det indre.

Geometrisk er mængden af ​​densitetsoperatorer et konvekst sæt , og de rene tilstande er ekstrempunkterne i dette sæt. Det enkleste tilfælde er et todimensionalt Hilbert-rum, kendt som en qubit . En vilkårlig tilstand for en qubit kan skrives som en lineær kombination af Pauli-matricerne , som danner grundlag for selvtilstødende matricer: ${\ displaystyle 2 \ gange 2}$

${\ displaystyle \ rho = {\ frac {1} {2}} \ venstre (I+r_ {x} \ sigma _ {x}+r_ {y} \ sigma _ {y}+r_ {z} \ sigma _ {z} \ højre),}$

hvor de reelle tal er koordinaterne for et punkt inden for enhedskuglen og ${\ displaystyle (r_ {x}, r_ {y}, r_ {z})}$

${\ displaystyle \ sigma _ {x} = {\ begin {pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \ end {pmatrix}}, \ quad \ sigma _ {y} = {\ begin {pmatrix} 0 & -i \\ i & 0 \ end {pmatrix}}, \ quad \ sigma _ {z} = {\ begin {pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \ end {pmatrix}}.}$

Punkter med repræsenterer rene tilstande, mens blandede tilstande repræsenteres af punkter i det indre. Dette er kendt som Bloch -kuglebilledet af qubit -statsrum. ${\ displaystyle r_ {x}^{2}+r_ {y}^{2}+r_ {z}^{2} = 1}$

Eksempel: lyspolarisering

Glødepæren  (1) udsender helt tilfældige polariserede fotoner  (2) med blandet tilstandstæthedsmatrix:

${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} 0.5 & 0 \\ 0 & 0.5 \\\ end {bmatrix}}}$.

Efter at have passeret gennem vertikalplanpolarisator  (3) er de resterende fotoner alle lodret polariseret  (4) og har ren tilstandstæthedsmatrix:

${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \\\ ende {bmatrix}}}$.

Et eksempel på rene og blandede tilstande er lyspolarisering . En individuel foton kan beskrives som at have højre eller venstre cirkulær polarisering , beskrevet af de ortogonale kvantetilstande eller en superposition af de to: den kan være i enhver tilstand (med ), svarende til lineær , cirkulær eller elliptisk polarisering . Overvej nu en lodret polariseret foton, beskrevet af staten . Hvis vi passerer det gennem en cirkulær polarisator, der enten kun tillader polariseret lys eller kun polariseret lys, absorberes halvdelen af ​​fotoner i begge tilfælde. Dette kan få det til at se ud som om halvdelen af ​​fotoner er i tilstand og den anden halvdel i tilstand , men dette er ikke korrekt: hvis vi passerer gennem en lineær polarisator er der overhovedet ingen absorption, men hvis vi passerer enten tilstand eller halvdelen af ​​fotonerne er absorberes. ${\ displaystyle | \ mathrm {R} \ rangle}$${\ displaystyle | \ mathrm {L} \ rangle}$${\ displaystyle \ alpha | \ mathrm {R} \ rangle +\ beta | \ mathrm {L} \ rangle}$${\ displaystyle | \ alpha |^{2}+| \ beta |^{2} = 1}$${\ displaystyle | \ mathrm {V} \ rangle = (| \ mathrm {R} \ rangle +| \ mathrm {L} \ rangle)/{\ sqrt {2}}}$${\ displaystyle | \ mathrm {R} \ rangle}$${\ displaystyle | \ mathrm {L} \ rangle}$${\ displaystyle | \ mathrm {R} \ rangle}$${\ displaystyle | \ mathrm {L} \ rangle}$${\ displaystyle (| \ mathrm {R} \ rangle +| \ mathrm {L} \ rangle)/{\ sqrt {2}}}$${\ displaystyle | \ mathrm {R} \ rangle}$${\ displaystyle | \ mathrm {L} \ rangle}$

Upolariseret lys (såsom lyset fra en glødepære ) kan ikke beskrives som nogen form i formen (lineær, cirkulær eller elliptisk polarisering). I modsætning til polariseret lys passerer det gennem en polarisator med 50% intensitetstab uanset polariseringsretning; og det kan ikke gøres polariseret ved at føre det gennem en hvilken som helst bølgeplade . Imidlertid upolariseret lys kan beskrives som en statistisk ensemble, for eksempel som hver foton, der har enten polarisering eller polarisering med sandsynlighed 1/2. Den samme adfærd ville forekomme, hvis hver foton enten havde lodret polarisering eller vandret polarisering med sandsynlighed 1/2. Disse to ensembler er fuldstændig ikke til at skelne eksperimentelt, og derfor betragtes de som den samme blandede tilstand. For dette eksempel på upolariseret lys er densitetsoperatoren lig ${\ displaystyle \ alpha | \ mathrm {R} \ rangle +\ beta | \ mathrm {L} \ rangle}$${\ displaystyle | \ mathrm {R} \ rangle}$${\ displaystyle | \ mathrm {L} \ rangle}$${\ displaystyle | \ mathrm {V} \ rangle}$${\ displaystyle | \ mathrm {H} \ rangle}$

${\ displaystyle \ rho = {\ frac {1} {2}} | \ mathrm {R} \ rangle \ langle \ mathrm {R} |+{\ frac {1} {2}} | \ mathrm {L} \ rangle \ langle \ mathrm {L} | = {\ frac {1} {2}} | \ mathrm {H} \ rangle \ langle \ mathrm {H} |+{\ frac {1} {2}} | \ mathrm {V} \ rangle \ langle \ mathrm {V} | = {\ frac {1} {2}} {\ begin {pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \ end {pmatrix}}.}$

Der er også andre måder at generere upolariseret lys: en mulighed er at indføre usikkerhed ved forberedelsen af ​​fotonet, for eksempel at føre det gennem en dobbeltbrytende krystal med en ru overflade, så lidt forskellige dele af lysstrålen opnår forskellige polarisationer. En anden mulighed er at bruge sammenfiltrede tilstande: et radioaktivt henfald kan udsende to fotoner, der rejser i modsatte retninger, i kvantetilstanden . Den fælles tilstand af de to fotoner tilsammen er ren, men densitetsmatrixen for hver foton individuelt, fundet ved at tage delsporet af leddensitetsmatrixen, er fuldstændig blandet. ${\ displaystyle (| \ mathrm {R}, \ mathrm {L} \ rangle +| \ mathrm {L}, \ mathrm {R} \ rangle)/{\ sqrt {2}}}$

Ækvivalente ensembler og rensninger

En given densitetsoperatør bestemmer ikke entydigt, hvilket ensemble af rene tilstande, der giver anledning til det; generelt er der uendeligt mange forskellige ensembler, der genererer den samme densitetsmatrix. Disse kan ikke skelnes ved nogen måling. De tilsvarende ensembler kan fuldstændigt karakteriseres: lad være et ensemble. Derefter for enhver kompleks matrix, så (en delvis isometri ), ensemblet defineret af ${\ displaystyle \ {p_ {j}, | \ psi _ {j} \ rangle \}}$${\ displaystyle U}$${\ displaystyle U^{\ dolk} U = I}$${\ displaystyle \ {q_ {i}, | \ varphi _ {i} \ rangle \}}$

${\ displaystyle {\ sqrt {q_ {i}}} \ venstre | \ varphi _ {i} \ højre \ rangle = \ sum _ {j} U_ {ij} {\ sqrt {p_ {j}}} \ venstre | \ psi _ {j} \ right \ rangle}$

vil give anledning til den samme densitetsoperatør, og alle ækvivalente ensembler er af denne form.

En nært beslægtet kendsgerning er, at en given densitetsoperator har uendeligt mange forskellige rensninger , som er rene tilstande, der genererer densitetsoperatoren, når der foretages et delvis spor. Lade

${\ displaystyle \ rho = \ sum _ {j} p_ {j} | \ psi _ {j} \ rangle \ langle \ psi _ {j} |}$

være densitetsoperatoren genereret af ensemblet , med tilstande ikke nødvendigvis ortogonale. Så for alle partielle isometrier har vi det ${\ displaystyle \ {p_ {j}, | \ psi _ {j} \ rangle \}}$${\ displaystyle | \ psi _ {j} \ rangle}$${\ displaystyle U}$

${\ displaystyle | \ Psi \ rangle = \ sum _ {j} {\ sqrt {p_ {j}}} | \ psi _ {j} \ rangle U | a_ {j} \ rangle}$

er en oprensning af , hvor er et ortogonalt grundlag, og desuden er alle oprensninger af denne form. ${\ displaystyle \ rho}$${\ displaystyle | a_ {j} \ rangle}$${\ displaystyle \ rho}$

Måling

Lad være en observerbar af systemet, og formoder ensemblet er i en blandet tilstand således, at hver af de rene tilstande opstår med sandsynlighed . Derefter er den tilsvarende densitetsoperator lig ${\ displaystyle A}$${\ displaystyle \ textstyle | \ psi _ {j} \ rangle}$${\ displaystyle p_ {j}}$

${\ displaystyle \ rho = \ sum _ {j} p_ {j} | \ psi _ {j} \ rangle \ langle \ psi _ {j} |.}$

Den forventning værdi af målingen kan beregnes ved at udvide fra tilfældet med rene tilstande:

${\ displaystyle \ langle A \ rangle = \ sum _ {j} p_ {j} \ langle \ psi _ {j} | A | \ psi _ {j} \ rangle = \ sum _ {j} p_ {j} \ operatorname {tr} \ left (| \ psi _ {j} \ rangle \ langle \ psi _ {j} | A \ right) = \ operatorname {tr} \ left (\ sum _ {j} p_ {j} | \ psi _ {j} \ rangle \ langle \ psi _ {j} | A \ right) = \ operatorname {tr} (\ rho A),}$

hvor betegner spor . Således erstattes det velkendte udtryk for rene tilstande med ${\ displaystyle \ operatorname {tr}}$${\ displaystyle \ langle A \ rangle = \ langle \ psi | A | \ psi \ rangle}$

${\ displaystyle \ langle A \ rangle = \ operatorname {tr} (\ rho A)}$

for blandede stater.

Desuden hvis har spektral opløsning ${\ displaystyle A}$

${\ displaystyle A = \ sum _ {i} a_ {i} P_ {i},}$

hvor er projektionsoperatoren ind i eigenspace svarende til egenværdi , er post-måling densitetsoperatoren givet af ${\ displaystyle P_ {i}}$${\ displaystyle a_ {i}}$

${\ displaystyle \ rho _ {i} '= {\ frac {P_ {i} \ rho P_ {i}} {\ operatorname {tr} \ venstre [\ rho P_ {i} \ højre]}}}}$

når resultatet i er opnået. I det tilfælde, hvor måleresultatet ikke kendes, er ensemblet i stedet beskrevet af

${\ displaystyle \; \ rho '= \ sum _ {i} P_ {i} \ rho P_ {i}.}$

Hvis man antager, at sandsynlighederne for måleresultater er projektorernes lineære funktioner , skal de angives ved hjælp af projektorens spor med en densitetsoperatør. Gleasons sætning viser, at i Hilbert-rum af dimension 3 eller større kan antagelsen om linearitet erstattes med en antagelse om ikke-kontekstualitet . Denne begrænsning af dimensionen kan fjernes ved at antage ikke-kontekstualitet også for POVM'er , men dette er blevet kritiseret som fysisk umotiveret. ${\ displaystyle P_ {i}}$

Entropi

The von Neumann entropi af en blanding kan udtrykkes egenværdier af eller i forbindelse med den spor og logaritmen af operatørens tæthed . Da det er en positiv semi-bestemt operator, har den en spektral nedbrydning således, at hvor er ortonormale vektorer , og . Derefter entropi et kvantesystemet med tæthedsmatrix er ${\ displaystyle S}$${\ displaystyle \ rho}$${\ displaystyle \ rho}$${\ displaystyle \ rho}$${\ displaystyle \ rho = \ textstyle \ sum _ {i} \ lambda _ {i} | \ varphi _ {i} \ rangle \ langle \ varphi _ {i} |}$${\ displaystyle | \ varphi _ {i} \ rangle}$${\ displaystyle \ lambda _ {i} \ geq 0}$${\ displaystyle \ textstyle \ sum \ lambda _ {i} = 1}$${\ displaystyle \ rho}$

${\ displaystyle S =-\ sum _ {i} \ lambda _ {i} \ ln \ lambda _ {i} =-\ operatorname {tr} (\ rho \ ln \ rho).}$

Denne definition indebærer, at von Neumann -entropien for enhver ren tilstand er nul. Hvis der er stater, der har støtte til ortogonale underrum, så er von Neumann -entropien af ​​en konveks kombination af disse tilstande, ${\ displaystyle \ rho _ {i}}$

${\ displaystyle \ rho = \ sum _ {i} p_ {i} \ rho _ {i},}$

er givet af von Neumann -entropierne i staterne og Shannon -entropien om sandsynlighedsfordelingen : ${\ displaystyle \ rho _ {i}}$${\ displaystyle p_ {i}}$

${\ displaystyle S (\ rho) = H (p_ {i})+\ sum _ {i} p_ {i} S (\ rho _ {i}).}$

Når staterne ikke har ortogonale understøtninger, er summen på højre side strengt større end von Neumann-entropien i den konvekse kombination . ${\ displaystyle \ rho _ {i}}$${\ displaystyle \ rho}$

I betragtning af en tæthedsoperator og en projektiv måling som i det foregående afsnit, tilstanden defineret af den konvekse kombination ${\ displaystyle \ rho}$${\ displaystyle \ rho '}$

${\ displaystyle \ rho '= \ sum _ {i} P_ {i} \ rho P_ {i},}$

som kan tolkes som den tilstand, der frembringes ved at udføre målingen, men ikke registrere hvilket resultat der er sket, har en von Neumann -entropi større end den for , undtagen hvis . Det er imidlertid muligt for den frembragte ved en generaliseret måling, eller POVM , at have en lavere von Neumann -entropi end . ${\ displaystyle \ rho}$${\ displaystyle \ rho = \ rho '}$${\ displaystyle \ rho '}$${\ displaystyle \ rho}$

Von Neumann -ligningen for tidsudvikling

Ligesom Schrödinger -ligningen beskriver, hvordan rene tilstande udvikler sig i tid, beskriver von Neumann -ligningen (også kendt som Liouville -von Neumann -ligningen ), hvordan en densitetsoperator udvikler sig i tid. Von Neumann -ligningen dikterer det

${\ displaystyle i \ hbar {\ frac {\ partiel \ rho} {\ delvis t}} = [H, \ rho] ~,}$

hvor parenteserne betegner en kommutator .

Bemærk, at denne ligning kun gælder, når densitetsoperatoren antages at være i Schrödinger -billedet , selvom denne ligning i første omgang ser ud til at efterligne Heisenberg -bevægelsesligningen i Heisenberg -billedet med en afgørende tegnforskel:

${\ displaystyle i \ hbar {\ frac {dA^{(\ mathrm {H})}} {dt}} =-\ venstre [H, A^{(\ mathrm {H})} \ højre] ~,}$

hvor er en Heisenberg billedoperatør ; men i dette billede er densitetsmatrixen ikke tidsafhængig , og det relative tegn sikrer, at tidsafledningen af ​​den forventede værdi kommer ud på samme måde som i Schrödinger-billedet . ${\ displaystyle A^{(\ mathrm {H})} (t)}$${\ displaystyle \ langle A \ rangle}$

Hvis Hamiltonian er tidsuafhængig, kan von Neumann-ligningen let løses for at give

${\ displaystyle \ rho (t) = e^{-iHt/\ hbar} \ rho (0) e^{iHt/\ hbar}.}$

For en mere generel Hamiltonian, hvis er bølgefunktionspropagatoren over et eller andet interval, er tidsudviklingen af ​​tæthedsmatrixen over det samme interval givet ved ${\ displaystyle G (t)}$

${\ displaystyle \ rho (t) = G (t) \ rho (0) G (t)^{\ dolk}.}$

Wigner -funktioner og klassiske analogier

Densitetsmatrixoperatoren kan også realiseres i faserum . Under Wigner -kortet omdannes tæthedsmatrixen til den tilsvarende Wigner -funktion ,

${\ displaystyle W (x, p) \, \ {\ stackrel {\ mathrm {def}} {=}} \ \, {\ frac {1} {\ pi \ hbar}} \ int _ {-\ infty} ^{\ infty} \ psi ^{*} (x+y) \ psi (xy) e ^{2ipy/\ hbar} \, dy.}$

Ligningen for tidsudviklingen af ​​Wigner-funktionen, kendt som Moyal-ligning , er derefter Wigner-transformationen af ​​ovenstående von Neumann-ligning,

${\ displaystyle {\ frac {\ delvis W (x, p, t)} {\ delvis t}} =-\ {\ {W (x, p, t), H (x, p) \} \}, }$

hvor er den Hamiltonske, og er Moyal beslag , transformeringen af kvante kommutatoren . ${\ displaystyle H (x, p)}$${\ displaystyle \ {\ {\ cdot, \ cdot \} \}}$

Evolutionens ligning for Wigner -funktionen er derefter analog med den for dens klassiske grænse, Liouville -ligningen for klassisk fysik . I grænsen for forsvindende Plancks konstant , reducerer til den klassiske Liouville tæthedsfunktionen i fase rummet . ${\ displaystyle \ hbar}$${\ displaystyle W (x, p, t)}$

Eksempel applikationer

Densitetsmatricer er et grundlæggende værktøj for kvantemekanik og forekommer i hvert fald lejlighedsvis i næsten enhver form for kvantemekanisk beregning. Nogle specifikke eksempler, hvor tæthedsmatricer er særligt nyttige og almindelige, er som følger:

• Statistisk mekanik bruger tæthedsmatricer, mest fremtrædende til at udtrykke ideen om, at et system er forberedt ved en temperatur uden nul. Konstruktion af en tæthedsmatrix ved hjælp af et kanonisk ensemble giver et resultat af formen , hvor er den inverse temperatur og er systemets Hamiltonian. Normaliseringsbetingelsen for, at sporet af være lig med 1 definerer den partitionsfunktion, der skal være . Hvis antallet af partikler involveret i systemet i sig selv ikke er sikkert, kan der anvendes et storslået kanonisk ensemble , hvor staterne opsummerede for at få tæthedsmatricen trukket fra et Fock -rum .${\ displaystyle \ rho = \ exp (-\ beta H)/Z (\ beta)}$${\ displaystyle \ beta}$${\ displaystyle (k _ {\ rm {B}} T)^{-1}}$${\ displaystyle H}$${\ displaystyle \ rho}$${\ displaystyle Z (\ beta) = \ mathrm {tr} \ exp (-\ beta H)}$
• Quantum decoherence theory involverer typisk ikke-isolerede kvantesystemer, der udvikler sammenfiltring med andre systemer, herunder måleudstyr. Densitetsmatricer gør det meget lettere at beskrive processen og beregne dens konsekvenser. Quantum decoherence forklarer, hvorfor et system, der interagerer med et miljø, overgår fra at være en ren tilstand, der viser superpositioner, til en blandet tilstand, en usammenhængende kombination af klassiske alternativer. Denne overgang er fundamentalt reversibel, da den kombinerede tilstand af system og miljø stadig er ren, men for alle praktiske formål irreversibel, da miljøet er et meget stort og komplekst kvantsystem, og det ikke er muligt at vende deres interaktion. Dekoherens er således meget vigtig for at forklare den klassiske grænse for kvantemekanik, men kan ikke forklare bølgefunktionens kollaps, da alle klassiske alternativer stadig er til stede i blandet tilstand, og bølgefunktionskollaps kun vælger et af dem.
• På samme måde bruges kvantitetsberegning , kvanteinformationsteori , åbne kvantesystemer og andre felter, hvor tilstandsforberedelse er støjende, og der kan forekomme decoherence, tæthedsmatricer ofte. Støj modelleres ofte via en depolariserende kanal eller en amplitudedæmpningskanal . Kvantetomografi er en proces, ved hvilken et tæthedsmatrix, der er i overensstemmelse med disse måleresultater, beregnes i betragtning af et sæt data, der repræsenterer resultaterne af kvantemålinger.
• Når man analyserer et system med mange elektroner, såsom et atom eller et molekyle , er en ufuldkommen, men nyttig første tilnærmelse at behandle elektronerne som ukorrelerede eller hver med en uafhængig enkeltpartikelbølgefunktion. Dette er det sædvanlige udgangspunkt, når man bygger Slater -determinanten i Hartree – Fock -metoden. Hvis der er elektroner, der fylder enkeltpartikelbølgefunktionerne , kan samlingen af elektroner sammen karakteriseres ved en tæthedsmatrix .${\ displaystyle N}$${\ displaystyle N}$${\ displaystyle | \ psi _ {i} \ rangle}$${\ displaystyle N}$${\ textstyle \ sum _ {i = 1}^{N} | \ psi _ {i} \ rangle \ langle \ psi _ {i} |}$

C*-algebraisk formulering af tilstande

Det er nu generelt accepteret, at beskrivelsen af ​​kvantemekanikken, hvor alle selvtilstødende operatører repræsenterer observerbare er uholdbar. Af denne grund er observable identificeres med elementer af en abstrakt C * -algebra A (der er en uden et fremtrædende repræsentation som en algebra af operatører) og tilstande er positive lineære functionals på A . Ved at bruge GNS -konstruktionen kan vi imidlertid gendanne Hilbert -rum, der realiserer A som en subalgebra af operatører.

Geometrisk, en ren tilstand på en C * -algebra A er en tilstand, som er en ekstrem punkt af sættet af alle stater på A . Ved egenskaber af GNS konstruktion disse stater svarer til irreducible repræsentationer af A .

Tilstandene for C*-algebra for kompakte operatorer K ( H ) svarer nøjagtigt til densitetsoperatorerne, og derfor er de rene tilstande for K ( H ) nøjagtigt de rene tilstande i kvantemekanikkens forstand.

C*-algebraisk formulering kan ses at omfatte både klassiske og kvante systemer. Når systemet er klassisk, bliver observerbare algebra til en abelsk C*-algebra. I så fald bliver staterne sandsynlighedsmål som anført i indledningen.

Historie

Formalismen for tæthedsoperatører og matricer blev introduceret i 1927 af John von Neumann og uafhængigt, men mindre systematisk, af Lev Landau og senere i 1946 af Felix Bloch . Von Neumann introducerede densitetsmatricen for at udvikle både kvantestatistisk mekanik og en teori om kvantemålinger. Selve navnetæthedsmatricen vedrører dens klassiske korrespondance med et fase-rum sandsynlighedsmål (sandsynlighedsfordeling af position og momentum) i klassisk statistisk mekanik , som blev introduceret af Wigner i 1932.

I modsætning hertil var motivationen, der inspirerede Landau, umuligheden af ​​at beskrive et undersystem i et sammensat kvantesystem med en statsvektor.

Se også

Noter og referencer