Euklidisk afstand - Euclidean distance

Brug af Pythagoras sætning til at beregne todimensionel euklidisk afstand

I matematik er den euklidiske afstand mellem to punkter i det euklidiske rum længden af et linjesegment mellem de to punkter. Det kan beregnes ud fra de kartesiske koordinater for punkterne ved hjælp af Pythagoras sætning , derfor lejlighedsvis kaldet Pythagoras afstand . Disse navne stammer fra de gamle græske matematikere Euclid og Pythagoras , selvom Euclid ikke repræsenterede afstande som tal, og forbindelsen fra Pythagoras sætning til afstandsberegning blev først foretaget i det 18. århundrede.

Afstanden mellem to objekter, der ikke er punkter, er normalt defineret til at være den mindste afstand mellem parpar fra de to objekter. Formler er kendt for at beregne afstande mellem forskellige typer objekter, såsom afstanden fra et punkt til en linje . I avanceret matematik er afstandsbegrebet blevet generaliseret til abstrakte metriske rum , og andre afstande end euklidisk er blevet undersøgt. I nogle applikationer inden for statistik og optimering bruges kvadratet af den euklidiske afstand i stedet for selve afstanden.

Afstandsformler

En dimension

Afstanden mellem to punkter på den reelle linje er den absolutte værdi af den numeriske forskel på deres koordinater. Så hvis og er to punkter på den virkelige linje, er afstanden mellem dem givet ved: ${\ displaystyle p}$ ${\ displaystyle q}$

{\ displaystyle d (p, q) = | pq |.}

En mere kompliceret formel, der giver den samme værdi, men lettere generaliserer til højere dimensioner, er:

{\ displaystyle d (p, q) = {\ sqrt {(pq)^{2}}}.}

I denne formel kvadrering og derefter tage de kvadratrod blade helst positivt tal uændret, men erstatter enhver negativt tal ved dets absolutte værdi.

To dimensioner

I det euklidiske plan , lad punkt have kartesiske koordinater og lad punkt have koordinater . Så er afstanden mellem og givet ved: ${\ displaystyle p}$ ${\ displaystyle (p_ {1}, p_ {2})}$ ${\ displaystyle q}$ ${\ displaystyle (q_ {1}, q_ {2})}$ ${\ displaystyle p}$ ${\ displaystyle q}$

{\ displaystyle d (p, q) = {\ sqrt {(q_ {1} -p_ {1})^{2}+(q_ {2} -p_ {2})^{2}}}.}

Dette kan ses ved at anvende Pythagoras sætning på en højre trekant med vandrette og lodrette sider med linjesegmentet fra til som dets hypotenuse. De to kvadratiske formler inde i kvadratroden giver kvadratarealerne på de vandrette og lodrette sider, og den ydre kvadratrod konverterer arealet af firkanten på hypotenusen til længden af hypotenusen.

{\ displaystyle p}

{\ displaystyle q}

Det er også muligt at beregne afstanden for punkter givet af polære koordinater . Hvis de polære koordinater er og de polære koordinater er , er deres afstand givet ved kosinusloven : ${\ displaystyle p}$ ${\ displaystyle (r, \ theta)}$ ${\ displaystyle q}$ ${\ displaystyle (s, \ psi)}$

{\ displaystyle d (p, q) = {\ sqrt {r^{2}+s^{2} -2rs \ cos (\ theta -\ psi)}}.}

Når og udtrykkes som komplekse tal i det komplekse plan , kan den samme formel for endimensionelle punkter udtrykt som reelle tal bruges: ${\ displaystyle p}$ ${\ displaystyle q}$

{\ displaystyle d (p, q) = | pq |.}

Højere dimensioner

Afledning af den -dimensionale euklidiske afstandsformel ved gentagne gange at anvende Pythagoras sætning

{\ displaystyle n}

I tre dimensioner, for punkter givet af deres kartesiske koordinater, er afstanden

{\ displaystyle d (p, q) = {\ sqrt {(p_ {1} -q_ {1})^{2}+(p_ {2} -q_ {2})^{2}+(p_ {3 } -q_ {3})^{2}}}.}

Generelt er afstanden for punkter givet af kartesiske koordinater i -dimensionalt euklidisk rum

{\ displaystyle n}

{\ displaystyle d (p, q) = {\ sqrt {(p_ {1} -q_ {1})^{2}+(p_ {2} -q_ {2})^{2}+\ cdots+( p_ {i} -q_ {i})^{2} +\ cdots +(p_ {n} -q_ {n})^{2}}}.}

Andre objekter end punkter

For par af objekter, der ikke er begge punkter, kan afstanden mest enkelt defineres som den mindste afstand mellem to punkter fra de to objekter, selvom mere komplicerede generaliseringer fra punkter til sæt som f.eks. Hausdorff -afstand også er almindeligt anvendt. Formler til beregning af afstande mellem forskellige typer objekter omfatter:

Den afstand fra et punkt til en linje , i den euklidiske plan
Den afstand fra et punkt til et plan i tredimensionalt euklidisk rum
Den afstanden mellem to linjer i tredimensionale euklidisk rum

Ejendomme

Den euklidiske afstand er det prototypiske eksempel på afstanden i et metrisk rum og adlyder alle de definerende egenskaber ved et metrisk rum:

Det er symmetrisk , hvilket betyder, at der for alle punkter og , . Det vil sige (i modsætning til vejafstand med envejsgader) afhænger afstanden mellem to punkter ikke af, hvilket af de to punkter, der er starten, og som er destinationen. ${\ displaystyle p}$ ${\ displaystyle q}$ ${\ displaystyle d (p, q) = d (q, p)}$
Det er positivt , hvilket betyder, at afstanden mellem hvert to forskellige punkter er et positivt tal , mens afstanden fra ethvert punkt til sig selv er nul.
Det adlyder Trekantsuligheden : for hver tre point , og , . Intuitivt kan rejse fra til via ikke være kortere end at rejse direkte fra til . ${\ displaystyle p}$ ${\ displaystyle q}$ ${\ displaystyle r}$ ${\ displaystyle d (p, q)+d (q, r) \ geq d (p, r)}$ ${\ displaystyle p}$ ${\ displaystyle r}$ ${\ displaystyle q}$ ${\ displaystyle p}$ ${\ displaystyle r}$

En anden egenskab, Ptolemæus 'ulighed , vedrører de euklidiske afstande mellem fire punkter , , , og . Det hedder det ${\ displaystyle p}$ ${\ displaystyle q}$ ${\ displaystyle r}$ ${\ displaystyle s}$

{\ displaystyle d (p, q) \ cdot d (r, s)+d (q, r) \ cdot d (p, s) \ geq d (p, r) \ cdot d (q, s).}

For punkter i flyet kan dette omformuleres til at sige, at for hver firkant er produkterne fra modsatte sider af den firkantede sum til et mindst lige så stort antal som produktet af dets diagonaler. Imidlertid gælder Ptolemaios ulighed mere generelt for punkter i euklidiske rum af enhver dimension, uanset hvordan de er arrangeret. Euklidisk afstandsgeometri undersøger egenskaber ved euklidisk afstand, såsom Ptolemaios ulighed, og deres anvendelse ved testning af, om givne sæt afstande kommer fra punkter i et euklidisk rum.

Kvadratisk euklidisk afstand

En kegle , grafen for den euklidiske afstand fra oprindelsen i flyet

Et paraboloid , grafen over kvadratisk euklidisk afstand fra oprindelsen

I mange applikationer, og især når man sammenligner afstande, kan det være mere bekvemt at udelade den sidste kvadratrod ved beregningen af euklidiske afstande. Værdien som følge af denne udeladelse er kvadratet af den euklidiske afstand, og kaldes den kvadrerede euklidiske afstand . Som en ligning kan den udtrykkes som en sum af kvadrater :

{\ displaystyle d^{2} (p, q) = (p_ {1} -q_ {1})^{2}+(p_ {2} -q_ {2})^{2}+\ cdots+( p_ {i} -q_ {i})^{2} +\ cdots +(p_ {n} -q_ {n})^{2}.}

Ud over dens anvendelse på afstandssammenligning er kvadratisk euklidisk afstand af central betydning i statistik , hvor den bruges i metoden med mindste kvadrater , en standardmetode til at tilpasse statistiske skøn til data ved at minimere gennemsnittet af de kvadrerede afstande mellem observerede og estimerede værdier . Tilføjelsen af kvadrerede afstande til hinanden, som det gøres i mindst kvadrater, svarer til en operation på (ikke -kvadrerede) afstande kaldet Pythagorean -addition . I klyngeanalyse kan kvadrerede afstande bruges til at styrke effekten af længere afstande.

Kvadratisk euklidisk afstand danner ikke et metrisk rum, da det ikke tilfredsstiller trekantens ulighed. Det er imidlertid en glat, strengt konveks funktion af de to punkter, i modsætning til afstanden, som er ikke-glat (nær par med lige punkter) og konveks, men ikke strengt konveks. Den kvadrerede afstand foretrækkes således i optimeringsteorien , da den gør det muligt at bruge konveks analyse . Da kvadrering er en monoton funktion af ikke-negative værdier, svarer minimering af kvadratafstand til at minimere den euklidiske afstand, så optimeringsproblemet er ækvivalent med hensyn til enten, men lettere at løse ved hjælp af kvadratisk afstand.

Samlingen af alle kvadrerede afstande mellem par af punkter fra et begrænset sæt kan lagres i en euklidisk afstandsmatrix og bruges i denne form i afstandsgeometri.

Generaliseringer

I mere avancerede matematiske områder, når man ser det euklidiske rum som et vektorrum , er dets afstand forbundet med en norm kaldet den euklidiske norm , defineret som afstanden mellem hver vektor fra oprindelsen . En af denne norms vigtige egenskaber i forhold til andre normer er, at den forbliver uændret under vilkårlige rumrotationer omkring oprindelsen. Ved Dvoretzkys sætning har hvert endeligt-dimensionelt normeret vektorrum et højdimensionelt underrum, hvor normen er omtrent euklidisk; den euklidiske norm er den eneste norm med denne egenskab. Det kan udvides til uendelige-dimensionelle vektorrum som L ^2- normen eller L ^2- afstanden.

Andre almindelige afstande på euklidiske rum og lavdimensionelle vektorrum omfatter:

Chebyshev -afstand , som måler afstand, hvis kun den mest betydningsfulde dimension antages, er relevant.
Manhattan-afstand , som måler afstand kun efter akselinjusterede retninger.
Minkowski -afstand , en generalisering, der forener euklidisk afstand, Manhattan -afstand og Chebyshev -afstand.

For punkter på overflader i tre dimensioner skal den euklidiske afstand skelnes fra den geodesiske afstand, længden af en korteste kurve, der tilhører overfladen. Især til måling af store cirkelafstande på jorden eller andre sfæriske eller nærkugleformede overflader inkluderer afstande, der er blevet brugt, haversineafstanden, der giver store cirkelafstande mellem to punkter på en kugle fra deres længde- og breddegrader, og Vincentys formler også kendt som "Vincent distance" for afstand på en sfæroid.

Historie

Euklidisk afstand er afstanden i det euklidiske rum ; begge begreber er opkaldt efter den antikke græske matematiker Euclid , hvis elementer blev en standard lærebog i geometri i mange århundreder. Begreber om længde og afstand er udbredt på tværs af kulturer, kan dateres til de tidligste overlevende "protolitererede" bureaukratiske dokumenter fra Sumer i det fjerde årtusinde f.Kr. (langt før Euklid) og har været en hypotese om at udvikle sig hos børn tidligere end de relaterede begreber om hastighed og tid. Men forestillingen om en afstand, som et tal defineret ud fra to punkter, forekommer faktisk ikke i Euklides elementer . I stedet nærmer Euklid dette begreb sig implicit, gennem linjesegmenters kongruens , gennem sammenligning af længder af linjesegmenter og gennem proportionalitetsbegrebet .

Den Pythagoras er også gammelt, men det kunne kun tage sin centrale rolle i målingen af afstande efter opfindelsen af kartesiske koordinater ved René Descartes i 1637. Afstanden formel selv blev publiceret i 1731 af Alexis Clairaut . På grund af denne formel kaldes euklidisk afstand også undertiden pythagoreansk afstand. Selvom nøjagtige målinger af lange afstande på jordoverfladen, som ikke er euklidiske, igen var blevet undersøgt i mange kulturer siden oldtiden (se geodesis historie ), var tanken om, at euklidisk afstand måske ikke var den eneste måde at måle afstande mellem punkter i matematiske rum kom endnu senere med 1800-tallets formulering af ikke-euklidisk geometri . Definitionen af den euklidiske norm og den euklidiske afstand for geometrier af mere end tre dimensioner dukkede også først op i det 19. århundrede i Augustin-Louis Cauchys arbejde .

Se også

Euklidisk topologi - Naturlig topologi fremkaldt af den euklidiske metrik

Languages

In other projects