Lindemann – Weierstrass sætning - Lindemann–Weierstrass theorem

I transcendental talteori er Lindemann -Weierstrass -sætningen et resultat, der er meget nyttigt til at fastslå transcendens af tal. Der står følgende.

Med andre ord udvidelsesfeltet ( e ^{α ₁} , ...,  e ^{α _n} ) har transcendensgrad n løbet . ${\ displaystyle \ mathbb {Q}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Q}}$

En tilsvarende formulering ( Baker 1990 , kapitel 1, sætning 1.4) er følgende.

Denne ækvivalens forvandler en lineær relation over de algebraiske tal til en algebraisk relation ved at bruge det faktum, at et symmetrisk polynom, hvis argumenter alle er konjugater af hinanden, giver et rationelt tal. ${\ displaystyle \ mathbb {Q}}$

Sætningen er opkaldt efter Ferdinand von Lindemann og Karl Weierstrass . Lindemann beviste i 1882, at e ^α er transcendentalt for hvert algebraisk tal α, der ikke er nul , og fastslog derved, at π er transcendental (se nedenfor). Weierstrass beviste ovenstående mere generelle erklæring i 1885.

Sætningen , sammen med Gelfond -Schneider -sætningen , udvides med Bakers sætning , og alle disse generaliseres yderligere af Schanuels formodning .

Navngivningskonvention

Sætningen er også kendt forskelligt som Hermite -Lindemann -sætningen og Hermite -Lindemann -Weierstrass -sætningen . Charles Hermite beviste først den enklere sætning, hvor α _i -eksponenterne skal være rationelle heltal, og lineær uafhængighed er kun sikret over de rationelle heltal, et resultat der undertiden omtales som Hermites teorem. Selv om det tilsyneladende er et ret specielt tilfælde af ovenstående sætning, kan det generelle resultat reduceres til denne enklere sag. Lindemann var den første, der tillod algebraiske tal i Hermites arbejde i 1882. Kort efter opnåede Weierstrass det fulde resultat, og flere forenklinger er blevet foretaget af flere matematikere, især af David Hilbert og Paul Gordan .

Transcendens af e og π

Den transcendens af e og π er direkte naturlige konsekvenser af denne sætning.

Antag at α er et ikke-nul algebraisk tal; så er {α} et lineært uafhængigt sæt over rationalerne, og derfor er den første formulering af sætningen { e ^α } et algebraisk uafhængigt sæt; eller med andre ord e ^α er transcendental. Især er e ¹ = e transcendental. (Et mere elementært bevis på, at e er transcendentalt, er beskrevet i artiklen om transcendentale tal .)

Alternativt ved den anden formulering af sætningen, hvis α er et ikke-nul algebraisk tal, så er {0, α} et sæt adskilte algebraiske tal, og derfor er sættet { e ⁰ ,  e ^α } = {1,  e ^α } er lineært uafhængig af de algebraiske tal og især kan e ^α ikke være algebraisk, og det er derfor transcendentalt.

For at bevise, at π er transcendental, beviser vi, at det ikke er algebraisk. Hvis π var algebraisk, ville π i også være algebraisk, og derefter ville Lindemann – Weierstrass -sætningen e ^{π i} = −1 (se Eulers identitet ) være transcendental, en modsigelse. Derfor er π ikke algebraisk, hvilket betyder, at det er transcendentalt.

En lille variant på det samme bevis viser, at hvis α er et ikke-nul algebraisk tal, så er sin (α), cos (α), tan (α) og deres hyperbolske modstykker også transcendentale.

p -adisk formodning

Modulær formodning

En analog af sætningen om modulfunktionen j blev formodet af Daniel Bertrand i 1997 og er fortsat et åbent problem. Ved at skrive q  =  e ^{2 π i τ} for kvadratet i nomen og j (τ) =  J ( q ), er formodningen som følger.

Lindemann – Weierstrass sætning

Bevis

Beviset bygger på to foreløbige lemmaer. Bemærk, at Lemma B selv allerede er tilstrækkelig til at udlede den oprindelige erklæring fra Lindemann – Weierstrass -sætningen.

Foreløbige lemmaer

Bevis for Lemma A. For at forenkle notationssættet:

${\ displaystyle {\ begin {align} & n_ {0} = 0, && \\ & n_ {i} = \ sum \ nolimits _ {k = 1}^{i} m (k), && i = 1, \ ldots, r \\ & n = n_ {r}, && \\ & \ alpha _ {n_ {i-1}+j} = \ gamma (i) _ {j}, && 1 \ leq i \ leq r, \ 1 \ leq j \ leq m (i) \\ & \ beta _ {n_ {i-1}+j} = c (i). \ end {align}}}$

Så bliver udsagnet

${\ displaystyle \ sum _ {k = 1}^{n} \ beta _ {k} e^{\ alpha _ {k}} \ neq 0.}$

Lad p være et primtal og definere følgende polynomier:

${\ displaystyle f_ {i} (x) = {\ frac {\ ell^{np} (x- \ alpha _ {1})^{p} \ cdots (x- \ alpha _ {n})^{p }} {(x- \ alpha _ {i})}},}$

hvor ℓ er et helt tal, der ikke er nul, og som alle er algebraiske heltal. Definere ${\ displaystyle \ ell \ alpha _ {1}, \ ldots, \ ell \ alpha _ {n}}$

${\ displaystyle I_ {i} (s) = \ int _ {0}^{s} e^{sx} f_ {i} (x) \, dx.}$

Ved hjælp af integration af dele, vi når frem til

${\ displaystyle I_ {i} (s) = e^{s} \ sum _ {j = 0}^{np-1} f_ {i}^{(j)} (0)-\ sum _ {j = 0}^{np-1} f_ {i}^{(j)} (r),}$

hvor er graden af , og er den j -th afledte af . Dette gælder også for s kompleks (i dette tilfælde skal integralet være tænkt som en konturintegral, for eksempel langs det lige segment fra 0 til s ) fordi ${\ displaystyle np-1}$${\ displaystyle f_ {i}}$${\ displaystyle f_ {i}^{(j)}}$${\ displaystyle f_ {i}}$

${\ displaystyle -e^{sx} \ sum _ {j = 0}^{np -1} f_ {i}^{(j)} (x)}$

er en primitiv af . ${\ displaystyle e^{sx} f_ {i} (x)}$

Overvej følgende sum:

${\ displaystyle {\ begin {align} J_ {i} & = \ sum _ {k = 1}^{n} \ beta _ {k} I_ {i} (\ alpha _ {k}) \\ [5pt] & = \ sum _ {k = 1}^{n} \ beta _ {k} \ venstre (e^{\ alpha _ {k}} \ sum _ {j = 0}^{np-1} f_ {i }^{(j)} (0)-\ sum _ {j = 0}^{np-1} f_ {i}^{(j)} (\ alpha _ {k}) \ right) \\ [5pt ] & = \ venstre (\ sum _ {j = 0}^{np-1} f_ {i}^{(j)} (0) \ højre) \ venstre (\ sum _ {k = 1}^{n } \ beta _ {k} e^{\ alpha _ {k}} \ right)-\ sum _ {k = 1}^{n} \ sum _ {j = 0}^{np-1} \ beta _ {k} f_ {i}^{(j)} (\ alpha _ {k}) \\ [5pt] & =-\ sum _ {k = 1}^{n} \ sum _ {j = 0}^ {np-1} \ beta _ {k} f_ {i}^{(j)} (\ alpha _ {k}) \ end {align}}}$

I den sidste linje antog vi, at konklusionen af ​​Lemmaet er falsk. For at fuldføre beviset skal vi nå en modsætning. Vi gør det ved at estimere på to forskellige måder. ${\ displaystyle | J_ {1} \ cdots J_ {n} |}$

Først er et algebraisk heltal, der er delbart med p ! for og forsvinder for medmindre og , i hvilket tilfælde det er lig ${\ displaystyle f_ {i}^{(j)} (\ alpha _ {k})}$${\ displaystyle j \ geq p}$${\ displaystyle j <p}$${\ displaystyle j = p-1}$${\ displaystyle k = i}$

${\ displaystyle \ ell ^{np} (p-1)! \ prod _ {k \ neq i} (\ alpha _ {i}-\ alpha _ {k}) ^{p}.}$

Dette kan ikke deles med p, når p er stort nok, fordi ellers putning

${\ displaystyle \ delta _ {i} = \ prod _ {k \ neq i} (\ ell \ alpha _ {i}-\ ell \ alpha _ {k})}$

(som er en ikke-nul algebraisk heltal) og kalder produktet af dets konjugater (som stadig er ikke-nul), vil vi få at p skel , som er falsk. ${\ displaystyle d_ {i} \ in \ mathbb {Z}}$${\ displaystyle \ ell ^{p} (p-1)! d_ {i} ^{p}}$

Så er et ikke-nul algebraisk heltal delbart med ( p  -1) !. Nu ${\ displaystyle J_ {i}}$

${\ displaystyle J_ {i} =-\ sum _ {j = 0}^{np-1} \ sum _ {t = 1}^{r} c (t) \ venstre (f_ {i}^{(j )} (\ alpha _ {n_ {t-1} +1})+\ cdots+f_ {i}^{(j)} (\ alpha _ {n_ {t}}) \ højre).}$

Da hver opnås ved at dividere et fast polynom med heltalskoefficienter med , er det af formen ${\ displaystyle f_ {i} (x)}$${\ displaystyle (x- \ alpha _ {i})}$

${\ displaystyle f_ {i} (x) = \ sum _ {m = 0}^{np-1} g_ {m} (\ alpha _ {i}) x^{m},}$

hvor er et polynom (med heltalskoefficienter) uafhængigt af i . Det samme gælder for derivaterne . ${\ displaystyle g_ {m}}$${\ displaystyle f_ {i}^{(j)} (x)}$

Derfor, ved den grundlæggende sætning af symmetriske polynomier,

${\ displaystyle f_ {i}^{(j)} (\ alpha _ {n_ {t-1} +1})+\ cdots+f_ {i}^{(j)} (\ alpha _ {n_ {t }}))}$

er et fast polynom med rationelle koefficienter vurderet i (dette ses ved at gruppere de samme beføjelser til at optræde i ekspansionen og bruge det faktum, at disse algebraiske tal er et komplet sæt konjugater). Så det samme gælder , dvs. det er lig med , hvor G er et polynom med rationelle koefficienter uafhængige af i . ${\ displaystyle \ alpha _ {i}}$${\ displaystyle \ alpha _ {n_ {t-1} +1}, \ dots, \ alpha _ {n_ {t}}}$${\ displaystyle J_ {i}}$${\ displaystyle G (\ alpha _ {i})}$

Endelig er rationel (igen ved grundsætningen om symmetriske polynomier) og er et ikke-nul algebraisk heltal, der kan deles med (da 's er algebraiske heltal delelige med ). Derfor ${\ displaystyle J_ {1} \ cdots J_ {n} = G (\ alpha _ {1}) \ cdots G (\ alpha _ {n})}$${\ displaystyle (p-1)!^{n}}$${\ displaystyle J_ {i}}$${\ displaystyle (p-1)!}$

${\ displaystyle | J_ {1} \ cdots J_ {n} | \ geq (p-1)!^{n}.}$

Men man har klart:

${\ displaystyle | I_ {i} (\ alpha _ {k}) | \ leq | \ alpha _ {k} | e^{| \ alpha _ {k} |} F_ {i} (| \ alpha _ {k } |),}$

hvor F _i er polynomet, hvis koefficienter er de absolutte værdier for f _i (dette følger direkte af definitionen af ). Dermed ${\ displaystyle I_ {i} (r)}$

${\ displaystyle | J_ {i} | \ leq \ sum _ {k = 1}^{n} \ venstre | \ beta _ {k} \ alpha _ {k} \ højre | e^{| \ alpha _ {k } |} F_ {i} \ venstre (\ venstre | \ alpha _ {k} \ højre | \ højre)}$

og så ved konstruktionen af 's'erne har vi for et tilstrækkeligt stort C uafhængigt af p , hvilket modsiger den tidligere ulighed. Dette beviser Lemma A. ∎ ${\ displaystyle f_ {i}}$${\ displaystyle | J_ {1} \ cdots J_ {n} | \ leq C^{p}}$

Bevis for Lemma B: Forudsat

${\ displaystyle b (1) e^{\ gamma (1)} +\ cdots +b (n) e^{\ gamma (n)} = 0,}$

vi vil udlede en modsigelse og dermed bevise Lemma B.

Lad os vælge et polynom med heltalskoefficienter, der forsvinder på alle 's og lader være alle dets forskellige rødder. Lad b ( n  + 1) = ... =  b ( N ) = 0. ${\ displaystyle \ gamma (k)}$${\ displaystyle \ gamma (1), \ ldots, \ gamma (n), \ gamma (n+1), \ ldots, \ gamma (N)}$

Polynomet

${\ displaystyle P (x_ {1}, \ dots, x_ {N}) = \ prod _ {\ sigma \ i S_ {N}} (b (1) x _ {\ sigma (1)} +\ cdots +b (N) x _ {\ sigma (N)})}$

forsvinder ved antagelse. Eftersom produktet er symmetrisk, for eventuelle de monomialer og har samme koefficient i udvidelsen af P . ${\ displaystyle (e^{\ gamma (1)}, \ dots, e^{\ gamma (N)})}$${\ displaystyle \ tau \ i S_ {N}}$${\ displaystyle x _ {\ tau (1)}^{h_ {1}} \ cdots x _ {\ tau (N)}^{h_ {N}}}$${\ displaystyle x_ {1}^{h_ {1}} \ cdots x_ {N}^{h_ {N}}}$

Ved at ekspandere tilsvarende og gruppere udtrykkene med den samme eksponent ser vi, at de resulterende eksponenter danner et komplet sæt konjugater, og hvis to termer har konjugerede eksponenter, multipliceres de med den samme koefficient. ${\ displaystyle P (e^{\ gamma (1)}, \ dots, e^{\ gamma (N)})}$${\ displaystyle h_ {1} \ gamma (1) +\ dots +h_ {N} \ gamma (N)}$

Så vi er i situationen med Lemma A. For at nå en modsætning er det tilstrækkeligt at se, at mindst en af ​​koefficienterne er ikke-nul. Dette ses ved at udstyre C med den leksikografiske rækkefølge og ved at vælge for hver faktor i produktet udtrykket med en nulkoefficient, der har maksimal eksponent i henhold til denne rækkefølge: produktet af disse udtryk har en nulkoefficient i ekspansionen og gør ikke blive forenklet med noget andet udtryk. Dette beviser Lemma B. ∎

Sidste trin

Vi vender os nu for at bevise sætningen: Lad a (1), ..., a ( n ) være ikke-nul algebraiske tal og α (1), ..., α ( n ) adskilte algebraiske tal. Lad os derefter antage, at:

${\ displaystyle a (1) e^{\ alpha (1)} +\ cdots +a (n) e^{\ alpha (n)} = 0.}$

Vi vil vise, at dette fører til modsigelse og dermed bevise sætningen. Beviset ligner meget Lemma B, bortset fra at denne gang træffes valgene i forhold til a ( i ):

For hver i ∈ {1, ..., n } er a ( i ) algebraisk, så det er en rod til et ureducerbart polynom med heltalskoefficienter i grad d ( i ). Lad os betegne de forskellige rødder af dette polynom a ( i ) ₁ , ..., a ( i ) _{d ( i )} , med a ( i ) ₁ = a ( i ).

Lad S være funktionerne σ, der vælger et element fra hver af sekvenserne (1, ..., d (1)), (1, ..., d (2)), ..., (1, .. ., d ( n )), så for hver 1 ≤  i  ≤  n er σ ( i ) et helt tal mellem 1 og d ( i ). Vi danner polynomet i variablerne${\ displaystyle x_ {11}, \ dots, x_ {1d (1)}, \ dots, x_ {n1}, \ dots, x_ {nd (n)}, y_ {1}, \ dots, y_ {n} }$

${\ displaystyle Q (x_ {11}, \ dots, x_ {nd (n)}, y_ {1}, \ dots, y_ {n}) = \ prod \ nolimits _ {\ sigma \ i S} \ venstre ( x_ {1 \ sigma (1)} y_ {1} +\ dots +x_ {n \ sigma (n)} y_ {n} \ højre).}$

Da produktet er over alle de mulige valgfunktioner σ, er Q symmetrisk for hver i . Derfor er Q et polynom med heltalskoefficienter i elementære symmetriske polynomer af de ovennævnte variabler, for hvert i og i variablerne y _i . Hver af de sidstnævnte symmetriske polynomer er et rationelt tal, når det vurderes i . ${\ displaystyle x_ {i1}, \ dots, x_ {id (i)}}$${\ displaystyle a (i) _ {1}, \ dots, a (i) _ {d (i)}}$

Det evaluerede polynom forsvinder, fordi et af valgene bare er σ ( i ) = 1 for alle i , som den tilsvarende faktor forsvinder i henhold til vores antagelse ovenfor. Det evaluerede polynom er således en sum af formen ${\ displaystyle Q (a (1) _ {1}, \ dots, a (n) _ {d (n)}, e^{\ alpha (1)}, \ dots, e^{\ alpha (n) })}$

${\ displaystyle b (1) e^{\ beta (1)}+b (2) e^{\ beta (2)}+\ cdots+b (N) e^{\ beta (N)} = 0, }$

hvor vi allerede grupperede udtrykkene med den samme eksponent. Så i venstre side har vi forskellige værdier β (1), ..., β ( N ), som hver især stadig er algebraisk (som er en sum af algebraiske tal) og koefficienter . Summen er utrivelig: hvis den er maksimal i den leksikografiske rækkefølge, er koefficienten bare et produkt af a ( i ) _j 's (med mulige gentagelser), som er ikke-nul. ${\ displaystyle b (1), \ dots, b (N) \ in \ mathbb {Q}}$${\ displaystyle \ alpha (i)}$${\ displaystyle e^{| S | \ alpha (i)}}$

Ved at multiplicere ligningen med en passende heltalsfaktor får vi en identisk ligning bortset fra at nu er b (1), ..., b ( N ) alle heltal. Derfor kan ligheden ifølge Lemma B ikke holde, og vi føres til en modsigelse, der fuldender beviset. ∎

Bemærk, at Lemma A er tilstrækkeligt til at bevise, at e er irrationel , da vi ellers kan skrive e = p / q , hvor både p og q er heltal uden nul, men ved Lemma A ville vi have qe  -  p ≠ 0, hvilket er en modsætning. Lemma A er også tilstrækkeligt til at bevise, at π er irrationel, da vi ellers kan skrive π = k / n , hvor både k og n er heltal) og derefter ± i π er rødderne til n ² x ² + k ² = 0; således 2 - 1 - 1 = 2 e ⁰ + e ^{i π} + e ^{- i π} ≠ 0; men dette er falsk.

Tilsvarende er Lemma B tilstrækkeligt til at bevise, at e er transcendental, da Lemma B siger, at hvis et ₀ , ..., et _n er heltal, som ikke alle er nul, så

${\ displaystyle a_ {n} e^{n} +\ cdots +a_ {0} e^{0} \ neq 0.}$

Lemma B er også tilstrækkelig til at bevise, at π er transcendental, da vi ellers ville have 1 +  e ^{i π}  ≠ 0.

Ækvivalens mellem de to udsagn

Bakers formulering af sætningen indebærer klart den første formulering. Faktisk hvis er algebraiske tal, der er lineært uafhængige af , og ${\ displaystyle \ alpha (1), \ ldots, \ alpha (n)}$${\ displaystyle \ mathbb {Q}}$

${\ displaystyle P (x_ {1}, \ ldots, x_ {n}) = \ sum b_ {i_ {1}, \ ldots, i_ {n}} x_ {1}^{i_ {1}} \ cdots x_ {n}^{i_ {n}}}$

er et polynom med rationelle koefficienter, så har vi

${\ displaystyle P \ venstre (e^{\ alpha (1)}, \ dots, e^{\ alpha (n)} \ right) = \ sum b_ {i_ {1}, \ dots, i_ {n}} e^{i_ {1} \ alpha (1) +\ cdots +i_ {n} \ alpha (n)},}$

og da er algebraiske tal, som er lineært uafhængige af rationelle, er tallene algebraiske, og de er forskellige for forskellige n -tupler . Så fra Bakers formulering af teoremet får vi for alle n -par . ${\ displaystyle \ alpha (1), \ ldots, \ alpha (n)}$${\ displaystyle i_ {1} \ alpha (1) +\ cdots +i_ {n} \ alpha (n)}$${\ displaystyle (i_ {1}, \ dots, i_ {n})}$${\ displaystyle b_ {i_ {1}, \ ldots, i_ {n}} = 0}$${\ displaystyle (i_ {1}, \ dots, i_ {n})}$

Antag nu, at den første formulering af sætningen holder. For Bakers formulering er triviel, så lad os antage det , og lad være algebraiske tal uden nul og adskilte algebraiske tal, således at: ${\ displaystyle n = 1}$${\ displaystyle n> 1}$${\ displaystyle a (1), \ ldots, a (n)}$${\ displaystyle \ alpha (1), \ ldots, \ alpha (n)}$

${\ displaystyle a (1) e^{\ alpha (1)} +\ cdots +a (n) e^{\ alpha (n)} = 0.}$

Som det ses i det foregående afsnit, og med den samme notation brugt der, værdien af ​​polynomet

${\ displaystyle Q (x_ {11}, \ ldots, x_ {nd (n)}, y_ {1}, \ dots, y_ {n}) = \ prod \ nolimits _ {\ sigma \ i S} \ venstre ( x_ {1 \ sigma (1)} y_ {1} +\ dots +x_ {n \ sigma (n)} y_ {n} \ højre),}$

på

${\ displaystyle \ left (a (1) _ {1}, \ ldots, a (n) _ {d (n)}, e^{\ alpha (1)}, \ ldots, e^{\ alpha (n )}\ret)}$

har et udtryk for formen

${\ displaystyle b (1) e^{\ beta (1)}+b (2) e^{\ beta (2)}+\ cdots+b (M) e^{\ beta (M)} = 0, }$

hvor vi har grupperet eksponentialerne med den samme eksponent. Her, som vist ovenfor, er rationelle tal, ikke alle lig med nul, og hver eksponent er en lineær kombination af med heltalskoefficienter. Da, og er parvis adskilte, er -vektorunderrummet af genereret af ikke trivielt, og vi kan vælge at danne et grundlag for For hver har vi ${\ displaystyle b (1), \ ldots, b (M)}$${\ displaystyle \ beta (m)}$${\ displaystyle \ alpha (i)}$${\ displaystyle n> 1}$${\ displaystyle \ alpha (1), \ ldots, \ alpha (n)}$${\ displaystyle \ mathbb {Q}}$${\ displaystyle V}$${\ displaystyle \ mathbb {C}}$${\ displaystyle \ alpha (1), \ ldots, \ alpha (n)}$${\ displaystyle \ alpha (i_ {1}), \ ldots, \ alpha (i_ {k})}$${\ displaystyle V.}$${\ displaystyle m = 1, \ prikker, M}$

${\ displaystyle {\ begin {align} \ beta (m) = q_ {m, 1} \ alpha (i_ {1}) +\ cdots +q_ {m, k} \ alpha (i_ {k}), && q_ { m, j} = {\ frac {c_ {m, j}} {d_ {m, j}}}; \ qquad c_ {m, j}, d_ {m, j} \ in \ mathbb {Z}. \ slut {align}}}$

For hver lad være det mindst fælles multiplum af alle de for , og put . Så er algebraiske tal, de danner grundlag for , og hver er en lineær kombination af de med heltals koefficienter. Ved at gange forholdet ${\ displaystyle j = 1, \ ldots, k,}$${\ displaystyle d_ {j}}$${\ displaystyle d_ {m, j}}$${\ displaystyle m = 1, \ ldots, M}$${\ displaystyle v_ {j} = {\ tfrac {1} {d_ {j}}} \ alpha (i_ {j})}$${\ displaystyle v_ {1}, \ ldots, v_ {k}}$${\ displaystyle V}$${\ displaystyle \ beta (m)}$${\ displaystyle v_ {j}}$

${\ displaystyle b (1) e^{\ beta (1)}+b (2) e^{\ beta (2)}+\ cdots+b (M) e^{\ beta (M)} = 0, }$

ved , hvor er et stort nok positivt heltal, får vi et ikke-trivielt algebraisk forhold med rationelle koefficienter, der forbinder , mod sætningens første formulering. ${\ displaystyle e^{N (v_ {1} +\ cdots +v_ {k})}}$${\ displaystyle N}$${\ displaystyle e^{v_ {1}}, \ cdots, e^{v_ {k}}}$

Se også

• Gelfond -Schneider sætning
• Baker's sætning ; en forlængelse af Gelfond -Schneider sætning
• Schanuels formodning ; hvis det bevises, ville det indebære både Gelfond – Schneider -sætningen og Lindemann – Weierstrass -sætningen

Noter

Referencer

• Gordan, P. (1893), "Transcendenz von e und π ." , Mathematische Annalen , 43 : 222–224, doi : 10.1007/bf01443647 , S2CID  123203471
• Hermite, C. (1873), "Sur la fonction exponentielle." , Comptes rendus de l'Académie des Sciences de Paris , 77 : 18–24
• Hermite, C. (1874), Sur la fonction exponentielle. , Paris: Gauthier-Villars
• Hilbert, D. (1893), "Ueber die Transcendenz der Zahlen e und π ." , Mathematische Annalen , 43 : 216–219, doi : 10.1007/bf01443645 , S2CID  179177945 , arkiveret fra originalen 2017-10-06 , hentet 2018-12-24
• Lindemann, F. (1882), "Über die Ludolph'sche Zahl." , Sitzungsberichte der Königlich Preussischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin , 2 : 679–682
• Lindemann, F. (1882), "Über die Zahl π ." , Mathematische Annalen , 20 : 213–225, doi : 10.1007/bf01446522 , S2CID  120469397 , arkiveret fra originalen 2017-10-06 , hentet 2018-12-24
• Weierstrass, K. (1885), "Zu Lindemanns Abhandlung." Über die Ludolph'sche Zahl "." , Sitzungsberichte der Königlich Preussischen Akademie der Wissen-schaften zu Berlin , 5 : 1067–1085

Yderligere læsning

• Baker, Alan (1990), Transcendental talteori , Cambridge Mathematical Library (2. udgave), Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-39791-9, MR  0422171
• Bertrand, D. (1997), "Theta -funktioner og transcendens", The Ramanujan Journal , 1 (4): 339–350, doi : 10.1023/A: 1009749608672 , S2CID  118628723
• Gelfond, AO (2015) [1960], Transcendental and Algebraic Numbers , Dover Books on Mathematics, oversat af Boron, Leo F. , New York: Dover Publications , ISBN 978-0-486-49526-2, MR  0057921
• Jacobson, Nathan (2009) [1985], Basic Algebra , I (2. udgave), Dover Publications , ISBN 978-0-486-47189-1

eksterne links

• Weisstein, Eric W. "Hermite-Lindemann Theorem" . MathWorld .
• Weisstein, Eric W. "Lindemann-Weierstrass Theorem" . MathWorld .