Eksponentiel vækst - Exponential growth

Grafen illustrerer, hvordan eksponentiel vækst (grøn) overgår både lineær (rød) og kubisk (blå) vækst.

  Eksponentiel vækst

  Kubisk vækst

  Lineær vækst

Eksponentiel vækst er en proces, der øger mængden over tid. Det sker, når den øjeblikkelige ændringshastighed (det vil sige derivatet ) af en mængde i forhold til tiden er proportional med selve mængden. Beskrivet som en funktion er en mængde, der undergår eksponentiel vækst, en eksponentiel tidsfunktion , det vil sige, at variablen, der repræsenterer tid, er eksponenten (i modsætning til andre former for vækst, såsom kvadratisk vækst ).

Hvis proportionalitetskonstanten er negativ, falder mængden over tid og siges i stedet at være under eksponentiel henfald . I tilfælde af et diskret domæne af definition med lige store intervaller, er det også kaldes geometrisk vækst eller geometrisk henfald siden funktionsværdierne danner en geometrisk progression .

Formlen for eksponentiel vækst af en variabel x ved vækstraten r , som tiden t foregår i diskrete intervaller (det vil sige ved heltal 0, 1, 2, 3, ...), er

${\ displaystyle x_ {t} = x_ {0} (1+r)^{t}}$

hvor x ₀ er værdien af x ved tid 0. Væksten af en bakteriel koloni anvendes ofte til at illustrere den. En bakterie deler sig i to, som hver deler sig og resulterer i fire, derefter otte, 16, 32 osv. Stigningshastigheden bliver ved med at stige, fordi den er proportional med det stadigt stigende antal bakterier. Vækst som denne ses i virkeligheden eller fænomener i virkeligheden, såsom spredning af virusinfektion, vækst i gæld på grund af sammensatte renter og spredning af virale videoer . I virkelige tilfælde varer den indledende eksponentielle vækst ofte ikke for evigt, i stedet for at bremse til sidst på grund af øvre grænser forårsaget af eksterne faktorer og blive til logistisk vækst .

Udtryk som 'eksponentiel vækst' tolkes undertiden forkert som 'hurtig vækst'. Noget, der vokser eksponentielt, kan faktisk vokse langsomt.

Eksempler

Bakterier udviser eksponentiel vækst under optimale forhold.

Biologi

• Antallet af mikroorganismer i en kultur vil stige eksponentielt, indtil et essentielt næringsstof er opbrugt. Typisk deler den første organisme sig i to datterorganismer, som derefter hver deler sig for at danne fire, som deler sig for at danne otte og så videre. Fordi eksponentiel vækst indikerer konstant væksthastighed, antages det ofte, at eksponentielt voksende celler er i en steady-state. Imidlertid kan celler vokse eksponentielt med en konstant hastighed, mens de ombygger deres metabolisme og genekspression.
• En virus (f.eks. COVID-19 eller kopper ) vil typisk spredes eksponentielt i starten, hvis der ikke er nogen kunstig immunisering tilgængelig. Hver inficeret person kan inficere flere nye mennesker.

Fysik

• Lavineopdeling i et dielektrisk materiale. En fri elektron bliver tilstrækkeligt accelereret af et eksternt påført elektrisk felt til, at den frigør yderligere elektroner, når den kolliderer med atomer eller molekyler i de dielektriske medier. Disse sekundære elektroner accelereres også, hvilket skaber et større antal frie elektroner. Den resulterende eksponentielle vækst af elektroner og ioner kan hurtigt føre til fuldstændig dielektrisk nedbrydning af materialet.
• Atomkædereaktion (konceptet bag atomreaktorer og atomvåben ). Hver urankerne , der gennemgår fission, producerer flere neutroner , som hver især kan absorberes af tilstødende uranatomer, hvilket får dem til at fissione igen. Hvis sandsynligheden for neutronabsorbering overstiger sandsynligheden for neutronudslip (en funktion af uranets form og masse ), stiger produktionshastigheden for neutroner og inducerede uranfissioner eksponentielt i en ukontrolleret reaktion. "På grund af den eksponentielle stigningshastighed vil 99% af energien på et hvilket som helst tidspunkt i kædereaktionen være frigivet i de sidste 4,6 generationer. Det er en rimelig tilnærmelse at tænke på de første 53 generationer som en latensperiode op til selve eksplosionen, der kun tager 3-4 generationer. "
• Positiv feedback inden for det lineære område af elektrisk eller elektroakustisk forstærkning kan resultere i den eksponentielle vækst af det forstærkede signal, selvom resonanseffekter kan favorisere nogle komponentfrekvenser af signalet frem for andre.

Økonomi

• Økonomisk vækst udtrykkes i procent, hvilket indebærer eksponentiel vækst.

Finansiere

• Sammensat rente til en konstant rente giver eksponentiel vækst af kapitalen. Se også regel 72 .
• Pyramidespil eller Ponzi -ordninger viser også denne form for vækst, hvilket resulterer i høj fortjeneste for et par indledende investorer og tab blandt et stort antal investorer.

Computer videnskab

• Processorkraft på computere. Se også Moores lov og teknologiske singularitet . (Under eksponentiel vækst er der ingen singulariteter. Singulariteten her er en metafor, der skal formidle en ufattelig fremtid. Koblingen af ​​dette hypotetiske begreb til eksponentiel vækst er mest vokalt fremstillet af futuristen Ray Kurzweil .)
• I beregningskompleksitetsteori kræver computeralgoritmer med eksponentiel kompleksitet en eksponentielt stigende mængde ressourcer (f.eks. Tid, computerhukommelse) for kun en konstant stigning i problemstørrelse. Så for en algoritme med tidskompleksitet 2 ^x , hvis et problem med størrelse x = 10 kræver 10 sekunder at fuldføre, og et problem med størrelse x = 11 kræver 20 sekunder, vil et problem med størrelse x = 12 kræve 40 sekunder. Denne form for algoritme bliver typisk ubrugelig ved meget små problemstørrelser, ofte mellem 30 og 100 elementer (de fleste computeralgoritmer skal kunne løse meget større problemer, op til titusinder eller endda millioner af elementer i rimelige tider, noget der ville være fysisk umulig med en eksponentiel algoritme). Effekterne af Moores lov hjælper heller ikke situationen meget, fordi fordobling af processorhastighed kun giver dig mulighed for at øge problemstørrelsen med en konstant. F.eks. Hvis en langsom processor kan løse problemer med størrelse x i tiden t , så kunne en processor dobbelt så hurtigt kun løse problemer med størrelse x + konstant på samme tid t . Så eksponentielt komplekse algoritmer er oftest upraktiske, og søgen efter mere effektive algoritmer er et af de centrale mål for datalogi i dag.

Internetfænomener

• Internetindhold, såsom internet -memes eller videoer , kan spredes eksponentielt, ofte sagt " gå viralt " som en analogi til spredning af vira. Med medier som sociale netværk kan en person videresende det samme indhold til mange mennesker samtidigt, som derefter spreder det til endnu flere mennesker og så videre, hvilket forårsager hurtig spredning. For eksempel blev videoen Gangnam Style uploadet til YouTube den 15. juli 2012 og nåede hundredtusindvis af seere på den første dag, millioner på den tyvende dag, og blev kumulativt set af hundredvis af millioner på mindre end to måneder.

Grundlæggende formel

eksponentiel vækst:
${\ displaystyle {\ begin {align} a & = 3 \\ b & = 2 \\ r & = 5 \ end {align}}}$

eksponentiel vækst:
${\ displaystyle {\ begin {align} a & = 24 \\ b & = {\ frac {1} {2}} \\ r & = 5 \ end {align}}}$

En mængde x afhænger eksponentielt af tiden t if

${\ displaystyle x (t) = a \ cdot b^{t/\ tau}}$

hvor konstanten a er startværdien af x ,

${\ displaystyle x (0) = a \ ,,}$

konstant b er en positiv vækstfaktor, og τ er tidskonstanten - den tid, det tager for x at stige med en faktor b :

${\ displaystyle x (t+\ tau) = a \ cdot b^{\ frac {t+\ tau} {\ tau}} = a \ cdot b^{\ frac {t} {\ tau}} \ cdot b^{ \ frac {\ tau} {\ tau}} = x (t) \ cdot b \ ,.}$

Hvis τ > 0 og b > 1 , så har x eksponentiel vækst. Hvis τ <0 og b > 1 , eller τ > 0 og 0 < b <1 , så x har eksponentielt henfald .

Eksempel: Hvis en bakterieart fordobles hvert tiende minut, startende med kun en bakterie, hvor mange bakterier ville der være til stede efter en time? Spørgsmålet indebærer a  = 1, b  = 2 og τ  = 10 min.

${\ displaystyle x (t) = a \ cdot b^{t/\ tau} = 1 \ cdot 2^{(60 {\ text {min}})/(10 {\ text {min}})}}}$

${\ displaystyle x (1 {\ text {hr}}) = 1 \ cdot 2^{6} = 64.}$

Efter en time eller seks ti-minutters intervaller ville der være fireogtres bakterier.

Mange par ( b ,  τ ) af et dimensionsløst ikke-negativt tal b og et tidsrum τ (en fysisk mængde, der kan udtrykkes som produktet af et antal enheder og en tidsenhed) repræsenterer den samme vækstrate, med τ proportional med log  b . For enhver fast b, der ikke er lig med 1 (f.eks. E eller 2), er vækstraten givet ved ikke-nul-tiden τ . For enhver tid uden nul τ er vækstraten givet ved det dimensionsløse positive tal  b .

Således kan loven om eksponentiel vækst skrives i forskellige, men matematisk ækvivalente former, ved at bruge en anden base . De mest almindelige former er følgende:

${\ displaystyle x (t) = x_ {0} \ cdot e^{kt} = x_ {0} \ cdot e^{t/\ tau} = x_ {0} \ cdot 2^{t/T} = x_ {0} \ cdot \ venstre (1+{\ frac {r} {100}} \ højre)^{t/p},}$

hvor x ₀ udtrykker den oprindelige mængde x (0).

Parametre (negative i tilfælde af eksponentielt henfald):

• Den vækst konstant k er frekvensen (antal gange per tidsenhed) af vokser med en faktor e ; i finansiering kaldes det også det logaritmiske afkast, kontinuerligt sammensat afkast eller interessekraft .
• Den e-folde tid τ er den tid det tager at vokse med en faktor e .
• Den fordoblingstid T er den tid det tager at fordoble.
• Den procentvise stigning r (et dimensionsløst tal) i en periode s .

Størrelserne k , τ og T , og for en given p også r , har en en-til-en forbindelse givet ved følgende ligning (som kan udledes ved at tage den naturlige logaritme af ovenstående):

${\ displaystyle k = {\ frac {1} {\ tau}} = {\ frac {\ ln 2} {T}} = {\ frac {\ ln \ venstre (1+{\ frac {r} {100} } \ højre)} {p}}}$

hvor k = 0 svarer til r = 0 og til τ og T er uendelig.

Hvis p er tidsenheden, er kvotienten t / p simpelthen antallet af tidsenheder. Ved at bruge notationen t for det (dimensionsløse) antal tidsenheder frem for selve tiden kan t / p erstattes af t , men for ensartethed er dette undgået her. I dette tilfælde er divisionen med p i den sidste formel heller ikke en numerisk division, men konverterer et dimensionsløst tal til den korrekte mængde inklusive enhed.

En populær tilnærmet metode til beregning af fordoblingstiden ud fra vækstraten er reglen om 70 , det vil sige ,. ${\ displaystyle T \ simeq 70/r}$

Grafer, der sammenligner fordoblingstider og halveringstider for eksponentielle vækster (fed skrift) og henfald (svage linjer), og deres 70/ t og 72/ t tilnærmelser. I SVG -versionen skal du holde markøren over en graf for at markere den og dens komplement.

Reformulering som log-lineær vækst

Hvis en variabel x udviser eksponentiel vækst i henhold til , vokser log (til en hvilken som helst base) af x lineært over tid, som det kan ses ved at tage logaritmer på begge sider af den eksponentielle vækstligning: ${\ displaystyle x (t) = x_ {0} (1+r)^{t}}$

${\ displaystyle \ log x (t) = \ log x_ {0}+t \ cdot \ log (1+r).}$

Dette gør det muligt at modellere en eksponentielt voksende variabel med en log-lineær model . For eksempel, hvis man ønsker at empirisk estimere vækstraten fra intertemporale data på x , kan man lineært regressere log x på t .

Differentialligning

Den eksponentielle funktion opfylder den lineære differentialligning : ${\ displaystyle x (t) = x (0) e^{kt}}$

${\ displaystyle {\ frac {dx} {dt}} = kx}$

siger, at ændringen pr. øjebliks tid af x på tidspunktet t er proportional med værdien af x ( t ), og x ( t ) har den oprindelige værdi . ${\ displaystyle x (0)}$

Differentialligningen løses ved direkte integration:

${\ displaystyle {\ begin {align} {\ frac {dx} {dt}} & = kx \\ [5pt] {\ frac {dx} {x}} & = k \, dt \\ [5pt] \ int _ {x (0)}^{x (t)} {\ frac {dx} {x}} & = k \ int _ {0}^{t} \, dt \\ [5pt] \ ln {\ frac {x (t)} {x (0)}} & = kt. \ end {align}}}$

så det

${\ displaystyle x (t) = x (0) e^{kt}}$

I ovenstående differentialligning, hvis k <0 , så oplever mængden eksponentielt henfald .

For en ikke -lineær variation af denne vækstmodel se logistisk funktion .

Andre vækstrater

På sigt vil eksponentiel vækst af enhver art overhale lineær vækst af enhver art (det er grundlaget for den malthusiske katastrofe ) samt enhver polynomvækst , det vil sige for alle α:

${\ displaystyle \ lim _ {t \ rightarrow \ infty} {t^{\ alpha} \ over ae^{t}} = 0.}$

Der er et helt hierarki af tænkelige vækstrater, der er langsommere end eksponentielle og hurtigere end lineære (i det lange løb). Se Grad af et polynom § Beregnet ud fra funktionsværdierne .

Vækstraterne kan også være hurtigere end eksponentielle. I det mest ekstreme tilfælde, når væksten stiger uden begrænsning i begrænset tid, kaldes det hyperbolsk vækst . Mellem eksponentiel og hyperbolsk vækst ligger flere klasser af vækstadfærd, ligesom hyperoperationer, der begynder ved tetration , og diagonal af Ackermann -funktionen . ${\ displaystyle A (n, n)}$

Logistisk vækst

Den J-formede eksponentielle vækst (venstre, blå) og den S-formede logistiske vækst (højre, rød).

I virkeligheden opretholdes den indledende eksponentielle vækst ofte ikke for evigt. Efter en periode vil det blive bremset af eksterne eller miljømæssige faktorer. For eksempel kan befolkningstilvæksten nå en øvre grænse på grund af ressourcebegrænsninger. I 1845 foreslog den belgiske matematiker Pierre François Verhulst først en matematisk model for vækst som denne, kaldet " logistisk vækst ".

Begrænsninger af modeller

Eksponentielle vækstmodeller for fysiske fænomener gælder kun inden for begrænsede regioner, da ubegrænset vækst ikke er fysisk realistisk. Selvom vækst i første omgang kan være eksponentiel, vil de modellerede fænomener i sidste ende komme ind i et område, hvor tidligere ignorerede negative feedbackfaktorer bliver betydelige (hvilket fører til en logistisk vækstmodel ) eller andre underliggende antagelser i den eksponentielle vækstmodel, såsom kontinuitet eller øjeblikkelig feedback, pause ned.

Eksponentiel vækstbias

Undersøgelser viser, at mennesker har svært ved at forstå eksponentiel vækst. Eksponentiel vækstbias er tendensen til at undervurdere sammensatte vækstprocesser. Denne bias kan også have økonomiske konsekvenser.

Nedenfor er nogle historier, der understreger denne bias.

Ris på et skakbræt

Ifølge en gammel legende overrakte vizier Sissa Ben Dahir en indisk konge Sharim et smukt håndlavet skakbræt . Kongen spurgte, hvad han gerne ville have til gengæld for sin gave, og hofmanden overraskede kongen ved at bede om et riskorn på den første firkant, to korn på den anden, fire korn på den tredje osv. Kongen var let enig og spurgte for at risen skal bringes. Alt gik godt i starten, men kravet om 2 ^{n −1} korn på den n th square krævede over en million korn på den 21. plads, mere end en million millioner ( aka billioner ) på den 41. og der var simpelthen ikke nok ris i hele verden til de sidste firkanter. (Fra Swirski, 2006)

Den anden halvdel af skakbrættet er den tid, hvor en eksponentielt voksende indflydelse har en betydelig økonomisk indvirkning på en organisations overordnede forretningsstrategi.

Åkande

Franske børn tilbydes en gåde, som ser ud til at være et aspekt af eksponentiel vækst: "den tilsyneladende pludselige, hvormed en eksponentielt voksende mængde nærmer sig en fast grænse". Gåden forestiller sig en åkandeplante, der vokser i en dam. Planten fordobles i størrelse hver dag, og hvis den efterlades alene, vil den kvæle dammen på 30 dage og dræbe alle de andre levende ting i vandet. Dag efter dag er plantens vækst lille, så det er besluttet, at det ikke vil være et problem, før det dækker halvdelen af ​​dammen. Hvilken dag bliver det? Den 29. dag, kun en dag tilbage for at redde dammen.

Se også

Referencer

Kilder

• Enge, Donella. Randers, Jorgen. Eng, Dennis. Grænserne for vækst : Den 30-årige opdatering. Chelsea Green Publishing, 2004. ISBN  9781603581554
• Meadows, Donella H., Dennis L. Meadows, Jørgen Randers og William W. Behrens III. (1972) Grænserne for vækst . New York: University Books. ISBN  0-87663-165-0
• Porritt, J. Kapitalisme som om verden betyder noget , Earthscan 2005. ISBN  1-84407-192-8
• Swirski, Peter. Om litteratur og viden: Udforskninger i narrative tankeeksperimenter, evolution og spilteori . New York: Routledge. ISBN  0-415-42060-1
• Thomson, David G. Blueprint til en milliard: 7 Essentials for at opnå eksponentiel vækst , Wiley dec 2005, ISBN  0-471-74747-5
• Tsirel, SV 2004. Om de mulige årsager til jordpopulationens hyperexponentielle vækst . Matematisk modellering af social og økonomisk dynamik / Ed. af MG Dmitriev og AP Petrov, s. 367–9. Moskva: Russian State Social University, 2004.

eksterne links

• Vækst i en endelig verden - Bæredygtighed og eksponentiel funktion - præsentation
• Dr. Albert Bartlett: Aritmetik, befolkning og energi - streaming af video og lyd 58 min