Liste over inertimomenter - List of moments of inertia

Inertimoment , betegnet med $I$ , måler det omfang, i hvilket et objekt modstår rotationsacceleration omkring en bestemt akse , og er den rotationsanaloge til masse (som bestemmer objektets modstand mod lineær acceleration ). Massetrinmomenter har enheder af dimensionen ML² ([masse] × [længde]² ). Det skal ikke forveksles med det andet arealmoment , der bruges i stråleberegninger. Inertimassemomentet er ofte også kendt som rotationsinerti og undertiden som vinkelmassen .

For enkle objekter med geometrisk symmetri kan man ofte bestemme inertimomentet i et nøjagtigt lukket udtryk . Typisk sker dette, når massetætheden er konstant, men i nogle tilfælde kan densiteten også variere i hele objektet. Generelt er det måske ikke ligetil at symbolsk udtrykke inertimomentet for former med mere komplicerede massefordelinger og mangler symmetri. Ved beregning af inertimomenter er det nyttigt at huske, at det er en additivfunktion og udnytter sætningerne til den parallelle akse og den vinkelrette akse .

Denne artikel overvejer hovedsageligt symmetriske massefordelinger med konstant tæthed i hele objektet, og rotationsaksen anses for at være gennem centrum af massen, medmindre andet er angivet.

Inerti-øjeblikke

Følgende er skalære øjeblikke af inerti. Generelt er inertimomentet en tensor , se nedenfor.

Beskrivelse	Figur	Inertimoment (er)
Peg massen M i en afstand r fra rotationsaksen. En punktmasse har ikke et inertimoment omkring sin egen akse, men ved hjælp af parallelakse sætningen opnås et inertimoment omkring en fjern rotationsakse.		${\ displaystyle I = Mr ^ {2}}$
To punktmasser, m ₁ og m ₂ , med reduceret masse μ og adskilt af en afstand x , omkring en akse, der passerer gennem systemets massecenter og vinkelret på linjen, der forbinder de to partikler.		${\ displaystyle I = {\ frac {m_ {1} m_ {2}} {m_ {1} \! + \! m_ {2}}} x ^ {2} = \ mu x ^ {2}}$
Tynd stang med længde L og masse m , vinkelret på rotationsaksen, roterende omkring dens centrum. Dette udtryk antager, at stangen er en uendeligt tynd (men stiv) ledning. Dette er et specielt tilfælde af den tynde rektangulære plade med rotationsakse i midten af pladen, med w = L og h = 0.		${\ displaystyle I _ {\ mathrm {center}} = {\ frac {1} {12}} ml ^ {2} \, \!}$
Tynd stang med længde L og masse m , vinkelret på rotationsaksen, roterende omkring den ene ende. Dette udtryk antager, at stangen er en uendeligt tynd (men stiv) ledning. Dette er også et specielt tilfælde af den tynde rektangulære plade med rotationsakse i slutningen af pladen, med h = L og w = 0.		${\ displaystyle I _ {\ mathrm {end}} = {\ frac {1} {3}} ml ^ {2} \, \!}$
Tynd cirkulær sløjfe med radius r og masse m . Dette er et specielt tilfælde af en torus for a = 0 (se nedenfor) såvel som af et tyktvægget cylindrisk rør med åbne ender, med r ₁ = r ₂ og h = 0.		${\ displaystyle I_ {z} = mr ^ {2} \!}$ ${\ displaystyle I_ {x} = I_ {y} = {\ frac {1} {2}} mr ^ {2} \, \!}$
Tynd, solid skive med radius r og masse m . Dette er et specielt tilfælde af den solide cylinder med h = 0. Det er en konsekvens af sætningen til den lodrette akse . ${\ displaystyle I_ {x} = I_ {y} = {\ frac {I_ {z}} {2}} \,}$		${\ displaystyle I_ {z} = {\ frac {1} {2}} mr ^ {2} \, \!}$ ${\ displaystyle I_ {x} = I_ {y} = {\ frac {1} {4}} mr ^ {2} \, \!}$
En ensartet ringramme (skive med et koncentrisk hul) med masse m , indre radius r ₁ og ydre radius r ₂		${\ displaystyle I = {\ frac {1} {2}} m (r_ {1} ^ {2} + r_ {2} ^ {2})}$
En ringramme med en konstant arealdensitet ${\ displaystyle \ rho _ {A}}$		${\ displaystyle I = {\ frac {1} {2}} \ pi \ rho _ {A} (r_ {2} ^ {4} -r_ {1} ^ {4})}$
Tynd cylindrisk skal med åbne ender, med radius r og masse m . Dette udtryk antager, at skaltykkelsen er ubetydelig. Det er et specielt tilfælde af det tyktvæggede cylindriske rør til r ₁ = r ₂ . Også en punktmasse m i slutningen af en stang med længden r har det samme inertimoment, og værdien r kaldes gyrationsradius .		${\ displaystyle I \ approx mr ^ {2} \, \!}$
Massiv cylinder med radius r , højde h og masse m . Dette er et specielt tilfælde af det tyktvæggede cylindriske rør med r ₁ = 0.		${\ displaystyle I_ {z} = {\ frac {1} {2}} mr ^ {2} \, \!}$ ${\ displaystyle I_ {x} = I_ {y} = {\ frac {1} {12}} m \ left (3r ^ {2} + h ^ {2} \ right)}$
Tyktvægget cylindrisk rør med åbne ender, med indre radius r ₁ , ydre radius r ₂ , længde h og masse m .		${\ displaystyle I_ {z} = {\ frac {1} {2}} m \ left (r_ {2} ^ {2} + r_ {1} ^ {2} \ right) = mr_ {2} ^ {2 } \ left (1-t + {\ frac {t ^ {2}} {2}} \ right)}$ hvor t = ( r ₂ - r ₁ ) / r ₂ er en normaliseret tykkelsesforhold; Ovenstående formel er for xy-planet i midten af cylinderen. Hvis xy-planet er ved bunden af cylinderen, gælder følgende formel: ${\ displaystyle I_ {x} = I_ {y} = {\ frac {1} {12}} m \ left (3 \ left (r_ {2} ^ {2} + r_ {1} ^ {2} \ right ) + h ^ {2} \ right)}$ ${\ displaystyle I_ {x} = I_ {y} = {\ frac {1} {12}} m \ left (3 \ left (r_ {2} ^ {2} + r_ {1} ^ {2} \ right ) + 4 timer ^ {2} \ højre)}$
Med en tæthed på ρ og samme geometri Bemærk: dette er for et objekt med en konstant tæthed		${\ displaystyle I_ {z} = {\ frac {\ pi \ rho h} {2}} \ left (r_ {2} ^ {4} -r_ {1} ^ {4} \ right)}$ ${\ displaystyle I_ {x} = I_ {y} = {\ frac {\ pi \ rho h} {12}} \ left (3 (r_ {2} ^ {4} -r_ {1} ^ {4}) + h ^ {2} (r_ {2} ^ {2} -r_ {1} ^ {2}) \ højre)}$
Regelmæssig tetraeder af side s og masse m		${\ displaystyle I _ {\ mathrm {solid}} = {\ frac {1} {20}} ms ^ {2} \, \!}$ ${\ displaystyle I _ {\ mathrm {hule}} = {\ frac {1} {12}} ms ^ {2} \, \!}$
Regelmæssig oktaeder af side s og masse m		${\ displaystyle I_ {x, \ mathrm {hule}} = I_ {y, \ mathrm {hule}} = I_ {z, \ mathrm {hule}} = {\ frac {1} {6}} ms ^ {2 } \, \!}$ ${\ displaystyle I_ {x, \ mathrm {solid}} = I_ {y, \ mathrm {solid}} = I_ {z, \ mathrm {solid}} = {\ frac {1} {10}} ms ^ {2 } \, \!}$
Regelmæssig dodecahedron af side s og masse m		${\ displaystyle I_ {x, \ mathrm {hule}} = I_ {y, \ mathrm {hule}} = I_ {z, \ mathrm {hule}} = {\ frac {39 \ phi +28} {90}} ms ^ {2}}$ ${\ displaystyle I_ {x, \ mathrm {solid}} = I_ {y, \ mathrm {solid}} = I_ {z, \ mathrm {solid}} = {\ frac {39 \ phi +28} {150}} ms ^ {2} \, \!}$ (hvor ) ${\ displaystyle \ phi = {\ frac {1 + {\ sqrt {5}}} {2}}}$
Regelmæssig icosahedron af side s og masse m		${\ displaystyle I_ {x, \ mathrm {hule}} = I_ {y, \ mathrm {hule}} = I_ {z, \ mathrm {hule}} = {\ frac {\ phi ^ {2}} {6} } ms ^ {2}}$ ${\ displaystyle I_ {x, \ mathrm {solid}} = I_ {y, \ mathrm {solid}} = I_ {z, \ mathrm {solid}} = {\ frac {\ phi ^ {2}} {10} } ms ^ {2} \, \!}$
Hul kugle med radius r og masse m .		${\ displaystyle I = {\ frac {2} {3}} mr ^ {2} \, \!}$
Solid kugle (kugle) med radius r og masse m .		${\ displaystyle I = {\ frac {2} {5}} mr ^ {2} \, \!}$
Kugle (skal) med radius r ₂ og masse m med centreret sfærisk hulrum med radius r ₁ . Når hulrumsradien r ₁ = 0, er objektet en solid kugle (over). Når r ₁ = r ₂ , og objektet er en hul kugle. ${\ displaystyle \ left ({\ frac {r_ {2} ^ {5} -r_ {1} ^ {5}} {r_ {2} ^ {3} -r_ {1} ^ {3}}} \ højre ) = {\ frac {5} {3}} r_ {2} ^ {2}}$		${\ displaystyle I = {\ frac {2} {5}} m \ left ({\ frac {r_ {2} ^ {5} -r_ {1} ^ {5}} {r_ {2} ^ {3} -r_ {1} ^ {3}}} \ højre) \, \!}$
Højre cirkulær kegle med radius r , højde h og masse m		${\ displaystyle I_ {z} = {\ frac {3} {10}} mr ^ {2} \, \!}$ Om en akse, der passerer gennem spidsen: Om en akse, der passerer gennem basen: Om en akse, der passerer gennem centrum af massen: ${\ displaystyle I_ {x} = I_ {y} = m \ left ({\ frac {3} {20}} r ^ {2} + {\ frac {3} {5}} h ^ {2} \ right ) \, \!}$ ${\ displaystyle I_ {x} = I_ {y} = m \ left ({\ frac {3} {20}} r ^ {2} + {\ frac {1} {10}} h ^ {2} \ right ) \, \!}$ ${\ displaystyle I_ {x} = I_ {y} = m \ left ({\ frac {3} {20}} r ^ {2} + {\ frac {3} {80}} h ^ {2} \ right ) \, \!}$
Højre cirkulære hule kegle med radius r , højde h og masse m		${\ displaystyle I_ {z} = {\ frac {1} {2}} mr ^ {2} \, \!}$ ${\ displaystyle I_ {x} = I_ {y} = {\ frac {1} {4}} m \ left (r ^ {2} + 2h ^ {2} \ right) \, \!}$
Torus med mindre radius a , større radius b og masse m .		Omkring en akse, der passerer gennem midten og vinkelret på diameteren: Omkring en diameter: ${\ displaystyle {\ frac {1} {4}} m \ left (4b ^ {2} + 3a ^ {2} \ right)}$ ${\ displaystyle {\ frac {1} {8}} m \ left (5a ^ {2} + 4b ^ {2} \ right)}$
Ellipsoid (fast) af halvakser a , b og c med masse m		${\ displaystyle I_ {a} = {\ frac {1} {5}} m \ left (b ^ {2} + c ^ {2} \ right) \, \!}$ ${\ displaystyle I_ {b} = {\ frac {1} {5}} m \ left (a ^ {2} + c ^ {2} \ right) \, \!}$ ${\ displaystyle I_ {c} = {\ frac {1} {5}} m \ left (a ^ {2} + b ^ {2} \ right) \, \!}$
Tynd rektangulær plade med højde h , bredde w og masse m (rotationsakse i slutningen af pladen)		${\ displaystyle I_ {e} = {\ frac {1} {12}} m \ left (4h ^ {2} + w ^ {2} \ right) \, \!}$
Tynd rektangulær plade med højde h , bredde w og masse m (rotationsakse i midten)		${\ displaystyle I_ {c} = {\ frac {1} {12}} m \ left (h ^ {2} + w ^ {2} \ right) \, \!}$
Tynd rektangulær plade med radius r og masse m (Rotationsakse langs en side af pladen)		${\ displaystyle I = {\ frac {1} {3}} mr ^ {2}}$
Massiv kuboid med højde h , bredde w og dybde d og masse m . For en lignende orienteret terning med længdesider , ${\ displaystyle s}$ ${\ displaystyle I _ {\ mathrm {CM}} = {\ frac {1} {6}} ms ^ {2} \, \!}$		${\ displaystyle I_ {h} = {\ frac {1} {12}} m \ left (w ^ {2} + d ^ {2} \ right)}$ ${\ displaystyle I_ {w} = {\ frac {1} {12}} m \ left (d ^ {2} + h ^ {2} \ right)}$ ${\ displaystyle I_ {d} = {\ frac {1} {12}} m \ left (w ^ {2} + h ^ {2} \ right)}$
Massiv kuboid med højde D , bredde W og længde L og masse m , roterende omkring den længste diagonale. For en terning med sider , . ${\ displaystyle s}$ ${\ displaystyle I = {\ frac {1} {6}} ms ^ {2} \, \!}$		${\ displaystyle I = {\ frac {1} {6}} m \ left ({\ frac {W ^ {2} D ^ {2} + D ^ {2} L ^ {2} + W ^ {2} L ^ {2}} {W ^ {2} + D ^ {2} + L ^ {2}}} \ højre)}$
Vippet solid kuboid med dybde d , bredde w og længde l og masse m , der roterer omkring den lodrette akse (akse y som vist på figuren). For en terning med sider , . ${\ displaystyle s}$ ${\ displaystyle I = {\ frac {1} {6}} ms ^ {2} \, \!}$		${\ displaystyle I = {\ frac {m} {12}} \ left (l ^ {2} \ cos ^ {2} \ beta + d ^ {2} \ sin ^ {2} \ beta + w ^ {2 }\ret)}$
Trekant med hjørner ved oprindelsen og ved P og Q , med masse m , der roterer omkring en akse vinkelret på planet og passerer gennem oprindelsen.		${\ displaystyle I = {\ frac {1} {6}} m (\ mathbf {P} \ cdot \ mathbf {P} + \ mathbf {P} \ cdot \ mathbf {Q} + \ mathbf {Q} \ cdot \ mathbf {Q})}$
Fly polygon med hjørner P ₁ , P ₂ , P ₃ , ..., P _N og masse m jævnt fordelt på dets indre, roterende omkring en akse vinkelret på planet og passerer gennem oprindelsen.		${\ displaystyle I = m \ left ({\ frac {\ sum \ limits _ {n = 1} ^ {N} \ \| \ mathbf {P} _ {n + 1} \ times \ mathbf {P} _ {n } \ \| \ left (\ left (\ mathbf {P} _ {n} \ cdot \ mathbf {P} _ {n} \ right) + \ left (\ mathbf {P} _ {n} \ cdot \ mathbf { P} _ {n + 1} \ højre) + \ venstre (\ mathbf {P} _ {n + 1} \ cdot \ mathbf {P} _ {n + 1} \ højre) \ højre)} {6 \ sum \ grænser _ {n = 1} ^ {N} \ \| \ mathbf {P} _ {n + 1} \ gange \ mathbf {P} _ {n} \ \|}} \ højre)}$
Plan regelmæssig polygon med n- vendepunkter og masse m jævnt fordelt på dets indre, roterende omkring en akse vinkelret på planet og passerer gennem dets barycenter . R er radius for den omskrevne cirkel .		${\ displaystyle I = {\ frac {1} {2}} mR ^ {2} \ left (1 - {\ frac {2} {3}} \ sin ^ {2} \ left ({\ tfrac {\ pi } {n}} \ højre) \ højre)}$
En ligebenet trekant med masse M , toppunktvinkel 2β og fælles sidelængde L (akse gennem spids, vinkelret på plan)		${\ displaystyle I = {\ frac {1} {2}} mL ^ {2} \ left (1 - {\ frac {2} {3}} \ sin ^ {2} \ left (\ beta \ right) \ ret)}$
Uendelig disk med masse fordelt i en bivariat Gaussisk fordeling på to akser rundt om rotationsaksen med massefylde som en funktion af positionsvektoren ${\ displaystyle {\ mathbf {x}}}$ ${\ displaystyle \ rho ({\ mathbf {x}}) = m {\ frac {\ exp \ left (- {\ frac {1} {2}} {\ mathbf {x}} ^ {\ mathrm {T} } {\ boldsymbol {\ Sigma}} ^ {- 1} {\ mathbf {x}} \ right)} {\ sqrt {(2 \ pi) ^ {2} \| {\ boldsymbol {\ Sigma}} \|}} }}$		${\ displaystyle I = m \ cdot \ operatorname {tr} ({\ boldsymbol {\ Sigma}}) \, \!}$

Liste over 3D inerti tensorer

Denne liste over inertimomentstensorer er angivet for hovedakserne for hvert objekt.

For at opnå de skalære inertimomenter I ovenfor projiceres inertiemomentet tensor I langs en akse defineret af en enhedsvektor n ifølge formlen:

{\ displaystyle \ mathbf {n} \ cdot \ mathbf {I} \ cdot \ mathbf {n} \ equiv n_ {i} I_ {ij} n_ {j} \ ,,}

hvor prikkerne angiver tensor-sammentrækning, og Einstein-summeringskonventionen bruges. I ovenstående tabel ville n være enheden kartesisk basis e _x , e _y , e _{z for} at opnå henholdsvis I _x , I _y , I _z .

Beskrivelse	Figur	Inertimoment tensor
Solid kugle med radius r og masse m		${\ displaystyle I = {\ begin {bmatrix} {\ frac {2} {5}} mr ^ {2} & 0 & 0 \\ 0 & {\ frac {2} {5}} mr ^ {2} & 0 \\ 0 & 0 & { \ frac {2} {5}} mr ^ {2} \ end {bmatrix}}}$
Hul kugle med radius r og masse m		${\ displaystyle I = {\ begin {bmatrix} {\ frac {2} {3}} mr ^ {2} & 0 & 0 \\ 0 & {\ frac {2} {3}} mr ^ {2} & 0 \\ 0 & 0 & { \ frac {2} {3}} mr ^ {2} \ end {bmatrix}}}$
Fast ellipsoid af halvakser a , b , c og masse m		${\ displaystyle I = {\ begin {bmatrix} {\ frac {1} {5}} m (b ^ {2} + c ^ {2}) & 0 & 0 \\ 0 & {\ frac {1} {5}} m (a ^ {2} + c ^ {2}) & 0 \\ 0 & 0 & {\ frac {1} {5}} m (a ^ {2} + b ^ {2}) \ end {bmatrix}}}$
Højre cirkulære kegle med radius r , højde h og masse m , omkring toppen		${\ displaystyle I = {\ begin {bmatrix} {\ frac {3} {5}} mh ^ {2} + {\ frac {3} {20}} mr ^ {2} & 0 & 0 \\ 0 & {\ frac { 3} {5}} mh ^ {2} + {\ frac {3} {20}} mr ^ {2} & 0 \\ 0 & 0 & {\ frac {3} {10}} mr ^ {2} \ end {bmatrix }}}$
Massiv kuboid med bredde w , højde h , dybde d og masse m		${\ displaystyle I = {\ begin {bmatrix} {\ frac {1} {12}} m (h ^ {2} + d ^ {2}) & 0 & 0 \\ 0 & {\ frac {1} {12}} m (w ^ {2} + d ^ {2}) & 0 \\ 0 & 0 & {\ frac {1} {12}} m (w ^ {2} + h ^ {2}) \ end {bmatrix}}}$
Slank stang langs y -akse med længden l og masse m omkring ende		${\ displaystyle I = {\ begin {bmatrix} {\ frac {1} {3}} ml ^ {2} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & {\ frac {1} {3}} ml ^ {2} \ end {bmatrix}}}$
Slank stang langs y -aksen af længden l og masse m omkring centrum		${\ displaystyle I = {\ begin {bmatrix} {\ frac {1} {12}} ml ^ {2} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & {\ frac {1} {12}} ml ^ {2} \ end {bmatrix}}}$
Massiv cylinder med radius r , højde h og masse m		${\ displaystyle I = {\ begin {bmatrix} {\ frac {1} {12}} m (3r ^ {2} + h ^ {2}) & 0 & 0 \\ 0 & {\ frac {1} {12}} m (3r ^ {2} + h ^ {2}) & 0 \\ 0 & 0 & {\ frac {1} {2}} mr ^ {2} \ end {bmatrix}}}$
Tyktvægget cylindrisk rør med åbne ender, med indre radius r ₁ , ydre radius r ₂ , længde h og masse m		${\ displaystyle I = {\ begin {bmatrix} {\ frac {1} {12}} m (3 (r_ {2} ^ {2} + r_ {1} ^ {2}) + h ^ {2}) & 0 & 0 \\ 0 & {\ frac {1} {12}} m (3 (r_ {2} ^ {2} + r_ {1} ^ {2}) + h ^ {2}) & 0 \\ 0 & 0 & {\ frac {1} {2}} m (r_ {2} ^ {2} + r_ {1} ^ {2}) \ end {bmatrix}}}$

Languages

In other projects

Liste over inertimomenter - List of moments of inertia

Indhold

Inerti-øjeblikke

Liste over 3D inerti tensorer

Se også

Bemærkninger

Referencer

eksterne links