Moment (matematik) - Moment (mathematics)

I matematik er momentene i en funktion kvantitative mål relateret til formen på funktionens graf . Hvis funktionen repræsenterer masse, er det første moment massens centrum, og det andet moment er rotationsinertien . Hvis funktionen er en sandsynlighedsfordeling , så er det første øjeblik den forventede værdi , det andet centrale moment er variansen , det tredje standardiserede moment er skævheden , og det fjerde standardiserede moment er kurtosis . Det matematiske begreb er tæt forbundet med begrebet moment i fysikken.

For en fordeling af masse eller sandsynlighed på et afgrænset interval bestemmer samlingen af alle momentene (af alle ordrer, fra $0$ til $\infty$ ) entydigt fordelingen ( Hausdorff -momentproblem ). Det samme er ikke tilfældet med ubegrænsede intervaller ( problem med hamburgermoment ).

I midten af 1800-tallet blev Pafnuty Chebyshev den første person til at tænke systematisk i form af tilfældige variabler .

Betydningen af øjeblikke

Det $n$ -tte råmoment (dvs. øjeblik omkring nul) for en distribution er defineret af

{\ displaystyle \ mu '_ {n} = \ langle x^{n} \ rangle}

hvor

{\ displaystyle \ langle f (x) \ rangle = {\ begin {cases} \ sum f (x) P (x) & {\ text {diskret distribution}} \\\ int f (x) P (x) dx, og {\ text {kontinuerlig distribution}} \ end {cases}}}

Det $n$ -th øjeblik af en reel -værdiansat kontinuerlig funktion f ( x ) af en reel variabel om en værdi c er integralet

{\ displaystyle \ mu _ {n} = \ int _ {-\ infty}^{\ infty} (xc)^{n} \, f (x) \, \ mathrm {d} x.}

Det er muligt at definere øjeblikke for tilfældige variabler på en mere generel måde end momenter for værdiansatte funktioner-se momenter i metriske rum . Momentet for en funktion, uden yderligere forklaring, refererer normalt til ovenstående udtryk med c = 0.

For det andet og højere øjeblik bruges normalt det centrale moment (momenter om middelværdien, hvor c er middelværdien) snarere end momenterne om nul, fordi de giver klarere information om fordelingens form.

Andre øjeblikke kan også defineres. For eksempel er det $n$ th inverse moment omkring nul og det $n$ -th logaritmiske moment om nul ${\ displaystyle \ operatorname {E} \ left [X^{-n} \ right]}$ ${\ displaystyle \ operatorname {E} \ left [\ ln ^{n} (X) \ right].}$

Det $n -.$ Øjeblik omkring nul af en sandsynlighedstæthedsfunktion f ( x ) er den forventede værdi af $X n$ og kaldes et råmoment eller råmoment . Momentene om dets middelværdi $μ$ kaldes centrale øjeblikke ; disse beskriver funktionens form, uafhængigt af oversættelse .

Hvis f er en sandsynlighedstæthedsfunktion , kaldes værdien af integralet ovenfor det $n$ -th øjeblik for sandsynlighedsfordelingen . Mere generelt, hvis F er en kumulativ sandsynlighedsfordelingsfunktion for enhver sandsynlighedsfordeling, som muligvis ikke har en densitetsfunktion, er det $n$ -th øjeblik i sandsynlighedsfordelingen givet af Riemann – Stieltjes -integralet

{\ displaystyle \ mu '_ {n} = \ operatorname {E} \ left [X^{n} \ right] = \ int _ {-\ infty}^{\ infty} x^{n} \, \ mathrm {d} F (x)}

hvor X er en tilfældig variabel, der har denne kumulative fordeling F , og

E

er forventningsoperatoren eller middelværdien.

Hvornår

{\ displaystyle \ operatorname {E} \ left [\ left | X^{n} \ right | \ right] = \ int _ {-\ infty}^{\ infty} \ left | x^{n} \ right | \, \ mathrm {d} F (x) = \ infty}

det siges, at øjeblikket ikke eksisterer. Hvis det

n

-th moment om et hvilket som helst punkt eksisterer, gør det

(n -1)

-th moment (og dermed alle lavere orden) om hvert punkt.

Nulpunktet for enhver sandsynlighedstæthedsfunktion er 1, da området under enhver sandsynlighedstæthedsfunktion skal være lig med en.

Betydning af øjeblikke (rå, central, normaliseret) og kumulanter (rå, normaliseret) i forbindelse med navngivne egenskaber ved fordelinger
Øjeblikket ordinært	Øjeblik			Kumulativ
Øjeblikket ordinært	Rå	Central	Standardiseret	Rå	Normaliseret
1	Betyde	0	0	Betyde	Ikke relevant
2	-	Variation	1	Variation	1
3	-	-	Skævhed	-	Skævhed
4	-	-	(Ikke-overskydende eller historisk) kurtosis	-	Overskydende kurtosis
5	-	-	Hyperskeveness	-	-
6	-	-	Hypertailedness	-	-
7+	-	-	-	-	-

Betyde

Det første rå øjeblik er middelværdien , normalt betegnet ${\ displaystyle \ mu \ equiv \ operatorname {E} [X].}$

Variation

Det andet centrale øjeblik er variansen . Variansens positive kvadratrod er standardafvigelsen ${\ displaystyle \ sigma \ equiv \ left (\ operatorname {E} \ left [(x- \ mu)^{2} \ right] \ right)^{\ frac {1} {2}}.}$

Standardiserede øjeblikke

Det normaliserede $n$ -th centrale moment eller standardiserede moment er det $n$ -th centrale moment divideret med $σ n$ ; det normaliserede $n$ -th centrale moment i den tilfældige variabel $X$ er ${\ displaystyle {\ frac {\ mu _ {n}} {\ sigma ^{n}}} = {\ frac {\ operatorname {E} \ left [(X- \ mu) ^{n} \ right]} {\ sigma ^{n}}}.}$

Disse normaliserede centrale momenter er dimensionsløse størrelser , som repræsenterer fordelingen uafhængigt af enhver lineær skalaændring.

For et elektrisk signal er det første øjeblik dets DC -niveau, og det andet øjeblik er proportionelt med dets gennemsnitlige effekt.

Skævhed

Det tredje centrale moment er målet for fordelingen af skævhed; enhver symmetrisk fordeling vil have et tredje centralt moment, hvis det er defineret, på nul. Det normaliserede tredje centrale moment kaldes skævhed , ofte $γ$ . En fordeling, der er skæv til venstre (fordelingshalen er længere til venstre) vil have en negativ skævhed. En fordeling, der er skæv til højre (fordelingshalen er længere til højre), vil have en positiv skævhed.

For distributioner, der ikke er for forskellige fra normalfordelingen , vil medianen være et sted nær $μ - γσ /6$ ; den tilstand om $μ - γσ / 2$ .

Kurtosis

Det fjerde centrale moment er et mål for tyngden af fordelingshalen i forhold til normalfordelingen af den samme varians. Da det er forventningen om en fjerde magt, er det fjerde centrale moment, hvor det er defineret, altid ikke -negativt; og bortset fra en punktfordeling er den altid strengt positiv. Det fjerde centrale moment i en normalfordeling er $3 σ 4$ .

Den kurtosis $κ$ er defineret til at være den standardiserede fjerde centrale øjeblik (ækvivalent måde som i næste afsnit, overskydende kurtosis er den fjerde kumulant divideret med kvadratet af det andet kumulant ). Hvis en fordeling har tunge haler, vil kurtosis være høj ( undertiden kaldet leptokurtic); omvendt har lyshalefordelinger (for eksempel afgrænsede fordelinger såsom uniformen) lav kurtose (undertiden kaldet platykurt).

Kurtosen kan være positiv uden grænser, men $κ$ skal være større end eller lig med $γ 2 + 1$ ; lighed gælder kun for binære distributioner . For ubegrænsede skævfordelinger ikke for langt fra normalt, har $ends en$ tendens til at være et sted i området $γ 2$ og $2 γ 2$ .

Uligheden kan bevises ved at overveje

{\ displaystyle \ operatorname {E} \ left [\ left (T^{2} -aT-1 \ right)^{2} \ right]}

hvor

T = (X - μ)/ σ

. Dette er forventningen til en firkant, så den er ikke-negativ for alle a ; det er dog også et kvadratisk polynom i a . Dens diskriminerende skal være ikke-positiv, hvilket giver det nødvendige forhold.

Blandede øjeblikke

Blandede øjeblikke er øjeblikke, der involverer flere variabler.

Nogle eksempler er kovarians , coskewness og cokurtosis . Selvom der er en unik kovarians, er der flere co-skewnesses og co-kurtoses.

Højere øjeblikke

Højordens øjeblikke er øjeblikke ud over øjeblikke i 4. orden. Som med varians, skævhed og kurtosis er disse statistikker af højere orden , der involverer ikke-lineære kombinationer af dataene, og kan bruges til beskrivelse eller estimering af yderligere formparametre . Jo højere øjeblik, jo sværere er det at estimere, i den forstand at der kræves større prøver for at opnå estimater af lignende kvalitet. Dette skyldes de overdrevne frihedsgrader, der forbruges af de højere ordrer. Ydermere kan de være subtile at fortolke, ofte lettest at forstå i form af lavere orden -momenter - sammenlign de højere derivater af ryk og spring i fysik . For eksempel, ligesom øjeblikket i 4. orden (kurtosis) kan tolkes som "relativ betydning af haler versus skuldre for at forårsage spredning" (for en given dispersion svarer høj kurtosis til tunge haler, mens lav kurtosis svarer til brede skuldre), 5.-ordenens moment kan tolkes som at måle "relativ betydning af haler kontra center (tilstand, skuldre) for at forårsage skævhed" (for en given skævhed svarer højt 5. øjeblik til tung hale og lille bevægelse af tilstand, mens lavt femte øjeblik svarer til mere ændring i skuldrene).

Egenskaber af øjeblikke

Transformation af center

Siden

{\ displaystyle (xb)^{n} = (x-a+ab)^{n} = \ sum _ {i = 0}^{n} {n \ vælg i} (xa)^{i} (ab )^{ni}}

hvor er den binomiske koefficient , følger det, at momenterne omkring b kan beregnes ud fra momenterne om a ved: ${\ displaystyle {\ dbinom {n} {i}}}$

{\ displaystyle E \ venstre [(xb)^{n} \ right] = \ sum _ {i = 0}^{n} {n \ vælg i} E \ venstre [(xa)^{i} \ right] (ab)^{ni}.}

Øjeblikket for en konvolution af funktioner

Konvolutionsøjeblikket lyder ${\ displaystyle h (t) = (f*g) (t) = \ int _ {-\ infty}^{\ infty} f (\ tau) g (t- \ tau) \, d \ tau}$

{\ displaystyle \ mu _ {n} [h] = \ sum _ {i = 0}^{n} {n \ vælg i} \ mu _ {i} [f] \ mu _ {ni} [g]}

hvor betegner det øjeblik i funktionen, der er angivet i parenteserne. Denne identitet følger af konvolutionssætningen for momentgenererende funktion og anvendelse af kædereglen for differentiering af et produkt. ${\ displaystyle \ mu _ {n} [\, \ cdot \,]}$ ${\ displaystyle n}$

Kumulanter

Det første råmoment og det andet og tredje unormaliserede centrale moment er additive i den forstand, at hvis X og Y er uafhængige tilfældige variabler så

{\ displaystyle {\ begin {align} m_ {1} (X+Y) & = m_ {1} (X)+m_ {1} (Y) \\\ operatorname {Var} (X+Y) & = \ operatorname {Var} (X)+\ operatorname {Var} (Y) \\\ mu _ {3} (X+Y) & = \ mu _ {3} (X)+\ mu _ {3} (Y) \ end {align}}}

(Disse kan også gælde for variabler, der opfylder svagere betingelser end uafhængighed. Den første holder altid; hvis den anden holder, kaldes variablerne ukorrelerede ).

Faktisk er disse de tre første kumulanter, og alle kumulanter deler denne additivitetsejendom.

Eksempel øjeblikke

For alle k kan det $k$ -th rå øjeblik af en population estimeres ved hjælp af $k$ -th råprøve -momentet

{\ displaystyle {\ frac {1} {n}} \ sum _ {i = 1}^{n} X_ {i}^{k}}

anvendt på en prøve $X 1,\dots, X n$ trukket fra populationen.

Det kan påvises, at den forventede værdi af råprøvemomentet er lig med $k$ -t. Råmomentet i populationen, hvis dette øjeblik eksisterer, for enhver stikprøvestørrelse $n$ . Det er således en upartisk estimator. Dette står i kontrast til situationen for centrale øjeblikke, hvis beregning bruger en grad af frihed ved at bruge prøveværdien. Så for eksempel er et upartisk skøn over befolkningsvariansen (det andet centrale moment) givet af

{\ displaystyle {\ frac {1} {n-1}} \ sum _ {i = 1}^{n} \ venstre (X_ {i}-{\ bar {X}} \ højre)^{2}}

hvor den tidligere nævner $n$ er blevet erstattet af frihedsgraderne $n - 1$ , og hvor der henvises til stikprøveværdien. Dette estimat af populationsmomentet er større end det ujusterede observerede stikpromoment med en faktor på, og det omtales som den "justerede prøvevarians" eller nogle gange simpelthen "prøvevariansen". ${\ displaystyle {\ bar {X}}}$ ${\ displaystyle {\ tfrac {n} {n-1}},}$

Problemer med øjeblikke

Den Problemet med øjeblikke søger karakteriseringer af sekvenser { μ « _n : n = 1, 2, 3, ...}, som er sekvenser af øjeblikke af en eller anden funktion f .

Delvise øjeblikke

Delvise øjeblikke omtales undertiden som "ensidige øjeblikke". Den $n$ 'te orden nedre og øvre partielle øjeblikke i forhold til et referencepunkt r kan udtrykkes som

{\ displaystyle \ mu _ {n}^{-} (r) = \ int _ {-\ infty}^{r} (rx)^{n} \, f (x) \, \ mathrm {d} x ,}

{\ displaystyle \ mu _ {n}^{+} (r) = \ int _ {r}^{\ infty} (xr)^{n} \, f (x) \, \ mathrm {d} x. }

Delvise øjeblikke normaliseres ved at blive hævet til magten 1/ n . Den upside forhold kan udtrykkes som et forhold mellem en første ordens øvre delvis øjeblik til et normaliseret anden orden lavere delvis øjeblik. De er blevet brugt i definitionen af nogle økonomiske metrics, såsom Sortino -forholdet , da de udelukkende fokuserer på op eller nedad.

Centrale øjeblikke i metriske rum

Lad $(M, d)$ være et metrisk rum , og lad B ( M ) være den Borel $σ$ -algebra på M , den $σ$ -algebra genereret af d - åbne delmængder af M . (Af tekniske årsager er det også praktisk at antage, at M er et adskilleligt rum i forhold til metrisk d .) Lad $1 \leq p \leq \infty$ .

Det p. Centrale moment for et mål $μ$ på det målbare rum ( M , B ( M )) omkring et givet punkt $x 0 \in M$ er defineret til at være

{\ displaystyle \ int _ {M} d \ venstre (x, x_ {0} \ højre)^{p} \, \ mathrm {d} \ mu (x).}

μ siges at have finite $p$ th central øjeblik hvis $p$ th centrale øjeblik af $μ$ om x ₀ er endelig for nogle $x 0 \in M$ .

Denne terminologi for målinger overfører til tilfældige variabler på den sædvanlige måde: hvis $(Ω, Σ, P)$ er et sandsynlighedsrum og $X : Ω \to M$ er en tilfældig variabel, så er $p$ -th centrale moment for X omkring $x 0 \in M$ er defineret til at være

{\ displaystyle \ int _ {M} d \ venstre (x, x_ {0} \ højre)^{p} \, \ mathrm {d} \ venstre (X _ {*} \ venstre (\ mathbf {P} \ højre) ) \ right) (x) \ equiv \ int _ {\ Omega} d \ left (X (\ omega), x_ {0} \ right)^{p} \, \ mathrm {d} \ mathbf {P} ( \ omega),}

og X har endelig $p$ th centrale øjeblik , hvis $p$ th centrale øjeblik af X om x ₀ er endelig for nogle $x 0 \in M$ .

Se også

Referencer

Yderligere læsning

Spanos, Aris (1999). Sandsynlighedsteori og statistisk inferens . New York: Cambridge University Press. s. 109 –130. ISBN 0-521-42408-9.

eksterne links

"Moment" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press , 2001 [1994]
Øjeblikke på Mathworld

Languages

In other projects

Moment (matematik) - Moment (mathematics)

Indhold