Ikke-standard beregning - Nonstandard calculus

I matematik er ikke-standard-beregning den moderne anvendelse af uendelige størrelser , i betydningen ikke-standard-analyse , til uendelig minimal beregning . Det giver en streng begrundelse for nogle argumenter i beregning, der tidligere blev betragtet som blot heuristiske .

Ikke-strenge beregninger med uendelige størrelser blev i vid udstrækning brugt, før Karl Weierstrass forsøgte at erstatte dem med (ε, δ) -definitionen af grænsen startende i 1870'erne. (Se beregningshistorie .) I næsten hundrede år derefter betragtede matematikere som Richard Courant uendelige dyr som naive og vage eller meningsløse.

I modsætning til sådanne synspunkter viste Abraham Robinson i 1960, at uendelige størrelser er præcise, klare og meningsfulde og bygger på arbejde af Edwin Hewitt og Jerzy Łoś . Ifølge Howard Keisler , "løste Robinson et tre hundrede år gammelt problem ved at give en præcis behandling af uendelige størrelser. Robinsons præstation vil sandsynligvis blive en af de største matematiske fremskridt i det tyvende århundrede."

Historie

Historien om ikke-standard calculus begyndte med brugen af uendeligt små mængder, kaldet infinitesimals i calculus . Anvendelsen af uendelige dyr kan findes i fundamentet af calculus uafhængigt udviklet af Gottfried Leibniz og Isaac Newton startende i 1660'erne. John Wallis raffinerede tidligere teknikker til uindivider af Cavalieri og andre ved at udnytte en uendelig stor mængde, som han angav i områdeberegninger og forberedte grunden til integreret beregning . De trak på arbejde fra sådanne matematikere som Pierre de Fermat , Isaac Barrow og René Descartes . ${\ displaystyle {\ tfrac {1} {\ infty}}}$

I den tidlige beregning blev brugen af uendelige størrelser kritiseret af en række forfattere, især Michel Rolle og biskop Berkeley i hans bog The Analyst .

Flere matematikere, herunder Maclaurin og d'Alembert , foreslog brugen af grænser. Augustin Louis Cauchy udviklede et alsidigt spektrum af grundlæggende tilgange, herunder en definition af kontinuitet i form af uendelige størrelser og en (noget upræcis) prototype af et ε, δ-argument i arbejdet med differentiering. Karl Weierstrass formaliserede begrebet grænse i sammenhæng med et (ægte) talesystem uden uendelige størrelser. Efter Weierstrass arbejde blev det til sidst almindeligt at basere beregning på ε, δ argumenter i stedet for uendelige størrelser.

Denne tilgang formaliseret af Weierstrass blev kendt som standardregningen . Efter mange år med den uendelige metode til beregning, der var gået i brug på anden måde end som et indledende pædagogisk redskab, blev brugen af uendelige størrelser endelig givet et grundigt fundament af Abraham Robinson i 1960'erne. Robinsons tilgang kaldes ikke-standardanalyse for at skelne den fra standardbrugen af grænser. Denne tilgang brugte tekniske maskiner fra matematisk logik til at skabe en teori om hyperreale tal, der fortolker uendelige tal på en måde, der tillader en Leibniz-lignende udvikling af de sædvanlige regler for beregning. En alternativ tilgang, udviklet af Edward Nelson , finder uendelige størrelser på selve den almindelige reelle linje og involverer en ændring af den grundlæggende indstilling ved at udvide ZFC gennem indførelsen af en ny unar prædikat "standard".

Motivering

For at beregne afledningen af funktionen ved x er begge tilgange enige om de algebraiske manipulationer: ${\ displaystyle f '}$ ${\ displaystyle y = f (x) = x ^ {2}}$

{\ displaystyle {\ frac {\ Delta y} {\ Delta x}} = {\ frac {(x + \ Delta x) ^ {2} -x ^ {2}} {\ Delta x}} = {\ frac { 2x \ Delta x + (\ Delta x) ^ {2}} {\ Delta x}} = 2x + \ Delta x \ ca. 2x}

Dette bliver en beregning af derivaterne ved hjælp af hyperreals, hvis det fortolkes som et uendeligt minimum, og symbolet " " er forholdet "er uendeligt tæt på". ${\ displaystyle \ Delta x}$ ${\ displaystyle \ approx}$

For at gøre f 'til en ægte værdi-funktion udelades den sidste sigt . I standardmetoden, der kun bruger reelle tal, gøres det ved at tage grænsen som en tendens til nul. I den hyperrealistiske tilgang anses mængden for at være et uendeligt lille tal, et ikke-nul-tal, der er tættere på 0 end noget ikke-nul-reelt. Manipulationerne vist ovenfor viser derefter, at den er uendeligt tæt på 2 x , så derivatet af f ved x er derefter 2 x . ${\ displaystyle \ Delta x}$ ${\ displaystyle \ Delta x}$ ${\ displaystyle \ Delta x}$ ${\ displaystyle \ Delta y / \ Delta x}$

Kassering af "fejludtrykket" opnås ved anvendelse af standarddelfunktionen . Udlevering med uendelige fejltermer blev historisk betragtet som paradoksalt af nogle forfattere, især George Berkeley .

Når det hyperreale talesystem (et uendeligt simuleret kontinuum) er på plads, har man med succes indarbejdet en stor del af de tekniske vanskeligheder på det grundlæggende niveau. Således kan epsilon, delta-teknikker, som nogle mener er essensen af analyse, implementeres en gang for alle på det grundlæggende niveau, og de studerende behøver ikke være "klædt til at udføre logiske stunter med flere kvantificeringer under foregivelse af at blive undervist uendeligt minimalt. calculus "for at citere en nylig undersøgelse. Mere specifikt kan de grundlæggende begreber i calculus såsom kontinuitet, derivat og integral defineres ved hjælp af uendelige tal uden henvisning til epsilon, delta (se næste afsnit).

Keislers lærebog

Keislers elementære beregning: en uendelig minimal tilgang definerer kontinuitet på side 125 i form af uendelige tal, med undtagelse af epsilon, delta-metoder. Derivatet er defineret på side 45 ved hjælp af infinitesimals snarere end en epsilon-delta-tilgang. Integralet er defineret på side 183 i form af uendelige størrelser. Epsilon, delta-definitioner introduceres på side 282.

Definition af derivat

De hyperreals kan konstrueres inden for rammerne af Zermelo-Fraenkel mængdelære , standard axiomatisation af mængdelære bruges andre steder i matematik. For at give en intuitiv idé til den hyperrealistiske tilgang skal du bemærke, at ikke-standardanalyse postulerer eksistensen af positive tal ε, som er uendeligt små , hvilket betyder, at ε er mindre end enhver standard positiv reel, dog større end nul. Hvert reelle tal x er omgivet af en uendelig minimal "sky" af hyperrealistiske tal uendeligt tæt på det. For at definere afledningen af f ved et standard reelt tal x i denne tilgang har man ikke længere brug for en uendelig begrænsningsproces som i standardregning. I stedet sætter man sig

{\ displaystyle f '(x) = \ mathrm {st} \ left ({\ frac {f ^ {*} (x + \ varepsilon) -f ^ {*} (x)} {\ varepsilon}} \ højre), }

hvor st er standarddelfunktionen , hvilket giver det reelle tal uendeligt tæt på det hyperrealistiske argument for st , og er den naturlige udvidelse af til hyperreals. ${\ displaystyle f ^ {*}}$ ${\ displaystyle f}$

Kontinuitet

En reel funktion f er kontinuerlig med et standard reelt tal x, hvis værdien f ( x ' ) for hver hyperreal x' uendeligt tæt på x også er uendelig tæt på f ( x ). Dette fanger Cauchys definition af kontinuitet som præsenteret i hans lærebog fra 1821 Cours d'Analyse , s. 34.

For at være præcis skal f erstattes af dets naturlige hyperreale udvidelse, der normalt betegnes f ^* (se diskussion af overførselsprincippet i hovedartikel ved ikke-standardanalyse ).

Ved at bruge notationen til forholdet om at være uendeligt tæt som ovenfor, kan definitionen udvides til vilkårlige (standard eller ikke-standard) punkter som følger: ${\ displaystyle \ approx}$

En funktion f er mikrokontinuerlig ved x hvis når som helst , man har ${\ displaystyle x '\ approx x}$ ${\ displaystyle f ^ {*} (x ') \ approx f ^ {*} (x)}$

Her antages punktet x 'at være i domænet for (den naturlige udvidelse af) f .

Ovenstående kræver færre kvantificeringsmidler end ( ε , δ ) -definitionen kendt fra standard elementær beregning:

f er kontinuerlig ved x hvis der for hver ε > 0 findes en δ > 0 sådan at for hver x ' , når som helst | x - x ' | < δ , man har | f ( x ) - f ( x ' ) | < ε .

Ensartet kontinuitet

En funktion f i et interval I er ensartet kontinuerlig, hvis dens naturlige udvidelse f * i I * har følgende egenskab (se Keisler, Fundament of Infinitesimal Calculus ('07), s.45):

for hvert par hyperreals x og y i I *, hvis så . ${\ displaystyle x \ approx y}$ ${\ displaystyle f ^ {*} (x) \ approx f ^ {*} (y)}$

Med hensyn til mikrokontinuitet defineret i det foregående afsnit kan dette anføres som følger: en reel funktion er ensartet kontinuerlig, hvis dens naturlige udvidelse f * er mikrokontinuerlig på hvert punkt i domænet f *.

Denne definition har en reduceret kvantificeringskompleksitet sammenlignet med standarddefinitionen (ε, δ) . Epsilon-delta-definitionen af ensartet kontinuitet kræver nemlig fire kvantificeringsmidler, mens den uendelig minimale definition kun kræver to kvantificeringsmidler. Det har den samme kvantificeringskompleksitet som definitionen af ensartet kontinuitet med hensyn til sekvenser i standardregning, hvilket dog ikke kan udtrykkes i første ordens sprog for de reelle tal.

Den hyperrealistiske definition kan illustreres ved hjælp af de følgende tre eksempler.

Eksempel 1: en funktion f er ensartet kontinuerlig på det semi-åbne interval (0,1], hvis og kun hvis dens naturlige udvidelse f * er mikrokontinuerlig (i betydningen af formlen ovenfor) ved hvert positivt uendeligt minimum ud over kontinuitet ved standardpunkterne i intervallet.

Eksempel 2: en funktion f er ensartet kontinuerlig på det semi-åbne interval [0, ∞) hvis og kun hvis den er kontinuerlig i standardpunkterne for intervallet, og derudover er den naturlige forlængelse f * mikrokontinuerlig ved hver positive uendelig hyperreal punkt.

Eksempel 3: Tilsvarende svigt af ensartet kontinuitet for kvadratfunktionen

{\ displaystyle x ^ {2}}

skyldes fraværet af mikrokontinuitet på et enkelt uendeligt hyperrealt punkt, se nedenfor.

Med hensyn til kvantificeringskompleksitet blev følgende bemærkninger fremsat af Kevin Houston :

Antallet af kvantificeringsmidler i en matematisk udsagn giver et groft mål for udsagnets kompleksitet. Erklæringer, der involverer tre eller flere kvantificeringsmidler, kan være vanskelige at forstå. Dette er hovedårsagen til, at det er svært at forstå de strenge definitioner af grænse, konvergens, kontinuitet og differentierbarhed i analysen, da de har mange kvantificatorer. Faktisk er det vekslen mellem og og der forårsager kompleksiteten.

{\ displaystyle \ forall}

{\ displaystyle \ findes}

Andreas Blass skrev som følger:

Ofte ... den ikke-standardiserede definition af et koncept er enklere end standarddefinitionen (både intuitivt enklere og enklere i teknisk forstand, såsom kvantificeringsmidler over lavere typer eller færre vekslinger af kvantifikatorer).

Kompakthed

Et sæt A er kompakt, hvis og kun hvis dets naturlige udvidelse A * har følgende egenskab: hvert punkt i A * er uendeligt tæt på et punkt A. Så det åbne interval (0,1) er ikke kompakt, fordi dets naturlige udvidelse indeholder positive uendelige dyr, der ikke er uendeligt tæt på et positivt reelt tal.

Heine – Cantor sætning

Det faktum, at en kontinuerlig funktion i et kompakt interval I nødvendigvis er ensartet kontinuerlig ( Heine-Cantor-sætningen ) indrømmer et kortfattet hyperreal bevis. Lad x , y være hyperreals i naturlig forlængelse I * af jeg . Da jeg er kompakt, både st ( x ) og st ( y ) tilhører jeg . Hvis x og y var uendeligt tæt, ville de ved den trekantige ulighed have den samme standarddel

{\ displaystyle c = \ operatorname {st} (x) = \ operatorname {st} (y).}

Da funktionen antages kontinuerlig ved c,

{\ displaystyle f (x) \ approx f (c) \ approx f (y),}

og derfor er f ( x ) og f ( y ) uendeligt tæt, hvilket beviser ensartet kontinuitet af f .

Hvorfor er kvadratfunktionen ikke ensartet kontinuerlig?

Lad f ( x ) = x ² defineret til . Lad være en uendelig hyperreal. Den hyperreal tal er uendeligt tæt på N . I mellemtiden er forskellen ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$ ${\ displaystyle N \ in \ mathbb {R} ^ {*}}$ ${\ displaystyle N + {\ tfrac {1} {N}}}$

{\ displaystyle f (N + {\ tfrac {1} {N}}) - f (N) = N ^ {2} +2 + {\ tfrac {1} {N ^ {2}}} - N ^ {2 } = 2 + {\ tfrac {1} {N ^ {2}}}}

er ikke uendelig. Derfor f * undlader at være microcontinuous på det hyperreal punkt N . Kvadratfunktionen er således ikke ensartet kontinuerlig ifølge definitionen i ensartet kontinuitet ovenfor.

Et lignende bevis kan gives i standardindstillingen ( Fitzpatrick 2006 , eksempel 3.15).

Eksempel: Dirichlet-funktion

Overvej Dirichlet-funktionen

{\ displaystyle I_ {Q} (x): = {\ begin {cases} 1 & {\ text {if}} x {\ text {er rationel}}, \\ 0 & {\ text {if}} x {\ text {er irrationel}}. \ end {cases}}}

Det er velkendt, at funktionen under standarddefinitionen af kontinuitet er diskontinuerlig på hvert punkt. Lad os kontrollere dette med hensyn til den hyperrealistiske definition af kontinuitet ovenfor, for eksempel lad os vise, at Dirichlet-funktionen ikke er kontinuerlig ved π. Overvej den fortsatte fraktionstilnærmelse a _n af π. Lad nu indekset n være et uendeligt hypernaturligt tal. Ved overførselsprincippet tager den naturlige udvidelse af Dirichlet-funktionen værdien 1 ved en _n . Bemærk, at det hyperrationelle punkt a _n er uendeligt tæt på π. Den naturlige udvidelse af Dirichlet-funktionen tager således forskellige værdier (0 og 1) på disse to uendeligt tætte punkter, og derfor er Dirichlet-funktionen ikke kontinuerlig ved π .

Begrænse

Mens drivkraften ved Robinsons tilgang er, at man kan dispensere fra fremgangsmåden ved hjælp af flere kvantificeringsanordninger, kan begrebet grænse let genvindes med hensyn til standarddelfunktion st , nemlig

{\ displaystyle \ lim _ {x \ to a} f (x) = L}

hvis og kun hvis forskellen x - a er uendelig, når forskellen f ( x ) - L også er uendelig eller i formler:

hvis st ( x ) = a så st ( f ( x )) = L,

jf. (ε, δ) -definition af grænse .

Sekvensgrænse

Givet en række reelle tal , hvis L er grænsen for sekvensen og ${\ displaystyle \ {x_ {n} \ mid n \ in \ mathbb {N} \}}$ ${\ displaystyle L \ in \ mathbb {R}}$

{\ displaystyle L = \ lim _ {n \ to \ infty} x_ {n}}

hvis for hver uendelig hypernatural n , st ( x _n ) = L (her bruges udvidelsesprincippet til at definere x _n for hvert hyperintager n ).

Denne definition har ingen kvantificeringsskifte . Standard (ε, δ) -definitionen har derimod kvantificeringsalternativer:

{\ displaystyle L = \ lim _ {n \ to \ infty} x_ {n} \ Longleftrightarrow \ forall \ varepsilon> 0 \;, \ exist N \ in \ mathbb {N} \;, \ forall n \ in \ mathbb {N}: n> N \ rightarrow | x_ {n} -L | <\ varepsilon.}

Ekstrem værdi sætning

For at vise, at en reel kontinuerlig funktion f på [0,1] har et maksimum, lad N være et uendeligt hyperintager . Intervallet [0, 1] har en naturlig hyperreal forlængelse. Funktionen f udvides naturligvis også til hyperreals mellem 0 og 1. Overvej delingen af det hyperrealistiske interval [0,1] i N- underintervaller med lige uendelig længde 1 / N , med delingspunkter x _i = i / N, da jeg "kører "fra 0 til N . I standard indstilling (når N er endelig), et punkt med den maksimale værdi af f kan altid vælges blandt N +1 point x _i , ved induktion. Derfor er der ved overførselsprincippet et hyperinterval i _0, således at 0 ≤ i ₀ ≤ N og for alle i = 0,…, N (en alternativ forklaring er, at hvert hyperfinit-sæt tillader et maksimum). Overvej det virkelige punkt ${\ displaystyle f (x_ {i_ {0}}) \ geq f (x_ {i})}$

{\ displaystyle c = {\ rm {st}} (x_ {i_ {0}})}

hvor st er standard-delfunktionen . Et vilkårligt reelt punkt x ligger i et passende underinterval for partitionen, nemlig således at st ( x _i ) = x . Anvendelse st til ulighed , . Ved kontinuitet af f , ${\ displaystyle x \ i [x_ {i}, x_ {i + 1}]}$ ${\ displaystyle f (x_ {i_ {0}}) \ geq f (x_ {i})}$ ${\ displaystyle {\ rm {st}} (f (x_ {i_ {0}})) \ geq {\ rm {st}} (f (x_ {i}))}$

{\ displaystyle {\ rm {st}} (f (x_ {i_ {0}})) = f ({\ rm {st}} (x_ {i_ {0}})) = f (c)}

.

Derfor er f ( c ) ≥ f ( x ), for alle x , hvilket viser sig at c er et maksimum af den reelle funktion f . Se Keisler (1986 , s. 164) .

Mellemværdi sætning

Som en anden illustration af kraften i Robinsons tilgang, laves et kort bevis på mellemværdisætningen (Bolzanos sætning) ved hjælp af uendelige tal ved hjælp af følgende.

Lad f være en kontinuerlig funktion på [ a , b ] således at f ( a ) <0 mens f ( b )> 0. Så findes der et punkt c i [ a , b ] sådan at f ( c ) = 0.

Beviset fortsætter som følger. Lad N være et uendeligt hyperintager . Overveje en partition af [ a , b ] i N intervaller af samme længde, med partition point x _jeg som jeg løber fra 0 til N . Overvej samlingen I af indekser således, at f ( x _i )> 0. Lad i ₀ være det mindste element i I (et sådant element eksisterer ved overførselsprincippet , da jeg er et hyperfinit-sæt ). Så det rigtige tal

{\ displaystyle c = \ mathrm {st} (x_ {i_ {0}})}

er det ønskede nul på f . Et sådant bevis reducerer kvantificeringskompleksiteten af et standardbevis for IVT.

Grundlæggende sætninger

Hvis f er en reel værdiansat funktion defineret i et interval [ a , b ], så er overførselsoperatoren anvendt på f , betegnet med * f , en intern , hyperreal-værdiansat funktion defineret på det hyperrealiske interval [* a , * b ] .

Sætning : Lad f være en reel værdi, der er defineret i et interval [ a , b ]. Derefter kan f differentieres ved a <x <b hvis og kun hvis værdien er for hver uendelig lille h for ikke-nul

{\ displaystyle \ Delta _ {h} f: = \ operatorname {st} {\ frac {[{} ^ {*} \! f] (x + h) - [{} ^ {*} \! f] ( x)} {h}}}

er uafhængig af h . I så fald er den fælles værdi afledt af f ved x .

Denne kendsgerning følger af overførselsprincippet om ikke-standard analyse og overspil .

Bemærk, at et lignende resultat gælder for differentierbarhed i slutpunkterne a , b forudsat at tegnet på det uendelige h er passende begrænset.

For den anden sætning defineres Riemann-integralet som grænsen, hvis den eksisterer, for en rettet familie af Riemann-summer ; dette er summen af formularen

{\ displaystyle \ sum _ {k = 0} ^ {n-1} f (\ xi _ {k}) (x_ {k + 1} -x_ {k})}

hvor

{\ displaystyle a = x_ {0} \ leq \ xi _ {0} \ leq x_ {1} \ leq \ ldots x_ {n-1} \ leq \ xi _ {n-1} \ leq x_ {n} = b.}

En sådan rækkefølge af værdier kaldes en partition eller mesh og

{\ displaystyle \ sup _ {k} (x_ {k + 1} -x_ {k})}

bredden af masken. I definitionen af Riemann-integralen tages grænsen for Riemann-summen, når bredden på masken går til 0.

Sætning : Lad f være en reel værdi, der er defineret i et interval [ a , b ]. Så er f Riemann-integrerbart på [ a , b ] hvis og kun hvis for hvert indre maske med uendelig bredde, mængden

{\ displaystyle S_ {M} = \ operatornavn {st} \ sum _ {k = 0} ^ {n-1} [* f] (\ xi _ {k}) (x_ {k + 1} -x_ {k })}

er uafhængig af masken. I dette tilfælde er den fælles værdi Riemann-integralen af f over [ a , b ].

Ansøgninger

En øjeblikkelig anvendelse er en udvidelse af standarddefinitionerne af differentiering og integration til interne funktioner på intervaller af hyperreale tal.

En intern hyperreal-værdsat funktion f på [ a, b ] er S -differentierbar ved x , forudsat

{\ displaystyle \ Delta _ {h} f = \ operatorname {st} {\ frac {f (x + h) -f (x)} {h}}}

eksisterer og er uafhængig af det uendeligt minimale h . Værdien er S- derivatet ved x .

Sætning : Antag at f er S- forskelligt på hvert punkt i [ a, b ] hvor b - a er en afgrænset hyperreal. Antag desuden det

{\ displaystyle | f '(x) | \ leq M \ quad a \ leq x \ leq b.}

Derefter for nogle uendelig små ε

{\ displaystyle | f (b) -f (a) | \ leq M (ba) + \ epsilon.}

Lad N være et ikke-standard naturligt tal for at bevise dette . Opdel intervallet [ a , b ] i N- underintervaller ved at placere N - 1 mellemliggende punkter med lige stor afstand:

{\ displaystyle a = x_ {0} <x_ {1} <\ cdots <x_ {N-1} <x_ {N} = b}

Derefter

{\ displaystyle | f (b) -f (a) | \ leq \ sum _ {k = 1} ^ {N-1} | f (x_ {k + 1}) - f (x_ {k}) | \ leq \ sum _ {k = 1} ^ {N-1} \ left \ {| f '(x_ {k}) | + \ epsilon _ {k} \ right \} | x_ {k + 1} -x_ { k} |.}

Nu er maksimumet for ethvert internt sæt infinitesimals uendeligt lille. Således er alle ε _k'erne domineret af en uendelig minimal ε. Derfor,

{\ displaystyle | f (b) -f (a) | \ leq \ sum _ {k = 1} ^ {N-1} (M + \ epsilon) (x_ {k + 1} -x_ {k}) = M (ba) + \ epsilon (ba)}

hvorfra resultatet følger.

Se også

Bemærkninger

Referencer

Fitzpatrick, Patrick (2006), Advanced Calculus , Brooks / Cole
H. Jerome Keisler: Elementær beregning: En tilgang ved hjælp af uendelige dyr. Første udgave 1976; 2. udgave 1986. (Denne bog er nu ude af tryk. Forlaget har ophævet ophavsretten til forfatteren, som har gjort 2. udgave tilgængelig i .pdf-format tilgængelig til download på http://www.math.wisc.edu/ ~ keisler / calc.html .)
H. Jerome Keisler: Fundament of Infinitesimal Calculus, tilgængelig til download på http://www.math.wisc.edu/~keisler/foundations.html (10. januar '07)
Blass, Andreas (1978), "Review: Martin Davis, Applied nonstandard analysis, and KD Stroyan and WAJ Luxemburg, Introduction to the theory of infinitesimals, and H. Jerome Keisler, Foundations of infinitesimal calculus" , Bull. Amer. Matematik. Soc. , 84 (1): 34–41, doi : 10.1090 / S0002-9904-1978-14401-2
Baron, Margaret E .: Oprindelsen af den uendelige calculus. Pergamon Press, Oxford-Edinburgh-New York 1969. Dover Publications, Inc., New York, 1987. (En ny udgave af Barons bog dukkede op i 2004)
"Infinitesimal calculus" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press , 2001 [1994]

Languages

In other projects