Ikke-dimensionalisering - Nondimensionalization

Ikke-dimensionalisering er delvis eller fuldstændig fjernelse af fysiske dimensioner fra en ligning, der involverer fysiske størrelser ved en passende substitution af variabler . Denne teknik kan forenkle og parametrere problemer, hvor målte enheder er involveret. Det er tæt knyttet til dimensionel analyse . I nogle fysiske systemer anvendes udtrykket skalering ombytteligt med ikke- dimensionalisering for at antyde, at visse størrelser måles bedre i forhold til en passende enhed. Disse enheder henviser til mængder, der er iboende for systemet, snarere end enheder såsom SI- enheder. Ikke-dimensionalisering er ikke det samme som at konvertere omfattende mængder i en ligning til intensive størrelser, da sidstnævnte procedure resulterer i variabler, der stadig bærer enheder.

Ikke-dimensionalisering kan også gendanne karakteristiske egenskaber ved et system. For eksempel, hvis et system har en iboende resonansfrekvens , længde eller tidskonstant , kan ikke-dimensionalisering genoprette disse værdier. Teknikken er især nyttig til systemer, der kan beskrives ved differentialligninger . En vigtig anvendelse er i analysen af kontrolsystemer . En af de enkleste karakteristiske enheder er fordoblingstiden for et system, der oplever eksponentiel vækst , eller omvendt halveringstiden for et system, der oplever eksponentielt forfald ; et mere naturligt par karakteristiske enheder er gennemsnitlig alder / gennemsnitlig levetid , der svarer til base e snarere end base 2.

Mange illustrative eksempler på ikke-dimensionalisering stammer fra forenkling af differentialligninger. Dette skyldes, at en stor mængde fysiske problemer kan formuleres i form af differentialligninger. Overvej følgende:

Selvom ikke-dimensionalisering er godt tilpasset disse problemer, er den ikke begrænset til dem. Et eksempel på en applikation, der ikke er differentiel ligning, er dimensional analyse; et andet eksempel er normalisering i statistikker .

Måleanordninger er praktiske eksempler på nondimensionalization forekommer i hverdagen. Måleenheder er kalibreret i forhold til en eller anden kendt enhed. Efterfølgende målinger foretages i forhold til denne standard. Derefter genvindes målingens absolutte værdi ved skalering i forhold til standarden.

Begrundelse

Antag en pendul svinger med en bestemt periode T . For et sådant system, er det fordelagtigt at udføre beregninger vedrørende den svingende i forhold til T . På en eller anden måde er dette normalisering af målingen i forhold til perioden.

Målinger foretaget i forhold til et systems egentlige egenskab gælder for andre systemer, som også har den samme indre egenskab. Det giver også en mulighed for at sammenligne en fælles egenskab ved forskellige implementeringer af det samme system. Ikke-dimensionalisering bestemmer på en systematisk måde de karakteristiske enheder i et system, der skal bruges, uden at stole stærkt på forudgående kendskab til systemets iboende egenskaber (man bør ikke forveksle karakteristiske enheder i et system med naturlige enheder af naturen ). Faktisk kan ikke-dimensionalisering foreslå de parametre, der skal bruges til at analysere et system. Det er dog nødvendigt at starte med en ligning, der beskriver systemet korrekt.

Ikke-dimensionaliseringstrin

For at ikke-dimensionere et ligningssystem skal man gøre følgende:

Identificer alle de uafhængige og afhængige variabler;
Udskift hver af dem med en skaleret størrelse i forhold til en karakteristisk måleenhed, der skal bestemmes.
Opdel med koefficienten for den polynomiske eller afledte term af højeste orden;
Vælg omhyggeligt definitionen af den karakteristiske enhed for hver variabel, så koefficienterne for så mange termer som muligt bliver 1;
Omskriv ligningssystemet med hensyn til deres nye dimensionsløse størrelser.

De sidste tre trin er normalt specifikke for problemet, hvor ikke-dimensionalisering anvendes. Imidlertid kræver næsten alle systemer de to første trin, der skal udføres.

Konventioner

Der er ingen begrænsninger for de variabelnavne, der bruges til at erstatte " x " og " t ". Imidlertid vælges de generelt, så det er praktisk og intuitivt at bruge til det aktuelle problem. For eksempel, hvis " x " repræsenterede masse, kan bogstavet " m " være et passende symbol til at repræsentere den dimensionsløse massemængde.

I denne artikel er følgende konventioner blevet brugt:

t - repræsenterer den uafhængige variabel - normalt en tidsmængde. Dens ikke-dimensionelle modstykke er . ${\ displaystyle \ tau}$
x - repræsenterer den afhængige variabel - kan være masse, spænding eller en hvilken som helst målbar størrelse. Dens ikke-dimensionelle modstykke er . ${\ displaystyle \ chi}$

Et abonnement c, der er føjet til en mængdes variablenavn, bruges til at betegne den karakteristiske enhed, der bruges til at skalere denne mængde. For eksempel, hvis x er en størrelse, er x _c den karakteristiske enhed, der bruges til at skalere den.

Som et illustrativt eksempel, overvej en første ordens differentialligning med konstante koefficienter :

{\ displaystyle a {\ frac {dx} {dt}} + bx = Af (t).}

I denne ligning er den uafhængige variabel her t , og den afhængige variabel er x .
Indstil . Dette resulterer i ligningen ${\ displaystyle x = \ chi x_ {c}, \ t = \ tau t_ {c}}$ ${\ displaystyle a {\ frac {x_ {c}} {t_ {c}}} {\ frac {d \ chi} {d \ tau}} + bx_ {c} \ chi = Af (\ tau t_ {c} ) \ {\ stackrel {\ mathrm {def}} {=}} \ AF (\ tau).}$
Koefficienten for det højeste ordnede udtryk er foran det første afledte udtryk. At opdele efter dette giver ${\ displaystyle {\ frac {d \ chi} {d \ tau}} + {\ frac {bt_ {c}} {a}} \ chi = {\ frac {At_ {c}} {ax_ {c}}} F (\ tau).}$
Koefficienten foran indeholder kun en karakteristisk variabel t _c , derfor er det nemmest at vælge at indstille dette til enhed først: ${\ displaystyle \ chi}$ ${\ displaystyle {\ frac {bt_ {c}} {a}} = 1 \ Rightarrow t_ {c} = {\ frac {a} {b}}.}$ Efterfølgende ${\ displaystyle {\ frac {At_ {c}} {ax_ {c}}} = {\ frac {A} {bx_ {c}}} = 1 \ Rightarrow x_ {c} = {\ frac {A} {b }}.}$
Den endelige dimensionsløse ligning i dette tilfælde bliver helt uafhængig af parametre med enheder: ${\ displaystyle {\ frac {d \ chi} {d \ tau}} + \ chi = F (\ tau).}$

Udskiftninger

Antag for enkelhedens skyld, at et bestemt system er kendetegnet ved to variabler - en afhængig variabel x og en uafhængig variabel t , hvor x er en funktion af t . Både x og t repræsenterer størrelser med enheder. For at skalere disse to variabler antager du, at der er to indre måleenheder x _c og t _c med de samme enheder som henholdsvis x og t , således at disse betingelser holder:

{\ displaystyle \ tau = {\ frac {t} {t_ {c}}} \ Rightarrow t = \ tau t_ {c}}

{\ displaystyle \ chi = {\ frac {x} {x_ {c}}} \ Rightarrow x = \ chi x_ {c}.}

Disse ligninger bruges til at erstatte x og t, når de ikke dimensioneres. Hvis der er behov for differentielle operatører for at beskrive det originale system, bliver deres skalerede modparter dimensionsløse differentiale operatører.

Differentielle operatører

Overvej forholdet

{\ displaystyle \, \! t = \ tau t_ {c} \ Rightarrow dt = t_ {c} d \ tau \ Rightarrow {\ frac {d \ tau} {dt}} = {\ frac {1} {t_ { c}}}.}

De dimensionsløse differentiale operatører med hensyn til den uafhængige variabel bliver

{\ displaystyle {\ frac {d} {dt}} = {\ frac {d \ tau} {dt}} {\ frac {d} {d \ tau}} = {\ frac {1} {t_ {c} }} {\ frac {d} {d \ tau}} \ Rightarrow {\ frac {d ^ {n}} {dt ^ {n}}} = \ venstre ({\ frac {d} {dt}} \ højre ) ^ {n} = \ left ({\ frac {1} {t_ {c}}} {\ frac {d} {d \ tau}} \ right) ^ {n} = {\ frac {1} {t_ {c} ^ {n}}} {\ frac {d ^ {n}} {d \ tau ^ {n}}}.}

Tvungen funktion

Hvis et system har en tvangsfunktion, så ${\ displaystyle \, \! f (t)}$

{\ displaystyle \, \! f (t) = f (\ tau t_ {c}) = f (t (\ tau)) = F (\ tau).}

Derfor er den nye tvangsfunktion gjort afhængig af den dimensionsløse størrelse . ${\ displaystyle \, \! F}$ ${\ displaystyle \, \! \ tau}$

Lineære differentialligninger med konstante koefficienter

Første ordresystem

Overvej differentialligningen for et første ordens system:

{\ displaystyle a {\ frac {dx} {dt}} + bx = Af (t).}

Den afledning af karakteristiske for dette system giver

{\ displaystyle t_ {c} = {\ frac {a} {b}}, \ x_ {c} = {\ frac {A} {b}}.}

Anden ordens system

Et andet ordresystem har formularen

{\ displaystyle a {\ frac {d ^ {2} x} {dt ^ {2}}} + b {\ frac {dx} {dt}} + cx = Af (t).}

Udskiftningstrin

Erstat variablerne x og t med deres skalerede størrelser. Ligningen bliver

{\ displaystyle a {\ frac {x_ {c}} {t_ {c} ^ {2}}} {\ frac {d ^ {2} \ chi} {d \ tau ^ {2}}} + b {\ frac {x_ {c}} {t_ {c}}} {\ frac {d \ chi} {d \ tau}} + cx_ {c} \ chi = Af (\ tau t_ {c}) = AF (\ tau ).}

Denne nye ligning er ikke dimensionsløs, selvom alle variabler med enheder er isoleret i koefficienterne. Ved at dividere med koefficienten for det højst ordnede udtryk bliver ligningen

{\ displaystyle {\ frac {d ^ {2} \ chi} {d \ tau ^ {2}}} + t_ {c} {\ frac {b} {a}} {\ frac {d \ chi} {d \ tau}} + t_ {c} ^ {2} {\ frac {c} {a}} \ chi = {\ frac {At_ {c} ^ {2}} {ax_ {c}}} F (\ tau ).}

Nu er det nødvendigt at bestemme størrelserne på x _c og t _c, så koefficienterne bliver normaliserede. Da der er to frie parametre, kan højst kun to koefficienter gøres til lige enhed.

Bestemmelse af karakteristiske enheder

Overvej variablen t _c :

Hvis den første ordreperiode er normaliseret. ${\ displaystyle t_ {c} = {\ frac {a} {b}}}$
Hvis nulstillingsordet er normaliseret. ${\ displaystyle t_ {c} = {\ sqrt {\ frac {a} {c}}}}$

Begge udskiftninger er gyldige. Af pædagogiske årsager anvendes den sidstnævnte erstatning til andenordenssystemer. Valg af denne erstatning gør det muligt at bestemme x _c ved at normalisere koefficienten for tvangsfunktionen:

{\ displaystyle 1 = {\ frac {At_ {c} ^ {2}} {ax_ {c}}} = {\ frac {A} {cx_ {c}}} \ Rightarrow x_ {c} = {\ frac { A} {c}}.}

Differentialligningen bliver

{\ displaystyle {\ frac {d ^ {2} \ chi} {d \ tau ^ {2}}} + {\ frac {b} {\ sqrt {ac}}} {\ frac {d \ chi} {d \ tau}} + \ chi = F (\ tau).}

Koefficienten for den første ordres term er enhedsløs. Definere

{\ displaystyle 2 \ zeta \ {\ stackrel {\ mathrm {def}} {=}} \ {\ frac {b} {\ sqrt {ac}}}.}

Faktoren 2 er til stede, så løsningerne kan parametriseres med hensyn til ζ . I forbindelse med mekaniske eller elektriske systemer er ζ kendt som dæmpningsforholdet og er en vigtig parameter, der kræves i analysen af kontrolsystemer . 2 ζ er også kendt som systemets linjebredde . Resultatet af definitionen er den universelle oscillatorligning .

{\ displaystyle {\ frac {d ^ {2} \ chi} {d \ tau ^ {2}}} + 2 \ zeta {\ frac {d \ chi} {d \ tau}} + \ chi = F (\ tau).}

Systemer med højere ordre

Den generelle n-ordns lineære differentialligning med konstante koefficienter har formen:

{\ displaystyle a_ {n} {\ frac {d ^ {n} x (t)} {dt ^ {n}}} + a_ {n-1} {\ frac {d ^ {n-1} x (t )} {dt ^ {n-1}}} + \ ldots + a_ {1} {\ frac {dx (t)} {dt}} + a_ {0} x (t) = \ sum _ {k = 0 } ^ {n} a_ {k} {\ frac {d ^ {k} x (t)} {dt ^ {k}}} = Af (t).}

Funktionen f ( t ) er kendt som tvangsfunktionen .

Hvis differentialligningen kun indeholder reelle (ikke komplekse) koefficienter, opfører egenskaberne af et sådant system sig kun som en blanding af første og anden ordens systemer. Dette skyldes, at rødderne til dets karakteristiske polynom er enten reelle eller komplekse konjugatpar . Derfor kan forståelse af, hvordan ikke-dimensionalisering gælder for første og anden ordnede systemer, muliggøre, at egenskaberne ved højere ordenssystemer kan bestemmes gennem superposition .

Antallet af gratis parametre i en ikke-dimensionaliseret form af et system øges med dets rækkefølge. Af denne grund anvendes ikke-dimensionalisering sjældent til højere ordens differentialligninger. Behovet for denne procedure er også blevet reduceret med fremkomsten af symbolsk beregning .

Eksempler på gendannelse af karakteristiske enheder

En række systemer kan tilnærmes som enten første eller anden ordens systemer. Disse inkluderer mekaniske, elektriske, fluidiske, kaloriske og torsionssystemer. Dette skyldes, at de grundlæggende fysiske størrelser, der er involveret i hvert af disse eksempler, er relateret gennem første og anden ordens derivater.

Mekaniske svingninger

En masse knyttet til en fjeder og et spjæld.

Antag, at vi har en masse knyttet til en fjeder og et spjæld, som igen er fastgjort til en væg og en kraft, der virker på massen langs den samme linje. Definere

${\ displaystyle x}$ = forskydning fra ligevægt [m]
${\ displaystyle t}$ = tid [s]
${\ displaystyle f}$ = ekstern kraft eller "forstyrrelse" påført systemet [kg⋅m⋅s ⁻² ]
${\ displaystyle m}$ = blokmasse [kg]
${\ displaystyle B}$ = dæmpningskonstant for dashpot [kg⋅s ⁻¹ ]
${\ displaystyle k}$ = kraftkonstant for fjederen [kg⋅s ⁻² ]

Antag at den påførte kraft er en sinusformet F = F ₀ cos ( ωt ) , den differentielle ligning, der beskriver blokens bevægelse, er

{\ displaystyle m {\ frac {d ^ {2} x} {dt ^ {2}}} + B {\ frac {dx} {dt}} + kx = F_ {0} \ cos (\ omega t)}

Ikke-dimensionalisering af denne ligning på samme måde som beskrevet under andet ordens system giver flere egenskaber ved systemet.

Den indre enhed x _c svarer til afstanden, som blokken bevæger sig pr. Enhedskraft

{\ displaystyle x_ {c} = {\ frac {F_ {0}} {k}}.}

Den karakteristiske variabel t _c er lig med svingningsperioden

{\ displaystyle t_ {c} = {\ sqrt {\ frac {m} {k}}}}

og den dimensionsløse variabel 2 ζ svarer til systemets linjebredde. ζ i sig selv er dæmpningsforholdet .

{\ displaystyle 2 \ zeta = {\ frac {B} {\ sqrt {mk}}}}

Elektriske svingninger

Førsteordens serie RC kredsløb

Til en serie RC tilsluttet en spændingskilde

{\ displaystyle R {\ frac {dQ} {dt}} + {\ frac {Q} {C}} = V (t) \ Rightarrow {\ frac {d \ chi} {d \ tau}} + \ chi = F (\ tau)}

med udskiftninger

{\ displaystyle Q = \ chi x_ {c}, \ t = \ tau t_ {c}, \ x_ {c} = CV_ {0}, \ t_ {c} = RC, \ F = V.}

Den første karakteristiske enhed svarer til den samlede ladning i kredsløbet. Den anden karakteristiske enhed svarer til systemets tidskonstant .

Andenordens serie RLC kredsløb

For en seriekonfiguration af R- , C- , L- komponenter, hvor Q er opladningen i systemet

{\ displaystyle L {\ frac {d ^ {2} Q} {dt ^ {2}}} + R {\ frac {dQ} {dt}} + {\ frac {Q} {C}} = V_ {0 } \ cos (\ omega t) \ Rightarrow {\ frac {d ^ {2} \ chi} {d \ tau ^ {2}}} + 2 \ zeta {\ frac {d \ chi} {d \ tau}} + \ chi = \ cos (\ Omega \ tau)}

med udskiftningerne

{\ displaystyle Q = \ chi x_ {c}, \ t = \ tau t_ {c}, \ \ x_ {c} = CV_ {0}, \ t_ {c} = {\ sqrt {LC}}, \ 2 \ zeta = R {\ sqrt {\ frac {C} {L}}}, \ \ Omega = t_ {c} \ omega.}

Den første variabel svarer til den maksimale ladning, der er gemt i kredsløbet. Resonansfrekvensen er givet ved den gensidige karakteristiske tid. Det sidste udtryk er systemets linjebredde. Ω kan betragtes som en normaliseret tvangsfunktionsfrekvens.

Kvantemekanik

Kvant harmonisk oscillator

Den Schrödingerligningen for endimensionale tid uafhængig kvante harmoniske oscillator er

{\ displaystyle \ left (- {\ frac {\ hbar ^ {2}} {2m}} {\ frac {d ^ {2}} {dx ^ {2}}} + {\ frac {1} {2} } m \ omega ^ {2} x ^ {2} \ højre) \ psi (x) = E \ psi (x).}

Modulus kvadratet på bølgefunktionen $| ψ (x) | 2$ repræsenterer sandsynlighedstæthed, der, når den er integreret over $x$ , giver en dimensionsløs sandsynlighed. Derfor $| ψ (x) | 2$ har enheder med invers længde. For ikke-dimensionalisering af dette skal det omskrives som en funktion af en dimensionsløs variabel. For at gøre dette erstatter vi

{\ displaystyle {\ tilde {x}} \ equiv {\ frac {x} {x _ {\ text {c}}}},}

hvor

x c

er en eller anden karakteristisk længde på dette system. Dette giver os en dimensioneløs bølgefunktion defineret via

{\ displaystyle {\ tilde {\ psi}}}

{\ displaystyle \ psi (x) = \ psi ({\ tilde {x}} x _ {\ text {c}}) = \ psi (x (x _ {\ text {c}})) = {\ tilde {\ psi}} ({\ tilde {x}}).}

Differentialligningen bliver derefter

{\ displaystyle \ left (- {\ frac {\ hbar ^ {2}} {2m}} {\ frac {1} {x _ {\ text {c}} ^ {2}}} {\ frac {d ^ { 2}} {d {\ tilde {x}} ^ {2}}} + {\ frac {1} {2}} m \ omega ^ {2} x _ {\ text {c}} ^ {2} {\ tilde {x}} ^ {2} \ right) {\ tilde {\ psi}} ({\ tilde {x}}) = E \, {\ tilde {\ psi}} ({\ tilde {x}}) \ Rightarrow \ left (- {\ frac {d ^ {2}} {d {\ tilde {x}} ^ {2}}} + {\ frac {m ^ {2} \ omega ^ {2} x _ {\ sms {c}} ^ {4}} {\ hbar ^ {2}}} {\ tilde {x}} ^ {2} \ right) {\ tilde {\ psi}} ({\ tilde {x}}) = {\ frac {2mx _ {\ text {c}} ^ {2} E} {\ hbar ^ {2}}} {\ tilde {\ psi}} ({\ tilde {x}}).}

For at gøre udtrykket foran dimensionsløst skal du indstille ${\ displaystyle {\ tilde {x}} ^ {2}}$

{\ displaystyle {\ frac {m ^ {2} \ omega ^ {2} x _ {\ text {c}} ^ {4}} {\ hbar ^ {2}}} = 1 \ Rightarrow x _ {\ text {c }} = {\ sqrt {\ frac {\ hbar} {m \ omega}}}.}

Den fuldt ud dimensionerede ligning er

{\ displaystyle \ left (- {\ frac {d ^ {2}} {d {\ tilde {x}} ^ {2}}} + {\ tilde {x}} ^ {2} \ right) {\ tilde {\ psi}} ({\ tilde {x}}) = {\ tilde {E}} {\ tilde {\ psi}} ({\ tilde {x}}),}

hvor vi har defineret

{\ displaystyle E \ equiv {\ frac {\ hbar \ omega} {2}} {\ tilde {E}}.}

Faktoren foran er faktisk (tilfældigt) den harmoniske oscillators grundtilstandsenergi . Normalt er energibegrebet ikke dimensioneret, da vi er interesserede i at bestemme kvantetilstandenes energier . Omarrangering af den første ligning bliver den velkendte ligning for den harmoniske oscillator

{\ displaystyle {\ tilde {E}}}

{\ displaystyle {\ frac {\ hbar \ omega} {2}} \ left (- {\ frac {d ^ {2}} {d {\ tilde {x}} ^ {2}}} + {\ tilde { x}} ^ {2} \ right) {\ tilde {\ psi}} ({\ tilde {x}}) = E {\ tilde {\ psi}} ({\ tilde {x}}).}

Statistiske analoger

I statistikken dividerer den analoge proces normalt en forskel (en afstand) med en skaleringsfaktor (et mål for statistisk spredning ), som giver et dimensionsløst tal, der kaldes normalisering . Oftest er dette at dividere fejl eller rester med henholdsvis standardafvigelsen eller prøvestandardafvigelsen, hvilket giver standardscorer og studerende rester .

Se også

eksterne links

Analyse af differentialligningsmodeller i biologi: et casestudie for kløvermeristempopulationer (Anvendelse af ikke-dimensionalisering til et problem i biologien).
Kursusnotater til matematisk modellering og industriel matematik Jonathan Evans, Institut for matematiske videnskaber, University of Bath . (se kapitel 3).
Skalering af differentialligninger Hans Petter Langtangen, Geir K. Pedersen, Center for Biomedicinsk Computing, Simula Research Laboratory og Institut for Informatik, Universitetet i Oslo .

Languages

In other projects