Operatøralgebra - Operator algebra

I funktionel analyse , en gren af matematik , er en operatoralgebra en algebra af kontinuerlige lineære operatorer på et topologisk vektorrum med multiplikationen givet af sammensætningen af ​​kortlægninger .

Resultaterne opnået i undersøgelsen af ​​operatøralgebraer formuleres i algebraiske termer, mens de anvendte teknikker er meget analytiske . Selvom undersøgelsen af ​​operatøralgebraer normalt klassificeres som en gren af ​​funktionel analyse, har den direkte anvendelser til repræsentationsteori , differentiel geometri , kvantestatisk mekanik , kvanteinformation og kvantefeltteori .

Oversigt

Operatøralgebraer kan bruges til at studere vilkårlige sæt operatører med lille algebraisk relation samtidigt . Fra dette synspunkt kan operatøralgebraer betragtes som en generalisering af spektral teori for en enkelt operatør. Generelt er operatøralgebraer ikke-kommutative ringe .

En operatør algebra skal typisk være lukket i et nærmere angivet operatør topologi inden i hele algebra af kontinuerlige lineære operatorer. Især er det et sæt operatører med både algebraiske og topologiske lukningsegenskaber. I nogle discipliner aksiomiseres sådanne egenskaber, og algebraer med en bestemt topologisk struktur bliver genstand for forskningen.

Selvom algebras af operatorer undersøges i forskellige sammenhænge (for eksempel algebras af pseudo-differentielle operatorer, der virker på distributionsrum ), bruges udtrykket operatoralgebra normalt med henvisning til algebras af afgrænsede operatorer på et Banach-rum eller, endnu mere specielt i henvisning til algebras af operatører på et adskilleligt Hilbert-rum , udstyret med operatørens normtopologi.

I tilfælde af operatører på et Hilbert-rum giver det hermitiske tilknyttede kort over operatører en naturlig involvering , som giver en ekstra algebraisk struktur, der kan pålægges algebraen. I denne sammenhæng er de bedst studerede eksempler selvadjoint operatør algebras, hvilket betyder at de er lukket under at tage adjoints. Disse inkluderer C * -algebras , von Neumann algebras og AW * -algebra . C * -algebras kan let karakteriseres abstrakt af en tilstand, der vedrører normen, involution og multiplikation. Sådanne abstrakt definerede C * -algebras kan identificeres til en bestemt lukket subalgebra af algebraen for de kontinuerlige lineære operatorer på et passende Hilbert-rum. Et lignende resultat gælder for von Neumann algebraer.

Kommutative selvtilhængende operatøralgebraer kan betragtes som algebra af komplekse værdiansatte kontinuerlige funktioner på et lokalt kompakt rum eller for målbare funktioner på et standardmålbart rum . Således er generel operatoralgebra ofte betragtes som en noncommutative generaliseringer af disse algebraer eller strukturen af basen plads på hvilken funktioner er defineret. Dette synspunkt er uddybet som filosofien om ikke-kommutativ geometri , der forsøger at studere forskellige ikke-klassiske og / eller patologiske objekter af ikke-kommutative operatøralgebraer.

Eksempler på operatøralgebraer, der ikke er selvtilstødende, inkluderer:

Se også

Referencer

Yderligere læsning

  • Blackadar, Bruce (2005). Operatøralgebras: Teori om C * -Algebras og von Neumann Algebras . Encyclopaedia of Mathematical Sciences. Springer-Verlag . ISBN 3-540-28486-9.
  • M. Takesaki, teori om operatør Algebras I , Springer, 2001.