Stationær handling - Stationary-action principle

Denne artikel diskuterer historien om princippet om mindst handling. For applikationen henvises til handling (fysik) .

Den stationære-action princippet - også kendt som princippet om mindst mulig indsats - er en variationsregning princip som, når den anvendes til handling af et mekanisk system giver de bevægelsesligninger for dette system. Princippet fastslår, at banerne (dvs. løsningerne af bevægelsesligningerne) er stationære punkter i systemets handlingsfunktionelle . Udtrykket "mindst handling" er en historisk misvisende navn, da princippet ikke har noget krav om minimalitet: værdien af handlingsfunktionelt behøver ikke at være minimal (endda lokalt) på banerne.

Princippet kan bruges til at udlede Newtonian , Lagrangian og Hamiltonian ligningsbevægelser og endda generel relativitet (se Einstein - Hilbert handling ). I relativitet skal en anden handling minimeres eller maksimeres.

Den klassiske mekanik og elektromagnetiske udtryk er en konsekvens af kvantemekanikken. Den stationære handlingsmetode hjalp med udviklingen af kvantemekanik. I 1933 demonstrerede fysikeren Paul Dirac , hvordan dette princip kan bruges i kvanteberegninger ved at skelne mellem den kvantemekaniske underbygning af princippet i kvanteinterferens af amplituder. Efterfølgende anvendte Julian Schwinger og Richard Feynman uafhængigt dette princip inden for kvanteelektrodynamik.

Princippet forbliver centralt i moderne fysik og matematik , idet det anvendes i termodynamik , væskemekanik , relativitetsteorien , kvantemekanik , partikelfysik og strengteori og er et fokus for moderne matematisk undersøgelse i morse teori . Maupertuis 'princip og Hamiltons princip er eksempler på princippet om stationær handling.

Handlingsprincippet går forud for tidligere ideer inden for optik . I det gamle Grækenland , Euclid skrev i sin Catoptrica at for stien lysreflekterende fra et spejl, det indfaldsvinklen er lig med vinklen på refleksion . Helt fra Alexandria viste senere, at denne vej var den korteste længde og mindst tid.

Lærde krediterer ofte Pierre Louis Maupertuis for at formulere princippet om mindste handling, fordi han skrev om det i 1744 og 1746. Leonhard Euler diskuterede imidlertid princippet i 1744, og bevis viser, at Gottfried Leibniz begge gik forud med 39 år.

Generel erklæring

Efterhånden som systemet udvikler sig, sporer q en sti gennem konfigurationsrum (kun nogle er vist). Stien taget af systemet (rød) har en stationær handling ( δS = 0) under små ændringer i systemets konfiguration ( δ q ).

Udgangspunktet er handlingen , betegnet (kalligrafisk S), af et fysisk system. Det er defineret som integralen af Lagrangian L mellem to øjeblikke af tid t ₁ og t ₂ - teknisk set en funktion af de N generaliserede koordinater q = ( q ₁ , q ₂ , ..., q _N ), som er tidsfunktioner og definer systemets konfiguration : ${\ displaystyle {\ mathcal {S}}}$

{\ displaystyle \ mathbf {q}: \ mathbf {R} \ to \ mathbf {R} ^{N}}

{\ displaystyle {\ mathcal {S}} [\ mathbf {q}, t_ {1}, t_ {2}] = \ int _ {t_ {1}}^{t_ {2}} L (\ mathbf {q } (t), \ mathbf {\ dot {q}} (t), t) dt}

hvor prikken betegner tidsafledningen , og t er tiden.

Matematisk er princippet

{\ displaystyle \ delta {\ mathcal {S}} = 0,}

hvor δ (små græske deltaer ) betyder en lille ændring. I ord lyder dette:

Systemets vej mellem tiderne t ₁ og t ₂ og konfigurationerne q ₁ og q ₂ er den, for hvilken handlingen er stationær (ingen ændring) til første ordre .

Stationær handling er ikke altid et minimum, trods det historiske navn for mindst handling. Det er et minimumsprincip for tilstrækkeligt korte, begrænsede segmenter i stien.

I applikationer tages redegørelsen og definitionen af handling sammen:

{\ displaystyle \ delta \ int _ {t_ {1}}^{t_ {2}} L (\ mathbf {q}, \ mathbf {\ dot {q}}, t) dt = 0.}

Handlingen og Lagrangian indeholder begge systemets dynamik til alle tider. Udtrykket "sti" refererer ganske enkelt til en kurve, der er sporet af systemet med hensyn til koordinaterne i konfigurationsrummet , det vil sige kurven q ( t ), parameteriseret efter tid (se også parametrisk ligning for dette koncept).

Oprindelse, udsagn og kontroverser

Fermat

I 1600 -tallet postulerede Pierre de Fermat , at " lys bevæger sig mellem to givne punkter langs den korteste tids vej ", som er kendt som mindst tidens princip eller Fermats princip .

Maupertuis

Ære for formuleringen af princippet om mindste handling gives almindeligvis til Pierre Louis Maupertuis , der mente, at "Naturen er sparsommelig i alle sine handlinger", og anvendte princippet bredt:

Lovene om bevægelse og hvile udledt af dette princip er nøjagtig de samme som dem, der observeres i naturen, vi kan beundre anvendelsen af det på alle fænomener. Dyrenes bevægelse, plantens vegetative vækst ... er kun dens konsekvenser; og universets skue bliver så meget større, så meget smukkere, dens Forfatter værdigere, når man ved, at et lille antal love, der er mest klogt etableret, er tilstrækkelige til alle bevægelser.

- Pierre Louis Maupertuis

Denne forestilling om Maupertuis, selvom den er noget deterministisk i dag, fanger dog meget af mekanikken.

I forbindelse med fysik foreslog Maupertuis, at den mængde, der skulle minimeres, var et resultat af bevægelsens varighed (tid) inden for et system af " vis viva ",

Maupertuis 'princip

${\ displaystyle \ delta \ int 2T (t) dt = 0}$

der er integralet af to gange, hvad vi nu kalder den kinetiske energi T af systemet.

Euler

Leonhard Euler gav en formulering af handlingsprincippet i 1744 i meget genkendelige vendinger i Additamentum 2 til sin Methodus Inveniendi Lineas Curvas Maximi Minive Proprietate Gaudentes . Begyndende med andet afsnit:

Lad projektilets masse være M , og lad dens hastighed være v, mens den flyttes over en uendelig lille afstand ds . Kroppen vil have et momentum Mv, der, når det multipliceres med afstanden ds , vil give Mv ds , kroppens momentum integreret over afstanden ds . Nu hævder jeg, at den kurve, der således er beskrevet af kroppen for at være kurven (blandt alle andre kurver, der forbinder de samme endepunkter), der minimerer

${\ displaystyle \ int Mv \, ds}$

eller, forudsat at M er konstant langs stien,

${\ displaystyle M \ int v \, ds}$ .
- Leonhard Euler

Som Euler siger, ∫ Mv d s er integralen af momentum over tilbagelagt distance, hvilket i moderne notation er lig med den forkortede eller reducerede handling

Eulers princip

${\ displaystyle \ delta \ int p \, dq = 0}$

Således fremsatte Euler en tilsvarende og (tilsyneladende) uafhængig erklæring om variationsprincippet i samme år som Maupertuis, omend lidt senere. Mærkeligt nok gjorde Euler ikke krav på nogen prioritet, som den følgende episode viser.

Omstridt prioritet

Maupertuis prioritet blev bestridt i 1751 af matematikeren Samuel König , der hævdede, at den var blevet opfundet af Gottfried Leibniz i 1707. Selvom princippet i sig selv ligner mange af Leibniz's argumenter, er selve dokumentet ikke blevet dokumenteret i Leibniz værker. König selv viste en kopi af et 1707 -brev fra Leibniz til Jacob Hermann med princippet, men det originale brev er gået tabt. I stridssager blev König anklaget for forfalskning, og selv kongen af Preussen gik ind i debatten og forsvarede Maupertuis (lederen af hans akademi), mens Voltaire forsvarede König.

Euler, frem for at kræve prioritet, var en troværdig forsvarer af Maupertuis, og Euler selv forfulgte König for forfalskning før Berlin-akademiet den 13. april 1752. Påstandene om forfalskning blev genbehandlet 150 år senere, og arkivarbejde af CI Gerhardt i 1898 og W. Kabitz i 1913 afdækkede andre kopier af brevet og tre andre citeret af König i Bernoulli -arkiverne.

Videre udvikling

Euler fortsatte med at skrive om emnet; i sine Réflexions sur quelques loix générales de la nature (1748) kaldte han mængden "indsats". Hans udtryk svarer til det, vi nu vil kalde potentiel energi , så hans erklæring om mindst handling i statik svarer til princippet om, at et system af legemer i hvile vil vedtage en konfiguration, der minimerer total potentiel energi.

Lagrange og Hamilton

Meget af beregningen af variationer blev angivet af Joseph-Louis Lagrange i 1760, og han fortsatte med at anvende dette på problemer i dynamikken. I Mécanique analytique (1788) udled Lagrange de generelle bevægelsesligninger for et mekanisk legeme. William Rowan Hamilton i 1834 og 1835 anvendte variationsprincippet til den klassiske lagrangiske funktion

{\ displaystyle L = TV}

at få Euler -Lagrange -ligningerne i deres nuværende form.

Jacobi, Morse og Caratheodory

I 1842 tog Carl Gustav Jacobi fat på problemet med, om variationsprincippet altid fandt minima i modsætning til andre stationære punkter (maxima eller stationære sadelpunkter ); det meste af hans arbejde fokuserede på geodesik på todimensionale overflader. De første klare generelle udsagn blev givet af Marston Morse i 1920'erne og 1930'erne, hvilket førte til det, der nu er kendt som Morse -teori . For eksempel viste Morse, at antallet af konjugerede punkter i en bane svarede til antallet af negative egenværdier i den anden variation af Lagrangian. En særlig elegant afledning af Euler-Lagrange-ligningen blev formuleret af Constantin Caratheodory og udgivet af ham i 1935.

Gauss og Hertz

Andre ekstreme principper for klassisk mekanik er blevet formuleret, såsom Gauss princip om mindste begrænsning og dens følge, Hertz princip om mindst krumning .

Tvister om mulige teleologiske aspekter

Den matematiske ækvivalens af de forskellige bevægelsesligninger og deres integrerede modstykke har vigtige filosofiske implikationer. Differentialligningerne er udsagn om mængder lokaliseret til et enkelt sted i rummet eller et enkelt tidspunkt. For eksempel Newtons anden lov

{\ displaystyle \ mathbf {F} = m \ mathbf {a}}

angiver, at den øjeblikkelige kraft F, der påføres en masse m, frembringer en acceleration a i samme øjeblik . Derimod er handlingsprincippet ikke lokaliseret til et punkt; snarere involverer det integraler over et tidsinterval og (for felter) et udvidet rumområde. I den sædvanlige formulering af klassiske handlingsprincipper er systemets start- og sluttilstande endvidere faste, f.eks.

I betragtning af at partiklen begynder ved position x ₁ på tidspunktet t ₁ og ender ved position x ₂ på tidspunktet t ₂ , er den fysiske bane, der forbinder disse to endepunkter, et ekstrem af handlingsintegralet.

Især er fastsættelsen af den endelige tilstand blevet fortolket som at give handlingsprincippet en teleologisk karakter, der historisk har været kontroversiel. Ifølge W. Yourgrau og S. Mandelstam forudsætter den teleologiske tilgang ... imidlertid, at variationsprincipperne selv har matematiske egenskaber, som de de facto ikke besidder. Desuden fastholder nogle kritikere denne tilsyneladende teleologi på grund af den måde, hvorpå spørgsmålet blev stillet. Ved at specificere nogle, men ikke alle aspekter af både de indledende og sidste betingelser (positionerne, men ikke hastighederne) gør vi nogle konklusioner om de indledende betingelser ud fra de sidste betingelser, og det er denne "bagudgående" slutning, der kan ses som en teleologisk forklaring. Teleologi kan også overvindes hvis vi betragter den klassiske beskrivelse som et grænsetilfælde af kvante formalisme sti integration , hvori stationære baner opnås som følge af indblanding af amplituder langs alle mulige stier.

Novellen Story of Your Life af den spekulative fiktionsforfatter Ted Chiang indeholder visuelle skildringer af Fermats princip sammen med en diskussion af dens teleologiske dimension. Keith Devlin 's Den Math Instinct indeholder et kapitel, 'Elvis Welsh Corgi, der kan gøre Calculus', der diskuterer calculus 'embedded' hos nogle dyr, som de løser 'mindst tid' problem i konkrete situationer.

Se også

Noter og referencer

eksterne links

Interaktiv forklaring af princippet om mindst handling
Interaktiv applet til at konstruere baner ved hjælp af princippet om mindst handling
Georgiev, Georgi Yordanov (2012). "En kvantitativ foranstaltning, mekanisme og tiltrækker til selvorganisering i netværksbaserede komplekse systemer". Selvorganiserende systemer . Forelæsningsnotater i datalogi. 7166 . s. 90–5. doi : 10.1007/978-3-642-28583-7_9 . ISBN 978-3-642-28582-0. S2CID 377417 .
Georgiev, Georgi; Georgiev, Iskren (2002). "Den mindste handling og metriket for et organiseret system". Åbne systemer og informationsdynamik . 9 (4): 371–380. arXiv : 1004.3518 . doi : 10.1023/a: 1021858318296 . S2CID 43644348 .
Terekhovich, Vladislav (2018). "Metafysik om princippet om mindst handling". Studier i historie og videnskabsfilosofi Del B: Studier i historie og filosofi i moderne fysik . 62 : 189–201. arXiv : 1511.03429 . Bibcode : 2018SHPMP..62..189T . doi : 10.1016/j.shpsb.2017.09.004 . S2CID 85528641 .
Feynman -foredragene om fysik, bind. II kap. 19: Princippet om mindst handling

Languages

In other projects